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高二数学函数最值、导数应用题(理)人教实验版(A)

时间:2011-01-10


高二数学函数最值、导数应用题( 高二数学函数最值、导数应用题(理)人教实验版(A) 人教实验版( )
【本讲教育信息 本讲教育信息】 本讲教育信息
一. 教学内容: 函数最值、导数应用题 二. 重点、难点: 1. 闭区间上的连续函数必有最值。 2. y = f ( x), x ∈ [ a, b], f ′( x) = 0 ? x = x1 , x 2 ? x n , 求 f ( a ), f ( x1 ) ? f ( x n ), f (b) 的 值,最大的为最大值,最小的为最小值。 3. 应用问题 (1)选定自变量 x (2)选定函数值 y (3)建立函数关系 y = f (x ) (4)确定函数的定义域 (5)用导数求最值

【典型例题】 典型例题】
[例 1] 求下列函数最值。 (1) y = x 5 ? 5 x 4 + 5 x 3 + 1, x ∈ [ ?1,2]
2 解: y ′ = 5 x ( x ? 3)( x ? 1) = 0, x = 0,1,3 (舍)

f (?1) = ?10, f (0) = 1, f (1) = 2, f (2) = ?7
∴ y max = 2, y min = ?10 (2) y = 解: y ′ =

x ? ln x, x ∈ [e ?3 , e 3 ] 1 x (ln x + 1) = 0
?
3

x = e ? 2 , f (e ?3 ) = 3e e , f (e 3 ) = ?3e 2 , f (e ? 2 ) = ?2e ?1
∴ y max = 3e e , y min = ?
2 3 2 1 3

2 e

(3) y = x ? ( x ? 1) , x ∈ [ ? 2 ,2]
2 4

2 ( x 2 ? 1) 3 ? x 3 y′ = =0 2 3 1 2 x 3 ( x ? 1) 3

x=±

2 2

∴ f (? 2 ) = 3 4 ? 1

f ( 2) = 3 4 ? 3 3 f ( ?

2 )=3 4 2

f(

2 )=3 4 2

f (0) = 1, f (1) = 1

∴ y max = f ( ?

2 2 )= f( )=3 4 2 2

y min = f (2) = 3 4 ? 3 3

函数 f ( x ) = x ? [例 2] a ∈ ( ,1) ,
3

2 3

3 2 6 ax + b, x ∈ [?1,1] ,y max = 1, y min = ? , a, b 。 求 2 2 3 3 a + b, f (1) = 1 ? a + b 2 2

解: f ′( x ) = 3 x ( x ? a )

f (?1) = ?1 ?

1 f ( 0) = b, f ( a ) = ? a 3 + b 2

? y max = f (0) = b = 1 ? ∴ ? 3 6 ? y min = f (?1) = ?1 ? a + b = ? ? 2 2

? 6 ?a = ∴ ? 3 ?b = 1 ?

[例 3] y = f ( x) = ax 3 ? 6ax 2 + b, x ∈ [ ?1,2] , y max = 3, y min = ?29 ,求 a + b (1) a > 0, f ′( x ) = 3ax ( x ? 4) 解:

∴ ?

? y max = f (0) = b = 3 ?a = 2 ?? ? y min = f (2) = ?16a + b = ?29 ?b = 3

(2) a < 0, f ′( x ) = 3ax ( x ? 4)

? y max = f (2) = ?16a + b = 3 ?a = ?2 ?? ? ?b = ?29 ? y min = f (0) = b = ?29
∴ a + b = 5 或-31 [例 4] 已知 a 为实数, f ( x ) = ( x 2 ? 4)( x ? a ) , (1)求导数 f ′(x ) ; (2)若 f ′( ?1) = 0 , 求 f(x)在[-2,2]上的最大值和最小值; (3)若 f(x)在(-∞,-2)和 [ 2,+∞) 上都是 增函数,求 a 的取值范围。 (1)因为 f ( x ) = ( x 2 ? 4)( x ? a ) = x 3 ? ax 2 ? 4 x + 4a 解: 所以 f ′( x ) = 3 x 2 ? 2ax ? 4

