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江苏省南通市2013届高三第二次调研测试数学及参考答案


南通市 2013 届高三第二次调研测试数学参考答案及评分建议 数 学 I
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答卷卡的相应位置上 . ......... uuu r uuu r uur 1. 在平面直角坐标系中,已知向量 AB = (2,1),向量 AC = (3,5),则向量 BC 的坐标为 ▲ . 【答案】 (1,4) 2.

设集合 A ? x x2 ? 2 x ? 3≤0 , B ? x x2 ? 5x≥0 ,则 A I ? ?R B ? ? 【答案】 ? 0,3? 3. 设复数 z 满足| z | = | z-1 | = 1,则复数 z 的实部为 ▲ . 【答案】 1 2 4. 设 f (x)是定义在 R 上的奇函数,当 x < 0 时,f (x)=x + ex(e 为自然对数的底数) ,则 f ? ln6 ? 的 值为 ▲ . 【答案】 ln 6 ? 1 6 5. 某篮球运动员在 7 天中进行投篮训练的时间(单位:分钟)用茎叶图表示(如图) ,图中左列 表示训练 时间的十位数, 右列表示训练时间的个位数, 则该运动员这 7 天的平均训练时间为 【答案】72 6 457 7 25 8 01
(第 5 题)

?

?

?

?

▲ .

▲ 分钟.

S←0 For I From 1 to 28 Step 3 S←S +I End For Print S
(第 6 题)

6. 根据如图所示的伪代码,最后输出的 S 的值为 ▲ 【答案】145



7. 在平面直角坐标系 xOy 中,设椭圆与双曲线 y 2 ? 3x 2 ? 3 共焦点,且经过点 的离心率为 ▲ . 【答案】 2 2

?

2,2 ,则该椭圆

?

8. 若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开,其展开图是半径为 2 cm 的半圆,则该圆锥的高为 ▲ cm.

【答案】 3 9. 将函数 y ? 2sin π x 的图象上每一点向右平移 1 个单位,再将所得图象上每一点的横坐标扩大 3 为原来的 π 3 倍(纵坐标保持不变) ,得函数 y ? f ( x) 的图象,则 f ( x) 的一个解析式为 ▲ . 【答案】 y ? 2sin x ? π 3

?

?

10.函数 f ( x) ? ( x ? 1)sin πx ? 1(?1 ? x ? 3) 的所有零点之和为 ▲ . 【答案】 4 11. 设 ?,? ? ? ?,?? ,且 sin(? ? ? ) ? 5 , tan ? ? 1 .则 cos ? 的值为 ▲ . 2 2 13 【答案】 ? 16 65 12. 设数列{an}满足: a3 ? 8, ? an?1 ? an ? 2?? 2an?1 ? an ? ? 0(n? N* ) ,则 a1 的值大于 20 的概率为 ▲ . 【答案】 1 4 13.设实数 x1,x2,x3,x4,x5 均不小于 1,且 x1· x2· x3· x4· x5=729,则 max{x1x2,x2x3,x3x4,x4x5}的 最小值是 【答案】9
1) ,B,C 是函数 y ? 1 ( x ? 0) 图象上的两点,且△ABC 为 14.在平面直角坐标系 xOy 中,设 A(?1, x

▲ .

正三角形,则△ABC 的高为 ▲ . 【答案】2

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 请把答案写在答题卡相应的位置上 . 解答时应写出文字 ......... 说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分) 已知△ABC 的内角 A 的大小为 120°,面积为 3 . (1)若 AB ? 2 2 ,求△ABC 的另外两条边长;
uuu r uuu r (2)设 O 为△ABC 的外心,当 BC ? 21 时,求 AO ? BC 的值.

【解】 (1)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 于是 3 ? 1 bc sin A ? 3 bc ,所以 bc=4. ???????????3 分 2 4 因为 c ? AB ? 2 2 ,所以 b ? CA ? 2 . 由余弦定理得 BC ? a ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? b2 ? c2 ? 4 ? 2 ? 8 ? 4 ? 14 . ??6 分 (2)由 BC ? 21 得 b2 ? c 2 ? 4 ? 21 ,即 b2 ? 16 ? 17 ? 0 ,解得 b ? 1 或 4.???8 分 b2
uuu r uuu r uuu r 设 BC 的中点为 D,则 AO ? AD ? DO , uuu r uuu r 因为 O 为△ABC 的外心,所以 DO ? BC ? 0 ,

uuu r uuu r uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r uu u r 2 2 于是 AO ? BC ? AD ? BC ? 1 AB ? AC ? AC ? AB ? b ? c .??12 分 2 2 uuu r uuu r b2 ? c 2 所以当 b ? 1 时, c ? 4 , AO ? BC ? ? ? 15 ; 2 2 uuu r uuu r 2 2 当 b ? 4 时, c ? 1 , AO ? BC ? b ? c ? 15 .????14 分 2 2

?

