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2017届山西省长治二中、忻州一中、 临汾一中、康杰中学、晋城一中高三上学期第一次联考数学(文)试题


2017 届 高 三 第 一 次 五 校 联 考 文 科 数 学 试 题
命题:长治二中 晋城一中 康杰中学 临汾一中 忻州一中 (考试时间 120 分钟 满分 150 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知全集为 R,集合 A ? ? x | x ? ?2 或 x

? 3? , B ? ??2, 0, 2, 4? ,则 (CR A) ? B = A. ?? 2,0,2? B. ?? 2,2,4? C. ?? 2,0,3? D. ?0,2,4?

2.已知复数 z ? ?3 ? 4i ( i 是虚数单位) ,则复数 A. ?

z 的虚部为 1? i
1 2
D. ?

1 2

B.

1 i 2 3 10 7 10

C.

1 i 2

3.从 1,2,3,4,5 中任取两个数,则这两个数的乘积为偶数的概率为 A. C.

1 10 3 5

B. D.

第 4 题图

4.一个空间几何体的三视图如图所示,其中正视图为等腰直角三角形, 侧视图与俯视图为正方形,则该几何体的体积为 A. 64 C. B. 32 D. 开始 f0(x)=cosx i=0 i=i+1 fi(x)=f ?i-1(x)


64 3

32 3

5.执行如图所示的程序框图,则输出的结果是 A. sin x C. cos x B. ? sin x D. ? cos x

6.设等差数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,若

a1008 ? 0, a1007 ? a1008 ? 0 ,则满足 S n S n ?1 ? 0 的正整数 n 为
A. 2013 C. 2015 B. 2014 D. 2016

i=2016?


输出 fi(x) 结束
第 5 题图

7.下列说法中错误的个数是 ①命题“ ?x1, x 2 ? M , x1 ? x 2 , 有 [ f ( x1 ) ? f ( x 2 )]( x 2 ? x1 ) ? 0 ”的否 定是“ ?x1, x 2 ? M , x1 ? x 2 , 有 [ f ( x1 ) ? f ( x 2 )]( x 2 ? x1 ) ? 0 ” ; ②若一个命题的逆命题为真命题,则它的否命题也一定为真命题; ③ 已 知 p : x ? 2x ? 3 ? 0 , q :
2

1 ? 1 , 若 命 题 ( ? q) ? p 为 真 命 题 , 则 x 的 取 值 范 围 是 3? x

(??, ?3) ? (1, 2) ? [3, ??) ;
页 1第

④“ x ? 3 ”是“ x ? 3 ”成立的充分条件. A .1 B.2 C.3 D.4

8.已知函数 f ( x) ? sin x ? a cos x ( a ? R)图象的一条对称轴是 x ? 值为 A .5 B.3 C. 5

?
4

,则函数 g ( x) ? sin x ? f ( x) 的最大

D. 3

9.已知定义在 R 上的函数 f ( x) 满足: f ( x ? 2) ? f ( x) ,在区间 [?1,1) 上,

? 4 x ? a, ?1 ? x ? 0 5 9 f ( x) ? ? 2 ,若 f (? ) ? f ( ) ? 0 ,则 f (4a ) ? 2 2 ? x ? log 2 x, 0 ? x ? 1
A. 1 B. ? 1
2 2

C.

1 2

D. ?

1 2

10. 已知直线 y ? ax 与圆 C : x ? y ? 2ax ? 2 y ? 2 ? 0 交于两点 A, B , 且 ?CAB 为等边三角形, 则圆 C 的面积为 A. 49?
2

B. 36?

C. 7?

D. 6?

11. 已知抛物线 C : y ? 4 x 的焦点为 F , 定点 A(0,?2) , 若射线 FA 与抛物线 C 交于点 M , 与抛物线 C 的 准线交于点 N ,则 MN : FN 的值是 A. ( 5 ? 2) : 5 C. 1 : 2 5 12.已知函数 f ( x) ? ? B. 2 : 5 D. 5 : (1 ? 5)

x?0 ? ? 2 x, ,若函数 g ( x) ? f ( x) ? a 恰有三个互不相同的零点 x1 , x2 , x3 ,则 2 ?? x ? x , x ? 0

x1 x2 x3 的取值范围是
A. ( ?

