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江苏省泰州中学2013-2014学年度第一学期高三数学试卷


江苏省泰州中学 2013-2014 学年度第一学期 高三数学考试试题
一、填空题 (请将答案填写在答题纸相应的位置) 1.设集合 A={1,2,3},B={2,4,6},则 A∩B=____▲______. 2.已知 i 是虚数单位,若

2013.8.31

=b+i(a,b

),则 ab 的值为____▲

______.

3.某射击选手连续射击 5 枪命中的环数分别为:9.7,9.9,10.1,10.2,10.1,则这组数据的方差为 ____▲______. 4.设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(a)>f(b),则 f(﹣a)____▲_____f(﹣b)(用 “>”或“<”填空). 5. 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知 = (3, ﹣1) , = (0, . 2) 若 ? =0, =λ ,

则实数 λ 的值为____▲______. 6.如右图,该程序运行后输出的结果为____▲______. 2 7.由命题“存在 x∈R,使 x +2x+m≤0”是假命题,求得 m 的取值范围是(a,+∞) , 则实数 a 的值是____▲______. 8.函数 f(x)=2sin( 9. 在集合{x|x= 的概率是____▲______. 10.设中心在原点的双曲线与椭圆 +y =1 有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该双曲线的 方程是____▲______. 3 2 11.已知点 A(1,1)和点 B(﹣1,﹣3)在曲线 C:y=ax +bx +d(a,b,d 为常数上,若曲线在点 3 2 A 和点 B 处的切线互相平行,则 a +b +d=____▲______. 12.(5 分)给出下列命题: (1)若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; (2)若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; (3)若两条平行直线中的一条垂直于直线 m,那么另一条直线也与直线 m 垂直; (4)若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中,所有真命题的序号为____▲______. 13.已知函数 f(x)= ,当 t∈[0,1]时,f(f(t))∈[0,1],则实数 t 的
2

),x∈[﹣π,0]的单调递减区间单间为____▲______. }中任取一个元素, 所取元素恰好满足方程 cosx=

取值范围是____▲______. 14.已知函数 f(x)=||x﹣1|﹣1|,若关于 x 的方程 f(x)=m(m∈R)恰有四个互不相等的实数根 x1, x2,x3,x4,则 x1x2x3x4 的取值范围是____▲______.

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文 ... 字说明、证明过程或演算步骤.)
15.在锐角△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 (b ? c ? a ) tan A ?
2 2 2

3bc.

(1)求角 A;

(2)若 a=2,求△ABC 面积 S 的最大值.

16.如图,四边形 ABCD 为矩形,平面 ABCD⊥平面 ABE,BE=BC,F 为 CE 上的一点,且 BF⊥平面 ACE. (1)求证:AE⊥BE; (2)求证:AE∥平面 BFD.

D

C

F A E B

17.有一座大桥既是交通拥挤地段,又是事故多发地段,为了保证安全,交通部门规 定.大桥上的车距 d (m) 与车速 v(km / h) 和车长 l (m) 的关系满足:d ? kv l ?
2

y
A

1 l( k 2
B
o

为正的常数),假定车身长为 4m ,当车速为 60(km / h) 时,车距为 2.66 个车身长. (1) 写出车距 d 关于车速 v 的函数关系式; (2) 应规定怎样的车速,才能使大桥上每小时通过的车辆最多? 18.给定圆 P : x ? y ? 2 x 及抛物线 S : y ? 4 x ,过圆心 P 作直线,此直线与上述
2 2 2

P
C

x

D

两曲线的四个交点,自上而下顺次记为 A、B、C、D ,如果线段 AB、BC、CD 的 长按此顺序构成一个等差数列,求直线的方程.

19.已知以 a 为首项的数列 ?an ? 满足: an ?1 ? ? (1)若 0< an ≤6,求证:0< an ?1 ≤6;

?an ? 3, an ? 3, ?2an , an ? 3.

(2)若 a,k∈N*,求使 an ? k ? an 对任意正整数 n 都成立的 k 与 a;

20.已知 P ? x, y ? 为函数 y ? 1 ? ln x 图象上一点,O 为坐标原点,记直线 OP 的斜率 k ? f ? x ? . (1)若函数 f ? x ? 在区间 ? m, m ? ? ? m ? 0 ? 上存在极值,求实数 m 的取值范围; (2)当 x ? 1 时,不等式 f ? x ? ?
n

? ?

1? 3?

t 恒成立,求实数的取值范围; x ?1
*

(3)求证:

? ln[i ? (i ? 1)] ? n ? 2 ? n ? N ? .
i ?1

江苏省泰州中学 2014 届高三数学摸底考试教师讲评参考 一、填空题
1.设集合 A={1,2,3},B={2,4,6},则 A∩B= {2} . 考点:交集及其运算. 专题:阅读型. 分析:直接运用交集概念求得结果. 解答:解:由集合 A={1,2,3},B={2,4,6},所以 A∩B={1,2,3}∩{2,4,6}={2}.故答案为 {2}. 点评:本题考查了交集及其运算,是会考题型,是基础题. 2.已知 i 是虚数单位,若 =b+i(a,b ),则 ab 的值为 ﹣3 .

