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2012高中数学总复习资料[1](1)


高中数学第一章-集合
§ 集合 01.
(一) 集合 1. 基本概念:集合、元素;有限集、无限集;空集、全集;符号的使用. 2. 集合的表示法:列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征:确定性、互异性、无序性. 集合的性质: ①任何一个集合是它本身的子集,记为 A ? A ; ②空集是任何集合的子集,记为 ? ? A ; ③空集是任何非空集合的真子集; 如

果 A ? B ,同时 B ? A ,那么 A = B. 如果 A ? B,B ? C,那么A ? C . [注]:①Z= {整数}(√) Z ={全体整数} (×) ②已知集合 S 中 A 的补集是一个有限集,则集合 A 也是有限集.(×) (例:S=N; A= N ? , 则 CsA= {0}) ③空集的补集是全集. ④若集合 A=集合 B,则 CBA= ? ,CAB = ? CS(CAB) D (注: AB = ? ) = C . 3. ①{(x,y)|xy =0,x∈R,y∈R}坐标轴上的点集. ②{(x,y)|xy<0,x∈R,y∈R

? 二、四象限的点集.

③{(x,y)|xy>0,x∈R,y∈R} 一、三象限的点集. [注]:①对方程组解的集合应是点集. 例: ?
?x ? y ? 3 ?2 x ? 3 y ? 1

解的集合{(2,1)}.

②点集与数集的交集是 ? . (例:A ={(x,y)| y =x+1} B={y|y =x2+1} 则 A∩B = ? ) 4. ①n 个元素的子集有 2n 个. ②n 个元素的真子集有 2n -1 个. 集有 2n-2 个. 5.集合运算:交、并、补. ③n 个元素的非空真子

交:A ? B ? {x | x ? A, 且x ? B} 并:A ? B ? {x | x ? A或x ? B} 补:C U A ? {x ?U , 且x ? A}
6.主要性质和运算律 (1) 包含关系:

A ? A, ? ? A, A ? U , C U A ? U , A ? B, B ? C ? A ? C; A ? B ? A, A ? B ? B; A ? B ? A, A ? B ? B.
(2) 等价关系: A ? B ? A ? B ? A ? A ? B ? B ? C U A ? B ? U (3) 集合的运算律:

交换律: A ? B ? B ? A; A ? B ? B ? A. 结合律: ( A ? B) ? C ? A ? ( B ? C ); ( A ? B) ? C ? A ? ( B ? C )

(二)一元二次不等式的解法及延伸 1.整式不等式的解法 根轴法(零点分段法) ①将不等式化为 a0(x-x1)(x-x2)?(x-xm)>0(<0)形式, 并将各因式 x 的系数化 “+” (为 ; 了统一方便)②求根,并在数轴上表示出来; ③由右上方穿线,经过数轴上表示各根的点(为什么?); ④若不等式(x 的系数化“+”后)是“>0”,则找“线”在 x 轴上方的区间;若不等 式是“<0”,则找“线”在 x 轴下方的区间.

x1

x2

x3

x m-3

-

x m-2 x m-1

+

-

xm

+

x

(自右向左正负相间) 则不等式 a0 x n ? a1 x n?1 ? a2 x n?2 ? ?? an ? 0(? 0)(a0 ? 0) 的解可以根据各区间的符号 确定. 特例① 一元一次不等式 ax>b 解的讨论; 2 ②一元二次不等式 ax +box>0(a>0)解的讨论.

??0
二次函数

??0

??0

y ? ax2 ? bx ? c
( a ? 0 )的图象 一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

?a ? 0?的根

ax2 ? bx ? c ? 0

x1 , x2 ( x1 ? x2 )

x1 ? x 2 ? ?

b 2a

无实根

ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集

?x x ? x 或x ? x ?
1 2

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?
? ?

R

ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集

?x x

1

? x ?x 2 ?

2.分式不等式的解法 (1)标准化:移项通分化为

f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) >0(或 <0); ≥0(或 ≤0)的形式, g ( x) g ( x) g ( x) g ( x)

(2) 转化为整式不等式 (组) 3.含绝对值不等式的解法

f ( x) f ( x) ? 0 ? f ( x) g ( x) ? 0; ? 0 ? ? f ( x) g ( x) ? 0 ? g ( x) ? 0 ? g ( x) g ( x)

(1)公式法: ax ? b ? c ,与 ax ? b ? c(c ? 0) 型的不等式的解法. (2)定义法:用“零点分区间法”分类讨论. (3)几何法:根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题. 4.一元二次方程根的分布 2 一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0) (1)根的“零分布”:根据判别式和韦达定理分析列式解之. (2)根的“非零分布”:作二次函数图象,用数形结合思想分析列式解之. (三)简易逻辑 1、命题的定义:可以判断真假的语句叫做命题。 2、逻辑联结词、简单命题与复合命题: “或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词;不含有逻辑联结词的命题是简单 命题;由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。 构成复合命题的形式:p 或 q(记作“p∨q” );p 且 q(记作“p∧q” );非 p(记 作“┑q” ) 。 3、“或”、 “且”、 “非”的真值判断 (1)“非 p”形式复合命题的真假与 F 的真假相反; (2)“p 且 q”形式复合命题当 P 与 q 同为真时为真,其他情况时为假; (3)“p 或 q”形式复合命题当 p 与 q 同为假时为假,其他情况时为真. 4、四种命题的形式: 原命题:若 P 则 q; 逆命题:若 q 则 p; 否命题:若┑P 则┑q;逆否命题:若┑q 则┑p。 (1)交换原命题的条件和结论,所得的命题是逆命题; (2)同时否定原命题的条件和结论,所得的命题是否命 互 逆 原命题 逆命题 若 p则 q 若 q则 p 题; 互 否 为 (3)交换原命题的条件和结论,并且同时否定,所得的命 逆 互 互 否 否 题是逆否命题. 逆 为 否 5、四种命题之间的相互关系: 互 逆否命题 否命题 一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系: 若 ┐p则 ┐q 若 ┐q则 ┐p 互 逆 (原命题 ? 逆否命题) ①、原命题为真,它的逆命题不一定为真。 ②、原命题为真,它的否命题不一定为真。 ③、原命题为真,它的逆否命题一定为真。 6、如果已知 p ? q 那么我们说,p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件。

若 p ? q 且 q ? p,则称 p 是 q 的充要条件,记为 p?q.

7、反证法:从命题结论的反面出发(假设),引出(与已知、公理、定理?)矛盾,从 而否定假设证明原命题成立,这样的证明方法叫做反证法。

高中数学第二章-函数
考试内容:映射、函数、函数的单调性、奇偶性.反函数.互为反函数的函数图像间的关系. 指数概念的扩充.有理指数幂的运算性质.指数函数.对数.对数的运算性质.对数函数. 函数的应用. 考试要求: (1)了解映射的概念,理解函数的概念. (2)了解函数单调性、奇偶性的概念,掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法. (3)了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系,会求一些简单函数的反函数. (4) 理解分数指数幂的概念, 掌握有理指数幂的运算性质, 掌握指数函数的概念、 图像 和 性质. (5)理解对数的概念,掌握对数的运算性质;掌握对数函数的概念、图像和性质. (6)能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.