??

?

16.(本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAB ? 平面 ABCD ,BC//平面 PAD, ?PBC ? 90? ,
?PBA ? 90? .求证:

(1) AD // 平面 PBC ; (2)平面 PBC ? 平面 PAB . 【证】 (1)因为 BC//平面 PAD, 而 BC ? 平面 ABCD,平面 ABCD I 平面 PAD = AD, 所以 BC//AD. ??????????3 分 因为 AD ? 平面 PBC,BC ? 平面 PBC, 所以 AD // 平面 PBC .??????????????6 分 B

P

A

D

C
(第 16 题)

(2)自 P 作 PH ? AB 于 H,因为平面 PAB ? 平面 ABCD ,且平面 PAB I 平面 ABCD =AB, P 所以 PH ? 平面 ABCD .???????????????9 分 因为 BC ? 平面 ABCD,所以 BC ? PH. 因为 ?PBC ? 90? ,所以 BC ? PB, 而 ?PBA ? 90? ,于是点 H 与 B 不重合,即 PB I PH = H. H B C A D

因为 PB,PH ? 平面 PAB,所以 BC ? 平面 PAB.????12 分 因为 BC ? 平面 PBC,故平面 PBC ? 平面 PAB.????????? 14 分 17. (本小题满分 14 分) 为稳定房价,某地政府决定建造一批保障房供给社会.计划用 1 600 万元购得一块土地,在该 土地上建 造 10 幢楼房的住宅小区,每幢楼的楼层数相同,且每层建筑面积均为 1 000 平方米,每平方 米的建筑 费用与楼层有关,第 x 层楼房每平方米的建筑费用为(kx+800)元(其中 k 为常数) .经测算, 若每幢楼为 5 层,则该小区每平方米的平均综合费用为 1 270 元. 购地费用+所有建筑费用 (每平方米平均综合费用= ). 所有建筑面积 (1)求 k 的值; (2)问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低,应将这 10 幢楼房建成多少层?此时 每平方米 的平均综合费用为多少元? 【解】 (1)如果每幢楼为 5 层,那么所有建筑面积为 10×1 000×5 平方米,所有建筑费用为 [(k +800)+(2k +800)+(3 k +800)+(4k+800)+(5k +800)]×1 000×10,所以,????3 分 16 000 000+[(k +800)+(2k +800)+(3k +800)+(4k+800)+(5k +800)]×1 000×10 1 270= , 10×1 000×5 解之得:k=50.??????6 分 (2)设小区每幢为 n(n∈N*)层时,每平方米平均综合费用为 f (n),由题设可知 16 000 000+[(50 +800)+(100 +800)+?+(50n +800)]×1 000×10 f (n) = 10×1 000×n 1 600 = +25n+825≥2 1 600×25+825=1 225 (元). n ??????10 分

1 600 当且仅当 =25n,即 n=8 时等号成立.??????????12 分 n 答:该小区每幢建 8 层时,每平方米平均综合费用最低,此时每平方米平均综合费用为 1 225 元. ???14 分

18. (本小题满分 16 分) 已知函数 f (x)=(m-3)x3 + 9x. (1)若函数 f (x)在区间(-∞,+∞)上是单调函数,求 m 的取值范围; (2)若函数 f (x)在区间[1,2]上的最大值为 4,求 m 的值. 【解】 (1)因为 f ? (0)=9 > 0,所以 f (x)在区间 ? ??, ? ? ? 上只能是单调增函数. ?3 分 由 f ? (x)=3(m-3)x2 + 9≥0 在区间(-∞,+∞)上恒成立,所以 m≥3. 故 m 的取值范围是[3,+∞) . ?????6 分 (2)当 m≥3 时,f (x)在[1,2]上是增函数,所以[f (x)] max=f (2)=8(m-3)+18=4, 5 解得 m= <3,不合题意,舍去. ??????????8 分 4 当 m<3 时, f ? (x)=3(m-3) x2 + 9=0,得 x ? ? 所以 f (x)的单调区间为: ??, ? 单调减. ??????????????10 分 ①当 单调增, 5 [f (x)] max =f(2)=8(m-3)+18=4,m= ,不满足题设要求. 4 ②当 1 ? ③当

?