考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:计算题. 分析:把给出的等式的左边利用复数的除法运算化简,然后利用复数相等的条件求出 a,b 的值,则 答案可求. 解答:解:由 ,得 .所以 b=3,a=﹣1.则 ab=(﹣1) × 3=﹣3.故答案为﹣3. 点评:本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数相等的条件,复数相等,当且仅当实部等 于实部,虚部等于虚部,是基础题. 3.某射击选手连续射击 5 枪命中的环数分别为:9.7,9.9,10.1,10.2,10.1,则这组数据的方差为 0.032 . 考点:极差、方差与标准差. 专题:概率与统计. 分析:先计算数据的平均数后,再根据方差的公式计算. 解答:解:数据 9.7,9.9,10.1,10.2,10.1 的平均数= =10, 方差=(0.09+0.01+0.01+0.04+0.01)=0.032. 故答案为:0.032. 2 点评:本题考查方差的定义.一般地设 n 个数据,x1,x2,…xn 的平均数为,则方差 S = [(x1﹣) 2 2 2 +(x2﹣) +…+(xn﹣) ],它反映了一组数据的波动大小,方差越大,波动性越大,反之 也成立. 4.设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(a)>f(b),则 f(﹣a) < f(﹣b)(用“>” 或“<”填空). 考点:函数奇偶性的性质. 专题:函数的性质及应用. 分析:根据奇函数的性质 f(﹣x)=﹣f(x)求解. 解答:解:根据奇函数的性质,f(﹣a)=﹣f(a),f(﹣b)=﹣f(b); ∵f(a)>f(b),∴﹣f(a)<﹣f(b),即 f(﹣a)<f(﹣b). 故答案是< 点评:本题考查函数的奇偶性.

5.在平面直角坐标系 xOy 中,已知 数 λ 的值为 2 .

=(3,﹣1),

=(0,2).若

?

=0,



,则实

考点:平面向量数量积的运算;平行向量与共线向量. 专题:计算题;平面向量及应用. 分析:根据向量 、 的坐标,得到 =(﹣3,3),设 =(m﹣3,n+1)=λ 解答:解:∵ ∴ 设 又∵ = =(3,﹣1), ﹣ =(﹣3,3) ? =﹣3m+3n=0…① =λ , =(m﹣3,n+1), =(0,2)

=(m,n)可得

?

=﹣3m+3n=0.而

,得到 m﹣3=0 且 n+1=2λ,两式联解即可得到实数 λ 的值.

=(m,n),可得

∴m﹣3=0 且 n+1=2λ…② 将①②联解,可得 m=﹣3,n=﹣3,λ=2 故答案为:2 点评:本题给出向量 、 的坐标,再 ? =0 且

=λ 的情况下求实数 λ 的值.着重考查了向 量的平行与垂直、平面向量数量积的运算性质等知识,属于基础题. 6.如图,该程序运行后输出的结果为 16 .

考点:循环结构. 专题:阅读型. 分析:根据流程图,先进行判定条件,满足条件则运行循环体,一直执行到不满足条件即跳出循环 体,求出此时的 b 即可. 解答:解:第一次运行得:b=2,a=2,满足 a≤3,则继续运行 第二次运行得:b=4,a=3,满足 a≤3,则继续运行 第三次运行得:b=16,a=2,不满足 a≤3,则停止运行 输出 b=16 故答案为:16 点评:本题主要考查了当型循环结构,循环结构有两种形式:当型循环结构和直到型循环结构,当 型循环是先判断后循环,直到型循环是先循环后判断,属于基础题. 2 7.由命题“存在 x∈R,使 x +2x+m≤0”是假命题,求得 m 的取值范围是(a,+∞) ,则实数 a 的值是 1 . 考点:一元二次不等式的解法.

专题:计算题. 2 分析:由题意知“任意 x∈R,使 x +2x+m>0”是真命题,由二次函数的性质得△<0,求出 m 的范围, 结合题意求出 a 的值. 2 解答:解:∵“存在 x∈R,使 x +2x+m≤0”是假命题, 2 ∴“任意 x∈R,使 x +2x+m>0”是真命题, ∴△=4﹣4m<0,解得 m>1, 故 a 的值是 1. 故答案为:1. 点评:本题考查了二次函数恒成立问题,即根据二次函数图象开口方向和判别式的符号,列出等价 条件求出对应的参数的范围. 8.函数 f(x)=2sin( ),x∈[﹣π,0]的单调递减区间单间为 .

