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2.1.1平面1


2.1.1 平面

一、平面及其表示法

1. 平面的概念:

1. 平面的概念:

1. 平面的概念:

1. 平面的概念:

光滑的桌面、平静的湖面等都是我们 熟悉的平面形象,数学中的平面概念是现 实平面加以抽象的结果.

2

. 平面的特征:

2. 平面的特征:

平展性

无限延展性 没有厚度

3. 平面的画法:

3. 平面的画法: (1)水平放置的平面:

3. 平面的画法: (1)水平放置的平面:

?

3. 平面的画法: (1)水平放置的平面: (2)垂直放置的平面:

?

3. 平面的画法: (1)水平放置的平面: (2)垂直放置的平面:

? ?

3. 平面的画法: (1)水平放置的平面: (2)垂直放置的平面:

? ?
通常把表示平面的平行四边形的锐角 画成45o.

3. 平面的画法:

3. 平面的画法:

(3)在画图时,如果图形的一部分被另一 部分遮住,可以把遮住部分画成虚线, 也可以不画.

3. 平面的画法:

(3)在画图时,如果图形的一部分被另一 部分遮住,可以把遮住部分画成虚线, 也可以不画.

? ?

3. 平面的画法:

(3)在画图时,如果图形的一部分被另一 部分遮住,可以把遮住部分画成虚线, 也可以不画.

? ?

? ?

4. 平面的表示方法: 平面可以用希腊字母表示,也可以用 代表表示平面的平行四边形的四个顶点或 相对的两个顶点字母表示.

4. 平面的表示方法: 平面可以用希腊字母表示,也可以用 代表表示平面的平行四边形的四个顶点或 相对的两个顶点字母表示. 如 D C B

?
?

A

4. 平面的表示方法: 平面可以用希腊字母表示,也可以用 代表表示平面的平行四边形的四个顶点或 相对的两个顶点字母表示. 如 D C B

?
?

A

平面?

4. 平面的表示方法: 平面可以用希腊字母表示,也可以用 代表表示平面的平行四边形的四个顶点或 相对的两个顶点字母表示. 如 D C B

?
?

A

平面?

平面?

4. 平面的表示方法: 平面可以用希腊字母表示,也可以用 代表表示平面的平行四边形的四个顶点或 相对的两个顶点字母表示. 如 D C B

?
?

A

平面ABCD

平面?

平面?

4. 平面的表示方法: 平面可以用希腊字母表示,也可以用 代表表示平面的平行四边形的四个顶点或 相对的两个顶点字母表示. 如 D C B

?
?

A

平面?

平面?

平面ABCD 平面AC 平面BD

例1. 画出两个竖直放置的相交平面.

二、点、线、面的基本位置关系
图形 符号语言 文字语言(读法) 点在直线上 点不在直线上

A
A

a
a

A? a
A? a

? A
? A
A b a

A ??

点在平面内
点不在平面内 直线

A ?? a?b ? A

a、 b 交于点

图形

符号语言

文字语言(读法)
直线 a 在平面? 内 直线 a与平面 ? 无公共点

?
?

a
a

a ??
a?? ? ?

?

a

A

a?? ? A 直线与 a平面? 交于点A
? ?? ? l
平面 ? 与? 相交于直线l

例2. 把下列语句用集合符号表示,并画 出直观图. (1) 点A在平面?内,点B不在平面?内, 点A,B都在直线a上; (2) 平面?与平面?相交于直线m,直线a 在平面?内且平行于直线m.

例2. 把下列语句用集合符号表示,并画 出直观图. (1) 点A在平面?内,点B不在平面?内, 点A,B都在直线a上; (2) 平面?与平面?相交于直线m,直线a 在平面?内且平行于直线m. B

? A
a

例2. 把下列语句用集合符号表示,并画 出直观图. (1) 点A在平面?内,点B不在平面?内, 点A,B都在直线a上; (2) 平面?与平面?相交于直线m,直线a 在平面?内且平行于直线m. B

?
a

? A

a m

?

例3. 把下列图形中的点、线、面关系用
集合符号表示出来. l a A B l a A B l

?

A
a

?
?

?
?

