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第一章 集合与函数概念 章末检测 (人教A版必修1)


第一章

章末检测

(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.下列说法正确的是( ) A.很小的实数可以构成集合 B.集合{y|y=x2-1}与集合{(x,y)|y=x2-1}是同一个集合 C.自然数集 N 中最小的数是 1 D.空集是任何集合的子集 2.设集合 U={

1,2,3,4,5},M={1,2,3},N={2,5},则 M∩(?UN)等于( ) A.{2} B.{2,3} C.{3} D.{1,3} 3.下列集合不同于其他三个集合的是( ) A.{x|x=1} B.{y|(y-1)2=0} C.{x=1} D.{1} 4.设 A={x|1<x<2},B={x|x<a},若 A?B,则实数 a 的取值范围是( ) A.{a|a≥2} B.{a|a≤1} C.{a|a≥1} D.{a|a≤2} 5.函数 y=f(x)的图象与直线 x=2 的公共点有( ) A.0 个 B.1 个 C.0 个或 1 个 D.不能确定 f?x?-f?-x? 6. 设奇函数 f(x)在(0, +∞)上为增函数, 且 f(1)=0, 则不等式 <0 的解集为( ) x A.(-1,0)∪(1,+∞) B.(-∞,-1)∪(0,1) C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-1,0)∪(0,1) 7.已知函数 y=x2 的值域是[1,4],则其定义域不可能是( ) 3 ? A.[1,2] B.? C.[-2,-1] D.[-2,-1]∪{1} ?-2,2? ?x ?x≥0? ? 8.已知函数 f(x)=? 2 , ?x ?x<0? ? 则 f(f(-2))的值是( ) A.2 B.-2 C.4 D.-4 9.若 φ(x),g(x)都是奇函数,f(x)=aφ(x)+bg(x)+2 在(0,+∞)上有最大值 5,则 f(x)在 (-∞,0)上有( ) A.最小值-5 B.最大值-5 C.最小值-1 D.最大值-3 2 10.如果函数 f(x)=x +bx+c 对任意实数 x 都有 f(2+x)=f(2-x),那么( ) A.f(2)<f(1)<f(4) B.f(1)<f(2)<f(4) C.f(2)<f(4)<f(1) D.f(4)<f(2)<f(1) 1+x2 11.已知函数 f(x)= ,则有( ) 1-x2 1 A.f(x)是奇函数,且 f( )=-f(x) x 1 B.f(x)是奇函数,且 f( )=f(x) x 1 C.f(x)是偶函数,且 f( )=-f(x) x 1 D.f(x)是偶函数,且 f( )=f(x) x 12.设 f(x)是 R 上的偶函数,且在(-∞,0)上为减函数,若 x1<0,且 x1+x2>0,则( ) A.f(x1)>f(x2) B.f(x1)=f(x2) C.f(x1)<f(x2) D.无法比较 f(x1)与 f(x2)的大小 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)

1 的定义域为______. 2-x 2 14.设函数 f(x)={2,x>0,?x +bx+c,x≤0. 若 f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则 f(x)的解析式是____________________. 15.若函数 f(x)=x2+2(a-1)x+2 在[-4,4]上是单调函数,那么实数 a 的取值范围是 ________. 16.已知 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,并且 f(x)+g(x)=x+1,则 f(x)=________,g(x) =________(填函数解析式). 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分) 17.(12 分)已知集合 A={x|2≤x≤8},B={x|1<x<6},C={x|x>a},U=R. (1)求 A∪B,(?UA)∩B; (2)若 A∩C≠?,求 a 的取值范围. 13.函数 y= x+1+

18.(12 分)已知集合 A={x||x-a|=4},集合 B={1,2,b}. (1)是否存在实数 a, 使得对于任意实数 b 都有 A?B?若存在, 求出对应的 a; 若不存在, 试说明理由; (2)若 A?B 成立,求出对应的实数对(a,b).

19.(12 分)已知 a,b 为常数,且 a≠0,f(x)=ax2+bx,f(2)=0,方程 f(x)=x 有两个相 等实根. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)当 x∈[1,2]时,求 f(x)的值域; (3)若 F(x)=f(x)-f(-x),试判断 F(x)的奇偶性,并证明你的结论.

20.(12 分)函数 f(x)=4x2-4ax+a2-2a+2 在区间[0,2]上有最小值 3,求 a 的值.