考点:正弦函数的单调性. 专题:计算题;三角函数的图像与性质. 分析:由 x∈[﹣π,0]?z=x﹣ ∈[﹣ ,﹣ 即可求得答案. 解答:解:∵x∈[﹣π,0] ∴x﹣ 令 z=x﹣ ∈[﹣ ,﹣ ], ,﹣ ,﹣ 得: ],

],利用正弦函数 y=sinz 在[﹣

,﹣

]上单调递增,

,则 z∈[﹣

∵正弦函数 y=sinz 在[﹣ ∴由﹣ ﹣ ≤x﹣ ≤﹣

]上单调递增,

≤x≤0. )在 x∈[﹣π,0]的单调递增区间为[﹣ ,0].

∴函数 f(x)=2sin(x﹣ 故答案为[﹣ ,0].

点评:本题考查正弦函数的单调性,考查整体代入思想的应用,属于中档题. 9. 在集合 概率是 . 中任取一个元素, 所取元素恰好满足方程 的

考点:等可能事件的概率;空集的定义、性质及运算. 专题:计算题. 分析:本题考查的知识点是古典概型,由集合 素,然后我们分析各个元素,求出满足条件 即可得到结论. 解答:解:∵集合 而当 n=2 和 n=10 时,

中共有 10 个元 的基本事件个数,代入古典概型公式,

中共有 10 个元素

故满足条件

的基本事件个数为 2 的概率 P= =

故所取元素恰好满足方程

故答案为: 点评:古典概型要求所有结果出现的可能性都相等, 强调所有结果中每一结果出现的概率都相同. 弄 清一次试验的意义以及每个基本事件的含义是解决问题的前提,正确把握各个事件的相互关 系是解决问题的关键.解决问题的步骤是:计算满足条件的基本事件个数,及基本事件的总 个数,然后代入古典概型计算公式进行求解.
2

10.设中心在原点的双曲线与椭圆 的方程是 2x ﹣2y =1 .
2 2

+y =1 有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该双曲线

考点:双曲线的标准方程;椭圆的简单性质;双曲线的简单性质. 专题:计算题. 分析: 欲求双曲线方程,只需求出双曲线中的 a,b 的值即可,根据双曲线与椭圆

+y =1 有公共的

2

焦点,求出椭圆中的 c 值,也即双曲线中的 c 值,再求出椭圆中的离心率,因为椭圆与双曲 线的离心率互为倒数,所以可得双曲线中离心率,据此求出 a 值,再利用 a,b,c 之间的关 系式,就可得到双曲线的方程. 解答: 2 解:椭圆 +y =1 中 c=1 ∵中心在原点的双曲线与椭圆 ∴双曲线中 c=1, ∵椭圆 +y =1 的离心率为= ,
2 2 2 2

+y =1 有公共的焦点

2

,椭圆与双曲线的离心率互为倒数.

∴双曲线的离心率为 ∴双曲线中 a=

,b =c ﹣a =,b=
2 2

∴双曲线的方程为 2x ﹣2y =1 2 2 故答案为 2x ﹣2y =1. 点评:本题主要考查了椭圆,双曲线的标准方程以及性质的应用.

11.已知点 A(1,1)和点 B(﹣1,﹣3)在曲线 C:y=ax +bx +d(a,b,d 为常数上,若曲线在点 3 2 A 和点 B 处的切线互相平行,则 a +b +d= 7 . 考点:利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题:导数的综合应用. 分析:曲线在点 A 和点 B 处的切线互相平行得,f′(1)=f′(﹣1),再结合点在曲线上则点的坐标 适合方程建立方程组,解方程求出 a、b、d 值即可. 3 2 解答:解:设 f(x)═ax +bx +d, 2 ∵f′(x)=3ax +2bx,

3

2

∴f′(1)=3a+2b,f′(﹣1)=3a﹣2b. 根据题意得 3a+2b=3a﹣2b,∴b=0. 又点 A(1,1)和点 B(﹣1,﹣3)在曲线 C 上, ∴
3 2

解得:

a +b +d=7. 故答案为:7. 点评:此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率,是一道中档题. 12.给出下列命题: (1)若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; (2)若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; (3)若两条平行直线中的一条垂直于直线 m,那么另一条直线也与直线 m 垂直; (4)若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中,所有真命题的序号为 (1)、(3)、(4) . 考点:命题的真假判断与应用. 专题:证明题. 分析:根据面面垂直的判定定理,可判断(1);根据平面与平面平行的判定定理,可判断(2); 根据空间直线夹角的定义,可判断(3),根据面面垂直的性质定理及反证法,可判断(4) 解答:解:由面面垂直的判定定理可得若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂 直,故(1)正确; 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行,但两条直 线平行时,得不到平面平行,故(2)错误; 根据空间直线夹角的定义,可得两条平行直线与第三条直线的夹角相等,故若两条平行直线 中的一条垂直于直线 m,那么另一条直线也与直线 m 垂直,即(3)正确; 根据面面垂直的性质定理,若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线垂直的直线与另 一个平面也垂直,则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直,故(4) 正确 故真命题有(1)、(3)、(4)三个 故答案为:(1)、(3)、(4) 点评:本题以命题的真假判断为载体考查了空间直线与平面的位置关系,熟练掌握空间线面关系的 判定定理,性质定理及几何特征是解答的关键. 13.已知函数 当 t∈[0,1]时,f(f(t))∈[0,1],则实数 t 的取