1 1 2 ,此时有 f ( x ) = ( x ? 4)( x ? ) 2 2 4 4 50 2 所以 f ′( x) = 3 x ? x ? 4 ,由 f ′( x) = 0 ,得 x = 或 x = ?1 ,又因为 f ( ) = ? 3 3 27 9 9 f (?1) = , f (?2) = 0, f (2) = 0 ,所以 f (x) 在[-2,2]上的最大值为 ,最小值为 2 2 50 ? 27
(2)由 f ′( ?1) = 0 ,得 a = (3)∵ f ′( x ) = 3 x ? 2ax ? 4 的图象为开口向上且过点(0,-4)的抛物线
2

由条件得 f ' ( ?2) ≥ 0, f ' ( 2) ≥ 0 ,即 ? 围为[-2,2]

?4 a + 8 ≥ 0 ,解得 ? 2 ≤ a ≤ 2 ,所以 a 的取值范 ?8 ? 4a ≥ 0
2 与 x=1 时都取得极值。 3

[例 5] 已知函数 f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx + c 在 x = ? (1)求 a,b 的值与函数 f(x)的单调区间

(2)若对 x ∈ [?1,2] 时,不等式 f ( x ) < c 2 恒成立,求 c 的取值范围。 解: (1)∵ f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx + c 由 f ′( ? ) = ∴ f ′( x ) = 3 x 2 + 2ax + b

2 3

12 4 1 ? a + b = 0 , f ′(1) = 3 + 2a + b = 0 得 a = ? , b = ?2 9 3 2

∵ f ′( x ) = 3 x 2 ? x ? 2 = (3 x + 2)( x ? 1) ∴ 当 x 变化时, f ′( x ), f ( x ) 的变化情况如下表: x (-∞, ? +

2 ) 3

?

2 3

(?

2 ,1) 3


1 0 极小值

(1,+∞) +

f ′(x)

0 极大值

f(x)



c+

22 27



c?

3 2



∴ 函数 f(x)的递增区间是(-∞, ? (2)∵ f ( x ) = x ?
3

2 2 )和(1,+∞) ;递减区间是( ? ,1) 3 3

1 2 x ? 2 x + c, x ∈ [?1,2] 2 2 22 3 1 又 ∵ f (? ) = c + , f (1) = c ? , f (?1) = c + , f (2) = c + 2 3 7 2 2
∴ f (2) = c + 2 为最大值,要使 f ( x ) < c 2 在 x ∈ [?1,2] 恒成立
2 只需 c > f ( 2) = c + 2 ,解得 c < ?1 或 c > 2

[例 6] 已知函数 f (x ) =

ax ? 6 的图象在点 M ? 1, f ( ?1) ) ( 处的切线方程为 x + 2 y + 5 = 0 x2 + b

(2)求函数 y = f (x ) 的单调区间。 (1)求函数 y = f (x ) 的解析式;

ax ? 6 (1)∵ f ( x ) = 2 解: x +b

∴ f ′( x) =

a ( x 2 + b) ? 2 x(ax ? 6) ( x 2 + b) 2

又 ∵ 函数 f (x) 的图象在点 M( ? 1, f ( ?1) )处的切线方程为 x + 2 y + 5 = 0 ∴ ? 1 + 2 f ( ?1) + 5 = 0 ,即 f ( ?1) = ?2, f ′( ?1) = ? 解得 a = 2, b = 3 (∵ b + 1 ≠ 0, b = ?1 舍去) ∴ 所求函数解析式为 f ( x) = (2)∵ f ′( x) =

1 2

2x ? 6 x2 + 3

? 2 x 2 + 12 + 6 ( x 2 + 3) 2

∴ 令 f ′( x) = 0 ,解得 x1 = 3 ? 2 3 , x 2 = 3 + 2 3 当 x < 3 ? 2 3 或 x > 3 + 2 3 时, f ′( x ) < 0 当 3 ? 2 3 < x < 3 + 2 3 时, f ′( x ) > 0 ∴ f ( x) =