1 ,0) 32

B. ( ?

1 ,0) 16

C. (0,

1 ) 32

D. (0,

1 ) 16

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填写在答题卷指定位置) 13.已知点 A(1,2), B (?1,3), C (2,1) ,则 AB ? (2 AC ? BC ) ? .

? 2x ? y ? 0 ? 14.若实数 x, y 满足 ? x ? y ? 0 ,则 z ? 3 x ? y 的最小值为 ?x ? y ? 3 ? 0 ?



15 . 已 知 ?ABC 的 面 积 为 S , 三 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c . 若 4 S ? a 2 ? b 2 ? c 2 , 则

π sin C ? cos( B ? ) 取最大值时 C ? 4
16 .已知双曲线



x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,等边三角形 PF1F2 与双曲线交于 a 2 b2
2第



M , N 两点,若 M , N 分别为线段 PF1 , PF 2 的中点,则该双曲线的离心率为
三、解答题(共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分12分)设数列 ?an ? 的前n项和为 S n ,且 2an ? S n ? 2(n ? N*). (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ? log 2 an ,求数列 ?



? 1 ? ? 的前 n 项和 Tn . ? bnbn ? 2 ?
为菱形, 中点.

18. (本小题满分 12 分) 如图所示, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD

N 为 BC E 为 AC 与 BD 的交点, PA ? 平面 ABCD , M 为 PA 中点,
(1)证明:直线 MN / / 平面 PCD ; (2)若点 Q 为 PC 中点,?BAD ? 120? , PA ? 3, AB ? 1 ,求三棱锥

A ? QCD 的体积.

19. (本小题满分 12 分)学业水平考试(满分为 100 分)中,

成 绩 在 到 40 分为 生 480 名, 成绩为 A 成绩, 按从

?80,100? 为 A 等,在 ?60,80 ? 为 B 等,在 ? 40, 60 ? 为 C 等,不
D 等.某校高二年级共有 1200 名学生,其中男生 720 名,女
该校组织了一次物理学业水平模拟考试. 为研究这次物理考试 等是否与性别有关, 现按性别采用分层抽样抽取 100 名学生的 低到高分成

?30, 40 ? , ? 40,50 ? , ?50, 60 ? , ?60, 70 ? , ?70,80 ? , ?80,90 ? , ?90,100? 七组,并绘制成如图所示的频率分布直方
图.

(1)估计该校高二年级学生在物理学业水平考试中,成绩为 D 等的人数;

(2)请你根据已知条件将下列 2 ? 2 列联表补充完整,并判断是否有 90% 的把握认为“该校高二年级学生 在本次考试中物理成绩为 A 等与性别有关”? 物理成绩为 A 等 男生 女生


物理成绩不为 A 等

合计

a ? 14

b?
d?
3第

c?

合计

n ? 100

附:

K2 ?

n(ad ? bc) 2 , (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

P( K 2 ? k )

0.100 2.706

0.050 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.001 10.828

k

x2 y 2 2 20. (本小题满分 12 分)椭圆 C : 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的离心率为 ,且过点 P ( 2,1) . a b 2
(1)求椭圆 C 的方程; (2)若 A1 , A2 分别是椭圆的左、右顶点,动点 M 满足 MA2 ? A1 A2 ,且 MA1 交椭圆 C 于不同于 A1 的点 R , 求证: OR ? OM 为定值.

??? ? ???? ?

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? ae (a ? R) .
x

(1)讨论函数 f ( x) 的单调性; (2)当 x ? 0, a ? 1 时,证明: x ? (a ? 1) x ? xf ?( x) .
2

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分 22. (本小题满分 10 分)如图,已知 AB 为圆 O 的直径, C , D 是圆 O 上的两个点, C 是劣弧 BD 的中 点, CE ? AB 于 E , BD 交 AC 于 G ,交 CE 于 F . (1)求证: CF ? FG (2)求证: DG ? AC ? AG ? CE .

23.(本小题满分 10 分)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程





4第

? x ?1? ? ? ? ?y ? 2 ? ? ?

2 t 2 ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标 (t为参数) 2 t 2

方程为 ? ? 4 sin ? . (1)写出直线 l 的普通方程和曲线 C2 的直角坐标方程; (2)直线 l 与曲线 C2 交于 A、B 两点,求 AB .