值范围是



考点:函数与方程的综合运用. 专题:计算题;不等式的解法及应用. 分析:通过 t 的范围,求出 f(t)的表达式,判断 f(t)的范围,然后代入已知函数,通过函数的值 域求出 t 的范围即可. t 解答:解:因为 t∈[0,1],所以 f(t)=3 ∈[1,3],

又函数 1], 所以 解得:

,所以 f(f(t)=

,因为 f(f(t))∈[0,

, t∈[0, 所以实数 t 的取值范围 又 1],

. 故答案为:



点评:本题考查函数一方程的综合应用,指数与对数不等式的解法,函数的定义域与函数的值域, 函数值的求法,考查计算能力. 14.已知函数 f(x)=||x﹣1|﹣1|,若关于 x 的方程 f(x)=m(m∈R)恰有四个互不相等的实数根 x1, x2,x3,x4,则 x1x2x3x4 的取值范围是 (﹣3,0) . 考点:根的存在性及根的个数判断. 专题:函数的性质及应用. 分析:画出函数 f(x)=||x﹣1|﹣1|的图象,可得方程 f(x)=m(m∈R)恰有四个互不相等的实数根 是地,m 的取值范围,进而求出方程的四个根,进而根据 m 的范围和二次函数的图象和性质, 可得 x1x2x3x4 的取值范围. 解答:解:函数 f(x)=||x﹣1|﹣1|的图象如下图所示:

由图可知,若 f(x)=m 的四个互不相等的实数根,则 m∈(0,1) 且 x1,x2,x3,x4 分别为: x1=m,x2=2﹣m,x3=m+2,x4=﹣m, 2 2 2 2 2 ∴x1x2x3x4=(m ) ﹣4?m =(m ﹣2) ﹣4∈(﹣3,0) 故答案为:(﹣3,0) 点评:本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断,其中画出函数的图象,引入数形结合思想 是解答本题的关键

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文 ... 字说明、证明过程或演算步骤.)
15. ( 本 小 题 满 分 14 分 ) 在 锐 角 △ ABC 中 , 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 为 a 、 b 、 c , 已 知

(b 2 ? c 2 ? a 2 ) tan A ? 3bc.
(1)求角 A; (2)若 a=2,求△ABC 面积 S 的最大值.

15.解:(1)由已知得

b 2 ? c 2 ? a 2 sin A 3 3 ? ? ? sin A 2bc cos A 2 2

……4 分 ……7 分

又在锐角△ABC 中,所以 A=60°

(2)因为 a=2,A=60°所以 b ? c ? bc ? 4, S ?
2 2

1 3 bc sin A ? bc 2 4

……8 分 ……10 分 …… D C

而 b 2 ? c 2 ? 2bc ? bc ? 4 ? 2bc ? bc ? 4 又S ? 14 分 所以△ABC 面积 S 的最大值等于 3

1 3 3 bc sin A ? bc ? ?4 ? 3 2 4 4

16.(本小题满分 14 分)如图,四边形 ABCD 为矩形,平面 ABCD⊥平面 ABE,BE =BC,F 为 CE 上的一点,且 BF⊥平面 ACE. (1)求证:AE⊥BE; (2)求证:AE∥平面 BFD. 16.(1)证明:∵平面 ABCD⊥平面 ABE,平面 ABCD∩平面 ABE=AB,AD⊥AB, ∴AD⊥平面 ABE,AD⊥AE. ∵AD∥BC , 则 BC ⊥ AE. ………………………3 分 又 BF⊥平面 ACE,则 BF⊥AE. ∵BC∩BF=B, ∴AE⊥平面 BCE, ∴AE⊥BE. ……………………… 7分 (2)设 AC∩BD=G,连接 FG,易知 G 是 AC 的中点, ∵BF⊥平面 ACE,则 BF⊥CE. 而 BC=BE,∴F 是 EC 中点. …………………10 分 在△ACE 中,FG∥AE, ∵AE ? 平面 BFD,FG ? 平面 BFD, ∴ AE∥平面 BFD. ………………………14 分

F A E
(第 16 题)

B

D G F A E

C

B

17.(本题满分 14 分) 有一座大桥既是交通拥挤地段,又是事故多发地段,为了保证安全,交通部门规定.大桥上的车距

1 d (m) 与车速 v(km / h) 和车长 l (m) 的关系满足: ? kv 2l ? l( k 为正的常数) 假定车身长为 4m , d , 2 当车速为 60(km / h) 时,车距为 2.66 个车身长.
(3) 写出车距 d 关于车速 v 的函数关系式; (4) 应规定怎样的车速,才能使大桥上每小时通过的车辆最多?

