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2.1.1平面1

时间:2016-12-02


2.1.1 平面

一、平面及其表示法

1. 平面的概念:

1. 平面的概念:

1. 平面的概念:

1. 平面的概念:

光滑的桌面、平静的湖面等都是我们 熟悉的平面形象,数学中的平面概念是现 实平面加以抽象的结果.

2

. 平面的特征:

2. 平面的特征:

平展性

无限延展性 没有厚度

3. 平面的画法:

3. 平面的画法: (1)水平放置的平面:

3. 平面的画法: (1)水平放置的平面:

?

3. 平面的画法: (1)水平放置的平面: (2)垂直放置的平面:

?

3. 平面的画法: (1)水平放置的平面: (2)垂直放置的平面:

? ?

3. 平面的画法: (1)水平放置的平面: (2)垂直放置的平面:

? ?
通常把表示平面的平行四边形的锐角 画成45o.

3. 平面的画法:

3. 平面的画法:

(3)在画图时,如果图形的一部分被另一 部分遮住,可以把遮住部分画成虚线, 也可以不画.

3. 平面的画法:

(3)在画图时,如果图形的一部分被另一 部分遮住,可以把遮住部分画成虚线, 也可以不画.

? ?

3. 平面的画法:

(3)在画图时,如果图形的一部分被另一 部分遮住,可以把遮住部分画成虚线, 也可以不画.

? ?

? ?

4. 平面的表示方法: 平面可以用希腊字母表示,也可以用 代表表示平面的平行四边形的四个顶点或 相对的两个顶点字母表示.

4. 平面的表示方法: 平面可以用希腊字母表示,也可以用 代表表示平面的平行四边形的四个顶点或 相对的两个顶点字母表示. 如 D C B

?
?

A

4. 平面的表示方法: 平面可以用希腊字母表示,也可以用 代表表示平面的平行四边形的四个顶点或 相对的两个顶点字母表示. 如 D C B

?
?

A

平面?

4. 平面的表示方法: 平面可以用希腊字母表示,也可以用 代表表示平面的平行四边形的四个顶点或 相对的两个顶点字母表示. 如 D C B

?
?

A

平面?

平面?

4. 平面的表示方法: 平面可以用希腊字母表示,也可以用 代表表示平面的平行四边形的四个顶点或 相对的两个顶点字母表示. 如 D C B

?
?

A

平面ABCD

平面?

平面?

4. 平面的表示方法: 平面可以用希腊字母表示,也可以用 代表表示平面的平行四边形的四个顶点或 相对的两个顶点字母表示. 如 D C B

?
?

A

平面?

平面?

平面ABCD 平面AC 平面BD

例1. 画出两个竖直放置的相交平面.

二、点、线、面的基本位置关系
图形 符号语言 文字语言(读法) 点在直线上 点不在直线上

A
A

a
a

A? a
A? a

? A
? A
A b a

A ??

点在平面内
点不在平面内 直线

A ?? a?b ? A

a、 b 交于点

图形

符号语言

文字语言(读法)
直线 a 在平面? 内 直线 a与平面 ? 无公共点

?
?

a
a

a ??
a?? ? ?

?

a

A

a?? ? A 直线与 a平面? 交于点A
? ?? ? l
平面 ? 与? 相交于直线l

例2. 把下列语句用集合符号表示,并画 出直观图. (1) 点A在平面?内,点B不在平面?内, 点A,B都在直线a上; (2) 平面?与平面?相交于直线m,直线a 在平面?内且平行于直线m.

例2. 把下列语句用集合符号表示,并画 出直观图. (1) 点A在平面?内,点B不在平面?内, 点A,B都在直线a上; (2) 平面?与平面?相交于直线m,直线a 在平面?内且平行于直线m. B

? A
a

例2. 把下列语句用集合符号表示,并画 出直观图. (1) 点A在平面?内,点B不在平面?内, 点A,B都在直线a上; (2) 平面?与平面?相交于直线m,直线a 在平面?内且平行于直线m. B

?
a

? A

a m

?

例3. 把下列图形中的点、线、面关系用
集合符号表示出来. l a A B l a A B l

?

A
a

?
?

?
?

练习.正方体的各顶点如图所示,正方体的三个面所在平 面 A1C1 , A1B1 , B1C1,分别记作 ?、?、? ,试用适当的 符号填空. (1) A1 _______ ∈ ? , B1 _______ ∈ ?
(2) B1 _______ ∈ ? , C1 _______ ∈ ?

∈ ? , D1 _______ ∈ ? (3) A1 _______
(4)? _______ ∩ ? ? A1B1

? _______ ∩ ? ? BB1

∩ ∩

? (5) A1B1 ________ ? , BB1 ________

A1B1 ________ ?



二、平面的基本性质

观察下图,你能得到什么结论?
桌面? A B

观察下图,你能得到什么结论?
桌面? A B

?

