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指数函数


y

0

x

指 数 函 数

引例1

细胞分裂问题

分裂次数x 细胞总数y

引例1

细胞分裂问题

分裂次数x 细胞总数y

1

2

>
1

引例1

细胞分裂问题

分裂次数x 细胞总数y

1

2

2

1

2

2

引例1

细胞分裂问题

分裂次数x 细胞总数y

1

2

3

2

1

2

2

2

3

引例1

细胞分裂问题

分裂次数x 细胞总数y

1

2

3

4

2

1

2

2

2

3

2

4

引例1

细胞分裂问题 … … … …

用x表示y的关系式是:

y ? 2 , x?N ?
x


… … …

分裂次数x 细胞总数y

1

2

3
2

4

… …

2

1

2

2

3

2

4

引例2

一尺之棰,日取其半,万世不竭
出自《庄子 天下篇》

设木杖 原长为1个单位

… 3 4 …

截取次数x 剩余长度y





引例2

一尺之棰,日取其半,万世不竭
出自《庄子 天下篇》

设木杖 原长为1个单位

… 3
2

截取次数x 剩余长度y


?1? ? ? ?2?
1


?1? ? ? ?2?


3


4

?1? ? ? ?2?

?1? ? ? ?2?



引例2

一尺之棰,日取其半,万世不竭
出自《庄子 天下篇》 用x表示y的关系式是:

?1? y ? ? ? , x?N ? ?2?
设木杖 原长为1个单位

x

… 3
2

截取次数x 剩余长度y


?1? ? ? ?2?
1


?1? ? ? ?2?


3


4

?1? ? ? ?2?

?1? ? ? ?2?



引入概念
我们从两个实例抽象得到两个函数:
x

?1? y ? 2 与y ? ? ? ?2?
x

这两个函数有 何特点?

1.指数函数的定义:
形如y = ax(a?0,且a ?1)的函数叫做指数函

数,其中x是自变量 .函数的定义域是R .

动手操作, 画出图像
2.指数函数的图象:

x ?1? x 在同一坐标系中画出函数 y ? 2 与y ? ? ? ?2? 的图象. 描点 连线 描点法作图 列表
x 2x … -2 -1 0 … 0.25 0.5 1 -2
4

1 2 1
0.5

2 4 2

… … …

x … 1 x ( ) … 2

-1
2

0
1

0.25 …

y

?1? y?? ? ? 2?

x

y ? 2x

1

0

1

x

y

?1? y?? ? ? 2?

x

?1? y?? ? ? 3?

x

y ? 3x

y ? 2x

1

0

1

x

y

y

y

?1? y?? ? ? 2 ?y

x

?a

?1? y?? ? ? 3? x

x

y ? 3x

y ? 2x

(a ? 1)

y ? ax
(0 ? a ? 1)

1 1 0 1

x

0

1

0

x

x

指数函数

的图像及性质

a>1

图 象
y=1

y

0<a<1
y=ax
(a>1)

y=ax
(0<a<1)

y

(0,1)

y=1 x

(0,1)

当 x > 0 时,y > 1. 当 x < 0 时,. 0< y < 1

0

x

0 y > 1; 当 x < 0 时,
当 x > 0 时, 0< y < 1。

定义域: R 性 值 域: ( 0,+ ∞ ) 恒 过 点: ( 0 , 1 ) ,即 x = 0 时, y = 1 . 质 在 R 上是单调 增函数 在 R 上是单调 减函数

y

?1? y?? ? ? 2?

x

?1? y?? ? ? 3?

x

y ? 3 x y ? 2x

在第一象限 沿箭头方向 底增大

底互为倒数的 两个函数图像 关于y轴对称
1 0
?1? y?? ? ? 3?
x

?1? y?? ? ? 2?

x

x

?

例3:

同底指数幂比大 小,构造指数函数, 比较下列各题中两值的大小 利用函数单调性

(1) 1.72.5 , 1.73; (2) 0.8-01,0.8-02

同底比较大小

( 3)



不同底数幂比大小 ,利用指数函数图像与 (4 ) 与 不同底但可化同底 底的关系比较

利用函数图像 (5)(0.3) -0.3 与 (0.2) -0.3 或中间变量进行不同底但同指数 比较 (6)1.70.3与 0.93.1

底不同,指数也不同

分析:(1)1.7 和1.7 3时的函数值

2.5

3

可以看作函数y=1.7 当x分别为2.5和

x

y

y=1.7

x

y=0.8

x
y
(0,1)

(0,1)

2.5 3 x
-0.2 -0.1

0

x

例4:已知下列不等式 , 比较 m,n 的大小 : ( 1) 2 m ? 2 n (2) 0.2m ? 0.2n (3) a m ? a n (a ? 0且a ? 1)

指数函数单调 性的应用,建立函 数思想和分类讨论 思想


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