1 2.66l ? l 17 . ⑴ 因 为 当 v ? 60 时 , d ? 2.66l , 所 以 2 ? 2.16 ? 0.0006 , ∴ k? 2 60 l 60 2
d = 0.0024v 2 + 2 .

…………6 分

⑵设每小时通过的车辆为 Q ,则 Q ?

1000v ? ? 6 .即 Q 0.0024v 2 ? 6 0.0024v ? d ?4 v

1000v

1000

y
A

6 6 ∵ 0.0024v ? ≥ 2 0.0024v ? ? 0.24 , v v 1000 12500 6 12500 ? ∴Q≤ ,当且仅当 0.0024v ? ,即 v ? 50 时, Q 取最大值 ………13 0.24 3 v 3
o
C

B P

x

D



答:当 v ? 50 ? km / h ? 时,大桥每小时通过的车辆最多.…………14 分 18.(本小题满分 16 分)给定圆 P : x ? y ? 2 x 及抛物线 S : y ? 4 x ,
2 2 2

过圆心 P 作直线,此直线与上述两曲线的四个交点,自上而下顺次 记为 A、B、C、D ,如果线段 AB、BC、CD 的长按此顺序构成一 个等差数列,求直线的方程. 18.解:圆 P 的方程为 ? x ? 1? ? y ? 1 ,则其直径长 B C ? 2 ,圆心为
2 2

P ?1, 0 ? ,设的方程为 ky ? x ? 1 ,即 x ? ky ? 1 ,
代入抛物线方程得: y 2 ? 4ky ? 4 ,设 A ? x1 , y1 ? , D ? x2 , y2 ? ,
y
A

? y1 ? y2 ? 4k 有? , ? y1 y2 ? ?4 2 2 2 则 ( y1 ? y2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? 4 y1 y2 ? 16(k ? 1) .
y ?y 故 | AD | ? ( y1 ? y2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? ( ) 4 y ? y2 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 [1 ? ( 1 ) ] ? 16(k 2 ? 1) 2 , 4 2 因此 | AD |? 4(k ? 1) . …… 8 分
2 2 2 2 2 1 2 2 2

B

o
D

P

C

x

据等差, 2 BC ? AB ? CD ? AD ? BC ,

2 ,………14 分 2 即:方程为 2 x ? y ? 2 ? 0 或 2 x ? y ? 2 ? 0 . ………16 分 ?an ? 3, an ? 3, 19.(本小题满分 16 分)已知以 a 为首项的数列 ?an ? 满足: an ?1 ? ? ?2an , an ? 3. (1)若 0< an ≤6,求证:0< an ?1 ≤6;
所以 AD ? 3 BC ? 6 ,即 4 k 2 ? 1 ? 6 , k ? ? (2)若 a,k∈N﹡,求使 an ? k ? an 对任意正整数 n 都成立的 k 与 a; 19.(1)当 a n ? (0,3] 时,则 an ?1 ? 2an ? (0,6] ,当 a n ? (3,6] 时,则 a n ?1 ? a n ? 3 ? (0,3] , 故 a n ?1 ? (0,6] ,所以当 0 ? a n ? 6 时,总有 0 ? a n ?1 ? 6 . …………8 分 (2)①当 a ? 1 时, a 2 ? 2, a 3 ? 4, a 4 ? 1 ,故满足题意的 k ? 3t , t ? N*. 同理可得,当 a ? 2 或 4 时,满足题意的 k ? 3t , t ? N*. 当 a ? 3 或 6 时,满足题意的 k ? 2t , t ? N*. ②当 a ? 5 时, a 2 ? 2, a 3 ? 4, a 4 ? 1 ,故满足题意的 k 不存在. ③当 a ? 7 时,由(1)知,满足题意的 k 不存在. 24 综上得:当 a ? 1, , 时,满足题意的 k ? 3t , t ? N*; 6 当 a ? 3, 时,满足题意的 k ? 2t , t ? N*.…………16 分 20.(本小题满分 16 分) 已知 P ? x, y ? 为函数 y ? 1 ? ln x 图象上一点,O 为坐标原点,记直线 OP 的斜率 k ? f ? x ? .

?

?

(1)若函数 f ? x ? 在区间 ? m, m ? ? ? m ? 0 ? 上存在极值,求实数 m 的取值范围; (2)当 x ? 1 时,不等式 f ? x ? ?
n

? ?

1? 3?

t 恒成立,求实数的取值范围; x ?1
*

(3)求证:

? ln[i ? (i ? 1)] ? n ? 2 ? n ? N ? .
i ?1

解: 由题意 k ? f ? x ? ? (1) 2分

1 ? ln x 1 ? ln x ?? ln x ,x ? 0 ,所以 f ? ? x ? ? ? ? ? ?? 2 x x ? x ?