§ 函数 知识要点 02.
一、本章知识网络结构:
定义 F:A?B 反函数 映射 函数 具体函数 一般研究 图像 性质 二次函数 指数 指数函数 对数 对数函数

二、知识回顾: (一) 映射与函数 1. 映射与一一映射 2.函数 函数三要素是定义域,对应法则和值域,而定义域和对应法则是起决定作用的要素,因 为这二者确定后, 值域也就相应得到确定, 因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数 才是同一函数. 3.反函数 反函数的定义 设函数

y ? f ( x)(x ? A) 的值域是 C,根据这个函数中 x,y

的关系,用 y 把 x 表

示出,得到 x= ? (y). 若对于 y 在 C 中的任何一个值,通过 x= ? (y),x 在 A 中都有唯一 的值和它对应, 那么, ? (y)就表示 y 是自变量, 是自变量 y 的函数, x= x 这样的函数 x= ? (y)

(y ? C)叫 做 函数

y ? f ( x)(x ? A) 的 反 函 数, 记 作 x ? f ?1 ( y) , 习 惯 上 改 写成

y ? f ?1 ( x)
(二)函数的性质 ⒈函数的单调性 定义:对于函数 f(x)的定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1,x2, ?若当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),则说 f(x)在这个区间上是增函数; ?若当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),则说 f(x) 在这个区间上是减函数. 若函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,则就说函数 y=f(x)在这一区间具有(严格 的)单调性,这一区间叫做函数 y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数. 2.函数的奇偶性

正确理解奇、偶函数的定义。必须把握好两个问题: (1)定义域在数轴上关于原点对称是函数 f (x ) 为奇 函数或偶函数的必要不充分条件; (2) f (? x) ? f ( x) 或 f (? x) ? ? f ( x) 是定义域上的恒等式。 2.奇函数的图象关于原点成中心对称图形,偶函数 的图象关于 y 轴成轴对称图形。反之亦真,因此,也 可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性。 3.奇函数在对称区间同增同减;偶函数在对称区间增 减性相反. 4. 如果 f (x) 是偶函数, f ( x) ? f (| x |) , 则 反之亦成立。 若奇函数在 x ? 0 时有意义,则 f (0) ? 0 。
7. 奇函数,偶函数: ?偶函数: f (? x) ? f ( x) 设( a, b )为偶函数上一点,则( ? a, b )也是图象上一点. 偶函数的判定:两个条件同时满足 ①定义域一定要关于 y 轴对称,例如: y ? x 2 ? 1 在 [1,?1) 上不是偶函数.

②满足 f (? x) ? f ( x) ,或 f (? x) ? f ( x) ? 0 ,若 f ( x ) ? 0 时, ?奇函数: f (? x) ? ? f ( x)

f ( x) ? 1. f ( ?x )

设( a, b )为奇函数上一点,则( ? a ,?b )也是图象上一点. 奇函数的判定:两个条件同时满足 ①定义域一定要关于原点对称,例如: y ? x 3 在 [1,?1) 上不是奇函数. ②满足 f (? x) ? ? f ( x) ,或 f (? x) ? f ( x) ? 0 ,若 f ( x ) ? 0 时,
y轴对称 8. 对称变换:①y = f(x) ??? ? y ? f(? x) ?

f ( x) ? ?1 . f ( ?x )

x轴对称 ②y =f(x) ??? ? y ? ? f(x) ?

③y =f(x) ?原点对称 ? y ? ? f(? x) ?? ? 9. 判断函数单调性(定义)作差法:对带根号的一定要分子有理化,例如: (x1 ? x 2)x1 ? x 2 ) ( 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? x 2 ?b 2 ? x 2 ?b 2 ? 1 2 2 2 x x ? b ? x1 ? b 2 在进行讨论. 10. 外层函数的定义域是内层函数的值域. 例如:已知函数 f(x)= 1+

B? A 集合 B 之间的关系是 . 解:f (x) 的值域是 f ( f ( x)) 的定义域 B ,f (x) 的值域 ? R , B? R , A ? ?x | x ? 1? , B ? A . 故 而 故

x 的定义域为 A,函数 f[f(x)]的定义域是 B,则集合 A 与 1? x

11. 常用变换: ① f ( x ? y ) ? f ( x) f ( y ) ? f ( x ? y ) ? 证: f ( x ? y ) ?
x y f ( x) . f ( y)

f ( y) ? f ( x) ? f [( x ? y ) ? y ] ? f ( x ? y ) f ( y ) f ( x)

② f ( ) ? f ( x) ? f ( y ) ? f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) 证: f ( x) ? f ( ? y ) ? f ( ) ? f ( y ) 12. ?熟悉常用函数图象: 例: y ? 2| x| → | x | 关于 y 轴对称.



x y

x y

?1? y?? ? ? 2?
y

| x ? 2|

→y?? ? →y?? ?


?1? ? 2?
y

| x|

?1? ? 2?

| x ? 2|

y

(0,1)
x

(-2,1)
x

x



y ?| 2x 2 ? 2x ?1 | → | y | 关于 x 轴对称.

y

x

?熟悉分式图象: 2x ? 1 7 例: y ? ? 定义域 {x | x ? 3, x ? R} , ? 2? x ?3 x ?3 值域 { y | y ? 2, y ? R} →值域 ? x 前的系数之比. (三)指数函数与对数函数 指数函数



y

2 x 3

y ? a x (a ? 0且a ? 1) 的图象和性质
a>1
4.5
4.5

0<a<1
4
4

3.5

3.5

图 象 性 质
-4 -3 -2 -1

3

3

2.5

2.5

2

2

1.5

1.5

1

y=1

1

y=1

0.5

0.5

1

2

3

4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

-0.5

-0.5

-1

-1

(1)定义域:R (2)值域: (0,+∞) (3)过定点(0,1) ,即 x=0 时,y=1 (4)x>0 时,y>1;x<0 时,0<y<1 (5)在 R 上是增函数 对数函数 y=logax 的图象和性质: 对数运算:
loga ( M ? N ) ? loga M ? loga N (1) loga M ? loga M ? loga N N 1 loga M n logb N logb a

(4)x>0 时, 0<y<1;x<0 时,y>1. (5)在 R 上是减函数

loga M n ? n loga ?? M ?12) loga n M ? a log a
N

?N

换底公式: a N ? log

推论: a b ? logb c ? logc a ? 1 log ? loga1 a2 ? loga 2 a3 ? ... ? loga n ?1 an ? loga1 an

(以上 M ? 0, N ? 0,a ? 0,a ? 1, b ? 0, b ? 1,c ? 0,c ? 1,a1, a 2 ...a n ? 0且 ? 1 ) 注?:当 a, b ? 0 时, log(a ? b) ? log(?a) ? log(?b) . ?:当 M ? 0 时,取“+”,当 n 是偶数时且 M ? 0 时, M n ? 0 ,而 M ? 0 ,故取“—”. 例如: loga x 2 ? 2 loga x ?(2 loga x 中 x>0 而 loga x 2 中 x∈R).

? y ? a x ( a ? 0, a ? 1 )与 y ? loga x 互为反函数. 当 a ? 1 时, y ? loga x 的 a 值越大,越靠近 x 轴;当 0 ? a ? 1时,则相反.

(四)方法总结 ?.相同函数的判定方法:定义域相同且对应法则相同. ?对数运算:

a>1

0<a<1

y

y=logax

a>1


O x



x=1

a<1

(1)定义域:(0,+∞)

(2)值域:R



(3)过点(1,0),即当 x=1 时,y=0



(4)

x ? (0,1) 时 y ? 0

x ? (0,1) 时 y ? 0

x ? (1,??) 时 y>0
(5)在(0,+∞)上是增函数

x ? (1,??) 时 y ? 0
在(0,+∞)上是减函数

loga ( M ? N ) ? loga M ? loga N (1) loga M ? loga M ? loga N N 1 loga M n logb N logb a

loga M n ? n loga ?? M ?12) loga n M ? a log a
N

?N

换底公式: a N ? log

推论: a b ? logb c ? logc a ? 1 log ? loga1 a2 ? loga 2 a3 ? ... ? loga n ?1 an ? loga1 an