练习.正方体的各顶点如图所示,正方体的三个面所在平 面 A1C1 , A1B1 , B1C1,分别记作 ?、?、? ,试用适当的 符号填空. (1) A1 _______ ∈ ? , B1 _______ ∈ ?
(2) B1 _______ ∈ ? , C1 _______ ∈ ?

∈ ? , D1 _______ ∈ ? (3) A1 _______
(4)? _______ ∩ ? ? A1B1

? _______ ∩ ? ? BB1

∩ ∩

? (5) A1B1 ________ ? , BB1 ________

A1B1 ________ ?



二、平面的基本性质

观察下图,你能得到什么结论?
桌面? A B

观察下图,你能得到什么结论?
桌面? A B

?

A

B

l

观察下图,你能得到什么结论?
桌面? A 公理1 如果一条直线上两点在一个平 面内,那么这条直线上的所有的点都在 这个平面内(即直线在平面内). B A l B

?

公理1 如果一条直线上两点在一个平 面内,那么这条直线上的所有的点都在 这个平面内(即直线在平面内).

公理1 如果一条直线上两点在一个平 面内,那么这条直线上的所有的点都在 这个平面内(即直线在平面内).

?

A

B

l

公理1 如果一条直线上两点在一个平 面内,那么这条直线上的所有的点都在 这个平面内(即直线在平面内).

?

A

B

l

文字语言: 公理1 如果一条直线上两点在一个平 面内,那么这条直线上的所有的点都在 这个平面内(即直线在平面内).

图形语言:

?
符号语言:

A

B

l

文字语言: 公理1 如果一条直线上两点在一个平 面内,那么这条直线上的所有的点都在 这个平面内(即直线在平面内).

图形语言:

?
符号语言:

A

B

l

公理1是判断直线是否在平面内的依据.

观察下图,你能得到什么结论?

B A C

观察下图,你能得到什么结论?

B A C A

B C

观察下图,你能得到什么结论?

B A C A

B C

公理2 过不在同一直线上的三点,有 且只有一个平面.

文字语言:

文字语言: 公理2 过不在同一直线上的三点,有 且只有一个平面.

文字语言: 公理2 过不在同一直线上的三点,有 且只有一个平面.
图形语言:

文字语言: 公理2 过不在同一直线上的三点,有 且只有一个平面.
图形语言: A B C

文字语言: 公理2 过不在同一直线上的三点,有 且只有一个平面.
图形语言: A 符号语言: B C

文字语言: 公理2 过不在同一直线上的三点,有 且只有一个平面.
图形语言: A 符号语言: B C

A, B, C三点不共线 ? 有且只有一个平面? 使A ? ? , B ? ? , C ? ?

文字语言: 公理2 过不在同一直线上的三点,有 且只有一个平面.
图形语言: A 符号语言: B C

A, B, C三点不共线 ? 有且只有一个平面? 使A ? ? , B ? ? , C ? ?
公理2是确定一个平面的依据.

公理2 过不在同一直线上的三点,有且只 有一个平面. B C A

公理2 过不在同一直线上的三点,有且只 有一个平面. B C A
推论1 一条直线和直线外一点唯一确定一 个平面.

公理2 过不在同一直线上的三点,有且只 有一个平面. B C A
推论1 一条直线和直线外一点唯一确定一 个平面. l A C B

公理2 过不在同一直线上的三点,有且只 有一个平面. B C A
推论1 一条直线和直线外一点唯一确定一 个平面. l A C B 推论2 两条相交直线唯一确定一个平面.

公理2 过不在同一直线上的三点,有且只 有一个平面. B C A
推论1 一条直线和直线外一点唯一确定一 个平面. l A C B 推论2 两条相交直线唯一确定一个平面. 推论3 两条平行直线唯一确定一个平面.

平面公理

把三角板的一个角立在课桌面上,三角板所在平 面与桌面所在平面是否只相交于一点B?为什么?

?

B

平面公理

把三角板的一个角立在课桌面上,三角板所在平 面与桌面所在平面是否只相交于一点B?为什么?

?

B

观察下图,你能得到什么结论?
天花板? 墙面? 墙面?

观察下图,你能得到什么结论?
天花板? 墙面? P 墙面?

观察下图,你能得到什么结论?
天花板? 墙面? P 墙面?