3 单调减, ? 3 , 3 单调增, 3? m 3? m 3? m

?

3 . 3? m

?

?

?

3 , ?? 3? m

?

3 ≥2 ,即 9 ≤m ? 3 时, [1 3 , 3 ? ,所以 f (x)在区间[1,2]上 , 2] ? ? ? 4 3? m 3? m 3? m?

?

3 ? 2 ,即 0<m< 9 时,[f (x)] ? f max 4 3? m

?

3 ? 0 ? 4 舍去. 3? m

?

3 ≤ 1 ,即 m≤0 时,则 [1, 2] ? 3? m

?

3 , ? ?? ,所以 f (x)在区间[1,2]上单调减, ? 3? m ?

[f (x)] max =f (1)=m + 6=4,m=-2. 综上所述:m=-2.??????????16 分

19. (本小题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C:x2+y2=r2 和直线 l:x=a(其中 r 和 a 均为常数,且 0 < r < a) , M 为 l 上一动点,A1,A2 为圆 C 与 x 轴的两个交点,直线 MA1,MA2 与圆 C 的另一个交点分 别为 P、Q.

(1)若 r=2,M 点的坐标为(4,2),求直线 PQ 方程; (2)求证:直线 PQ 过定点,并求定点的坐标. 【解】 (1)当 r=2,M(4,2),则 A1(-2,0),A2(2,0).
? x 2 ? y 2 ? 4, 直线 MA1 的方程:x-3y+2=0,解 ? 得 P 8 ,6 .??????2 分 5 5 ?x ? 3y ? 2 ? 0 ? x 2 ? y 2 ? 4, 直线 MA2 的方程:x-y-2=0,解 ? 得 Q ? 0, ? 2? . ??????4 分 ?x ? y ? 2 ? 0

? ?

由两点式,得直线 PQ 方程为:2x-y-2=0. ?????????6 分 (2)证法一:由题设得 A1(-r,0),A2(r,0) .设 M(a,t), 直线 MA1 的方程是:y = t t (x+r),直线 MA1 的方程是:y = (x-r) .????8 分 a+r a-r

? x 2 ? y 2 ? r 2, r (a ? r )2 ? rt 2 2tr (a ? r ) ? , 解? 得P .??????10 分 2 2 t ( a ? r ) ? t ( a ? r )2 ? t 2 y? (x ? r) ? a?r ?

?

?

? x 2 ? y 2 ? r 2, rt 2 ? r (a ? r )2 2tr (a ? r ) ? Q ,? 解? 得 . ????12 分 2 2 t (x ? r) ( a ? r ) ? t ( a ? r )2 ? t 2 y ? ? a?r ?

?

?

于是直线 PQ 的斜率 kPQ= 直线 PQ 的方程为 y ?

2at , a -t2-r2
2

2tr (a ? r ) r (a ? r ) 2 ? rt 2 2at ? x ? . ??14 分 (a ? r )2 ? t 2 a 2 ? t 2 ? r 2 (a ? r ) 2 ? t 2

?

?

2 r2 上式中令 y = 0,得 x= ,是一个与 t 无关的常数.故直线 PQ 过定点 r ,0 .?16 分 a a

?

?

证法二:由题设得 A1(-r,0),A2(r,0) .设 M(a,t), t 直线 MA1 的方程是:y= (x+r),与圆 C 的交点 P 设为 P(x1,y1) . a+r t 直线 MA2 的方程是:y= (x-r);与圆 C 的交点 Q 设为 Q(x2,y2) . a-r 则点 P(x1,y1) ,Q(x2,y2)在曲线[(a+r)y-t(x+r)] [(a-r)y-t(x-r)]=0 上,?10 分 化简得 (a2-r2)y2-2ty(ax-r2)+t2(x2-r2)=0. ①

又有 P(x1,y1) ,Q(x2,y2)在圆 C 上,圆 C:x2+y2-r2=0.② ① -t2×②得 (a2-r2)y2-2ty(ax-r2)-t2(x2-r2) -t2( x2+y2-r2)=0,

化简得:(a2-r2)y-2t(ax-r2) -t2 y=0. 所以直线 PQ 的方程为(a2-r2)y-2t(ax-r2)-t2 y=0. ③ ????14 分

在③中令 y = 0 得 x =

2 r2 ,故直线 PQ 过定点 r ,0 .????16 分 a a

?

