nbhkdz.com冰点文库

广东省广州市2013届高三元月调研测试数学文试题 Word版

时间:2013-01-11


试卷类型:A

广州市 2013 届高三年级调研测试

数 学(文 科)

2013.1

本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、 座位号填写在答题卡上.用 2B 铅笔将试卷类型(A

)填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息 点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷 上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目 指定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的 答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏 涂、错涂、多涂的,答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.复数 1 ? i(i 为虚数单位)的模等于 A. 2 B. 1 C.
2 2

D.

1 2

2.已知集合 A ? { 0 ,1, 2 , 3 , 4 } ,集合 B ? { x | x ? 2 n , n ? A } ,则 A ? B ? A. { 0 } B. { 0 , 4} C. { 2 , 4 } D. { 0 , 2 , 4 }

3.已知函数 f

?x?

?l o g 2 x , x ? 0 ? ? 1 ?? ? ? , 则 f ? f ? ? ? 的值是 x ? ? 4 ?? ?3 , x ? 0
1 9

A. 9

B.

C. ? 9

D. ?

1 9

4.已知等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,若 a 3 ? a 4 ? a 5 ? 1 2 ,则 S 7 的值为 A. 5 6 B. 4 2
x

C. 2 8

D. 1 4

5.已知 e 为自然对数的底数,函数 y ? x e 的单调递增区间是 A . ? ? 1, ? ? ? ? B. ? ? ? , ? 1 ? ? C. ?1, ? ? ? ? D. ? ? ? , 1 ? ?

6.设 m , n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,下列命题正确的是 A. 若 m // n , m // ? , 则 n // ? B. 若 ? ? ? , ? ? ? , 则 ? // ?

第 1 页 共 13 页

C. 若 m // ? , n // ? , 则 m // n 7.如图 1,程序结束输出 s 的值是 A. 30 8.已知函数 f B. 55

D. 若 m ? ? , n // ? , 则 m ? n

C. 91
2

D. 140

?x?

?

?1
?
2

? cos 2 x ? ? cos

x , x ? R,则 f

?x? 是

A.最小正周期为

的奇函数

B.最小正周期为 ? 的奇函数

C.最小正周期为

?
2

的偶函数

D.最小正周期为 ? 的偶函数

9.在区间 ?1, 5 ? 和 ? 2 , 4 ? 分别取一个数,记为 a , b , ? ? ? ? 则方程
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 表示焦点在 x 轴上且离心率小于

3 2



椭圆的概率为 A.
1 2

B.

15 32

C.

17 32

D.

31 32

10. R 上定义运算 ? : x ? y ? x (1 ? y ). 若对任意 x ? 2 , 在 不等式 ? x ? a ? ? x ? a ? 2 都成立,则实数 a 的取值范围是 A. ? ? 1, 7 ? ? ? B.

? ?? ,3? ?

C.

? ??,7 ? ?

D.

? ? ? , ? 1? ?

? ?7, ?? ? ?

二.填空题: 本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11.已知 f

? x ? 是奇函数,

g

?x?

?

f

?x?

? 4 , g ?1 ? ? 2 ,

则f

? ? 1 ? 的值是
.

.

12.已知向量 a , b 都是单位向量,且 a ?b ?

1 2

,则 2 a ? b 的值为

* 13.设 f 1 ( x ) ? cos x ,定义 f n ? 1 ( x ) 为 f n ( x ) 的导数,即 f n ? 1 ( x ) ? f ' n ( x ) , n ? N ,若

? ABC 的内角 A 满足 f 1( A ) ? f 2( A ) ? ? ? f 2 0 1 3( A ) ? 0 ,则 s i n A 的值是

.

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14.(几何证明选讲选做题) 如图 2,已知 A B 是⊙ O 的一条弦,点 P 为 A B 上一点, P C ? O P , P C 交⊙ O 于 C ,若 A P ? 4 , P B ? 2 ,
第 2 页 共 13 页
C A P O

B

图2

则 P C 的长是

.

15. (坐标系与参数方程选讲选做题)
? x ? cos ? , ? y ? s i n ? ? 2,

已知圆 C 的参数方程为 ?