? ?
P
a

观察下图,你能得到什么结论?
天花板? 墙面? P 墙面?

? ?
P
a

公理3 如果两个不重合的平面有一个 公共点,那么这两个平面有且只有一条 过该点的公共直线.

文字语言:

文字语言: 公理3 如果两个不重合的平面有一个 公共点,那么这两个平面有且只有一条 过该点的公共直线.

文字语言: 公理3 如果两个不重合的平面有一个 公共点,那么这两个平面有且只有一条 过该点的公共直线.

图形语言:

文字语言: 公理3 如果两个不重合的平面有一个 公共点,那么这两个平面有且只有一条 过该点的公共直线.

图形语言:

? ?
P

l

文字语言: 公理3 如果两个不重合的平面有一个 公共点,那么这两个平面有且只有一条 过该点的公共直线.

图形语言:

? ?
P

l

符号语言:

文字语言: 公理3 如果两个不重合的平面有一个 公共点,那么这两个平面有且只有一条 过该点的公共直线.

图形语言:

? ?
P

l

符号语言:

P ? ?且P ? ? ? ? ? ? ? l且P ? l .

文字语言: 公理3 如果两个不重合的平面有一个 公共点,那么这两个平面有且只有一条 过该点的公共直线.

图形语言:

? ?
P

l

符号语言:

P ? ?且P ? ? ? ? ? ? ? l且P ? l .

公理3是判定两个平面是否相交的依据.

【例4】已知命题: ①10个平面重叠起来,要比5个平面 重叠起来厚; ②有一个平面的长是50m,宽是20m; ③黑板面不是平面; ④平面是绝对的平,没有大小、没有 厚度,可以无限延展的抽象的数学 概念. ③④ 其中正确的的命题是__________.

【例5】如图,M是正方体ABCD-A1B1C1D1 棱BB1的中点. (1)作出由A1,C1,M三点所确定的平面 与正方体表面的交线; (2)试作出平面A1C1M与 平面ABCD的交 线.
分析:因为点M既在平面 ?
内又在平面AB1内,所以点 M在平面?与平面AB1 的交线 上.同理,点A1在平面 ? 与平面 AB1的交线上,因此,MA1就是平 面? 与平面AB1的交线.

练习: 判断下列命题是否正确:
(1) 经过三点确定一个平面. ( ) (2) 经过同一点的三条直线确定一个平面. ( ) (3) 若点A∈直线a,点A∈平面?,则a??. ( ) (4) 平面?与平面?相交,它们只有有限个 ( ) 公共点.

练习: 判断下列命题是否正确:
(1) 经过三点确定一个平面. ( ×) (2) 经过同一点的三条直线确定一个平面. ( ) (3) 若点A∈直线a,点A∈平面?,则a??. ( ) (4) 平面?与平面?相交,它们只有有限个 ( ) 公共点.

练习: 判断下列命题是否正确:
(1) 经过三点确定一个平面. ( ×) (2) 经过同一点的三条直线确定一个平面. (×) (3) 若点A∈直线a,点A∈平面?,则a??. ( ) (4) 平面?与平面?相交,它们只有有限个 ( ) 公共点.

练习: 判断下列命题是否正确:
(1) 经过三点确定一个平面. ( ×) (2) 经过同一点的三条直线确定一个平面. (×) (3) 若点A∈直线a,点A∈平面?,则a??. (×) (4) 平面?与平面?相交,它们只有有限个 ( ) 公共点.

练习:判断下列命题是否正确:
(1) 经过三点确定一个平面. ( ×) (2) 经过同一点的三条直线确定一个平面. (×) (3) 若点A∈直线a,点A∈平面?,则a??. (×) (4) 平面?与平面?相交,它们只有有限个 (× ) 公共点.

练习: 判断下列命题是否正确:
(1) 经过三点确定一个平面. ( ×) (2) 经过同一点的三条直线确定一个平面. (×) (3) 若点A∈直线a,点A∈平面?,则a??. (×) (4) 平面?与平面?相交,它们只有有限个 (× ) 公共点. 练习 课本P.43练习第1、2、3、4题

1.用符号表示“点A在直线l上,l在平面 ? 外”,正确的 是( B ). A. A ? l , l ?? B. A ? l , l ? ? C. A ? l , l ? ? D. A ? l , l ?? 2.下面叙述中,正确的是( D ). A.因为 P ?? , Q ?? ,所以 PQ ?? B.因为P ?? , Q ? ? ,所以 ? ? ? ? PQ

C.因为 AB ? ? , C ? AB, D ? AB ,所以 CD ? ? D.因为 AB ? ? , AB ? ? ,所以 A ? ?? ? ? ? 且B ? ?? ? ? ?