(以上 M ? 0, N ? 0,a ? 0,a ? 1, b ? 0, b ? 1,c ? 0,c ? 1,a1, a 2 ...a n ? 0且 ? 1 ) 注?:当 a, b ? 0 时, log(a ? b) ? log(?a) ? log(?b) . ?:当 M ? 0 时,取“+”,当 n 是偶数时且 M ? 0 时, M n ? 0 ,而 M ? 0 ,故取“—”. 例如: loga x 2 ? 2 loga x ?(2 loga x 中 x>0 而 loga x 2 中 x∈R). ? y ? a x ( a ? 0, a ? 1 )与 y ? loga x 互为反函数. 当 a ? 1 时, y ? loga x 的 a 值越大,越靠近 x 轴;当 0 ? a ? 1时,则相反. ?.函数表达式的求法:①定义法;②换元法;③待定系数法. ?.反函数的求法:先解 x,互换 x、y,注明反函数的定义域(即原函数的值域). ?.函数的定义域的求法: 布列使函数有意义的自变量的不等关系式, 求解即可求得函数 的定义域.常涉及到的依据为①分母不为 0; ②偶次根式中被开方数不小于 0; ③对数的真数 大于 0,底数大于零且不等于 1;④零指数幂的底数不等于零;⑤实际问题要考虑实际意义 等. ?.函数值域的求法:①配方法(二次或四次);②“判别式法”;③反函数法;④换元法; ⑤不等式法;⑥函数的单调性法. ?.单调性的判定法: ①设 x 1 ,x 2 是所研究区间内任两个自变量, x 1 <x 2 ; 且 ②判定 f(x 1 ) 与 f(x 2 )的大小;③作差比较或作商比较. ?.奇偶性的判定法: 首先考察定义域是否关于原点对称, 再计算 f(-x)与 f(x)之间的关 系:①f(-x)=f(x)为偶函数;f(-x)=-f(x)为奇函数;②f(-x)-f(x)=0 为偶;f(x)+f(-x)=0 为奇;③f(-x)/f(x)=1 是偶;f(x)÷f(-x)=-1 为奇函数. ?.图象的作法与平移:①据函数表达式,列表、描点、连光滑曲线;②利用熟知函数的 图象的平移、翻转、伸缩变换;③利用反函数的图象与对称性描绘函数图象.

高中数学 第三章 数列
考试内容: 数列. 等差数列及其通项公式.等差数列前 n 项和公式. 等比数列及其通项公式.等比数列前 n 项和公式. 考试要求: (1)理解数列的概念,了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法,并 能根据递推公式写出数列的前几项. (2)理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式,并能解决简单的实 际问题. (3)理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式,井能解决简单的实 际问题. §03. 数 列 知识要点

数列的定义 数列的有关概念 数列的通项 数列与函数的关系

项 项数 通项

数列

等差数列的定义 等差数列的通项 等差数列的性质 等差数列的前 n 项和 等比数列

等比数列的定义 等比数列的通项 等比数列的性质 等比数列的前 n 项和

等差数列

1. ?等差、等比数列: 等差数列 定义 等比数列

{an }为A ? P ? an?1 ? an ? d (常数)

{an }为G ? P ?

an?1 an

? q(常数)

通项公 式 求和公 式

( d= ( d= an = a1 + n-1) ak + n-k) dn + a1 -d

an ? a1q n?1 ? ak q n?k
(q ? 1) ?na1 ? s n ? ? a1 (1 ? q n ) a1 ? a n q (q ? 1) ? 1? q ? 1? q ?

n(a1 ? a n ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2 d d ? n 2 ? (a1 ? )n 2 2 sn ?
a?b 2
推广: an = an?m ? an?m 2

中项公 式

A=

G 2 ? ab 。推广: an ? an?m ? an?m
2

性 质

1 2

若 m+n=p+q 则 am ? an ? a p ? aq 若 {k n } 成 A.P (其中 k n ? N ) {a kn } 则 也为 A.P。

若 m+n=p+q,则 am an ? a p aq 。 若 {k n } 成等比数列 (其中 k n ? N ) , 则 {a kn } 成等比数列。

3 4

. sn , s2n ? sn , s3n ? s2n 成等差数列。 sn , s2n ? sn , s3n ? s2n 成等比数列。

d?

a n ? a1 a m ? a n ? ( m ? n) n ?1 m?n

q n?1 ?

an a1



q n?m ?

an am

(m ? n)
5 ?看数列是不是等差数列有以下三种方法: ① an ? an?1 ? d (n ? 2, d为常数) ②2 a n ? a n ?1 ? a n ?1 ( n ? 2 ) ③ a n ? kn ? b ( n, k 为常数). ?看数列是不是等比数列有以下四种方法: ① a n ? a n?1q(n ? 2, q为常数, 且 ? 0)
2 ② a n ? a n?1 ? a n?1 ( n ? 2 , a n a n?1 a n?1 ? 0 )


注①:i. b ? ac ,是 a、b、c 成等比的双非条件,即 b ? ac ii. b ? ac (ac>0)→为 a、b、c 等比数列的充分不必要.

a、b、c 等比数列.

iii. b ? ? ac →为 a、b、c 等比数列的必要不充分. iv. b ? ? ac 且 ac ? 0 →为 a、b、c 等比数列的充要. 注意:任意两数 a、c 不一定有等比中项,除非有 ac>0,则等比中项一定有两个. ③ a n ? cq n ( c, q 为非零常数). ④正数列{ a n }成等比的充要条件是数列{ logx a n }( x ? 1 )成等比数列. ?数列{ a n }的前 n 项和 S n 与通项 a n 的关系: a n ? ?
?s1 ? a1 (n ? 1) ?s n ? s n ?1 (n ? 2)

[注]: ① a n ?a1 ??n ? 1?d ? nd ? ?a1 ?d ?( d 可为零也可不为零→为等差数列充要条件(即常数 列也是等差数列)→若 d 不为 0,则是等差数列充分条件). d? d ?d ? ? ②等差{ a n }前 n 项和 S n ? An 2 ? Bn ? ? ?n 2 ?? a 1 ? ?n → 可以为零也可不为零→为等差 2? 2 ?2? ? 的充要条件→若 d 为零, 则是等差数列的充分条件; d 不为零, 若 则是等差数列的充分条件. ③非零常数列既可为等比数列,也可为等差数列.(不是非零,即不可能有等比数列) .. 2. ① 等 差 数 列 依 次 每 k 项 的 和 仍 成 等 差 数 列 , 其 公 差 为 原 公 差 的 k2 倍 S k , S 2k ? S k , S 3k ? S 2k ... ;
S ②若等差数列的项数为 2 n n ?N ? ,则 S 偶?S 奇 ? nd, 奇

?

?

S偶

?

an a n ?1


? n n ?1

③若等差数列的项数为 2n ? 1 n ?N ? ,则 S 2 n ?1? ?2n ? 1?a n ,且 S 奇 ? S 偶 ?a n , S 奇
? 代入n到2n ? 1得到所求项数 .

?

?

S偶

3. 常用公式:①1+2+3 ?+n = ② 12 ?2 2 ?32 ? ?n 2 ?

n?n ? 1? 2

n?n ? 1??2n ? 1? 6
2

? n?n ? 1?? ③ 1 ?2 ?3 ?n ? ? ? ? 2 ?
3 3 3 3

[注]:熟悉常用通项:9,99,999,… ? a n ? 10n ?1 ; 5,55,555,… ? a n ?

5 n 10 ? 1 . 9

?

?