( ? 为参数), 以原点为极点, x 轴的正半轴为极

轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ? s i n ? ? ? c o s ? ? 1 , 则直线 l 截圆 C 所得 的弦长是 .

三.解答题: 本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? s i n ?
?? ? ? x ? ? sin x . ? 2 ?

(1)求函数 y ? f ( x ) 的单调递增区间;
?
4 2 3

(2)若 f ( ? ?

) ?

,求 f ( 2 ? ?

?
4

) 的值.

17. (本小题满分 12 分) 某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出 7 名学生参加数学竞赛,他们取得的成绩(满分 100 分)的茎叶图如图 3,其中甲班学生的平均分是 85,乙班学生成绩的中位数是 83. (1)求 x 和 y 的值;
甲 乙 7 8 9 6 1 1 y 1 1 6

(2)计算甲班 7 位学生成绩的方差 s ; (3)从成绩在 90 分以上的学生中随机抽取两名学生, 求甲班至少有一名学生的概率.
1 参考公式:方差 s ? ? x1 ? x ? n ?
2

2

8 5

9

x 0 6 2

?

? ? ?x
2

2

? x

?

2

? ? ? ? ? xn ? x

?

?

2

? , ? ?

图3

其中 x ?

x1 ? x 2 ? ? ? x n n

.

18.(本小题满分 14 分) 已知四棱锥 P ? A B C D 的正视图是一个底边长为 4 、腰长为 3 的等腰三角形,图 4、图 5 分别是四棱锥 P ? A B C D 的侧视图和俯视图. (1)求证: A D ? P C ; (2)求四棱锥 P ? A B C D 的侧面 P A B 的面积.
P
2 2

2

侧视

D A
正视

第 3 页 共 13 页
C B
2

图4

图5

19. (本小题满分 14 分) 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,数列 { S n ? 1} 是公比为 2 的等比数列,a 2 是 a 1 和 a 3 的 等比中项. (1)求数列 { a n } 的通项公式; (2)求数列 ? n a n ? 的前 n 项和 T n .

20.(本小题满分 14 分) 已知 f

? x ? 是二次函数,不等式 f ? x ?

? 0 的解集是 ? 0 , 5 ? , f 且

? x ? 在点 ? 1, f ? 1 ? ? 处

的切线与直线 6 x ? y ? 1 ? 0 平行. (1)求 f

? x ? 的解析式;
?x?
? 37 x ? 0 在区间 ? t , t ? 1 ? 内有两个不等的实数

* (2)是否存在 t ? N ,使得方程 f

根?若存在,求出 t 的值;若不存在,说明理由.

21.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C 1 :
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ? a ? b ? 0 ? 的右焦点与抛物线 C 2 : y ? 4 x 的焦点 F 重合,
2

椭圆 C 1 与抛物线 C 2 在第一象限的交点为 P , P F ? (1)求椭圆 C 1 的方程;

5 3

.

(2) 若过点 A ? ? 1, 0 ? 的直线与椭圆 C 1 相交于 M 、 N 两点,求使 F M ? F N ? F R 成立的 动点 R 的轨迹方程; (3) 若点 R 满足条件(2),点 T 是圆 ? x ? 1 ? ? y
2 2

???? ?

????

??? ?

? 1 上的动点,求 R T 的最大值.

第 4 页 共 13 页

广州市 2013 届高三年级调研测试 数学(文科)试题参考答案及评分标准
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几 种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同, 可根据试题主要考查的知识点和 能力比照评分标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答 未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得 超过该部分正确解答应得分数的一半; 如果后继部分的解答有较严重的错误,就不 再给分.2013-1-10 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 答案

1 A

2 D

3 B

4 C

5 A

6 D

7 C

8 C

9 B

10 C

二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共 5 小题,考生作答 4 小题, 每小题 5 分,满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 11. 2 12.
3

13. 1

14. 2 2

15.

2

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) (本小题主要考查三角函数性质、同角三角函数的基本关系、二倍角公式等知识, 考查化归 与转化的数学思想方法和运算求解能力) (1) 解: f ( x ) ? s i n ?
?? ? ? x ? ? sin x ? 2 ?