?

20. (本小题满分 16 分) 设无穷数列 ?an ? 满足: ?n ? Ν ? , an ? an?1 , an ? N? .记 bn ? aan, cn ? aan ?1 (n ? N* ) . (1)若 bn ? 3n(n ? N* ) ,求证: a1 =2,并求 c1 的值; (2)若 ?cn ? 是公差为 1 的等差数列,问 ?an ? 是否为等差数列,证明你的结论. 【解】 (1)因为 an ? N? ,所以若 a1 ? 1 ,则 aa1 ? a1 ? 3 矛盾, 若 a1≥3 ? aa1 ,可得 1 ≥a1≥3 矛盾,所以 a1 ? 2 . ?????4 分 于是 a2 ? aa1 ? 3 ,从而 c1 ? aa1 ?1 ? a3 ? aa2 ? 6 . ????7 分 (2) ?an ? 是公差为 1 的等差数列,证明如下: ????????9 分
an?1 ? an ? n≥2 时, an ? an?1 ,所以 an≥an ?1 ? 1 ? an≥am ? (n ? m) , (m ? n)

? aan?1 ?1≥aan ?1 ? an?1 ? 1 ? (an ? 1) ,????????13 分
≥an ?1 ? an ,又 an ?1 ? an≥1 , 即 cn?1 ? cn≥an?1 ? an ,由题设, 1

所以 an ?1 ? an ? 1,即 ?an ? 是等差数列.???????????16 分

数学 II(附加题)

21. (选做题)本大题包括 A,B,C,D 共 4 小题,请从这 4 题中选做 2 小题. 每小题 10 分,共 20 分.请在答题卡上准确填涂题目标记. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A. 选修 4-1:几何证明选讲 如图, AB 是⊙ O 的直径, C , F 是⊙ O 上的两点, OC ⊥ AB , 过点 F 作⊙ O 的切线 FD 交 AB 的延长线于点 D .连结 CF 交 C

AB 于点 E .
求证: DE 2 ? DB ? DA . 【证明】连结 OF. 因为 DF 切⊙O 于 F,所以∠OFD=90° . 所以∠OFC+∠CFD=90° . 因为 OC=OF,所以∠OCF=∠OFC. 因为 CO⊥AB 于 O,所以∠OCF+∠CEO=90° . 所以∠CFD=∠CEO=∠DEF,所以 DF=DE. 因为DF是⊙O的切线,所以DF2=DB· DA.所以DE2=DB· DA. ???10分 ?????5 分 F A O E B D

B. 选修 4-2:矩阵与变换

? m 0? 设 曲 线 2 x2 ? 2 xy ? y 2 ? 1 在 矩 阵 M ? ? ? ? m ? 0? 对 应 的 变 换 作 用 下 得 到 的 曲 线 为 ? n 1?

x2 ? y 2 ? 1 ,求矩阵 M 的逆矩阵 M ?1 .
【解】设曲线 2 x2 ? 2 xy ? y 2 ? 1 上任一点 P ( x, y ) 在矩阵 M 对应的变换下的像是 P ?( x ?, y ?) ,

? x? ? ? m 0? ? x ? ? mx ? ? x? ? mx, 由? ??? ,得 ? ?? ? ? ? ? ? y?? ? n 1 ? ? y ? ? nx ? y ? ? y? ? nx ? y,
因 为 P?( x?,y?) 在 圆 x 2 ? y 2 ? 1 上 , 所 以

? mx?

2

? ? nx ? y ? ? 1 , 化 简 可 得
2

(m2 ? n2 ) x2 ? 2nxy ? y 2 ? 1 .
??3 分 依 题 意 可 得 m2 ? n2 ? 2, 2n ? 2 , m ? 1,n ? 1 或 m ? ?1,n ? 1 而 由 m ? 0 可 得
m ? 1,n ? 1 .???6 分

?1 0? ? 1 0? 故M ?? , M ?1 ? ? ? ? .??????????????10 分 ?1 1? ? ?1 1 ?