4. 等比数列的前 n 项和公式的常见应用题: ?生产部门中有增长率的总产量问题. 例如,第一年产量为 a ,年增长率为 r ,则每年的产 量成等比数列,公比为 1 ? r . 其中第 n 年产量为 a(1 ? r ) n?1 ,且过 n 年后总产量为:
a ? a(1 ? r ) ? a(1 ? r ) 2 ? ... ? a(1 ? r ) n ?1 ? a[a ? (1 ? r ) n ] . 1 ? (1 ? r )

?银行部门中按复利计算问题. 例如:一年中每月初到银行存 a 元,利息为 r ,每月利息按 复利计算,则每月的 a 元过 n 个月后便成为 a(1 ? r ) n 元. 因此,第二年年初可存款:

a(1 ? r )12 ? a(1 ? r )11 ? a(1 ? r )10 ? ... ? a(1 ? r ) =

a (1 ? r )[1 ? (1 ? r )12 ] . 1 ? (1 ? r )

?分期付款应用题:a 为分期付款方式贷款为 a 元;m 为 m 个月将款全部付清;r 为年利率.
a?1 ? r ?m ? x?1 ? r ?m ?1 ? x?1 ? r ?m? 2 ? ...... x?1 ? r ? ? x ? a?1 ? r ?m ? x?1 ? r ?m ? 1 ar?1 ? r ?m ?x? r ?1 ? r ?m ? 1

5. 数列常见的几种形式: ? a n ? 2 ? pa n ?1 ?qa n (p、q 为二阶常数) ? 用特证根方法求解. 具体步骤: 写出特征方程 x 2 ? Px ? q x 2 对应 a n ? 2 , 对应 a n ?1 ) 并设二根 x1 , x 2 ②若 x 1 ? x 2 ① ( x , 可设 a n. ?c1 x n ?c 2 x n ,若 x 1 ? x 2 可设 a n ? (c1 ?c 2 n) x n ;③由初始值 a 1 ,a 2 确定 c 1 ,c 2 . 1 1 2 ? a n ? Pa n ?1 ?r (P、r 为常数) ? 用①转化等差,等比数列;②逐项选代;③消去常数 n 转化为 a n ? 2 ? Pa n ?1 ? qa n 的形式,再用特征根方法求 a n ;④ a n ?c1 ?c 2 P n?1 (公式法), c 1 ,c 2 由 a 1 ,a 2 确定. ①转化等差,等比: a n?1 ? x ? P(a n ? x) ?a n?1 ? Pan ? Px ? x ? x ? ②选代法: a n ? Pa n?1 ?r ? P( Pa n?2 ?r ) ? r ? ? ?a n ? (a1 ?
?P n?1a1 ? P n?2 ?r ? ? ? Pr? r .

r . P ?1

r r ) P n?1 ? ? (a1 ? x) P n?1 ? x P ?1 P ?1

③用特征方程求解:

a n ?1 ? Pa n ? r ? ( ) ? ?相减, a n ?1 ?a n ? Pa n ? Pa n ?1 ?a n ?1 ? P ? 1 a n ? Pa n ?1 . a n ? Pa n ?1 ? r ?

④ 由选代法推导结果: c1 ?

r r r r . ,c 2 ?a1 ? ,a n ?c 2 P n?1 ?c1 ? a1 ? ( )P n?1 ? 1? P P ?1 P ?1 1? P

6. 几种常见的数列的思想方法: ?等差数列的前 n 项和为 S n ,在 d ? 0 时,有最大值. 如何确定使 S n 取最大值时的 n 值,有 两种方法: 一是求使 a n ? 0, a n ?1 ? 0 , 成立的 n 值; 二是由 S n ?
d 2 d n ? (a1 ? )n 利用二次函数的性质求 n 2 2

的值. ?如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积, 求此数列前 n 项和可依 1 1 1 照等比数列前 n 项和的推倒导方法:错位相减求和. 例如: 1? ,3 ,...( 2n ? 1) n ,... 2 4 2 ?两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列, 此等差数列的首项就是原两个数列的第 一个相同项,公差是两个数列公差 d1,d 2 的最小公倍数.

2. 判断和证明数列是等差(等比)数列常有三种方法:(1)定义法:对于 n≥2 的任意自然数, 验 证 a n ? a n ?1 (

an ) 为 同 一 常 数 。 (2) 通 项 公 式 法 。 (3) 中 项 公 式 法 : 验 证 an?1

2 2an?1 ? an ? an?2 (an?1 ? an an?2 )n ? N 都成立。

3. 在等差数列{ an }中,有关 Sn 的最值问题:(1)当 a1 >0,d<0 时,满足 ?

?am ? 0 的项数 m ?am?1 ? 0

使得 s m 取最大值. (2)当 a1 <0,d>0 时,满足 ?

?am ? 0 的项数 m 使得 s m 取最小值。在解含绝 ?am?1 ? 0

对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 (三)、数列求和的常用方法 1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。 2.裂项相消法:适用于 ?

?

c ? ? 其中{ an }是各项不为 0 的等差数列,c 为常数;部 ? an an?1 ?

分无理数列、含阶乘的数列等。 3.错位相减法:适用于 ?an bn ?其中{ an }是等差数列, ?bn ? 是各项不为 0 的等比数列。 4.倒序相加法: 类似于等差数列前 n 项和公式的推导方法. 5.常用结论 1): 1+2+3+...+n =

n( n ? 1) 2
2

2) 1+3+5+...+(2n-1) = n

3) 13 ? 2 3 ? ? ? n 3 ? ? n(n ? 1)? ?2 ? 4) 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?
2 2 2 2

?1

?

2

1 n(n ? 1)( 2n ? 1) 6

5)

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

1 1 1 1 ? ( ? ) n(n ? 2) 2 n n ? 2

6)

1 1 1 1 ? ( ? ) ( p ? q) pq q ? p p q

高中数学第四章-三角函数
考试内容:
角的概念的推广.弧度制. 任意角的三角函数.单位圆中的三角函数线.同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱 导公式. 两角和与差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切. 正弦函数、余弦函数的图像和性质.周期函数.函数 y=Asin(ω x+φ )的图像.正切函数的图 像和性质.已知三角函数值求角. 正弦定理.余弦定理.斜三角形解法.

考试要求:
(1)理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算. (2)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义;了解余切、正割、余割的定义;掌握同角三 角函数的基本关系式;掌握正弦、余弦的诱导公式;了解周期函数与最小正周期的意义. (3)掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式;掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式. (4)能正确运用三角公式,进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明. (5)理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质,会用“五点法”画正弦函数、余 弦函数和函数 y=Asin(ω x+φ )的简图,理解 A.ω 、φ 的物理意义. (6)会由已知三角函数值求角,并会用符号 arcsinx\arc-cosx\arctanx 表示. (7)掌握正弦定理、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形. (8)“同角三角函数基本关系式:sin2α +cos2α =1,sinα /cosα =tanα ,tanα ?cosα =1”.

§ 三角函数 知识要点 04.
1. ①与 ? ( 0°≤ ? < 360°) 终 边 相 同 的 角 的 集 合 ( 角 ? 与 角 ? 的 终 边 重 合 ) :

?? | ? ? k ? 360 ? ?, k ? Z ?
?



y
2 sinx 1 cosx cosx 4

② 终边在 x 轴上的角的集合: ? | ? ? k ?180? , k ? Z

?

? ? ? ? ?

3 sinx 4 cosx cosx 1 sinx 2

③ 终边在 y 轴上的角的集合: ? | ? ? k ?180? ? 90? , k ? Z ④ 终边在坐标轴上的角的集合: ? | ? ? k ? 90? , k ? Z

?

x

?

sinx 3

⑤ 终边在 y=x 轴上的角的集合: ? | ? ? k ?180? ? 45? , k ? Z

?

SIN\COS三角函数值大小关系图 1、 2、 3、 4表示第一、二、三、 四象限一半所在区域

⑥ 终边在 y ? ?x 轴上的角的集合: ? | ? ? k ?180? ? 45? , k ? Z

?

⑦ 若角 ? 与角 ? 的终边关于 x 轴对称,则角 ? 与角 ? 的关系: ? ? 360? k ? ? ⑧ 若角 ? 与角 ? 的终边关于 y 轴对称,则角 ? 与角 ? 的关系: ? ? 360? k ? 180? ? ? ⑨ 若角 ? 与角 ? 的终边在一条直线上,则角 ? 与角 ? 的关系: ? ? 180? k ? ? ⑩ ? 与角 ? 的终边互相垂直,则角 ? 与角 ? 的关系: ? ? 360? k ? ? ? 90? 角

2. 角度与弧度的互换关系:360° ? 180° ? 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ =2 = 注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零. 、 弧度与角度互换公式: 1rad= 180 °≈57.30°=57°18ˊ.
?

1°= ? ≈0.01745 (rad)
180

3、弧长公式: l

?| ? | ?r .

扇形面积公式: s扇形 ?