? cos x ? sin x

????? 1 分
? cos x ? ? 2 ? 2

?

? 2 2 ? sin x ? ? 2 ?
? ? ? 2 sin ? x ? ?. 4 ? ?

?

????? 3 分

由?

?
2

? 2k? ? x ?

?
4

?

?
2

? 2k? ,

????? 4 分

第 5 页 共 13 页

解得 ?

3? 4

? 2k? ? x ?

?
4

? 2 k ? , k ? Z.

????? 5 分

∴ y ? f ( x ) 的单调递增区间是[ ?

3? 4

? 2k? ,

?
4

? 2 k ? ] , k ? Z.

???? 6 分

(2)解:由(1)可知 f ( x ) ?
?
4

2 sin( x ?

?
4

),

∴ f (? ?

) ?

2 sin ? ?

2 3

, sin ? ? 得

1 3

.

????? 8 分

∴ f ( 2? ?

?
4

) ?

? ? ? 2 s i n ? 2? ? ? 2 ? ?

????? 9 分

?

2 c o s 2?

????? 10 分
2

?

2 1 ? 2 sin ?

?

?

????? 11 分

?

7 9

2

.

????? 12 分

17.(本小题满分 12 分) (本小题主要考查茎叶图、样本均值、样本方差、概率等知识, 考查或然与必然的数学思想 方法,以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识) (1)解:∵甲班学生的平均分是 85, ∴
92 ? 96 ? 80 ? 80 ? x ? 85 ? 79 ? 78 7 ? 85 .

????? 1 分 ????? 2 分

∴x ? 5. ∵乙班学生成绩的中位数是 83, ∴y ? 3. (2)解:甲班 7 位学生成绩的方差为
s ?
2
2 1 ? ? ?6 ? ? ? 7 ?

????? 3 分

? ?7 ?

2

?

? ?5?

2

? 0

2

? 0

2

? 7

2

2 ? 11 ? ? 40 . ? ?

?? 5 分

(3)解:甲班成绩在 90 分以上的学生有两名,分别记为 A , B , 乙班成绩在 90 分以上的学生有三名,分别记为 C , D , E .

????? 6 分 ????? 7 分

从这五名学生任意抽取两名学生共有 10 种情况: ? A , B ? , ? A , C ? , ? A , D ? ,

? A, E ? , ? B , C ? , ? B , D ? , ? B , E ? , ? C , D ? , ? C , E ? , ? D , E ? .

????? 9 分

其中甲班至少有一名学生共有 7 种情况: ? A , B ? , ? A , C ? , ? A , D ? ,
第 6 页 共 13 页

? A, E ? , ? B , C ? , ? B , D ? , ? B , E ? .
7 10

?????11 分

记“从成绩在 90 分以上的学生中随机抽取两名学生,甲班至少有一名学生”为事 件 M ,则 P ? M ? ? .
7 10

答: 从成绩在 90 分以上的学生中随机抽取两名学生, 甲校至少有一名学生的概率为

.

?????12 分 18. (本小题满分14分) (本小题主要考查空间线面位置关系、三视图、几何体的侧面积等知识,考查数形结合、化 归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) (1)证明:依题意,可知点 P 在平面 A B C D 上的正射影是线段 C D 的中点 E ,连接 P E , 则 P E ? 平面 A B C D . ????? 2 分 ∵ A D ? 平面 A B C D , ∴ AD ? PE . ????? 3 分 ∵ A D ? C D , C D ? P E ? E , C D ? 平面 P C D , P E ? 平面 P C D , ∴ A D ? 平面 P C D . ????? 5 分 ∵ P C ? 平面 P C D , ∴ AD ? PC . ????? 6 分 (2)解:依题意,在等腰三角形 P C D 中, P C ? P D ? 3 , D E ? E C ? 2 , 在 Rt△ P E D 中, P E ?
PD
2

? DE

2

?