24. (本小题满分 10 分)已知函数 f ( x) ? x ? 2 ? x ? 1 (1)求不等式 f ( x) ? 5 的解集; (2)若对于任意的实数 x 恒有 f ( x) ? a ? 1 成立,求实数 a 的取值范围.



5第

2017届高三第一次五校联考文科数学参考答案
一、选择题: 题号 答案 二、填空题: 13. -14 三、解答题: 17.解:(1)由 2an ? S n ? 2 得, 2an -1 ? S n -1 ? 2 ( n ? 2 ) ,两式相减得 an ? 2an ?1 ( n ? 2 ) . 当n=1时, a1 =2,所以数列{an}是首项为2、公比为2的等比数列,则 an ? 2n .??6分 (2)由(1)知,bn=n,所以 1 11 1 = ( - ). bnbn+2 2 n n+2 14. 5 15. 1 A 2 A 3 D 4 B 5 C 6 B 7 C 8 C 9 A 10 D 11 D 12 A

?
4

16. 3+1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 13 1 1 则数列{ }的前n项和Tn= [(1- )+( - )+( - )+…+( - )]= ( - - ).…12分 bnbn+2 2 3 2 4 3 5 n n+2 2 2 n+1 n+2 18.解: (1)取 PD 中点 R ,连结 MR, RC ,? MR / / AD, NC / / AD, MR ? NC ?

1 AD , 2

? MR / / NC , MR ? NC ,? 四边形 MNCR 为平行四边形,

? MN / / RC ,又? RC ? 平面 PCD , MN ? 平面 PCD , ? MN / / 平面 PCD .???6 分
(2)由已知条件得 AC ? AD ? CD ? 1, 所以 S ?ACD ? 所以 VA?QCD ? VQ ? ACD ?

R

3 . 4

1 1 1 ? S ?ACD ? PA ? .……….....................................12分 3 2 8

19.解: (1)设抽取的 100 名学生中,本次考试成绩为 D 等的有 x 人,根据题意得:

x ? 100 ? [1 ? 10 ? (0.008 ? 0.012 ? 0.012? 0.016? 0.024+0.026 ) ] =2 ,据此估计该校高二年级
学生在物理学业水平考试中,成绩为 D 等的人数为 (2)根据已知条件得列联表如下: 物理成绩为 A 等 男生 女生 合计 物理成绩不为 A 等 合计 60 40

2 .................................4 分 ?1200=24 (人) 100

a ? 14 c?6
20

b ? 46 d ? 34
80

n ? 100



6第

100 ? (14 ? 34 ? 6 ? 46) 2 25 因为 K ? ? ? 1.042 ? 2.706 ......................10 分 20 ? 80 ? 60 ? 40 24
2

所以,没有 90% 的把握认为“该校高二年级学生在本次考试中物理成绩为 A 等与性别有关” .......12 分 20.解: (1)由题得:

c a 2 ? b2 2 2 1 2 2 e ? ? ? , 因为 ,解得 a ? 4, b ? 2 . + 2 =1 2 a a 2 a b
x2 y 2 ? ? 1 .....................................5 分 4 2

所以椭圆 C 的方程为

(2)由(1)知 A1 (?2, 0), A2 (2, 0) ,由题意设 M (2, y0 ), R ( x1 , y1 ) , 易知直线 MA1 的方程为: y ?

y2 y2 y2 x2 y 2 y0 y ? 1 ,得 (1 ? 0 ) x 2 ? 0 x ? 0 ? 4 ? 0 . x ? 0 ,代入椭圆 ? 4 2 8 2 2 4 2

4( y0 2 ? 8) ?2( y0 2 ? 8) 8y 所以 (?2) ? x1 ? ,解得 x1 ? ,从而 y1 ? 2 0 , 2 2 y0 ? 8 y0 ? 8 y0 ? 8
所以 OR ? OM ? (

??? ? ???? ?

?2( y0 2 ? 8) 8 y0 ?4( y0 2 ? 8) 8 y0 2 , ) ? (2, y ) ? ? 2 ?4, 0 y0 2 ? 8 y0 2 ? 8 y0 2 ? 8 y0 ? 8

即 OR ? OM 为定值.....................................12 分 21.(1)解:由 f ( x) ? x ? ae
x

??? ? ???? ?

