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专题+正弦定理和余弦定理应用举例--讲义


主要考点梳理
正弦定理和余弦定理在实际生活中有许多应用,尤其是测量方面的应用。重点是测量距 离、测量高度、测量角度三个方面。 因为是实际问题,所以需要考虑测量方案的可行性,有情景和条件的限制,有些测量方 案中的量是无法测量出来的。

金题精讲
题一 题面:如图,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上 的 A,B,C 三点进行测量,已知

AB ? 50m , BC ? 120m , 于 A 处测得水深 AD ? 80m ,于 B 处测得水深 BE ? 200m , 于 C 处测得水深 CF ? 110m ,求∠DEF 的余弦值。

题二 题面:如图,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在 同 一 水 平 面 内 的 两 个 测 点 C 与 D . 现 测 得 并在点 C 测得塔顶 A ?BCD ? ?,?BDC ? ?,CD ? s , 的仰角为 ? ,求塔高 AB .

题三 题面:为了测量两山顶 M,N 间的距离,飞机沿水平方向在 A, B 两点进行测量, A, B,M, N 在同一个铅垂平面内(如 示意图) ,飞机能够测量的数据有俯角和 A,B 间的距离, 请设计一个方案,包括:①指出需要测量的数据(用字母表 示,并在图中标出) ;②用文字和公式写出计算 M,N 间的 距离的步骤。

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题四 题面:某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船 位于港口 O 北偏西 30° 且与该港口相距 20 海里的 A 处,并正以 30 海里/小时的航行速度沿正 东方向匀速行驶,经过 t 小时与轮船相遇。 (Ⅰ)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少? (Ⅱ)假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时,试设计航行方案(即确定航行方向和 航行速度的大小) ,使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由。

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课后拓展练习
注:此部分为老师根据本讲课程内容为大家精选的课下拓展题目,故不在课堂中讲解,请同 学们课下自己练习并对照详解进行自测. 题一 题面: 如图,飞行员训练的跳伞塔 CD 高 h m,在塔顶 C 测得地面上有两点 A、 B 的俯角分别是 α、 β, 又测得∠ ADB=γ, 求 AB 的长.

题二 题面:某渔轮在航行中不幸遇险,发出呼救信号,我军舰艇在 A 处获悉后,立即测出该渔轮 在方位角为北偏东 45° 距离为 10 n mile 的 C 处,并测得渔轮正沿方位角为北偏东 105° 的方向, 以 9n mile/h 的速度向小岛靠拢,我海军舰艇立即以 21n mile/h 的速度前去营救,求舰艇的航 向和靠近渔轮所需的时间。

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题三 题面: 一人见一建筑物 A 在正北方向,另一建筑物 B 在北偏西 300 方向,此人向北偏西 700 方向行走 3km 后,看见 A 在其北偏东 560 方向,B 在其北偏东 740 方向,试求此两个建筑物的 距离。 (精确到 10m)

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讲义参考答案
金题精讲
题一 答案: 题二 答案: AB ? 题三

16 65

s ? tan ? sin ? sin(? ? ? )

答案: 题四 答案: (Ⅰ) 30 3 海里/小时; (Ⅱ)航行方向为北偏东 30 ,航行速度为 30 海里/小时,小艇 能以最短时间与轮船相遇。
?

课后拓展练习
题一
2 2 答案: AB ? h cot ? ? cot ? ? 2 cot ? ? cot ? ? cot ? .

详解: 由条件知, BD ? h cot ? , AD ? h cot ? .

? AB ? AD 2 ? BD 2 ? 2 AD ? BD cos ? ? h cot 2 ? ? cot 2 ? ? 2cot ? ? cot ? ? cot ?

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题二 答案:航向约为北偏东 66.8°;舰艇须

2 h 靠近渔轮. 3

详解:设所需时间为 t h,则 AB=21t,CB=9t,在△ABC 中, 根据余弦定理有

AB2 ? AC 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC cos120 ,
∴ 21 t ? 10 ? 81t ? 2 ? 10 ? 9t ?
2 2 2 2

1 ,整理得 2 2 5 2 或t ? ? (舍去). 舰艇须 h 靠 3 12 3

36t 2 ? 9t ? 10 ? 0,? (12t ? 5)(3t ? 2) ? 0 ,解得 t= t ?

近渔轮.此时 AB2 ? 196, BC 2 ? 36,? AB ? 14, BC ? 6 . 由正弦定理:

BC AB ? , sin ?CAB sin120

sin ?CAB ?

6?

3 2 ? 3 3 ,??CAB ? 21.8 . 航向约为北偏东 21.8°+45°=66.8°. 14 14

题三 答案:1630m. 详解:如图所示,在 △ BCO 中,∠ BOC=70° -30° =40° , ∠ BCO=(180° -70° ) -74° =36° . ∠ CBO=180° -40° -36° =104° . 由正弦定理得,

CO BO 3sin 36 ? ,? BO ? . sin104 sin 36 sin104

在△ AOC 中, ∠ AOC=70° , ∠ CAO=56° , ∴ ∠ ACO=54° . 由 正弦定理得, △ AOB 中

CO AO 3sin 54 ? ,? AO ? .在 sin 56 sin 54 sin 56
, 由 余 弦 定 理 知 :

AB ? AO2 ? BO2 ? 2 ? AO ? BO ? cos30 ? 1630 (m).

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