5 ,????? 7 分

P

过 E 作 E F ? A B ,垂足为 F ,连接 P F , ∵ P E ? 平面 A B C D , A B ? 平面 A B C D , ∴ AB ? PE . ????? 8 分 ∵ E F ? 平面 P E F , P E ? 平面 P E F , E F ? P E ? E , ∴ A B ? 平面 P E F . ∵ P F ? 平面 P E F , ∴ AB ? PF . 依题意得 E F ? A D ? 2 . 在 Rt△ P E F 中, P F ? ∴△ P A B 的面积为 S ?
1 2

????? 9 分 ????? 10 分 ????? 11 分
PE
2

D F

E B

C

A

? EF

2

? 3,

????? 12 分

?A B ?P F ? 6 .

∴四棱锥 P ? A B C D 的侧面 P A B 的面积为 6 . 19. (本小题满分 14 分)

????? 14 分

(本小题主要考查数列、数列求和等知识, 考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法, 以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识) (1)解:∵ { S n ? 1} 是公比为 2 的等比数列, ∴ S n ? 1 ? ( S 1 ? 1) ? 2
n ?1

? ( a 1 ? 1) ? 2

n ?1

.

????? 1 分

第 7 页 共 13 页

∴ S n ? ( a 1 ? 1) ? 2

n ?1

?1.

从而 a 2 ? S 2 ? S 1 ? a 1 ? 1 , a 3 ? S 3 ? S 2 ? 2 a 1 ? 2 . ∵ a 2 是 a 1 和 a 3 的等比中项 ∴ ( a 1 ? 1) ? a 1 ? ( 2 a 1 ? 2 ) ,解得 a 1 ? 1 或 a 1 ? ? 1 .
2

????? 3 分

????? 4 分 ????? 5 分

当 a 1 ? ? 1 时, S 1 ? 1 ? 0 , { S n ? 1} 不是等比数列, ∴ a1 ? 1 . ∴Sn ? 2 ?1.
n

????? 6 分
n ?1

当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ? 1 ? 2 ∵ a 1 ? 1 符合 a n ? 2 ∴an ? 2
n ?1 n ?1

.

????? 7 分

, ????? 8 分

.
n ?1

(2)解:∵ n a n ? n ?2


1 2

∴ Tn ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2
2 Tn ? 1 ? 2
1

? ? ? n ?2
3

n ?1

.
n



????? 9 分 ????? 10 分 ????? 11 分

? 2 ? 2

2

? 3 ? 2

? ? ? n ?2 .②
n ?1

① ? ②得 ? T n ? 1 ? 2 ? 2
? 1 ? 2
n

2

? ? ? 2

? n ?2

n

1 ? 2

? n ?2

n

????? 12 分

? ? 1 ? n ? ?2

n

? 1.

????? 13 分 ????? 14 分

∴ Tn ?

?n

? 1 ? ?2

n

? 1.

20.(本小题满分 14 分) (本小题主要考查二次函数、函数的性质、方程的根等知识, 考查函数与方程、分类与整合 的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识) (1)解法 1:∵ f ∴可设 f
/

? x ? 是二次函数,不等式 f ? x ?
? ax

? 0 的解集是 ? 0 , 5 ? ,

?x?

?x

? 5? ,a ? 0 .

????? 1 分 ????? 2 分

∴ f ( x) ? 2ax ? 5a .
第 8 页 共 13 页

∵函数 f ∴f
/

? x ? 在点 ? 1, f ? 1 ? ? 处的切线与直线 6 x
? ?6 .

? y ? 1 ? 0 平行,

?1 ?

????? 3 分 ????? 4 分 ????? 5 分

∴ 2 a ? 5 a ? ? 6 ,解得 a ? 2 . ∴f

?x?

? 2x

?x

? 5? ? 2x
2

2

? 10 x .

解法 2:设 f

?x?

? ax

? bx ? c ,

∵不等式 f ∴方程 a x
2

?x?

? 0 的解集是 ? 0 , 5 ? ,

? b x ? c ? 0 的两根为 0 , 5 .

∴ c ? 0, 2 5 a ? 5b ? 0 . ∵ f ( x) ? 2ax ? b . 又函数 f ∴f
/



????? 2 分

/

? x ? 在点 ? 1, f ? 1 ? ? 处的切线与直线 6 x
? ?6 .