2x ? 6 在( ? ∞,3 ? 2 3 )和( 3 + 2 3 ,+∞ )内是减函数,在( 3 ? 2 3 , x2 + 3

3 + 2 3 )内是增函数

[例 7] 设函数 f ( x ) = 2 x 3 ? 3( a + 1) x 2 + 6ax + 8 ,其中 a ∈ R 。 (1)若 f ( x ) 在 x=3 处取得极值,求常数 a 的值; (2)若 f(x)在(-∞,0)上为增函数,求 a 的取值范围。 (1) f ′( x ) = 6 x 2 ? 6( a + 1) x + 6a = 6( x ? a )( x ? 1) 解: ∵ f ( x ) 在 x = 3 取得极值 ∴ f ′(3) = 6(3 ? a )(3 ? 1) = 0 ,解得 a = 3

经检验知 a = 3 时,x=3 为 f(x)为极值点 (2)令 f ′( x ) = 6( x ? a )( x ? 1) = 0 得 x1 = a, x 2 = 1 当 a < 1 时,若 x ∈ ( ?∞, a ) ∪ (1,+∞) ,则 f ' ( x) > 0

∴ f (x) 在 (?∞, a ) 和 (1,+∞) 上为增函数,故当 0 ≤ a < 1 时, f (x) 在(-∞,0)上为
增函数 当 a ≥ 1 时,若 x ∈ ( ?∞,1) ∪ ( a,+∞ ) ,则 f ′( x ) > 0 ∴ f (x ) 在( ? ∞,1 )和( a,+∞ )上为增函数,从而当 a ≥ 1 时, f (x ) 在 (?∞,0] 上也 为增函数 综上所述,当 a ∈ [0,+∞ ) 时, f (x ) 在(-∞,0)上为增函数

[例 8] x ∈ (0,+∞) ,求证: ln x +

1 1 2 ? ( x ? 1) 2 + ( x ? 1) 3 ≥ 1 x 2 3 1 1 2 2 3 证:令 f ( x ) = ln x + ? ( x ? 1) + ( x ? 1) x 2 3

f ′( x) =

1 1 ( x ? 1) 3 (2 x + 1) ? 2 ? ( x ? 1) + 2( x ? 1) 2 = x x x3
x (0,1) - ↓ 1 0 (1,+∞) + ↑

y′
y ∴ y min = f (1) = 1 ∴ ln x +

∴ x ∈ (0,+∞) , f ( x) ≥ f (1) = 1 恒成立

1 1 2 ? ( x ? 1) 2 + ( x ? 1) 3 ≥ 1 x 2 3

[例 9] 求抛物线 y =

1 2 x 上与点 A(6,0)距离最近的点。 2 1 2 解:设 M(x,y)为抛物线 y = x 上一点, 2

则 MA =

( x ? 6) 2 + y 2 = ( x ? 6) 2 +

1 4 x 4
2 2

∵ MA 与 MA 2 同时取到极值

∴ 令 f ( x) = MA = ( x ? 6) +

1 4 x 4

由 f ′( x) = ( x ? 2)( x 2 + 2 x + 6) = 0 得 x = 2 ∵ 当 x → +∞ 或 x → ?∞ 时, MA →+∞ ∴ f(x)→+∞

∴ x=2 是 f(x)的最小值点,此时 x=2,y=2,即抛物线 y = 离最近的点是(2,2)

1 2 x 上与点 A(6,0)距 2

[例 10] 请您设计一个帐篷,它下部的形状是高为 1m 正六棱柱,上部的形状是侧棱长为 3m 的正六棱锥(如下图所示) 。试问当帐篷的顶点 O 到底面中心 O1 的距离为多少时,帐篷的 体积最大?

