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数学实验第二次讲稿


2012年版本

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一,绘制平面图
1,绘制图形的重要性 我们在分析问题的时候,为了对所分析问 题有更加清楚的认识,经常绘出函数的草 图;而当我们在写报告以说明问题时,为 了让别人更加容易理解你说的内容,图文 并茂是最好的方法。因此,了解绘图的功 能是多么的重要!

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一,绘制平面图
2,基本的绘图命令 Matlab中提供了绘制平面图的命令: plot(x, y, ‘color-linestylemarker’) 其中x,y是曲线必须通过的一些关键点,后面 ‘’ 内的三个属性用来描述曲线的颜色,线性以 及在关键点的标志。 理解绘图的基本原理。
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一,绘制平面图
3,最基本的例子 例子1,我们想画一个y=sinx的图像。

? x=1:20; ? y=sin(x); ? plot(x,y,'r-o');
例子2,我们画一个y=x^2+3x+5的图像。 ? x=-10:0.1:10; ? y= x.^2+3*x+5; ? plot(x,y,'b--*');
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一,绘制平面图
例子3,我们画一个y=(3x+2)/(x^2+3x+5)的图像。

? x=-10:0.1:10; ? y=(3*x+2)./(x.^2+3*x+5); ? plot(x,y,g--+);
例子4,我们画一个y=tan(x)的图像。

? x=0:0.01:pi/2; ? y= tan(x); ? plot(x,y,'g-');
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一,绘制平面图
4,给图形一个标题 我们看到的书中,文章中,每个图形都有 一个合适的标题以利于阅读,这时可以使用 命令 title(‘图形名’) 5,给出图形的标注 为了别人更好的阅读,经常在曲线上加上 曲线的名字,特别是在一个图上有好几条 曲线时,可以采用下面的两种方法之一:
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一,绘制平面图
(1)text(x0,y0,’图形名’); (2) gtext(’图形名’); 6,坐标轴控制 前面给出的一些例子,我们对它的图形 并不满意,原因是在一些点处的值太大。 为了更好的反映曲线的形状。 Matlab中提 供了一个命令:axis. 语法如下:
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一,绘制平面图
(1)axis([xmin xmax ymin ymax]); (2)axis equal; (3)axis square;等。 7,在图形上加上网格 grid on grid off

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一,绘制平面图
8,在一个图上画几条曲线 为了进行比较,通常在同一个坐标系中画几条曲线,例 如: 例子5,在同一坐标系下画出 y=sinx,y=cosx 的图形,实现上面给出的所有方法。

? ? ? ? ? ?

x=-10:0.1:10; y=sin(x);z=cos(x); plot(x,y,'r-',x,z,'b--'); title('Sine and Cosine curves') gtext('sin(x)');gtext('cos(x)'); grid on;
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一,绘制平面图
9,在同一页面中画多个图形 例子6, x=linspace(0,2*pi,30);y=sin(x);z=cos(x); u=2*sin(x).*cos(x);v=sin(x)./cos(x); subplot(2,2,1),plot(x,y),title('sin(x)') subplot(2,2,2),plot(x,z),title('cos(x)') subplot(2,2,3),plot(x,u),title('2sin(x)cos(x)') subplot(2,2,4),plot(x,v),title('sin(x)/cos(x)')
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一,绘制平面图
10,极坐标图形 例:画出?=sin?的图形。 theta=0:0.01*pi:2*pi; rho=sin(theta); polar(theta,rho,’*’)

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一,绘制平面图
11,参数方程的图形 例:画出x=2*t,y=t^3-1/(1+t^2)的图形。 t=-4:0.01:4; x=2*t; y=t.^3-1./(1+t.^2); plot(x,y,’-*) 12,查阅帮助文件了解fplot和ezplot命令的使 用方法
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二,绘制空间图形
1,空间曲线的绘制 基本命令: plot3(x,y,z,’color-linestyle-marker’); 其用法和plot一致。 例子7:作螺旋线x=sint, y=cost,z=t。 t=0:pi/50:10*pi; plot3(sin(t),cos(t),t); 注意:曲线的参数方程比较容易实现。
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二,绘制空间图形
2,绘制空间曲面 基本命令: mesh(X,Y,Z); 理解绘图的原理。 例子8,作出下面的曲面

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二,绘制空间图形
代码:
x=-30:0.5:30; y=x; [X,Y]=meshgrid(x,y); R=sqrt(X.^2+Y.^2)+eps; Z=sin(R) ./ R; mesh(X, Y, Z);
注:在绘制曲面 图形时,Matlab 通过描出曲面上 一系列点的三个 坐标而实现的。 因此,这些点的x, y和z坐标形成三 个矩阵。程序的 第二行产生x和y 的矩阵X和Y,程 序的第四行产生 相应的z坐标的矩 阵Z。
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二,绘制空间图形
? ? ? ? ? 例子9,画出z=xy的图形。 x=-4:0.1:4; y=x; [X,Y]=meshgrid(x,y); Z=X.*Y; mesh(X, Y, Z);

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二,绘制空间图形
3,产生等高线图 空间图形看起来有时不是很直观,等高线 图是比较常用的一种。等高线图的命令是 contour(X,Y,Z,n); 其中,n表示等高线的条数。

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三,Matlab编程
1,命令M文件和函数M文件 前面我们已经给出很多命令M文件的例子, 它实际上是一些命令的组合,在命令窗口 直接输入文件名就对每一条命令依次执行。 有时,比如我们调用一个三角函数sin(x), 和前面的调用有所不同,调用时往往有输 入参数;再如,我们想求函数