? y ? 1 ? 0 平行,

?1 ?

∴ 2a ? b ? ?6 . 由①②,解得 a ? 2 , b ? ? 1 0 . ∴f



????? 3 分 ????? 4 分 ????? 5 分

?x?

? 2x

2

? 10 x .

(2)解:由(1)知,方程 f

?x?

?

37 x

? 0 等价于方程 2 x

3

? 10 x

2

? 37 ? 0 .

????? 6 分 设h ? x? ? 2x 则h
/

3

? 10 x
2

2

? 37 ,

?x?
? ?

? 6x

? 20 x ? 2 x ?3 x ? 10 ? .

????? 7 分
? ? 10 ? ? 上单调递减; ??? 8 分 3 ?

当 x ? ? 0,
? 10

10 ? / ? 时, h 3 ?

?x?

? 0 ,函数 h

? x ? 在 ? 0, ? x ? 在?

当x ? ?

? / , ? ? ? 时, h ? 3 ?

?x?

? 0 ,函数 h

? 10

? , ? ? ? 上单调递增. ? 9 分 ? 3 ?

∵ h ? 3 ? ? 1 ? 0, h ?

? 10 ? 1 ? 0, h ? 4 ? ? 5 ? 0 , ? ? ? 27 ? 3 ?

????? 12 分

第 9 页 共 13 页

∴方程 h ? x ? ? 0 在区间 ? 3 ,
?

?

? 10 ? 10 ? , 4 ? 内分别有唯一实数根,在区间 ? 0 , 3 ? , ? ,? 3 ? ? 3 ?

? 4, ? ? ? 内没有实数根.
∴存在唯一的自然数 t ? 3 ,使得方程 f 有两个不等的实数根. 21.(本小题满分 14 分)

????? 13 分

?x?

?

37 x

? 0 在区间 ? t , t ? 1 ? 内有且只

????? 14 分

(本小题主要考查求曲线的轨迹方程、直线、椭圆、抛物线等知识, 考查数形结合、化归 与转化、函数与方程的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识) (1)解法 1:抛物线 C 2 : y ? 4 x 的焦点 F 的坐标为 ? 1, 0 ? ,准线为 x ? ? 1 ,
2

设点 P 的坐标为 ? x 0 , y 0 ? , 依据抛物线的定义, P F ? 由

5 3

, 1 ? x0 ? 得

5 3

, 解得 x 0 ?

2 3

.

????? 1 分 ∵ 点 P 在抛物线 C 2 上,且在第一象限,
2 3

∴ y0 ? 4 x0 ? 4 ?
2

,解得 y 0 ?
? ?. ? ?
2 2

2 3

6

.

∴点 P 的坐标为 ?

?2 2 6 , ?3 3 ?

????? 2 分

∵点 P 在椭圆 C 1 :
2

x a
2

2 2

?

y b
2

? 1 上,



4 9a
2

?

8 3b
2

?1.

????? 3 分

又 c ? 1 ,且 a ? b ? c ? b ? 1 ,
2

????? 4 分

解得 a ? 4, b ? 3 .
2 2

∴椭圆 C 1 的方程为
2

x

2

?

y

2

? 1.

????? 5 分

4

3

解法 2: 抛物线 C 2 : y ? 4 x 的焦点 F 的坐标为 ? 1, 0 ? , 设点 P 的坐标为 ? x 0 , y 0 ? , x 0 ? 0 , y 0 ? 0 . ∵ PF ?
5 3

,

第 10 页 共 13 页

∴ ? x0 ? 1? ? y0 ?
2 2

25 9
2

.



????? 1 分

∵点 P 在抛物线 C 2 : y ? 4 x 上, ∴ y0 ? 4 x0 .
2


2 3

解①②得 x 0 ?

, y0 ?

2 3
? ?. ? ?
2 2

6

.

∴点 P 的坐标为 ?

?2 2 6 , ?3 3 ?

????? 2 分

∵点 P 在椭圆 C 1 :
2

x a
2

2 2

?

y b
2

? 1 上,



4 9a
2

?

8 3b
2

?1.