A

B

l

观察下图,你能得到什么结论?
桌面? A 公理1 如果一条直线上两点在一个平 面内,那么这条直线上的所有的点都在 这个平面内(即直线在平面内). B A l B

?

公理1 如果一条直线上两点在一个平 面内,那么这条直线上的所有的点都在 这个平面内(即直线在平面内).

公理1 如果一条直线上两点在一个平 面内,那么这条直线上的所有的点都在 这个平面内(即直线在平面内).

?

A

B

l

公理1 如果一条直线上两点在一个平 面内,那么这条直线上的所有的点都在 这个平面内(即直线在平面内).

?

A

B

l

文字语言: 公理1 如果一条直线上两点在一个平 面内,那么这条直线上的所有的点都在 这个平面内(即直线在平面内).

图形语言:

?
符号语言:

A

B

l

文字语言: 公理1 如果一条直线上两点在一个平 面内,那么这条直线上的所有的点都在 这个平面内(即直线在平面内).

图形语言:

?
符号语言:

A

B

l

公理1是判断直线是否在平面内的依据.

观察下图,你能得到什么结论?

B A C

观察下图,你能得到什么结论?

B A C A

B C

观察下图,你能得到什么结论?

B A C A

B C

公理2 过不在同一直线上的三点,有 且只有一个平面.

文字语言:

文字语言: 公理2 过不在同一直线上的三点,有 且只有一个平面.

文字语言: 公理2 过不在同一直线上的三点,有 且只有一个平面.
图形语言:

文字语言: 公理2 过不在同一直线上的三点,有 且只有一个平面.
图形语言: A B C

文字语言: 公理2 过不在同一直线上的三点,有 且只有一个平面.
图形语言: A 符号语言: B C

文字语言: 公理2 过不在同一直线上的三点,有 且只有一个平面.
图形语言: A 符号语言: B C

A, B, C三点不共线 ? 有且只有一个平面? 使A ? ? , B ? ? , C ? ?

文字语言: 公理2 过不在同一直线上的三点,有 且只有一个平面.
图形语言: A 符号语言: B C

A, B, C三点不共线 ? 有且只有一个平面? 使A ? ? , B ? ? , C ? ?
公理2是确定一个平面的依据.

公理2 过不在同一直线上的三点,有且只 有一个平面. B C A

公理2 过不在同一直线上的三点,有且只 有一个平面. B C A
推论1 一条直线和直线外一点唯一确定一 个平面.

公理2 过不在同一直线上的三点,有且只 有一个平面. B C A
推论1 一条直线和直线外一点唯一确定一 个平面. l A C B

公理2 过不在同一直线上的三点,有且只 有一个平面. B C A
推论1 一条直线和直线外一点唯一确定一 个平面. l A C B 推论2 两条相交直线唯一确定一个平面.

公理2 过不在同一直线上的三点,有且只 有一个平面. B C A
推论1 一条直线和直线外一点唯一确定一 个平面. l A C B 推论2 两条相交直线唯一确定一个平面. 推论3 两条平行直线唯一确定一个平面.

平面公理

把三角板的一个角立在课桌面上,三角板所在平 面与桌面所在平面是否只相交于一点B?为什么?

?

B

平面公理

把三角板的一个角立在课桌面上,三角板所在平 面与桌面所在平面是否只相交于一点B?为什么?

?

B

观察下图,你能得到什么结论?
天花板? 墙面? 墙面?

观察下图,你能得到什么结论?
天花板? 墙面? P 墙面?

观察下图,你能得到什么结论?
天花板? 墙面? P 墙面?

? ?
P
a

观察下图,你能得到什么结论?
天花板? 墙面? P 墙面?

? ?
P
a

公理3 如果两个不重合的平面有一个 公共点,那么这两个平面有且只有一条 过该点的公共直线.

文字语言:

文字语言: 公理3 如果两个不重合的平面有一个 公共点,那么这两个平面有且只有一条 过该点的公共直线.

文字语言: 公理3 如果两个不重合的平面有一个 公共点,那么这两个平面有且只有一条 过该点的公共直线.

图形语言:

文字语言: 公理3 如果两个不重合的平面有一个 公共点,那么这两个平面有且只有一条 过该点的公共直线.

图形语言:

? ?
P

l

文字语言: 公理3 如果两个不重合的平面有一个 公共点,那么这两个平面有且只有一条 过该点的公共直线.

图形语言:

? ?
P

l

符号语言:

文字语言: 公理3 如果两个不重合的平面有一个 公共点,那么这两个平面有且只有一条 过该点的公共直线.

图形语言:

? ?
P

l

符号语言:

P ? ?且P ? ? ? ? ? ? ? l且P ? l .