…………………

当 0 ? x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 . 所以 f ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增,在 ?1, ?? ? 上单调递减,故 f ? x ? 在 x ? 1 处取得极大值. 因为函数 f ? x ? 在区间 ? m, m ?

? ?

1? ? (其中 m ? 0 )上存在极值, 3?
……………4 分

?0 ? m ? 1 2 ? ?2 ? 1? 所以 ? ,得 ? m ? 1 .即实数 m 的取值范围是 ? , . 1 m ? ?1 3 ?3 ? ? 3 ?
(2)由 f ? x ? ? 则 g? ? x ? ?

t ? x ? 1??1 ? ln x ? ,令 g x ? ? x ? 1??1 ? ln x ? , 得t ? ? ? x ?1 x x
……………………………………………………6 分

x ? ln x . x2

令 h ? x ? ? x ? ln x ,则 h? ? x ? ? 1 ?

1 1? x = , x x

+? 因为 x ? 1, 所以 h? ? x ? ? 0 ,故 h ? x ? 在 ?1, ? 上单调递增.……………………8 分
所以 h ? x ? ? h ?1? ? 1 ? 0 ,从而 g ? ? x ? ? 0

g ? x ? 在 ?1, ? 上单调递增, g ? x ? ? g ?1? ? 2 +?
所以实数的取值范围是 ? ??, 2? . (3)由(2) 知 f ? x ? ? 即 …………………………………………10 分

2 恒成立, x ?1
……………………12 分

1 ? ln x 2 x ?1 2 2 ? ? ln x ? ? 1? ? 1? x x ?1 x ?1 x ?1 x

令 x ? n ? n ? 1? , 则 ln[n ? n ? 1?] ? 1 ?

2 ,……………………14 分 n ? n ? 1?

所以 ln ?1 ? 2 ? ? 1 ?

2 2 2 , ln ? 2 ? 3? ? 1 ? ,……, ln n ? n ? 1? ? 1 ? . n ? n ? 1? 1? 2 2?3

将以上 n 个式子相加得:

? ln[i(i? 1)] ? n ? 2 ?1? 2 ? 2 ? 3 ? ??? ? n ? n ? 1? ?
i ?1

n

? 1 ?

1

1

? ?

1 ? ? ? n ? 2 ?1 ? ? ? n ? 2, ? n ?1 ?


? ln[i(i? 1)] ? n ? 2 ? n ? N ? .
n * i ?1

…………………………………16 分

江苏省泰州中学 2013-2014 学年度第一学期 高三数学考试试题参考答案
一、填空题 1.设集合 A={1,2,3},B={2,4,6},则 A∩B= {2} . 2.已知 i 是虚数单位,若 =b+i(a,b ),则 ab 的值为 ﹣3 .

2013.8.31

3.某射击选手连续射击 5 枪命中的环数分别为:9.7,9.9,10.1,10.2,10.1,则这组数据的方差为 0.032 . 4.设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(a)>f(b),则 f(﹣a) < f(﹣b)(用“>” 或“<”填空).

5. 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知

= (3, ﹣1) , = (0, . 2) 若

?

=0, =λ



则实数 λ 的值为 2 . 6.如图,该程序运行后输出的结果为 16 . 2 7.由命题“存在 x∈R,使 x +2x+m≤0”是假命题,求得 m 的取值范围是(a,+∞) ,则 实数 a 的值是 1 . 8.函数 f(x)=2sin( 9.在集合{x|x= 的概率是 .
2

),x∈[﹣π,0]的单调递减区间单间为



}中任取一个元素,所取元素恰好满足方程 cosx=

设中心在原点的双曲线与椭圆 +y =1 有公共的焦点, 且它们的离心率互为倒数, 则该双曲线的方程 是 2x ﹣2y =1 . 3 2 11.已知点 A(1,1)和点 B(﹣1,﹣3)在曲线 C:y=ax +bx +d(a,b,d 为常数上,若曲线在点 3 2 A 和点 B 处的切线互相平行,则 a +b +d= 7 . 12.(5 分)给出下列命题: (1)若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; (2)若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; (3)若两条平行直线中的一条垂直于直线 m,那么另一条直线也与直线 m 垂直; (4)若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中,所有真命题的序号为 (1)、(3)、(4) . 13.已知函数 f(x)= ,当 t∈[0,1]时,f(f(t))∈[0,1],则实数 t 取
2 2

值范围是



14.已知函数 f(x)=||x﹣1|﹣1|,若关于 x 的方程 f(x)=m(m∈R)恰有四个互不相等的实数根 x1, x2,x3,x4,则 x1x2x3x4 的取值范围是 (﹣3,0) .