1 1 lr ? |? | ? r 2 2 2
y a的 终边
P(x,y) r

4、三角函数:设 ? 是一个任意角,在 ? 的终边上任取(异于 原点的)一点 P(x,y)P 与原点的距离为 r,则
cos ? ? x; r

sin ? ?

y; r

tan ? ?

y; x

cot? ?

x; y

sec ? ?

r r ;. csc? ? . x y

o

x

5、三角函数在各象限的符号:(一全二正弦,三切四余弦)
y y

+ + o x - 正弦、余割

- + o - + x
余弦、正割

y

y P T

- + o x + 正切、余切
O

M

Ax

6、三角函数线 正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线: AT.
16. 几个重要结论 : (1)
y

(2)

y

|sinx|>|cosx|

7. 三角函数的定义域:

sinx>cosx
O x

|cosx|>|sinx| O

|cosx|>|sinx| x

cosx>sinx |sinx|>|cosx| ? (3) 若 o<x< ,则sinx<x<tanx 2

三角函数 f (x) ? sinx
f (x) ? cosx f (x) ? tanx

?x | x ? R? ?x | x ? R?
1 ? ? ? x | x ? R且x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?
cos ?
2 s i n? ? c o 2 ? ?1 s

定义域

8、同角三角函数的基本关系式: sin ? ? tan ? 9、诱导公式:
把 k? ? ?的三角函数化为?的三角函数,概括为: 2

“奇变偶不变,符号看象限” 三角函数的公式:(一)基本关系 公式组二 公式组三

sin(2k? ? x) ? sin x c o s k? ? x) ? c o s 2( x t a n k? ? x) ? t a n 2( x c o t k? ? x) ? c o x 2( t

sin(? x ) ? ? sin x cos(? x ) ? cos x tan(? x ) ? ? tan x cot(? x ) ? ? cot x

公式组四 sin( ? x) ? ? sin x ? cos( ? x) ? ? cos x ? tan(? ? x) ? tan x cot( ? x) ? cot x ?

公式组五 s i n ? ? x) ? ? s i n 2( x c o s ? ? x) ? c o s 2( x t a n ? ? x) ? ? t a n 2( x c o t ? ? x) ? ? c o x 2( t

公式组六 s i n (? x) ? s i n ? x c o s (? x) ? ? c o s ? x t a n (? x) ? ? t a n ? x c o ? (? x) ? ? c o x t t 公式组二

(二)角与角之间的互换 公式组一 cos( ? ? ) ? cos? cos ? ? sin? sin ? ?
cos( ? ? ) ? cos? cos ? ? sin? sin ? ? sin( ? ? ) ? sin? cos ? ? cos? sin ? ? sin( ? ? ) ? sin? cos ? ? cos? sin ? ?

s i n ? ? 2s i n c o ? 2 ? s

c o 2? ? c o 2 ? ? s i 2 ? ? 2 c o 2 ? ? 1 ? 1 ? 2 s i 2 ? s s n s n

t a n? ? 2

2t a n ?
2 1? t a n ?

tan(? ? ? ) ? tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

公式组三

公式组四

公式组五

sin 15? ? cos75? ?

6? 4

1 cos( ? ? ? ) ? sin ? 2 1 tan( ? ? ? ) ? cot ? 2 1 1 tan( ? ? ? ? ? cot sin( ? ? ? )) ? cos ? ? 2 2 1 6 ? 2 , tan15? ? cot 75? ? 2 ? 3 , tan75? ? cot15? ? 2 ? 3 . 2, sin 75? ? cos15? ? cos( ? ? ? ) ? ? sin ? 4 2 1 sin( ? ? ? ) ? cos ? 2

10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:
y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x
1 ? ? ? x | x ? R且x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?

y ? cot x

y ? A sin??x ? ? ?

(A、 ? >0) R

定义域 值域 周期性 奇偶性

R
[?1,?1]

R
[?1,?1]

?x | x ? R且x ? k? , k ? Z ?
R
?

R
?

?? A, A?
2?

2?

2?

奇函数

偶函数

奇函数

奇函数

? 当 ? ? 0, 非奇非偶 当 ? ? 0, 奇函数

[?

?
2

? 2k? ,

[?2k ? 1?? , ? ? ? ? ; ? ? ? k? , ? k? ? 2 2k? ] ? 2 ?

?k? , ?k ? 1?? ? 上为减函
数( k ? Z )

?
2

? 2k? ]

上为增函 数 ; 单调性
[

上为增函 数 [2k? , ?2k ? 1?? ] 上为减函 数 (k?Z )

上 为 增 函 数 (k?Z )

? ? 2k? ? ? ? ? 2k? ? ?

? ? 2 ( A), ? ? ? ? 1 ? ? ?? ? 2 (? A)? ? ? ? ??

?

?

2 3? ? 2k? ] 2

? 2k? ,

上为增函数; ? ? ? 2k? ? ? ?
2

上为减函 数 k?Z ) (

? ? ( A), ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 2k? ? 2 ? ? ? ? (? A)? ? ? ? ?

上 为 减 函 数 (k ?Z ) 注意:① y ? ? sin x 与 y ? sin x 的单调性正好相反; y ? ? cos x 与 y ? cos x 的单调性也同样相 反.一般地,若 y ? f (x) 在 [a, b] 上递增(减),则 y ? ? f (x) 在 [a, b] 上递减(增).


②y ? sin x 与 y ? cos x 的周期是 ? .
? ③ y ? sin( x ? ? ) 或 y ? cos(?x ? ? ) ( ? ? 0 )的周期 T ?
y ? tan
2?

y

?

.
O

x

x 的周期为 2 ? ( ? T? ? T ? 2? ,如图,翻折无效). 2 ?

? ④ y ? sin( x ? ? ) 的对称轴方程是 x ? k? ?

?
2

( k ? Z ),对称中心( k? ,0 ); y ? cos( ?x ? ? ) 的

k? 对称轴方程是 x ? k?( k ? Z ) 对称中心 k? ? 1 ? ,0 ) y ? tn ?x ? ? ) 的对称中心 , ( ; ( . a( ,0 )
2

2

y ? cos2x ??? ? y ? ? cos(?2x) ? ? cos2x ?
原点对称

tan ⑤ tan? · ? ? 1, ? ? ? ? k? ? 当

?
2

tan (k ? Z ) ; tan? · ? ? ?1, ? ? ? ? k? ?

?
2

(k ? Z ) .

⑥ y ? cos x 与 y ? sin? x ? ? ? 2k? ? 是同一函数,而 y ? (?x ? ? ) 是偶函数,则 ? ? 2 ? ?
1 y ? (?x ? ? ) ? sin(?x ? k? ? ? ) ? ? cos( ?x) . 2

⑦ 函数 y ? tan x 在 R 上为增函数.(× [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域, )

y ? tan x 为增函数,同样也是错误的].
⑧ 定义域关于原点对称是 f (x) 具有奇偶性的必要不充分条件.(奇偶性的两个条件:一是定 义域关于原点对称(奇偶都要),二是满足奇偶性条件,偶函数: f (? x) ? f ( x) ,奇函数: f ( ? x) ? ? f ( x) )
1 奇偶性的单调性:奇同偶反. 例如: y ? tan x 是奇函数, y ? tan( x ? ? ) 是非奇非偶.(定 3

义域不关于原点对称) 奇函数特有性质:若 0 ? x 的定义域,则 f (x) 一定有 f (0) ? 0 .( 0 ? x 的定义域,则无此性

质)


⑨y ? sin x 不是周期函数; y ? sin x 为周期函数( T ? ? );
y ? cos x 是周期函数(如图); y ? cos x 为周期函数( T ? ? );

y



y

x

1/2 x

y=cos|x|图象

1 y ? cos 2 x ? 的周期为 ? (如图),并非所有周期函数都有最小正周期,例如: 2

y=|cos2x+1/2|图象

y ? f ( x) ? 5 ? f ( x ? k ), k ? R .