????? 3 分

又 c ? 1 ,且 a ? b ? c ? b ? 1 ,
2

????? 4 分

解得 a ? 4, b ? 3 .
2 2

∴椭圆 C 1 的方程为

x

2

?

y

2

? 1.

????? 5 分

4

3

(2)解法 1:设点 M ? x1 , y 1 ? 、 N ? x 2 , y 2 ? 、 R ? x , y ? , 则 F M ? ? x1 ? 1, y 1 ? , F N ? ? x 2 ? 1, y 2 ? , F R ? ? x ? 1, y ? . ∴ F M ? F N ? ? x1 ? x 2 ? 2, y 1 ? y 2 ? . ∵ FM ? FN ? FR , ∴ x1 ? x 2 ? 2 ? x ? 1, y1 ? y 2 ? y .
x1 4
2

???? ?

????

??? ?

???? ?

????

???? ?

????

??? ?


y1 3
2

????? 6 分

∵ M 、 N 在椭圆 C 1 上, ∴

?

? 1,

x2 4

2

?

y2 3

2

? 1.

上面两式相减得

? x1

? x2

? ? x1
4

? x2

?

?

? y1

? y2

? ? y1
3

? y2

?

? 0 .②

把①式代入②式得

? x ? 1 ? ? x1 ?
4

x2 ?

?

y ? y1 ? y 2 ? 3

? 0.

当 x1 ? x 2 时,得

y1 ? y 2 x1 ? x 2

? ?

3 ? x ? 1? 4y

.

③ ????? 7 分

第 11 页 共 13 页

设 F R 的中点为 Q ,则 Q 的坐标为 ? ∵ M 、 N 、 Q 、 A 四点共线,
y

? x ?1 y ? , ?. 2 ? ? 2

∴ k M N ? k AQ , 即

y1 ? y 2 x1 ? x 2

?

2 x ?1 2

? ?1

y x?3

.



????? 8 分

把④式代入③式,得

y x?3

? ?

3 ? x ? 1? 4y



化简得 4 y ? 3 ? x ? 4 x ? 3 ? ? 0 .
2 2

????? 9 分

当 x1 ? x 2 时,可得点 R 的坐标为 ? ? 3, 0 ? , 经检验,点 R ? ? 3, 0 ? 在曲线 4 y ? 3 ? x ? 4 x ? 3 ? ? 0 上.
2 2

∴动点 R 的轨迹方程为 4 y ? 3 ? x ? 4 x ? 3 ? ? 0 .
2 2

????? 10 分

解法 2:当直线 M N 的斜率存在时,设直线 M N 的方程为 y ? k ? x ? 1 ? ,
? y ? k ? x ? 1? , ? 2 2 由? x2 消去 y ,得 3 ? 4 k y ? ? 1, ? 3 ? 4

?

?x

2

? 8k x ? 4k
2

2

? 12 ? 0 .

设点 M ? x1 , y 1 ? 、 N ? x 2 , y 2 ? 、 R ? x , y ? ,
8k
2 2

则 x1 ? x 2 ? ?

3 ? 4k

,

y1 ? y 2 ? k

?x

1

? 1? ? k

?x

2

? 1? ? k

?x

1

? x2 ? 2 ? ?

6k 3 ? 4k
2

.?6 分

∵ F M ? ? x1 ? 1, y 1 ? , F N ? ? x 2 ? 1, y 2 ? , F R ? ? x ? 1, y ? . ∴ F M ? F N ? ? x1 ? x 2 ? 2, y 1 ? y 2 ? . ∵ FM ? FN ? FR , ∴ x1 ? x 2 ? 2 ? x ? 1, y1 ? y 2 ? y .
8k
2 2

???? ?

????

??? ?

???? ?

????

???? ?

????

??? ?

∴ x ? 1 ? x1 ? x 2 ? ?

3 ? 4k

,



第 12 页 共 13 页

y ?

6k 3 ? 4k
2

.
3 ? x ? 1? 4y



????? 7 分

① ? ②得 k ? ?