二、解答题
15. ( 本 小 题 满 分 14 分 ) 在 锐 角 △ ABC 中 , 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 为 a 、 b 、 c , 已 知

(b 2 ? c 2 ? a 2 ) tan A ? 3bc.
(1)求角 A; 解:(1)由已知得 (2)若 a=2,求△ABC 面积 S 的最大值.

b 2 ? c 2 ? a 2 sin A 3 3 ? ? ? sin A 2bc cos A 2 2

……4 分 ……7 分

又在锐角△ABC 中,所以 A=60° (2)因为 a=2,A=60°所以 b ? c ? bc ? 4, S ?
2 2

1 3 bc sin A ? bc 2 4

……8 分 ……10 分

而 b 2 ? c 2 ? 2bc ? bc ? 4 ? 2bc ? bc ? 4

又S ?

1 3 3 bc sin A ? bc ? ? 4 ? 3 ,所以△ABC 面积 S 的最大值等于 3 。…14 分 2 4 4

16.(本小题满分 14 分)如图,四边形 ABCD 为矩形,平面 ABCD⊥平面 ABE,BE=BC,F 为 CE 上的一点,且 BF⊥平面 ACE. (1)求证:AE⊥BE; (2)求证:AE∥平面 BFD. 证明:(1)∵平面 ABCD⊥平面 ABE,平面 ABCD∩平面 ABE=AB,AD⊥AB, D ∴AD⊥平面 ABE,AD⊥AE. ∵AD∥BC,则 BC⊥AE.……………3 分 G 又 BF⊥平面 ACE,则 BF⊥AE. F ∵BC∩BF=B,∴AE⊥平面 BCE, A ∴AE⊥BE. ……………………… 7 分 (2)设 AC∩BD=G,连接 FG,易知 G 是 AC 的中点, ∵BF⊥平面 ACE,则 BF⊥CE. E 而 BC=BE,∴F 是 EC 中点. …………………10 分 在△ACE 中,FG∥AE, ∵AE ? 平面 BFD,FG ? 平面 BFD, ∴ AE∥平面 BFD. ………………………14 分 17.(本题满分 14 分) 有一座大桥既是交通拥挤地段,又是事故多发地段,为了保证安全,交通 部门规定.大桥上的车距 d (m) 与车速 v(km / h) 和车长 l (m) 的关系满足: d ? kv l ?
2

C

B

1 l ( k 为正的 2

常数),假定车身长为 4m ,当车速为 60(km / h) 时,车距为 2.66 个车身长. (5) 写出车距 d 关于车速 v 的函数关系式; (6) 应规定怎样的车速,才能使大桥上每小时通过的车辆最多?

1 2.66l ? l 解:⑴因为当 v ? 60 时, d ? 2.66l ,所以 2 ? 2.16 ? 0.0006 , k? 2 60 l 60 2
∴ d = 0.0024v 2 + 2 . …………6 分

⑵设每小时通过的车辆为 Q ,则 Q ?

1000v ? ? 6 .即 Q 0.0024v 2 ? 6 0.0024v ? d ?4 v

1000v

1000

∵ 0.0024v ? ≥ 2 0.0024v ?

6 v

6 ? 0.24 , v

∴Q≤

1000 12500 6 12500 ? ,当且仅当 0.0024v ? ,即 v ? 50 时, Q 取最大值 ………13 分 0.24 3 v 3

答:当 v ? 50 ? km / h ? 时,大桥每小时通过的车辆最多.…………14 分 18. (本小题满分 16 分)给定圆 P : x ? y ? 2 x 及抛物线 S : y ? 4 x ,过圆心 P 作直线,此直线与
2 2 2

上述两曲线的四个交点,自上而下顺次记为 A、B、C、D ,如果线段 AB、BC、CD 的长按此顺序 构成一个等差数列,求直线的方程.

解:圆 P 的方程为 ? x ? 1? ? y ? 1 ,则其直径长 B C ? 2 ,圆心为
2 2

y
A

P ?1, 0 ? ,设的方程为 ky ? x ? 1 ,即 x ? ky ? 1 ,
代入抛物线方程得: y 2 ? 4ky ? 4 ,设 A ? x1 , y1 ? , D ? x2 , y2 ? ,
o

B P
C

? y1 ? y2 ? 4k 2 2 2 有? ,则 ( y1 ? y2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? 4 y1 y2 ? 16(k ? 1) . ? y1 y2 ? ?4
2 y12 ? y2 2 故 | AD | ? ( y1 ? y2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? ( ) 4 2 2 2 2

x

D

? ( y1 ? y2 ) 2 [1 ? (

y1 ? y2 2 ) ] ? 16(k 2 ? 1) 2 ,因此 | AD |? 4(k 2 ? 1) . 4

…… 8 分

据等差, 2 BC ? AB ? CD ? AD ? BC ,
2 所以 AD ? 3 BC ? 6 ,即 4 k ? 1 ? 6 , k ? ?

?

?