C. 选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标 xOy 中,已知圆 C1 : x 2 ? y 2 ? 4 ,圆 C2 : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 . (1)在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别求圆 C1 , C2 的极坐标方程及 这两个圆的交点的极坐标; (2)求圆 C1与C2 的公共弦的参数方程. 【解】 (1)圆 C1 的极坐标方程为 ? =2 , 圆 C2 的极坐标方程为 ? ? 4cos? , 由

? ? ? 2, ? ? ? ? 4cos?



? =2,? ? ?

π 3

, 故 圆

C1,C2

交 点 坐 标 为 圆

, 2, ? π ? .???????5 分 ?2,π 3? ? 3
(2)由(1)得,圆 C1,C2 交点直角坐标为 (1, 3), (1, ? 3) , 故 圆

C1与C2





















? ? x ? 1, ???????????????10 分 ? ? ? y ? t (? 3≤t≤ 3).
注:第(1)小题中交点的极坐标表示不唯一;第(2)小题的结果中,若未注明参数范围, 扣 2 分. D.选修 4-5:不等式选讲 设正数 a,b,c 满足 a ? b ? c ? 1 ,求
1 ? 1 ? 1 的最小值. 3a ? 2 3b ? 2 3c ? 2

【解】因为 a,b,c 均为正数,且 a ? b ? c ? 1 ,所以 (3a ? 2) ? (3b ? 2) ? (3c ? 2) ? 9 . 于是

? 3a1? 2 ? 3b1? 2 ? 3c1? 2 ??(3a ? 2) ? (3b ? 2) ? (3c ? 2)?
≥33 1 (3 a ? 2 )b (? 3 2 c) ?( 3
3 ?3 (a 3? 2)

2b )? (3

c2 ?) ( 3 ? , 2)

9

当且仅当 a ? b ? c ? 1 时,等号成立. ?????????8 分 3 即
1 ? 1 ? 1 ≥1 ,故 1 ? 1 ? 1 的最小值为 1.????10 分 3a ? 2 3b ? 2 3c ? 2 3a ? 2 3b ? 2 3c ? 2

22. 必做题, 本小题 10 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, A1B ? 平面ABC , AB ? AC ,且 AB ? AC ? A1B ? 2 . (1)求棱 AA1 与 BC 所成的角的大小;

(2)在棱 B1C1 上确定一点 P,使二面角 P ? AB ? A1 的平面角的余弦值为 2 5 . 5 【解】 (1)如图,以 A 为原点建立空间直角坐标系, 则 C ? 2,, 0 0?,B ? 0,, 2 0?,A1 ? 0,, 2 2?,B1 ? 0,, 4 2? ,
C1 B1 A1

???? ??? ? ????? AA1 ? ? 0,, 2 2? , BC ? B1C1 ? ? 2, ? 2, 0? . ???? ??? ? ???? ??? ? AA1 ? BC ?4 1 cos? AA1,BC ? ? ???? ??? ?? , ? ? 2 8? 8 AA1 ? BC
故 AA1 与棱 BC 所成的角是 π . 3 (2)P 为棱 B1C1 中点, ????4 分

C B

A

(第 22 题)
C1 P B1 A1

z

???? ????? 设 B1P ? ? B1C1 ? ? 2?, 4 ? 2?, 2? . ? 2?,0? ,则 P ? 2?,
设平面 PAB 的法向量为 n1 ? ? x, y, z ? , AP= ? 2?, 4 ? 2?, 2? ,

??? ?

x C B A

??? ? ?n1 ? AP ? 0, ? x ? 3 y ? 2 z ? 0, ? z ? ?? x, ? 则 ? ??? ?? ?? ? ?2 y ? 0 ? y ? 0. ? ?n1 ? AB ? 0
故 n1 ? ?1 , 0, ? ? ? ?????????????????8 分 而平面 ABA1 的法向量是 n2=(1,0,0),则 cos? n1 , n2 ? ?

y

n1 ? n2 1 2 5 ? ? , 2 n1 ? n2 5 1? ?





??

1 2





P





B1C1















??????????????????10 分 P ?1,, 3 2? . 23.必做题, 本小题 10 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
() ? f x ()? ( f ?( x) 是函数 f ( x) 的导函数) 设 b>0, 函数 f ( x) ? 1 (ax ? 1) 2 ? 1 x ? 1 ln bx , 记 Fx , 2ab b b

且当 x = 1 时, F ( x) 取得极小值 2. (1)求函数 F ( x) 的单调增区间; (2)证明 ? F ( x)? ? F ( x n ) ≥2n ? 2 ? n ? N* ? .
n

【解】 (1)由题 F ( x) ? f ?( x) ? 1 ? 2(ax ? 1) ? a ? 1 ? 1 ? 1 ax ? 1 ,x ? 0,b ? 0 . 2ab b bx b x 于是 F' ( x) ? 1 a ? 12 ,若 a ? 0 ,则 F' ( x) ? 0 ,与 F ( x) 有极小值矛盾,所以 a ? 0 . b x

?