????? 8 分

把③代入②化简得 4 y ? 3 ? x ? 4 x ? 3 ? ? 0 . (*)
2 2

????? 9 分

当直线 M N 的斜率不存在时,设直线 M N 的方程为 x ? ? 1 , 依题意, 可得点 R 的坐标为 ? ? 3, 0 ? , 经检验,点 R ? ? 3, 0 ? 在曲线 4 y ? 3 ? x ? 4 x ? 3 ? ? 0 上.
2 2

∴动点 R 的轨迹方程为 4 y ? 3 ? x ? 4 x ? 3 ? ? 0 .
2 2

????? 10 分

(3)解: 由(2)知点 R
2

? x , y ? 的坐标满足 4 y
2

2

? 3 ? x ? 4 x ? 3? ? 0 ,
2

即 4 y ? ?3? x ? 4 x ? 3? , 由y
2

? 0 ,得 ? 3 ? x ? 4 x ? 3 ? ? 0 ,解得 ? 3 ? x ? ? 1 .
2

????? 11 分

∵圆 ? x ? 1 ? ? y
2

2

? 1 的圆心为 F ? 1, 0 ? ,半径 r ? 1 ,
2

∴ RF

?

?x
1 2

? 1?

? y

2

?

?x

? 1?

2

?

3 4

?x

2

? 4x ? 3

?
????? 12 分

?

?x

? 10 ?

2

? 105 .

∴当 x ? ? 3 时, R F 此时, R T

max

? 4,

????? 13 分 ????? 14 分

max

? 4 ? 1 ? 5.

第 13 页 共 13 页


武汉市武昌区2013届高三元月调研测试(数学文)

湖北省武昌区 2012 届高三年级元月调研测试 数学试题(文)本试卷共 150 分,考试用时 120 分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项: 1.本卷 1 一 10 题为选择题,共...

湖北省武昌区2013届高三元月调研测试数学(文)试题(扫描...

湖北省武昌区2013届高三元月调研测试数学(文)试题(扫描版)有答案 1111隐藏>> 1 2 3 武昌区 2013 届高三元月调研测试文科数学参考答案及评分细则一、选择题: ...

湖北省荆门市2016届高三元月调考文科数学试题(Word版含...

湖北省荆门市2016届高三元月调考文科数学试题(Word版含解析)_数学_高中教育_教育专区。荆门市 2 0 1 6 年高三年级元月调考 数学(文科)试卷 第 I 卷(选择...

...2013届高三元月上学期期末考试数学文试题(word版)

北京市昌平区2013届高三元月上学期期末考试数学文试题(word版) 隐藏>> 北京市昌平区 2013 届高三元月上学期期末考试数学文试题 (满分 150 分,考试时间 120 分钟...

湖北省武昌区2017届高三元月调考数学(文)试题 Word版

湖北省武昌区2017届高三元月调考数学(文)试题 Word版_数学_高中教育_教育专区。湖北省武昌区2017届高三元月调考数学(文)试题 Word版 ...

...武昌区2016届高三元月调研考试数学理试题 Word版含...

湖北省武汉市武昌区2016届高三元月调研考试数学试题 Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。武昌区2016 届高三年级元月调研考试 理科数学注意事项: 1.本试卷分...

湖北省荆门市2015届高三元月调研考试数学(文)试题 Word...

湖北省荆门市2015届高三元月调研考试数学(文)试题 Word版含答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。绝密★ 启用前 荆门市 2014-2015 学年度高三年级元月调研考试...

湖北省荆门市2016届高三元月调考理科数学试题(Word版含...

湖北省荆门市2016届高三元月调考理科数学试题(Word版含解析)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。荆门市 2 0 1 6 年高三年级元月调考 数学(理科)试卷 第 I ...

...武昌区2016届高三元月调研考试数学文试卷 Word版含...

湖北省武汉市武昌区2016届高三元月调研考试数学文试卷 Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。武昌区2016 届高三年级元月调研考试 文科数学注意事项: 1.本试卷分...

...一中2013届高三上学期元月联考数学文试题 Word版含...

安徽省师大附中、安庆一中2013届高三上学期元月联考数学文试题 Word版含答案 隐藏>> 安徽师大附中、安庆一中 2013 届高三联考 数学试题(文史类)一、选择题(本大题...