2 ,………14 分 2
………16 分

即:方程为 2 x ? y ? 2 ? 0 或 2 x ? y ? 2 ? 0 .

19.(本小题满分 16 分)已知以 a 为首项的数列 ?an ? 满足: an ?1 ? ? (1)若 0< an ≤6,求证:0< an ?1 ≤6; (2)若 a,k∈N*,求使 an ? k ? an 对任意正整数 n 都成立的 k 与 a;

?an ? 3, an ? 3, ?2an , an ? 3.

解:(1)当 a n ? (0,3] 时,则 an ?1 ? 2an ? (0,6] ,当 a n ? (3,6] 时,则 a n ?1 ? a n ? 3 ? (0,3] , 故 a n ?1 ? (0,6] ,所以当 0 ? a n ? 6 时,总有 0 ? a n ?1 ? 6 . …………8 分 (2)①当 a ? 1 时, a 2 ? 2, a 3 ? 4, a 4 ? 1 ,故满足题意的 k ? 3t , t ? N*.同理可得,当 a ? 2 或 4 时, 满足题意的 k ? 3t , t ? N*.当 a ? 3 或 6 时,满足题意的 k ? 2t , t ? N*. …………10 分 ②当 a ? 5 时, a 2 ? 2, a 3 ? 4, a 4 ? 1 ,故满足题意的 k 不存在. …………12 分 ③当 a ? 7 时,由(1)知,满足题意的 k 不存在. …………14 分 24 6 综上得:当 a ? 1, , 时,满足题意的 k ? 3t , t ? N*; 当 a ? 3, 时,满足题意的 k ? 2t , t ? N*. 20.(本小题满分 16 分)已知 P ? x, y ? 为函数 y ? 1 ? ln x 图象上一点,O 为坐标原点,记直线 OP 的斜率 k ? f ? x ? . (1)若函数 f ? x ? 在区间 ? m, m ? ? ? m ? 0 ? 上存在极值,求实数 m 的取值范围; …………16 分

? ?

1? 3?

(2)当 x ? 1 时,不等式 f ? x ? ?
n

t 恒成立,求实数的取值范围; x ?1
*

(3)求证:

? ln[i ? (i ? 1)] ? n ? 2 ? n ? N ? .
i ?1

解:(1)由题意 k ? f ? x ? ?

当 0 ? x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 .

1 ? ln x 1 ? ln x ?? ln x , x ? 0 ,所以 f ? ? x ? ? ? ? ? ?? 2 x x ? x ?

……………2 分

所以 f ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增,在 ?1, ?? ? 上单调递减,故 f ? x ? 在 x ? 1 处取得极大值. 因为函数 f ? x ? 在区间 ? m, m ?

? ?

1? ? (其中 m ? 0 )上存在极值, 3?

?0 ? m ? 1 2 ? ?2 ? 1? 所以 ? ,得 ? m ? 1 .即实数 m 的取值范围是 ? , . ……………4 分 1 m ? ?1 3 ?3 ? ? 3 ? t ? x ? 1??1 ? ln x ? ,令 g x ? ? x ? 1??1 ? ln x ? , (2)由 f ? x ? ? 得t ? ? ? x ?1 x x x ? ln x 则 g? ? x ? ? . ……………………………………………………6 分 x2 1 1? x 令 h ? x ? ? x ? ln x ,则 h? ? x ? ? 1 ? = , x x +? 因为 x ? 1, 所以 h? ? x ? ? 0 ,故 h ? x ? 在 ?1, ? 上单调递增.……………………8 分

+? 所以 h ? x ? ? h ?1? ? 1 ? 0 ,从而 g ? ? x ? ? 0 , g ? x ? 在 ?1, ? 上单调递增, g ? x ? ? g ?1? ? 2
所以实数的取值范围是 ? ??, 2? . (3)由(2) 知 f ? x ? ? …………………………………………10 分

2 恒成立, x ?1 1 ? ln x 2 x ?1 2 2 ? ? ln x ? ? 1? ? 1? 即 ……………………12 分 x x ?1 x ?1 x ?1 x 2 令 x ? n ? n ? 1? , 则 ln[n ? n ? 1?] ? 1 ? ,……………………14 分 n ? n ? 1?
所以 ln ?1 ? 2 ? ? 1 ?

2 2 2 , ln ? 2 ? 3? ? 1 ? ,……, ln n ? n ? 1? ? 1 ? . n ? n ? 1? 1? 2 2?3

将以上 n 个式子相加得:

? ln[i(i? 1)] ? n ? 2 ?1? 2 ? 2 ? 3 ? ??? ? n ? n ? 1? ?
i ?1

n

? 1

1

1

? ?

? 1 ? ? ? n ? 2 ?1 ? ? ? n ? 2, ? n ?1 ?



? ln[i(i? 1)] ? n ? 2 ? n ? N ? .
n * i ?1

…………………………………16 分


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