⑩ y ? a cos? ? b sin ? ? a 2 ?b 2 sin( ? ? ) ? cos? ? ?

b 有 a 2 ?b 2 ? y . a

11、三角函数图象的作法:
1)、几何法: 2)、描点法及其特例——五点作图法(正、余弦曲线),三点二线作图法(正、余切 曲线). 3)、利用图象变换作三角函数图象. 三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等. 函数 y=Asin(ω x+φ)的振幅|A|,周期 T ? 2? ,频率 f ? 1 ? | ? | ,相位 ? x ? ? ; 初相 ?
|? |
T 2?

(即当 x=0 时的相位).(当 A>0,ω >0 时以上公式可去绝对值符号), 由 y=sinx 的图象上的点的横坐标保持不变,纵坐标伸长(当|A|>1)或缩短(当 0<|A| <1)到原来的|A|倍,得到 y=Asinx 的图象,叫做振幅变换或叫沿 y 轴的伸缩变换.(用 y/A 替换 y) 由 y=sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变, 横坐标伸长 (0<|ω |<1) 或缩短 (|ω |>1) 到原来的 | 1 | 倍,得到 y=sinω x 的图象,叫做周期变换或叫做沿 x 轴的伸缩变换.(用ω x
?

替换 x) 由 y=sinx 的图象上所有的点向左 (当 φ>0) 或向右 (当 φ<0) 平行移动|φ|个单位, 得到 y=sin(x+φ)的图象,叫做相位变换或叫做沿 x 轴方向的平移.(用 x+φ 替换 x) 由 y=sinx 的图象上所有的点向上(当 b>0)或向下(当 b<0)平行移动|b|个单位, 得到 y=sinx+b 的图象叫做沿 y 轴方向的平移.(用 y+(-b)替换 y) 由 y=sinx 的图象利用图象变换作函数 y=Asin(ω x+φ)(A>0,ω >0)(x∈R) 的图象,要特别注意:当周期变换和相位变换的先后顺序不同时,原图象延 x 轴量伸缩量的 区别。 4、反三角函数: 函数 y=sinx, ? x ? ?? ? , ? ? 的反函数叫做反正弦函数,记作 y=arcsinx,它的定义域是[-1, ? ? ?
? ? ? 2 2 ?? ? ??

1],值域是 ?-? , ? . ?
? ? 2 2? ?

函数 y=cosx,(x∈[0,π ])的反应函数叫做反余弦函数,记作 y=arccosx,它的 定义域是[-1,1],值域是[0,π ].

函数 y=tanx, ?

记作 ? ? ? ? ? 的反函数叫做反正切函数, ? x ? ? ? , ?? ? ? ? 2 2 ?? ?
? ? ? 2 2?

y=arctanx, 它的定义域是 (-

∞,+∞),值域是 ? ? ? , ? . ? 函数 y=ctgx,[x∈(0,π )]的反函数叫做反余切函数,记作 y=arcctgx,它的定义 域是(-∞,+∞),值域是(0,π ). II. 竞赛知识要点 一、反三角函数. 1. 反三角函数: 反正弦函数 y ? arcsin x 是奇函数, arcsin(? x) ? ? arcsin x , ? ?? 1,1(一 ? 故 ? x 定要注明定义域,若 x ? ?? ?,??? ,没有 x 与 y 一一对应,故 y ? sin x 无反函数) 注: sin(arcsinx) ? x , x ? ?? 1,1? , arcsin x ? ?? ? , ? ? . ? 2 2? ? ? ? 反余弦函数 y ? arccos x 非奇非偶,但有 arccos(? x) ? arccos(x) ? ? ? 2k? , x ? ?? 1,1? . 注:①cos(arccosx) ? x , x ? ?? 1,1? , arccosx ? ?0, ? ?. ②y ? cos x 是偶函数, y ? arccos x 非奇非偶,而 y ? sin x 和 y ? arcsin x 为奇函数. ? 反正切函数: y ? arctan x ,定义域 (??,??) ,值域( ?
arctan( x) ? ? arctanx , x ? (??,??) . ?

? ? , ), y ? arctan x 是奇函数, 2 2

注: tan(arctan ) ? x , x ? (??,??) . x ? 反余切函数: y ? arc cot x ,定义域 (??,??) ,值域( ?

? ? , ), y ? arc cot x 是非奇非 2 2

偶. arc cot(? x) ? arc cot(x) ? ? ? 2k? , x ? (??,??) . 注:①cot(arc cot x) ? x , x ? (??,??) . 1 ② y ? arcsin x 与 y ? arcsin( ? x) 互为奇函数, y ? arctan x 同理为奇而 y ? arccos x 与 y ? arccot x 非奇非偶但满足 arccos(? x) ? arccos x ? ? ? 2k? , x ? [?1,1]arccot x ? arccot(? x) ? ? ? 2k? , x ? [?1,1] . ? 正弦、余弦、正切、余切函数的解集: 解集 a 的取值范围 ①sin x ? a 的解集
a

a 的取值范围

解集
?

②cos x ? a 的解集
?
a

>1 =1 <1

>1

a

?x | x ? 2k? ? arcsina, k ? Z ?

a

=1

?x | x ? 2k? ? arccos a, k ? Z ?
?x | x ? k? ? arccosa, k ? Z ?

a

?x | x ? k? ? ??1?

k

arcsina, k ? Z

?

a

<1

③tan x ? a 的解集: ?x | x ? k? ? arctan a, k ? Z ? 二、三角恒等式. n ?1 组一? cos 2? cos 4? ... cos 2 n ? ? sin 2 ? cos 2 n ?1 sin?

③c o x ? a 的解集: ?x | x ? k? ? arc c o a, k ? Z ? t t
sin3? ? 3 sin? ? 4 sin3 ? cos3? ? 4 cos3 ? ? 3 cos?

sin2 ? ? sin2 ? ? sin?? ? ? ? sin?? ? ? ? ? cos2 ? ? cos2 ?

组二

? cos 2
k ?1

n

?
k

? cos

?
2

cos

?
4

cos

?
8

? cos

?
2
n

?

sin? 2 n sin

?
2n

? cos(x ? kd ) ? cos x ? cos(x ? d ) ? ? ? cos(x ? nd) ?
k ?0

n

sin((n ? 1)d ) cos(x ? nd ) sin d

? sin(x ? kd ) ? sin x ? sin(x ? d ) ? ? ? sin(x ? nd) ?
k ?0

n

sin((n ? 1)d ) sin(x ? nd ) sin d

tan( ? ? ? ? ) ? ?

tan? ? tan ? ? tan ? ? tan? tan ? tan ? 1 ? tan? tan ? ? tan ? tan ? ? tan ? tan?

组三 三角函数不等式
sin x < x < tan x, x ? (0,

?
2

)

f ( x) ?

sin x 在 (0, ? ) 上是减函数 x

若 A ? B ? C ? ? ,则 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 2 yz cos A ? 2 xz cos B ? 2 xy cos C

高中数学第五章-平面向量
考试内容: 向量.向量的加法与减法.实数与向量的积.平面向量的坐标表示.线段的定比分点.平面 向量的数量积.平面两点间的距离、平移. 考试要求: (1)理解向量的概念,掌握向量的几何表示,了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积,理解两个向量共线的充要条件. (4)了解平面向量的基本定理,理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算. (5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、 角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式,以及线段的定比分点和中点坐标公式,并且能熟练运用 掌握平移公式.

§ 平面向量 知识要点 05.
1.本章知识网络结构

?
2.向量的概念? (1)向量的基本要素:大小和方向.?(2)向量的表示:几何表示法 AB ;字母表示:a; 坐标表示法 a=xi+yj=(x,y).? (3)向量的长度:即向量的大小,记作|a|.? (4)特殊的向量:零向量 a=O ? |a|=O.? 单位向量 aO 为单位向量 ? |aO|=1.? (5)相等的向量:大小相等,方向相同?(x1,y1)=(x2,y2) ? ?