文字语言: 公理3 如果两个不重合的平面有一个 公共点,那么这两个平面有且只有一条 过该点的公共直线.

图形语言:

? ?
P

l

符号语言:

P ? ?且P ? ? ? ? ? ? ? l且P ? l .

公理3是判定两个平面是否相交的依据.

【例4】已知命题: ①10个平面重叠起来,要比5个平面 重叠起来厚; ②有一个平面的长是50m,宽是20m; ③黑板面不是平面; ④平面是绝对的平,没有大小、没有 厚度,可以无限延展的抽象的数学 概念. ③④ 其中正确的的命题是__________.

【例5】如图,M是正方体ABCD-A1B1C1D1 棱BB1的中点. (1)作出由A1,C1,M三点所确定的平面 与正方体表面的交线; (2)试作出平面A1C1M与 平面ABCD的交 线.
分析:因为点M既在平面 ?
内又在平面AB1内,所以点 M在平面?与平面AB1 的交线 上.同理,点A1在平面 ? 与平面 AB1的交线上,因此,MA1就是平 面? 与平面AB1的交线.

练习: 判断下列命题是否正确:
(1) 经过三点确定一个平面. ( ) (2) 经过同一点的三条直线确定一个平面. ( ) (3) 若点A∈直线a,点A∈平面?,则a??. ( ) (4) 平面?与平面?相交,它们只有有限个 ( ) 公共点.

练习: 判断下列命题是否正确:
(1) 经过三点确定一个平面. ( ×) (2) 经过同一点的三条直线确定一个平面. ( ) (3) 若点A∈直线a,点A∈平面?,则a??. ( ) (4) 平面?与平面?相交,它们只有有限个 ( ) 公共点.

练习: 判断下列命题是否正确:
(1) 经过三点确定一个平面. ( ×) (2) 经过同一点的三条直线确定一个平面. (×) (3) 若点A∈直线a,点A∈平面?,则a??. ( ) (4) 平面?与平面?相交,它们只有有限个 ( ) 公共点.

练习: 判断下列命题是否正确:
(1) 经过三点确定一个平面. ( ×) (2) 经过同一点的三条直线确定一个平面. (×) (3) 若点A∈直线a,点A∈平面?,则a??. (×) (4) 平面?与平面?相交,它们只有有限个 ( ) 公共点.

练习:判断下列命题是否正确:
(1) 经过三点确定一个平面. ( ×) (2) 经过同一点的三条直线确定一个平面. (×) (3) 若点A∈直线a,点A∈平面?,则a??. (×) (4) 平面?与平面?相交,它们只有有限个 (× ) 公共点.

练习: 判断下列命题是否正确:
(1) 经过三点确定一个平面. ( ×) (2) 经过同一点的三条直线确定一个平面. (×) (3) 若点A∈直线a,点A∈平面?,则a??. (×) (4) 平面?与平面?相交,它们只有有限个 (× ) 公共点. 练习 课本P.43练习第1、2、3、4题

1.用符号表示“点A在直线l上,l在平面 ? 外”,正确的 是( B ). A. A ? l , l ?? B. A ? l , l ? ? C. A ? l , l ? ? D. A ? l , l ?? 2.下面叙述中,正确的是( D ). A.因为 P ?? , Q ?? ,所以 PQ ?? B.因为P ?? , Q ? ? ,所以 ? ? ? ? PQ

C.因为 AB ? ? , C ? AB, D ? AB ,所以 CD ? ? D.因为 AB ? ? , AB ? ? ,所以 A ? ?? ? ? ? 且B ? ?? ? ? ?

3.请指出下列说法是否正确,并说明理由: ⑴平面 ? 与平面 ? 若有公共点,就不止一个; 正确 ⑵因为平面型斜屋面不与地面相交,所以屋面所在 的平面与地面不相交. 不正确

因为平面是可以无限延展的.
4.根据下列符号表示的语句,说出有关点、线、面的 关系,并画出图形.

(1) A ?? , B ?? (2)l ? ? , m ? ? (4) P ? l , P ?? , Q ? l , Q ?? (3)? ? ? ? l

5:用符号语言表示下列语句,并画出图形. ⑴直线l过平面? 内一点A,且过? 外两点B、C. ⑵平面? 与? 的交线为l,直线m在? 内,直线n 在 ? 内,且m、n与l分别交于点P、Q.

⑶平面? 与? 相交于直线l,直线m在 ? 内,直
线n在 ? 内,且m、n都与l平行.

练习6:根据下列条件作图:
(1) A∈?,a??,A∈a; (2) a ??,b??,c??,且a∩b=A, b∩c=B,c∩a=C.

课堂小结
1. 平面的概念,画法及表示方法; 2. 平面的性质及其作用; 3. 符号表示.

课后作业
1. 复习本节课内容;
2. 预习:同一平面内的两条直线有几种

位置关系?
3. 作业


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