21.(12 分)为减少空气污染,某市鼓励居民用电(减少燃气或燃煤).采用分段计费的方 法计算电费.每月用电不超过 100 度时,按每度 0.57 元计算,每月用电量超过 100 度 时,其中的 100 度仍按原标准收费,超过的部分每度按 0.5 元计算. (1)设月用电 x 度时,应交电费 y 元.写出 y 关于 x 的函数关系式; (2)小明家第一季度交纳电费情况如下: 月份 一月 交费金额 76 元 问小明家第一季度共用电多少度? 二月 63 元 三月 45.6 元 合计 184.6 元

22.(14 分)已知函数 f(x)的定义域为(-2,2),函数 g(x)=f(x-1)+f(3-2x). (1)求函数 g(x)的定义域; (2)若 f(x)是奇函数,且在定义域上单调递减,求不等式 g(x)≤0 的解集.

第一章

章末检测

答案

1.D 2.D [?UN={1,3,4},M∩(?UN)={1,2,3}∩{1,3,4}={1,3}.] 3.C [A、B、D 都表示元素是 1 的集合,C 表示元素为“x=1”的集合.] 4.A [如图所示, ∴a≥2.] 5.C [如果 x=2 与函数 y=f(x)有公共点,则只有一个公共点,因为自变量取一个值只 对应一个函数值;若无交点,则没有公共点,此时的 x=2 不在 y=f(x)的定义域内.] 6.D [∵f(x)为奇函数,∴f(x)=-f(-x), f?x?-f?-x? 2f?x? ∴ = <0, x x ? ? ?f?x?<0, ?f?x?>0, 即? 或? ?x<0. ?x>0, ? ? 因为 f(x)是奇函数且在(0,+∞)上是增函数, 故 f(x)在(-∞,0)上是增函数. 由 f(1)=0 知 f(-1)=0, ?f?x?<0, ?f?x?<f?1?, ? ? ∴? 可化为? ? ? ?x>0, ?x>0, ∴0<x<1; ?f?x?>0, ?f?x?>f?-1?, ? ? ? 可化为? ? ? ?x<0, ?x<0, ∴-1<x<0.] 7.B 8.C [∵x=-2<0,∴f(-2)=(-2)2=4, 又 4>0,∴f(f(-2))=f(4)=4.] 9.C [由已知对任意 x∈(0,+∞), f(x)=aφ(x)+bg(x)+2≤5. 对任意 x∈(-∞,0),则-x∈(0,+∞), 且 φ(x),g(x)都是奇函数, 有 f(-x)=aφ(-x)+bg(-x)+2≤5. 即-aφ(x)-bg(x)+2≤5, ∴aφ(x)+bg(x)≥-3. ∴f(x)=aφ(x)+bg(x)+2≥-3+2 =-1.] 10.A [由已知 x=2 是 f(x)的对称轴且 f(x)开口向上, ∴f(1)=f(3)且当 x>2 时,f(x)为增函数,∴f(2)<f(1)<f(4).] 11.C [由 1-x2≠0,得 x≠± 1,定义域关于原点对称, 2 2 1+?-x? 1+x f(-x)= = =f(x), 1-?-x?2 1-x2 ∴f(x)是偶函数, 1 1+ 2 x x2+1 1 ∴f( )= = =-f(x).] x 1 x2-1 1- 2 x 12.C [由题意可知:-x2<x1<0, 又 f(x)在(-∞,0)上为减函数, ∴f(-x2)>f(x1), 又 f(x)是 R 上的偶函数,