解:设 OO1 为 xm,则 1<x<4 由题设可得正六棱锥底面边长为: 3 ? ( x ? 1) =
2 2

8 + 2 x ? x 2 (单位:m)

故底面正六边形的面积为:6 ?

3 3 3 ? ( 8 + 2x ? x 2 )2 = ? (8 + 2 x ? x 2 )(单位: 2) m 4 2

帐篷的体积为: v( x ) = m3) 求导得 v ′( x ) =

3 3 1 3 (8 + 2 x ? x 2 )[ ( x ? 1) + 1] = (16 + 12 x ? x 3 ) (单位: 2 3 2

3 (12 ? 3 x 2 ) ,令 v ′( x) = 0 2

解得 x1 = ?2 (不合题意,舍去)

x2 = 2

当 1 < x < 2 时, V ′( x ) > 0, V ( x ) 为增函数 当 2 < x < 4 时, V ′( x ) < 0, V ( x ) 为减函数 ∴ 当 x = 2 时,V(x)最大 答:当 OO1 为 2m 时,帐篷的体积最大,最大体积为 16 3m
3

[例 11] 统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y(升)关于行驶速度 x (千米/小时)的函数解析式可以表示为: y =

1 3 x 3 ? x + 8(0 < x ≤ 120) 已知甲、 128000 80

乙两地相距 100 千米。 (1)当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油 多少升?(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升? 析:本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识,考查运用数学知识分析和解决实 际问题的能力。 (1)当 x=40 千米/小时,汽车从甲地到乙地行驶了 解: 要耗油 (

100 = 2.5 小时 40

1 3 × 40 3 ? × 40 + 8) × 2.5 = 17.5 (升) 128000 80

答:当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油 17.5 升。

100 小时,设耗油量为 h(x) x 1 3 100 1 800 15 x 3 ? x + 8) ? = x2 + ? ( 0 < x ≤ 120 ) 升,依题意得 h( x ) = ( 128000 80 x 1280 x 4
(2)当速度为 x 千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了 ∵ h ′( x) =

x 800 x 3 ? 80 3 ? 2 = (0 < x ≤ 120) 640 x 640 x 2

令 h′( x ) = 0 ,得 x = 80 当 x ∈ (0,80) 时, h ′( x ) < 0, h( x ) 是减函数;当 x∈(80,120)时, h ′( x ) > 0 ,h(x) 是增函数 ∴ 当 x=80 时,h(x)取到极小值 h(80)=11.25 因为 h(x)在 (0,120] 上只有一个极值,所以它是最小值 答:当汽车以 80 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为 11.25 升。

【模拟试题】 模拟试题】
1. 已知函数 y = f (x ) (x∈R) 上任一点 x 0 , f ( x 0 ) ) ( 处的切线斜率 k = ( x 0 ? 2)( x 0 + 1) ,
2

则该函数的单调递减区间为( A. [ ?1,+∞ ) B. (?∞,2]

) C.(-∞,-1)和(1,2) D. [ 2,+∞)

2. 已知函数 y = xf ′(x ) 的图象如图(1)所示(其中 f ′(x ) 是函数 f(x)的导函数) ,下 面四个图象中,y=f(x)的图像大致是( )

图(1)

3. 设函数 f ( x ) = ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3)( x ? 4) ,则 f ′( x ) = 0 有( A. 分别位于区间(1,2)(2,3)(3,4)内三个根 , , B. 四个实根 xi = i (i = 1,2,3,4) C. 分别位于区间(0,1)(1,2)(2,3)(3,4)内四个根 , , , D. 分别位于区间(0,1)(1,2)(2,3)内三个根 , , 4.(2005·广东)函数 f ( x) = x 3 ? 3 x 2 + 1 是减函数的区间是( A.(2,+∞) B.(-∞,2)
3





C.(-∞,0)

D.(0,2)

5. 若函数 f ( x ) = log a ( x ? ax )( a > 0 ,且 a ≠ 1 )在区间 (? 值范围是( ) B.