3.请指出下列说法是否正确,并说明理由: ⑴平面 ? 与平面 ? 若有公共点,就不止一个; 正确 ⑵因为平面型斜屋面不与地面相交,所以屋面所在 的平面与地面不相交. 不正确

因为平面是可以无限延展的.
4.根据下列符号表示的语句,说出有关点、线、面的 关系,并画出图形.

(1) A ?? , B ?? (2)l ? ? , m ? ? (4) P ? l , P ?? , Q ? l , Q ?? (3)? ? ? ? l

5:用符号语言表示下列语句,并画出图形. ⑴直线l过平面? 内一点A,且过? 外两点B、C. ⑵平面? 与? 的交线为l,直线m在? 内,直线n 在 ? 内,且m、n与l分别交于点P、Q.

⑶平面? 与? 相交于直线l,直线m在 ? 内,直
线n在 ? 内,且m、n都与l平行.

练习6:根据下列条件作图:
(1) A∈?,a??,A∈a; (2) a ??,b??,c??,且a∩b=A, b∩c=B,c∩a=C.

课堂小结
1. 平面的概念,画法及表示方法; 2. 平面的性质及其作用; 3. 符号表示.

课后作业
1. 复习本节课内容;
2. 预习:同一平面内的两条直线有几种

位置关系?
3. 作业


2.1.1 平面 教案

第1 课时 §2.1.1 平面新疆 王新敞奎屯 一、教学目标: 教学目标: 知识目标: (一)知识目标:1.能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的“平面” 2.理解平面...

2.1.1平面

2.1.1平面_初一数学_数学_初中教育_教育专区。第一课时 平 面 (一)教学目标 1.知识与技能 (1)利用生活中的实物对平面进行描述; (2)掌握平面的表示法及...

2.1.1平面的教学设计

2.1.1平面的教学设计_数学_高中教育_教育专区。2.1.1 平面的教学设计淄博第十七中学 王立梅 一、教材分析 本节课选自人教版《数学》必修二的 2.1.1 平面第...

2-1-1 平面

2-1-1 平面_数学_高中教育_教育专区。、选择题 1.下列说法中正确的是( A.镜面是个平面 B.个平面长 10 m,宽 5 m C.个平面的面积是另一个平面...

2.1.1平面(2)

2.1.1平面(2)_数学_高中教育_教育专区。高二 年级 学习资料编号( )印数:245 学生姓名: 班级:高二( )班 编制人: 陈体仙 审核: 李忠西 2013 年 9 月 ...

2.1.1平面

2.1.1平面_数学_高中教育_教育专区。题型一平面概念的理解 1. 判断下列说法是否正确,并说明理由 (1) 平面的形状是平行四边形 (2) 任何一个平面图形都可以表示...

2.1.1平面

2.1平面 22页 免费 2.1.1平面1 27页 1财富值 2.1.1平面(1) 16页 1财富值 2.1.1《平面》 20页 免费 2.1.1平面新 30页 免费 2.1.1平面课件 ...

(2.1.1 平面)

对,像平面,今天我们开始 认识数学中的平面. 思路 2.(事例导入) 观察长方体(图 1) ,你能发现长方体的顶点、棱所在的直线,以及侧面、底面之间的关系 吗...

2.1.1平面

2.1.1平面1 27页 1财富值 2.1.1平面(1) 16页 1财富值 2.1.1《平面》 20页 免费 2.1.1平面 31页 免费 2.1.1平面新 30页 免费 2.1.1平面(...

(人教版)高中数学必修二《2.1.1 平面》教学设计

(人教版)高中数学必修二《2.1.1 平面》教学设计_数学_高中教育_教育专区。这是我在名师工作室跟岗学习上交的一份作业,属概念课的教学设计,比较规范,内容少部分...