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梅涅劳斯定理应用3试题


2014 年东安一中高一直升班奥赛培训

陈雄武

《梅涅劳斯定理及其逆定理》的应用(1)
1,梅涅劳斯定理:设 P、Q、R 分别是 ?ABC 三边 BC,CA、AB 或其延长线上的点,若 P、 Q、R 三点共线,则

BP CQ AR ? ? ? 1。 PC QA RB

2, 梅涅劳斯逆

定理:设 P、Q、R 分别是 ?ABC 三边 BC,CA、AB 或其延长线上的点, 若

BP CQ AR ? ? ? 1 ,则 P、Q、R 三点共线。 PC QA RB

3,第一角元形式的梅涅劳斯定理:设 P、Q、R 分别是 ?ABC 三边 BC,CA、AB 或其延 长线上的点,则 P、Q、R 三点共线的充要条件是:

sin ?BAP sin ?ACR sin ?CBQ ? ?1 sin ?PAC sin ?RCB sin ?QBA

A

R Q

B

C

P

4,第二角元形式的梅涅劳斯定理:设 P、Q、R 分别是 ?ABC 三边 BC,CA、AB 或其延 长线上的点,点 O 不在 ?ABC 三边所在直线上,则 P、Q、R 三点共线的充要条件是:

sin ?BOP sin ?AOR sin ?COQ ? ?1 sin ?POC sin ?ROB sin ?QOA

1

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例 1. <<笛沙格定理>>:在 ?ABC 和 ?A?B ?C ? 中,若 AA?, BB?, CC ? 相交于一点 O ,直线 AB 与直线 A?B? 交于点 P,直线 BC 与直线 B?C ? 交于点 R,直线 AC 与直线 A?C ? 交于点 Q, 求证: P, R, Q 三点共线。

O

C A P Q A'

B R B'

C'

例 2. <<牛顿定理>>:设四边形 ABCD 两双对边相交于 E、F ,如图 2-5,证明

AC 、BD 、EF 的中点共线。

F Z E L B M N X A Y C

D

2

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例 3:如图,在四边形 ABCD 中△ABD,△BCD,△ABC 的面积比是 3:4:1,点 M,N 分别 在 AC,CD 上,满足 AM:AC=CN:CD,并且B,M,N共线,求证 M 与N分别是AC 和CD的中点。

例 4:

例 5:如下图,在△ABC 中,BD:DC=2:1,E 是 AC 边的中点,AD 与 BE 相交于 F 点。如果 △ABC 的面积是 60 平方厘米,求△AEF 和△BDF 的面积和。
A

E F

B D C

3

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例 6:如图,在一条直线 l 上取点 A、C、E ,在另一条直线 l ' 上取点 D、F、B ,记直线 AB 和 ED , CD 和 AF , EF 和 BC 的交点依次为 L、M、N ,证明:点 L、M、N 共线。

U E

C A l M l' D W L F

N V B

例 7,

4


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