∴f(-x2)=f(x2),∴f(x2)>f(x1).] 13.[-1,2)∪(2,+∞) ? ?x+1≥0 解析 由题意知? , ?2-x≠0 ? ∴x≥-1 且 x≠2. ? ?2,x>0, 14.f(x)=? 2 ?x +4x+2,x≤0 ?
?16-4b+c=c ?b=4, ? ? 解析 由题意,得? ?? ? ? ?4-2b+c=-2 ?c=2, ? ?2,x>0, ∴f(x)=? 2 ?x +4x+2,x≤0. ? 15.a≥5 或 a≤-3 解析 由 f(x)的对称轴为 x=1-a, ∴1-a≤-4 或 1-a≥4 解得 a≥5 或 a≤-3. 16.x 1 解析 由已知 f(x)+g(x)=x+1,① ∴f(-x)+g(-x)=-x+1, 即-f(x)+g(x)=-x+1.② 由①-②,得 f(x)=x,由①+②,得 g(x)=1. 17.解 (1)A∪B={x|2≤x≤8}∪{x|1<x<6}={x|1<x≤8}. ∵?UA={x|x<2 或 x>8}, ∴(?UA)∩B={x|1<x<2}. (2)∵A∩C≠?,∴a<8. 18.解 (1)设存在实数 a,使得对任意的实数 b,都有 A?B,则当且仅当 1、2 都是 A 中的元素. ? ?a+4=2 ∵A={a+4,a-4},∴? , ?a-4=1 ? 这都不可能,∴这样的实数 a 不存在. (2)因为 A?B 成立,于是有 ? ? ? ? ?a-4=1 ?a-4=2 ?a-4=b ?a-4=b ? 或? 或? 或? , ?a+4=b ?a+4=b ?a+4=1 ?a+4=2 ? ? ? ? ? ? ? ? ?a=5 ?a=6 ?a=-3 ?a=-2 解得? 或? 或? 或? . ? ? ? ? ?b=9 ?b=10 ?b=-7 ?b=-6 ∴实数对为(5,9)、(6,10)、(-3,-7)、(-2,-6). 19.解 (1)已知 f(x)=ax2+bx. 由 f(2)=0,得 4a+2b=0, 即 2a+b=0.① 方程 f(x)=x,即 ax2+bx=x,即 ax2+(b-1)x=0 有两个相等实根,且 a≠0, 1 ∴b-1=0,∴b=1,代入①得 a=- . 2 1 2 ∴f(x)=- x +x. 2 1 1 (2)由(1)知 f(x)=- (x-1)2+ . 2 2 显然函数 f(x)在[1,2]上是减函数, 1 ∴x=1 时,ymax= ,x=2 时,ymin=0. 2

1 ∴x∈[1,2]时,函数的值域是[0, ]. 2 (3)∵F(x)=f(x)-f(-x) 1 1 - ?-x?2+?-x?? =(- x2+x)-? ? 2 ? 2 =2x, ∴F(x)是奇函数. 证明如下: ∵F(-x)=2(-x)=-2x=-F(x), ∴F(x)=2x 是奇函数. a 20.解 ∵f(x)=4(x- )2-2a+2, 2 a ①当 ≤0,即 a≤0 时,函数 f(x)在[0,2]上是增函数. 2 ∴f(x)min=f(0)=a2-2a+2. 由 a2-2a+2=3,得 a=1± 2. ∵a≤0,∴a=1- 2. a ②当 0< <2,即 0<a<4 时, 2 a f(x)min=f( )=-2a+2. 2 1 由-2a+2=3,得 a=- ?(0,4),舍去. 2 a ③当 ≥2,即 a≥4 时,函数 f(x)在[0,2]上是减函数, 2 f(x)min=f(2)=a2-10a+18. 由 a2-10a+18=3,得 a=5± 10. ∵a≥4,∴a=5+ 10. 综上所述,a=1- 2或 a=5+ 10. 21.解 (1)当 0≤x≤100 时,y=0.57x; 当 x>100 时,y=0.5×(x-100)+0.57×100=0.5x-50+57=0.5x+7. ∴所求函数式为 ?0.57x ?0≤x≤100?, ? y=? ?0.5x+7 ?x>100?. ? (2)据题意, 一月份:0.5x+7=76,∴x=138(度), 二月份:0.5x+7=63,∴x=112(度), 三月份:0.57x=45.6,∴x=80(度). 所以第一季度共用电:138+112+80=330(度). 答 小明家第一季度共用电 330 度. ?-2<x-1<2, ? 22.解 (1)由题意可知? ? ?-2<3-2x<2, -1<x<3, ? ? 1 5 ∴?1 . 解得 <x< . 5 2 2 ? ?2<x<2 1 5? 故函数 g(x)的定义域为? ?2,2?. (2)由 g(x)≤0,得 f(x-1)+f(3-2x)≤0, ∴f(x-1)≤-f(3-2x). ∵f(x)为奇函数,

∴f(x-1)≤f(2x-3). 而 f(x)在(-2,2)上单调递减, x-1≥2x-3, ? ? 1 ∴?1 解得 <x≤2. 5 2 < x < . ? ?2 2 1 ? ∴g(x)≤0 的解集为? ?2,2?.


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