? x1 ? x2 ? y1 ? y 2

(6) 相反向量:a=-b ? b=-a ? a+b=0 (7)平行向量(共线向量):方向相同或相反的向量,称为平行向量.记作 a∥b.平行向量也称 为共线向量.? 3.向量的运算? 运算类型 向量的 加法 几何方法 1.平行四边形法则 2.三角形法则 坐标方法 运算性质

? ? a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )

? ? ? ? a?b ? b?a

? ? ? ? ? ? (a ? b) ? c ? a ? (b ? c)

AB ? BC ? AC

向量的 减法

三角形法则

? ? a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )

? ? ? ? a ? b ? a ? (?b)
??? ? ??? ? AB ? ? BA , OB ? OA ? AB

1. ? a 是 一 个 向 量 , 满 数 乘 向 量 足: | ? a |?| ? || a | 2. ? >0 时,

?

?

?

?(? a) ? (??)a
? a ? (? x, ? y)
? ? ? ? (? ? ? )a ? ? a ? ? a

?

?

? a与a 同向;

? ?

? ? ? <0 时, ? a与a 异向;
? ? ? =0 时, ? a ? 0 .

?(a ? b) ? ? a ? ?b
? ? ? ? a // b ? a ? ? b

? ?

?

?

? ? a ? b 是一个数
向 量 的 数 量 积

? ? ? ? a ?b ? b? a
? ? ? ? ? ? (? a) ? b ? a ? (?b) ? ?(a ? b)

? ? ? ? 1. a ? 0或b ? 0 时, ? ? a ?b ? 0 . ? ? ? ? a ? 0且b ? 0时, 2. ? ? ? ? a ? ?| a || b | cos(a, b) b

? ? a ? b ? x1x2 ? y1 y2

? ? ? ? ? ? ? (a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c
?2 ? ? ? a ?| a |2 即|a|= x 2 ? y 2

? ? ? ? | a ? b |?| a || b |

4.重要定理、公式 (1)平面向量基本定理? e1,e2 是同一平面内两个不共线的向量,那么,对于这个平面内任一向量,有且仅有一 对实数λ 1, λ 2,使 a=λ 1e1+λ 2e2.? (2)两个向量平行的充要条件? a∥b ? a=λ b(b≠0) ? x1y2-x2y1=O.? (3)两个向量垂直的充要条件? a⊥b ? a·b=O ? x1x2+y1y2=O.? (4)线段的定比分点公式? 设点 P 分有向线段 P P2 所成的比为λ ,即 P P =λ PP ,则? 1 1 2

OP =

1 1 OP + OP2 (线段的定比分点的向量公式)? 1 1? ? 1? ?

? ?x ? ? ? ?y ? ? ?

x1 ? ?x 2 , 1? ? (线段定比分点的坐标公式)? y1 ? ?y 2 . 1? ?

当λ =1 时,得中点公式:?

x1 ? x 2 ? ?x ? 2 , 1 ? OP = ( OP + OP2 )或 ? 1 2 ? y ? y1 ? y 2 . ? 2 ?
(5)平移公式 设点 P(x,y)按向量 a=(h,k)平移后得到点 P′(x′,y′) , 则 OP? = OP +a 或 ?

? x? ? x ? h, ? y ? ? y ? k.

曲线 y=f(x)按向量 a=(h,k)平移后所得的曲线的函数解析式为: y-k=f(x-h) (6)正、余弦定理? 正弦定理:

a b c ? ? ? 2 R. sin A sin B sin C
2 2 2

余弦定理:a =b +c -2bccosA,? 2 2 2 b =c +a -2cacosB,? 2 2 2 c =a +b -2abcosC.? (7)三角形面积计算公式: 设△ABC 的三边为 a,b,c,其高分别为 ha,hb,hc,半周长为 P,外接圆、内切圆的半径 为 R,r. ①S△=1/2aha=1/2bhb=1/2chc ②S△=Pr ③S△=abc/4R ④S△=1/2sinC·ab=1/2ac·sinB=1/2cb·sinA ⑤S△= P?P ? a??P ? b??P ? c? [海伦公式]

⑥S△=1/2(b+c-a)ra[如下图]=1/2(b+a-c)rc=1/2(a+c-b)rb [注]:到三角形三边的距离相等的点有 4 个,一个是内心,其余 3 个是旁心.A 如图: A
A

E
b

F

A cD I B aE C
ra

c a E D ra ra I

c b O
B
F

F b

B

C N

C

C

a

B

1图

图2

图3

图4

图 1 中的 I 为 S△ABC 的内心, S△=Pr 图 2 中的 I 为 S△ABC 的一个旁心,S△=1/2(b+c-a)ra

附:三角形的五个“心”; 重心:三角形三条中线交点. 外心:三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心:三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心:三角形三边上的高相交于一点. 旁心:三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点. ?已知⊙O 是△ABC 的内切圆, BC=a, 若 AC=b, AB=c [注: 为△ABC 的半周长,即 s
a?b?c ] 2

则:①AE= s ? a =1/2(b+c-a) ②BN= s ? b =1/2(a+c-b) ③FC= s ? c =1/2(a+b-c) 综合上述:由已知得,一个角的邻边的切线长,等于半周长减去对边(如图 4). a?b?c ab 特例:已知在 Rt△ABC,c 为斜边,则内切圆半径 r= (如图 3). ? 2 a?b?c ?在△ABC 中,有下列等式成立 tan A ? tan B ? tanC ? tan A tan B tanC . tan A ? tan B 证明:因为 A ? B ? ? ? C , 所以 tan? A ? B ? ? tan?? ? C ? ,所以 ? ? tan C ,? 结论! 1 ? tan A tan B ?在△ABC 中,D 是 BC 上任意一点,则 AD 2 ?
AC 2 BD ? AB 2 BC ? BD ? DC . BC

证明:在△ABCD 中,由余弦定理,有 AD2 ? AB2 ? BD2 ?2 ? AB ? BD cos B ? ① 在△ABC 中,由余弦定理有 cos B ? 可得, AD 2 ?
AB 2 ? BC 2 ? AC 2 ? ②,②代入①,化简 2 AB ? BC
A

AC 2 BD ? AB 2 BC ? BD ? DC (斯德瓦定理) BC

图5

①若 AD 是 BC 上的中线, ma ? ②若 AD 是∠A 的平分线, t a ? ③若 AD 是 BC 上的高, ha ? ?△ABC 的判定:
2 a

1 2b 2 ? 2c 2 ? a 2 ; 2
D C

2 B bc ? p? p ? a ? ,其中 p 为半周长; b?c p? p ? a ?? p ? b?? p ? c ? ,其中 p 为半周长.

c 2 ?a 2 ?b 2 ? △ABC 为直角△ ? ∠A + ∠B = ?
2

c 2 < a 2 ?b 2 ? △ABC 为钝角△ ? ∠A + ∠B< c 2 > a 2 ?b 2 ? △ABC 为锐角△ ? ∠A + ∠B>

? 2 ? 2

2 2 2 附:证明: cosC ? a ?b ?c ,得在钝角△ABC 中, cosC ? 0 ?a 2 ?b 2 ?c 2 ? 0, ?a 2 ?b 2 ?c 2

2ab

?平行四边形对角线定理:对角线的平方和等于四边的平方和.
a ? b 2 ? a ? b 2 ? 2( a 2 ? b 2 )

空间向量
1.空间向量的概念: 具有大小和方向的量叫做向量 注:?空间的一个平移就是一个向量 ?向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ?空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2.空间向量的运算 定义:与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下
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? ? OB ? OA ? AB ? a ? b ? ? BA ? OA ? OB ? a ? b

? OP ? ?a(? ? R)
运算律:?加法交换律: a ? b ? b ? a

?

?

?

?

?加法结合律: (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c ) ?数乘分配律: ? (a ? b ) ? ?a ? ?b
王新敞
奎屯 新疆

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3 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平 行向量. a 平行于 b 记作 a // b . 当我们说向量 a 、 b 共线(或 a // b )时,表示 a 、 b 的有向线段所在的直线可能是 同一直线,也可能是平行直线. 4.共线向量定理及其推论: 共线向量定理:空间任意两个向量 a 、b ( b ≠ 0 ),a // b 的充要条件是存在实数 λ, 使 a =λ b . 推论:如果 l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线,那么对于任意一点 O, 点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t 满足等式

?