?

?

?

令 F' ( x) ? 0 ,并考虑到 x ? 0 ,知仅当 x ? 1 时, F ( x) 取得极小值. a

? 1 ? 1, ? 所以 ? a 解得 a ? b ? 1 .???????????????4 分 ? 1 (a ? 1) ? 2, ?b
? ?) . 故 F ( x) ? x ? 1 ( x ? 0) ,由 F ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 ,所以 F ( x) 的单调增区间为 (1, x

(2)因为 x ? 0 ,所以记 g ( x) ? ? F ( x)? ? F ( xn ) ? ? F ( x)? ? F ( xn ) ? x ? 1 x
n n

? ? ? ? x ? x1 ?
n n n

n ?1 1 n?2 n ?3 ?1 1 ? C1 ? ? C2 ? 12 ? C3 ? 13 ? ?????? ?Cn nx nx nx n x ? n ?1 x x x x

n?r 1 ?r r 1 因为 Cr ? ? Cn , 2, L ,n ? 1) , nx n x ? n ? r ≥2Cn (r ? 1 x x




n n ? F x) ≥ n

2g x ≥
?
*

1 n

(?

n

?

n

2 ?) ?????? ?

n? n

? 2

3n

?

(
2

, C

1

故C

C

?F (x ?

)分 ? n ? N (? .???10

2

南通市 2013 届高三第二次调研测试 数学Ⅰ讲评建议
→ → → 第 1 题 考查向量的坐标运算及向量减法的几何意义. BC = AC - AB =(1,4). 第 2 题 考查集合的运算,一元二次不等式及不等式组的解法.本题评讲时着重运算的精准与快 速. 第 3 题 考查复数的概念, 数形结合等数学思想.评讲时对复数的有关概念进行适当地疏理, 防止 学生出现知识盲点.
?a 2 ? b 2 ? 1 ? 法一:设 z=a+bi,由|z|=|z-1|=1 得 ? ,两式相 2 2 ? ?(a ? 1) ? b ? 1

y

减得.2 a=1, a ?

1 . 2

O

x

1 法二:如图,圆 x2+y2=1 与圆(x-1)2+y2=1 交点的横坐标为 . 2

第3题

法三: 由 z z =1, (z-1) ( z -1)=1 得 z+ z =1, 即 2 a=1,a ?

1 . 2

1 法四:|z|=1 则令 z=cosα+isinα,再有|z-1|=1 得,(cosα-1)2+sin2α=1,cosα= . 2

第,4 题 本题考查函数的奇函数的性质评讲时重点构造奇偶函数,考虑奇偶函数对称,由部分区 间的函数求出相应对称区间的函数.
1 法一: f ? ln6 ? =- f ? -ln6 ? =-(-ln6) -e-ln6=ln6- . 6 1 法二:当 x>0 时,f(x)=-f (- x)=x –e-x.所以, f ? ln6 ? =ln6-e-ln6=ln6- . 6

第 5 题 本题考查茎叶图的概念, 重在看懂所给的茎叶图.评讲时对统计的有关知识适当归纳总结 一 下,统计重在操作,记住解题的步骤,按照课本的要求步骤解题.计算本题时,适当讲一 些 算平均值的方法与技巧. 第 6 题 本题考查算法的概念,算法主要考查流程图与伪代码,复习时要求能看懂流程图与伪代 码就行,不宜过难过深. 第 7 题 本题考查圆锥曲线的几何性质.研究圆锥曲线的性质常用二种方法, 一是由方程研究曲线 的几何性质,二是由曲线的几何性质求曲线的方程.另外,在解题时,适当利用圆锥曲线 的定义可以取到“时半功倍”之效. 法一: 由题可得, 椭圆两焦点 F1(0,2), F1(0,-2), c=2, 2a= ( 2)2 ? 02 ? ( 2)2 ? 42 =4 2 , 即 a=2 2 .所以,离心率 e= 法二:设椭圆方程为:
2 . 2 2 . 2

4 ?2 2 ? x2 y 2 ?a ? 8 ? 2 ? 2 ?1 ,由题意得: ,解之得, ,c=2, ? ? 1 b a ? 2 ? b2 a 2 ? ?b ? 4 ?a 2 ? b 2 ? 4 ?