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三,Matlab编程
y=sin(x^2)+x^3-e^x+ln(|x|)在x=1,2,3,4等 处的值。这时我们使用函数M文件。格式如 下: function ff=fun(x) ff=sin(x^2)+x^3-exp(x)+log(abs(x)); 下面是一般格式: function [输出变量列表]=函数名(输入变 量列表) 函数体语句;
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经常,我们需要表示多元函数,比如z=f(x,y),也就是自 变量为x和y,因变量为z。Matlab总是将自变量看成是 一个向量,比如两个自变量是看成一个二维向量。下面 是一个这样的例子。定义一个函数f=100(y-x2)2-(1-x)2 function f=f1(x) f=100*(x(2)-x(1)^2)^2-(1-x(1))^2; 调用格式: x=[2 3]; f=f1(x) 除了自变量是向量,函数值也可以是向量甚至是矩阵。 比如 function [F,G]=f2(x) F=2*x(1)^2+2*x(2)^2-2*x(1)*x(2)-4*x(1)-6*x(2); G=[x(1)+5*x(2)-5 2*x(1)^2-x(2); -x(1) -x(2)]; 调用格式: x1=[4 5]; [F1,G1]=f2(x1)
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三,Matlab编程
2, Matlab的控制语句 并不是每个问题都这么简单,比如同样是上面 的例子,但是我们想要求在x=1,2,…, 100的所有函数值并且存下来以备后用。可以使用 循环语句实现。 y=zeros(100,1); for i=1:100 y(i)=fun(i); end
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三,Matlab编程
For循环的一般形式 for x=x1:step:xn {statments} end 例:求1+2+…+100的值;3+6+9 +…+999的值;1×2×…×15的值。 除了上面的循环,还有一个循环控制语句, 就是while,语法如下:
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三,Matlab编程
While循环的一般形式为: while 关系表达 关系表达式 {statments} Yes end statments 比如下面的一个例子。 从1开始的自然数平 方和不超过1000,最 后一个数是多少,和为多少 End的后续语句
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No

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三,Matlab编程
s=0;n=1 while s<=1000 s=s+n^2; n=n+1; end n-1,s-(n-1)^2

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例,编写函数M-文件SQT.m:用迭代 法求 x? a

的值。求平方根的迭代公式为:
x n ?1 1 a ? ( xn ? ) 2 xn

迭代的终止条件为前后两次求出的x 的差的绝对值小于10-5。
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function ff=mysqrt(x) y0=1; y1=0.5*(y0+x/y0); while abs(y1-y0)>0.00001 y0=y1; y1=0.5*(y0+x/y0); end

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if-else-end结构
No

最简单的形式: if 关系表达式 {statments} end

关系表达式

Yes

statments

End的后续语句
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if-else-end结构
if语句的另一种形式:
No
关系表达式

if 关系表达式 {statments1} else {statments2} end
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Yes statments

End的后续语句
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当有三个或更多的选择 时: if 关系表达式(1) {statments}(1) elseif 关系表达式(2) {statments}(2) ... elseif 关系表达式(n) {statments}(n) else {statments}(n+1) end 2012年版本

例如,可用以下程 序得到符号函数。 function y=SIGN(x) if x<0 y=-1; elseif x==0 y=0; else y=1; end
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编程相关的几个运算符
关系运算符:
<, >, <=, >=, = =(等于),~=(不等于)

关系运算比较两个数值,当给出的关 系式成立时,结果为1(表示真),否则 为0(表示假)。 逻辑运算符:
&(与运算), |(或运算),~(非运算)
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布置实验
实验目的
[1] 掌握MATLAB软件的绘图命令,能熟 练应用循环和选择结构实现各种循环选 择功能。 [2] 通过实例练习,达到能灵活应用 MATLAB软件解决一些简单问题。 [3] 借助MATLAB软件的绘图功能,对函 数的特性进行探讨,广泛联想,大胆猜 想,发现进而证实其中的规律。

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实验内容
1. 在同一个坐标下作出 y1=1+x, y2=1+x+x2/2,

作图:从 直观、想 象到发现、 猜想

y3=1+x+x2/2!+x3/3!,
y4=ex

这四条曲线的图形,观察、发现、联想、 猜想,给出验证及理论证明。
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2.用subplot分别在不同的坐标系下作出 四条曲线: 1)概率曲线 y ? e ? x 2)四叶玫瑰线 ?=sin2?;(polar函数) 直角坐标方程, 3t ? ?x ? 1 ? t 3 极坐标方程, 3)叶形线 ? ? 3t 2 参数方程 ?y ? ? 各领风骚 1? t3 ?
2

4)曳物线

1? 1? y2 x ? ln ? 1? y2 y

提示:第四题可以使用fplot或者ezplot完成,画出两条曲线,叠加在一个坐标上即可。 33 2012年版本

3.作出曲面 1)

z ? sin(? x 2 ? 4 y 2 )

? x ? (1 ? cos u ) cos v, 2)环面: ? y ? (1 ? cos u ) sin v, u ? (0,2?) ? v ? (0,2?) ? z ? sin u , ?

的3维图形。

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编程练习 4.建立一个命令M-文件:求所有 的“水仙花数”,所谓“水仙花数” 是指一个三位数,其各位数字的立 方和等于该数本身。例如,153是 一个水仙花数,因为153=13+53+33。
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5.利用下面的几个关系式给出几个数学常量的 近似值: e=1+1/1!+1/2!+1/3!+… 欧拉常数=1+1/2+1/3+…-lnn 圆周率满足:? 2 1 1 1
6 ? 1? 2
2

?

3

2

?

4

2

? ...

第一个要求精确到小数点后20位,第二个要求精确到 小数点后4位,第三个精确到小数点后6位.并讨论精确 度和迭代次数有什么样的关系.

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