1 ,0) 内单调递增,则 a 的取 2

1 A. [ ,1) 4

3 [ ,1) 4

C. [ ,+∞)

9 4

D. [1, )

9 4

6.(07·福建·理 11)已知对任意实数 x,有 f ( ? x ) = ? f ( x ), g ( ? x ) = g ( x ) ,且 x>0 时,

f ′( x) > 0, g ′( x) > 0 ,则 x < 0 时(
A. f ′( x ) > 0, g ′( x ) > 0 C. f ′( x ) < 0, g ′( x) > 0

) B. f ′( x ) > 0, g ′( x ) < 0 D. f ′( x ) < 0, g ′( x) < 0

7. (07· 陕西· 11) x) 理 ( 是定义在 f (0, +∞) 上的非负可导函数, 且满足 xf ′( x) + f ( x ) ≤ 0 , 对任意正数 a, b ,若 a < b ,则必有( A. af ( a ) ≤ f (b) C. af (b) ≤ bf ( a ) 8. 已知 y = )

B. bf (b) ≤ f ( a ) D. bf ( a ) ≤ af (b) 。

1 3 x + bx 2 + (b + 2) x + 3 在 R 上不是单调增函数,则 b 的范围为 3

9. 对正整数 n,设曲 线 y = x n (1 ? x ) 在 x=2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 a n ,则数 列{

an } 的前 n 项和的公式是 n +1



10. 已知函数 f ( x ) = ax ? ln x ,若 f ( x ) > 1 在区间(1,+∞)内恒成立,实数 a 的取值 范围为 。 。 。 。

11. 函数 y = ln( x 2 ? x ? 2) 的单调递减区间为
3 2

12. 若函数 y = x ? ax + 4 在(0,2)内单调递减,则实数 a 的取值范围是 13.(1) f ( x) = x ? 2 x + 3 的增区间为
4 2

。 (2) f ( x) =

2 x ? x 2 的减区间为


14. 函数 f ( x) = x 2 ? x + 1 在区间[-3,0]上的最值为( A. 最大值为 13,最小值为

3 4

B. 最大值为 1,最小值为 4 C. 最大值为 13,最小值为 1 D. 最大值为-1,最小值为-7 15. 函数 y = A.

x + 1 ? x 在(0,1)上的最大值为(
B. 1 C. 0 D. 不存在



2

16. 函数 y = x 3 + x 2 ? x + 1 在区间[-2,1]上的最小值为( A.



22 27

B. 2

C. -1

D. -4 )

17. 函数 f ( x ) = x 3 ? 3 x + 1 在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是( A. 1,-1 B. 1,-17 C. 3,-17 D. 9,-19

18. 函数 f (x ) 的定义域为 R,导函数 f ′(x ) 的图像如图所示,则函数 f(x) (



A. B. C. D.

无极大值点,有四个极小值点 有三个极大值点、两个极小值点 有两个极大值点,两个极小值点 有四个极大值点,无极小值点

19. 函数 y = ax 3 + bx 2 取得极大值或极小值时的 x 的值分别为 0 和 A. a ? 2b = 0 C. 2a + b = 0 B. 2a ? b = 0 D. a + 2b = 0

1 ,则( 3



20. 若函数 f ( x) = ? x + 2 x + 3 ,则 f(x) (
4 2



A. 最大值为 4,最小值为-4 C. 最小值为-4,无最大值

B. 最大值为 4,无最小值 D. 既无最大值,也无最小值

[参考答案] 参考答案] 参考答案 http://www.dearedu.com
1. B 2. C 3. A 4. D 5. B 6. B 7. C 8. (?∞,?1) ∪ ( 2,+∞) 11.(-∞,1) 9. 2 n +1 ? 2 10. a ≥ 1

12. [3,+∞)

13.(1) (-1,0)(1,+∞) (2) , (1,2) 14. A 15. A 16. C 17. C 18. C

19. D

20. B


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