离心率 e=

第 8 题 本题是由课本上的习题改编,主要圆锥的底面半径、高与母线之间关系,旋转体的侧面 展开等知识. 由题设,圆锥的母线 l=2,底面半径 r=1,故其高 h= l 2 ? r 2 = 3 . 第 9 题 本题考查三角函数图象变换. 将函数 y ? 2sin π x 的图象上每一点向右平移 1 个单位得 3
y ? 2sin π ( x ? 1) ? 2sin( π x ? π ) ,将所得图象上每一点的横坐标扩大为原来的 π 倍(纵 3 3 3 3

坐标保持不变) ,则 y ? 2sin( π ? 3 x ? π ) ,即 y ? 2sin x ? π . 3 π 3 3 第 10 题 本题考查函数的零点,对称性质及数形结合等.原函数的零点可看作函数 f(x)=sinπx, g(x) =
1 的交点的横坐标, 因为 f(x) 与 g(x)均关于点(1,0)对称, 故 f(x)与 g(x)在(-1,3) x ?1

?

?

上的四个交点的横坐标之和为 4. 第 11 题 本题考查两角和与差的三角函数,三角函数的恒等变换等.
? 2 tan 1 2 ? 1 ? 4 , cos ? ? 3 , 法一:由 tan ? 得, sin ? ? ? 1 5 2 2 5 1 ? tan 2 1? 2 4

?

由 sin(? ? ? ) ?

π 5 12 ? sin ? ,? , ? ? (0,π) , ? ? ? ? (0, ) ,所以 cos(? ? ? ) ? ? . 2 13 13

cos ? ? cos[(? ? ? ) ? ? ] ? cos(? ? ? ) cos ? ? sin(? ? ? )sin ? = ? 16 .

65

法二:由 tan

?
2

?

1 5 4 63 得, tan ? ? ,由法一可知, tan(? ? ? ) ? ? , tan ? ? ? . 2 12 3 16

cos ? ? ?

16 . 65 cos(? ? ? ) ? ? 12 13


cos

三 : 由





cos

? ??
2

?

26 26



cos

?
2

?

2 5 5



?
2

? cos(

? ??
2

? 7 130 ? )= 130 2
cos ? ? 2cos2

第 12 题

49 16 ?1 ? ? . 2 65 65 本题考查数列、递推数列,概率及分类讨论. ?1 ?

?

法一:由 a3 ? 8, ? an?1 ? an ? 2?? 2an?1 ? an ? ? 0(n ? N* ) 得 ? 6 ? a2 ??16 ? a2 ? ? 0, a2=16,或 a2=6
1 再由 a2=16,或 a2=6 及 ? a2 ? a1 ? 2?? 2a2 ? a1 ? ? 0 ,得 a1=32,14,12,4.故概率为 . 4 1 1 法二:由 ? an?1 ? an ? 2?? 2an?1 ? an ? ? 0(n ? N* ) ,得 a2=a1+2,或 a2= a1,a3=a2+2,或 a3= a2, 2 2 1 1 1 a3=a1+4,或 a3= a1+4,或 a3= a2,或 a3= (a1+2) .由 a3=8,得 a1=32,14,12,4.(下 2 4 2

略) 第 13 题 本题考查不等式的有关知识与方法. max{x1x2,x2x3,x3x4,x4x5}≥max{x1x2,x3x4,x4x5}≥ 3 x1 x2 x3 x42 x5 ≥ 3 729 x4 ≥9. 当 x1= x3= x5=9,x2= x4=1. 第 14 题 本题考查学生综合应用数学知识解决问题的能力.本题解法较多, 但有些解法计算繁琐, 下面介绍三个常规的简单的解法:

法一:设正三角形 ABC 的边长为 a,B(-1+acos(θ+30?),1+ asin(θ+30?)), C(-1+acos(θ-30?),1+ asin(θ-30?)) ,由 B、C 在 y=
1 上,所以 x