可得 f ?( x) ? 1 ? ae .
x

当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,则函数 f ( x) 在 (??, ??) 上为增函数. 当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 可得 x ? ln(? ) ,由 f ?( x) ? 0 可得 x ? ln(? ) ; 则函数 f ( x) 在 (-?, ln(? )) 上为增函数,在 (ln(? ), ??) 上为减函数...............6 分 (2)证明:令 F ( x) ? x ? (a ? 1) x ? xf ?( x) .
2

1 a

1 a

1 a

1 a

则 F ( x) ? x ? (a ? 1) x ? xf ?( x) ? x ? ax ? axe ? x( x ? a ? ae )
2 2 x x

令 H ( x) ? x ? a ? ae x ,则 H ?( x) ? 1 ? ae x .

? x ? 0,? 0 ?e x ? 1 ,又 a ? 1 ,?1 ? ae x ? 1 ? e x ? 0 .
? H ( x) 在 (??,0) 上为增函数,则 H ( x) ? H (0) ? 0 ,即 x ? a ? ae x ? 0 .
由 x ? 0 可得 F ( x) ? x( x ? a ? ae ) ? 0 ,所以 x ? (a ? 1) x ? xf ?( x) .................................12 分
x 2

22.解: (1)? C 是劣弧 BD 的中点


? ?DAC ? ?CAB
7第

在 RT?ADG与RT?AEC 中, ?ADB ? ?AEC ? 90

?

? ?DGA ? ?ACE ,又 ?DGA ? ?CGF ,所以 ?ACE ? ?CGF .
从而,在 ?CGF 中, CF

? FG . ? ?CAB

................................5 分

(2)在 RT?ADG与RT?AEC 中,, ?DAC

因此, RT?ADG ∽ RT?AEC ,由此可得 23.解:

DG CE ? ,即 DG ? AC ? AG ? CE ...........10 分 AG AC

(1)直线 l 的普通方程为 x ? y ? 1 ? 0 ,曲线 C2 的直角坐标方程为 x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 ;..........5 分
2 2 (2) 解法一、 曲线 C2 :x ? ( y ? 2) ? 4 是以点 (0,2) 为圆心, 2 为半径的圆, 圆心 (0,2) 到直线 x ? y ? 1 ? 0

的距离 d ?

1 2 ,则 AB ? 2 4 ? ? 14 . 2 2
? x ? y ?1 ? 0 2 2 ?x ? y ? 4 y ? 0
可解得 A,B 两点的坐标为

.........10 分

解法二、由 ?

?1? 7 3 ? 7 ? ?1? 7 3 ? 7 ? ? ?? ? ? 2 , 2 ?, ? 2 , 2 ? ,由两点间距离公式可得 AB ? 14 . .........10 分 ? ?? ?
解法三、设 A、B 两点所对应的参数分别为 t A , t B

? x ?1? ? ? 将? ?y ? 2 ? ? ?

2 t 2 (t为参数) 代入 x 2 ? y 2 ? 4 y ? 0 并化简整理可得 2 t 2
因此, AB ?

?t ? t ? ? 2 t 2 ? 2t ? 3 ? 0 ,从而 ? A B ? t At B ? ?3

(t A ? t B ) 2 ? 4t At B ? 14 . .........10 分

24.解: (1)不等式 f ( x) ? 5 即为 x ? 2 ? x ? 1 ? 5 , 等价于 ?

?

x ? ?2

?? x ? 2 ? x ? 1 ? 5

或?

?

? 2 ? x ?1

?x ? 2 ? x ? 1 ? 5

或?

?

x ?1

?x ? 2 ? x ? 1 ? 5



解得 x ? ?3或x ? 2 . 因此,原不等式的解集为 x x ? ?3或x ? 2 . (2) f ( x) ? x ? 2 ? x ? 1 ? ( x ? 2) ? ( x ? 1) ? 3 要使 f ( x) ? a ? 1 对任意实数 x ? R 成立,须使, a ? 1 ? 3 解得: ?2 ? a ? 4

?

?

..........5 分



8第


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