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正弦定理余弦定理应用举例


课 题

正弦定理与余弦定理应用举例

教学过程

1.解斜三角形的常见类型及解法 在三角形的 6 个元素中要已知三个(除三角外)才能求解,常见类型及其解法如表所示. 已知条件 一边和两角(如 a,B,C) 应用定理 正弦定理 一般解法 由 A+B+C=180° ,求角 A;由 正弦定理求出 b 与 c. 在有解时只有一

解 由余弦定理求第三边 c;由正弦定 两边和夹角(如 a,b,C) 余弦定理 正弦定理 理求出小边所对的角;再由 A+B +C=180°求出另一角. 在有解时只有一解 由余弦定理求出角 A、B;再利用 A 三边(a,b,c) 余弦定理 +B+C=180° ,求出角 C. 在有解时只有一解 由正弦定理求出角 B;由 A+B+C 两边和其中一边的对角 (如 a,b,A) 正弦定理 余弦定理 =180° ,求出角 C;再利用 正弦定理或余弦定理求 c. 可有两解,一解或无解

2.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等. 3.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方叫仰角,目标视线在 水平视线下方叫俯角(如图①).

(2)方向角:相对于某正方向的水平角,如南偏东 30° ,北偏西 45° 等; (3)方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如 B 点的方位角为 α(如图②). (4)坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数.

解斜三角形应用题的一般步骤为: 第一步:分析——理解题意,分清已知与未知,画出示 意图; 第二步:建模——根据已知条件与求解目标,把已知量与 求解量尽量集中在有关的三角形中,建立一个解 斜三角形的数学模型; 第三步:求解——利用正弦定理或余弦定理有序地 解出三角形,求得数学模型的解; 第四步:检验——检验上述所求的解是否符合实际意 义,从而得出实际问题的解.

经典例题
题型一
例1

测量距离问题

(2010· 陕西)如图,A,B 是海面上位于东西方向相距 5(3+ 3)海里的两个观测点,现位于 A 点北偏东

45° ,B 点北偏西 60° 的 D 点有一艘轮船发出求救信号,位于 B 点南偏西 60° 且与 B 点 相距 20 3海里的 C 点的救援船立即前往营救,其航行速度为 30 海里/小时,该救 援船到达 D 点需要多长时间?

要测量对岸 A、 B 两点之间的距离,选取相距 3 km 的 C 、 D 两点,并测得∠ACB=75° , ∠BCD=45° ,∠ADC=30° ,∠ADB=45° ,求 A、B 之间的距离.

题型二
例2

测量高度问题

某人在塔的正东沿着南偏西 60° 的方向前进 40 米后,望见塔在东北方向,若沿途测得塔顶的最大仰角

为 30° ,求塔高.

如图,某人在塔的正东方向上的 C 处在与塔垂直的水 平面内沿南偏西 60° 的方向以每小时 6 千米的速度步行了 1 分钟以 后,在点 D 处望见塔的底端 B 在东北方向上,已知沿途塔的仰角 ∠AEB=α,α 的最大值为 60° . (1)求该人沿南偏西 60° 的方向走到仰角 α 最大时,走了几分钟; (2)求塔的高 AB.

题型三
例3

几何中的正、余弦定理应用问题

如图所示,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=5,AC=9,

∠BCA=30° ,∠ADB=45° ,求 BD 的长.

如图所示,△ACD 是等边三角形,△ABC 是等腰直 角三角形,∠ACB=90° ,BD 交 AC 于 E,AB=2. (1)求 cos∠CBE 的值; (2)求 AE.

训练:
一、选择题 3 1.如果在测量中,某渠道斜坡的坡度为 ,设 α 为坡角,那么 cos α 等于 4 3 4 3 4 A. B. C. D. 5 5 4 3 A.1 C.2cos 10° B.2sin 10° D.cos 20° ( )

2.有一长为 1 的斜坡,它的倾斜角为 20° ,现高不变,将倾斜角改为 10° ,则斜坡长为(

)

3. 如图,设 A、B 两点在河的两岸,一测量者在 A 所在的同侧河 岸边选定一点 C,测出 AC 的距离为 50 m,∠ACB=45° , ∠CAB=105° 后,就可以计算出 A、B 两点的距离为( A.50 2 m C.25 2 m 二、填空题 4. 如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为 120° 的扇形 AOB, C 是该小区的一个出入口,且小区里有一条平行于 AO 的 小路 CD.已知某人从 O 沿 OD 走到 D 用了 2 分钟,从 D 沿着 DC 走到 C 用了 3 分钟.若此人步行的速度为每分钟 50 米,则该扇形的半径为________米. 5.一船以每小时 15 km 的速度向东航行,船在 A 处看到一个灯塔 M 在北偏东 60° 方向,行驶 4 h 后,船到 B 处,看到这个灯塔在北偏东 15° 方向,这时船与灯塔的距离为______ km. 6.如图,在四边形 ABCD 中,已知 AD⊥CD,AD=10,AB=14, ∠BDA=60° ,∠BCD=135° ,则 BC 的长为________. 三、解答题 B.50 3 m 25 2 D. m 2 )

7.(2010· 陕西)如图,在△ABC 中,已知∠B=45° ,D 是 BC 边上的 一点,AD=10,AC=14,DC=6,求 AB 的长.

8. 如图,甲船以每小时 30 2海里的速度向正北方航行,乙船按固 定方向匀速直线航行.当甲船位于 A1 处时,乙船位于甲船的北 偏西 105° 方向的 B1 处,此时两船相距 20 海里,当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时,乙船航行到甲船的北偏西 120° 方向的 B2 处, 此时两船相距 10 2海里.问:乙船每小时航行多少海里?


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