? a2 sin(2? ? 60?) ? a cos(? ? 30?) ? a sin(? ? 30?) ? 2 ? ?[(-1 ? a cos(? ? 30?)][1 ? a sin(? ? 30?)] ? 1 ? , ? ? 22 ? ?[(-1 ? a cos(? ? 30?)][1 ? a sin(? ? 30?)] ? 1 ? a sin(2? ? 60?) ? a cos(? ? 30?) ? a sin(? ? 30?) ? 2 ? ?2

两式相减得: 两式相加得: 由①、② a=

3 2 3 1 a cos2 ? -asim ? -acos ? =0,得 a= , cos ? ? sin ? 2 2
a2 2 sin 2? ? 3 cos? ? 3 sin ? ? 4 ,a sin2θ=4 2
4 3 .所以三角形的高为 2. 3

① ②

法二:将直角坐标系旋转 45?,则 A(0, 2 ),双曲线方程为: x2 ? y 2 ? 2 . 设 BC 的方程为:y=kx+b,联立 ?
? x2 ? y 2 ? 2 ? y ? kx ? b

,消去得:(1-k2)x2-2kbx-b2-2=0.

2kb ? x1 ? x2 ? ? kb b 1 ? 1? k 2 ,BC 中点 D( , ),而直线 AD 的方程是: y ? ? x ? 2 . ? 2 2 2 k 1? k 1? k ?x ? x ? ? 2 ? b 1 2 2 ? 1? k ?

所以,

2 2 b 1 kb =? ? (1 ? k 2 ) ,AD= ? 2 ,b ? 2 2 k 1? k 1? k 2 2

1 ? k 2 ,BC= 1 ? k 2 |x1-x2|

= 1? k 2

8(1 ? k 2 ) ? 4b 2 3 ,由△ABC 为正三角形,所以 AD= BC. ? k2=7. 2 |1 ? k | 2

故 AD=

2 2

1? k 2 =

2 2

1 ? 7 =2.

法三:提示,直接设 BC 直线方程为 y=kx+b,与双曲线 y ? 1 ( x ? 0) 联立,仿照解法二可 x 求得. 第 15 题 第(1)问考查正弦定理、余弦定理的简单应用,第(2)问综合考查数量积,关键是 uuu r uuu r 将 AO ? BC 转化,利用外心的性质,化为求 uuu r uuu r uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r uu u r AO ? BC ? AD ? BC ? 1 AB ? AC ? AC ? AB ,结合解三角题当 b ? 1 时, c ? 4 , ;当 2

?

??

?

b ? 4 时, c ? 1 , ,注意本题有两解。

第 16 题 主要考查线面平行和面面垂直的处理,本题中当 ?PBA ? 90? 时结论不成立, ?PBA 为锐 角,钝角均可。本题的辅助性的添加是解决立体几何的常用手段。 第 17 题 考查实际问题建立数学模型的能力,理清综合费用的表示,求出平均费用后,由待定系 数法求出常数。列式时注意单位要统一。本题还可以只计算一幢楼的平均成本。第(2)

由数列知识求得每平方米平均综合费用为 f (n),再由利用基本不等式可得最低费用,提 醒学生注意均值不等式求最值注意检验等号成立的条件一正、二定、三相等。最后作答。 第 18 题 (1)函数 f (x)单调,则 f ? (x)=3(m-3)x2+9=0 无解或有重根,m≥3 ,可总结推广函数在 (2)数形结合,问题转化为在闭区间的分类 ? ??,? ?? 上不单调(或单调)的充要条件; 讨论,当 m<3 时, f ? (x)=3(m-3) x2 + 9=0,得 x ? ? 讨论,本题属于常规题,难度中等。 第 19 题 本题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系,考察运算能力和推理论证能力.在解析 几何运算中,为了化简运算,常采用“设而不求” , “虚算”等. (1) 当 r=2,M(4,2),则 A1(-2,0),A2(2,0).直线 MA1 的方程:x-3y+2=0,直线 MA2 的方程:x+y-2=0,所以 P、Q 在曲线(x-3y+2)( x-y-2)+t(x2+y2-4)=0 上,当 t=-1 时, 2x-2y-2=0 为直线 PQ 的方程. (2)可利用平面几何知识,求直线 PQ 与 x 轴的交点 N 到原点的距离 ON 为定值. 第 20 题 本题考查等差数列的基本性质, 考查分析探究及逻辑推理的能力.第(2)小题也可用反证 法证明 an ?1 ? an ? 1.

3 ,然后对极值点的位置情形 3? m

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