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OP ? OA ? t a .
其中向量 a 叫做直线 l 的方向向量. 5.向量与平面平行:

?

?

已知平面 ? 和向量 a ,作 OA ? a ,如果直线 OA 平行于 ? 或在 ? 内,那么我们说向量 ? ? a 平行于平面 ? ,记作: a // ? . 通常我们把平行于同一平面的向量,叫做共面向量 说明:空间任意的两向量都是共面的 6.共面向量定理:
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?

??? ?

?

王新敞
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新疆

如 果 两 个 向 量 a, b 不 共 线 , p 与 向 量 a, b 共 面 的 充 要 条 件 是 存 在 实 数 x , y 使

? ?

?

? ?

? ? ? p ? xa ? yb

王新敞
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???? ??? ? ???? ??? ???? ? ? ???? ???? MP ? xMA ? yMB 或对空间任一点 O ,有 OP ? OM ? xMA ? yMB
①式叫做平面 MAB 的向量表达式 7 空间向量基本定理:
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推论:空间一点 P 位于平面 MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对 x , y ,使 ①

王新敞
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新疆

如果三个向量 a, b , c 不共面,那么对空间任一向量 p ,存在一个唯一的有序实数组

? ? ? ?

?

x, y, z ,使 p ? xa ? yb ? zc

?

?

?
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推论:设 O, A, B, C 是不共面的四点,则对空间任一点 P ,都存在唯一的三个 有序实数 x, y , z ,使 OP ? xOA ? yOB ? zOC 8 空间向量的夹角及其表示:
王新敞
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??? ?

??? ?

??? ?

??? ?
王新敞
奎屯 新疆

已知两非零向量 a, b , 在空间任取一点 O , OA ? a, OB ? b , ?AOB 叫做向量 a 与 作 则

? ?

??? ?

? ? ???

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? b 的 夹 角 , 记 作 ? a, b ? ; 且 规 定 0 ?? a, b ?? ? , 显 然 有 ? a, b ??? b , a ? ; 若

? ? ? ? ? ? ? ? a , b ?? ,则称 a 与 b 互相垂直,记作: a ? b . 2
9.向量的模: 设 OA ? a ,则有向线段 OA 的长度叫做向量 a 的长度或模,记作: | a | . 10.向量的数量积: a ? b ? | a | ? | b | ? cos ? a, b ? . 已知向量 AB ? a 和轴 l , e 是 l 上与 l 同方向的单位向量,作点 A 在 l 上的射影 A? , 作点 B 在 l 上的射影 B? ,则 A?B? 叫做向量 AB 在轴 l 上或在 e 上的正射影. 可以证明 A?B? 的长度 | A?B? |?| AB | cos ? a, e ??| a ? e | . 11.空间向量数量积的性质:
2 (1) a ? e ?| a | cos ? a, e ? .(2) a ? b ? a ? b ? 0 .(3) | a | ? a ? a .

??? ?

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12.空间向量数量积运算律: (1)(?a) ? b ? ?(a ? b ) ? a ? (?b ) . (2)a ? b ? b ? a(交换律) (3)a ? (b ? c ) ? a ? b ? a ? c (分配律).

? ?

? ?

?

?

? ?

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? ? ?

? ? ? ?

空间向量的坐标运算
一.知识回顾: (1)空间向量的坐标:空间直角坐标系的 x 轴是横轴(对应为横坐标),y 轴是纵轴(对 应为纵轴),z 轴是竖轴(对应为竖坐标). ① a =(a1,a2,a3), b ? (b1 , b2 , b3 ) ,则 令
a ? b ? (a1 ?b1 ,a 2 ?b 2 ,a 3 ?b 3 )

? a ? (?a1 , ?a 2 , ?a 3 )(? ? R)
a1 a 2 a 3 ? ? b1 b 2 b 3

a ? b ?a1 b1 ?a 2 b 2 ?a 3 b 3 a ? b ?a1 b1 ?a 2 b 2 ?a 3 b 3 ? 0

a ∥b ?a1 ? ?b1 ,a 2 ? ?b 2 ,a 3 ? ?b 3 (? ? R) ?

a ? a ? a ? a 1 2 ?a 2 2 ?a 3

2

(用到常用的向量模与向量之间的转化: a 2 ? a ? a ? a ? a ? a )

? ? a1b1 ? a 2 b2 ? a3b3 ? ? a ?b cos ? a, b ?? ? ? ? 2 2 2 2 2 2 | a |?|b | a1 ? a 2 ? a3 ? b1 ? b2 ? b3

②空间两点的距离公式: d ? ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ? ( z 2 ? z1 ) 2 . (2)法向量:若向量 a 所在直线垂直于平面 ? ,则称这个向量垂直于平面 ? ,记作 a ? ? , 如果 a ? ? 那么向量 a 叫做平面 ? 的法向量. (3)用向量的常用方法: ①利用法向量求点到面的距离定理:如图,设 n 是平面 ? 的法向量,AB 是平面 ? 的一条射 线,其中 A ?? ,则点 B 到平面 ? 的距离为
| AB? n | |n|

.

②利用法向量求二面角的平面角定理: n 1 , n 2 分别是二面角 ? ? l ? ? 中平面 ? , ? 的法向量, 设 则 n 1 , n 2 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小 n 1 , n 2 方向相同, ( 则为补角, 1 , n 2 n 反方,则为其夹角). ③证直线和平面平行定理:已知直线 a ?? 平面 ? , A ? B ? a, C ? D ? ? ,且 CDE 三点不共线, 则 a∥ ? 的充要条件是存在有序实数对 ? ? ? 使 AB ? ?CD ? ?CE . 常设 AB ? ?CD ? ?CE 求解 (
? , ? 若 ? , ? 存在即证毕,若 ? , ? 不存在,则直线 AB 与平面相交).
A n


B

B

?
C A



n1

C

D E

? n2

?

?

高中数学第六章-不等式
考试内容: 不等式.不等式的基本性质.不等式的证明.不等式的解法.含绝对值的不等式. 考试要求: (1)理解不等式的性质及其证明. (2)掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会 简单的应用. (3)掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式. (4)掌握简单不等式的解法. (5)理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│ §06. 不 等 式 知识要点 1. 不等式的基本概念 (1) 不等(等)号的定义: a ? b ? 0 ? a ? b; a ? b ? 0 ? a ? b; a ? b ? 0 ? a ? b. (2) 不等式的分类:绝对不等式;条件不等式;矛盾不等式. (3) 同向不等式与异向不等式. (4) 同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质 (1) a ? b ? b ? a (对称性) (2) a ? b, b ? c ? a ? c (传递性) (3) a ? b ? a ? c ? b ? c (加法单调性) (4) a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d (同向不等式相加) (5) a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d (异向不等式相减) (6) a. ? b, c ? 0 ? ac ? bc (7) a ? b, c ? 0 ? ac ? bc (乘法单调性) (8) a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd (同向不等式相乘)
(9) a ? b ? 0, 0 ? c ? d ? a b ? c d

(异向不等式相除)

(10) a ? b, ab ? 0 ?

1 1 (倒数关系) ? a b

(11) a ? b ? 0 ? a n ? b n (n ? Z , 且n ? 1) (平方法则) (12) a ? b ? 0 ? n a ? n b (n ? Z , 且n ? 1) (开方法则) 3.几个重要不等式 (1) 若a ? R, 则 | a |? 0, a 2 ? 0 (2) 若a、b ? R ? , 则a 2 ? b 2 ? 2ab(或a 2 ? b 2 ? 2 | ab |? 2ab) (当仅当 a=b 时取等号) (3)如果 a,b 都是正数,那么
ab ? a ? b (当仅当 a=b 时取等号) . 2

极值定理:若 x, y ? R? , x ? y ? S , xy ? P, 则: 1 ○如果 P 是定值, 那么当 x=y 时,S 的值最小; 2 ○如果 S 是定值, 那么当 x=y 时,P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件: 一正、二定、三相等.
(4)若a、b、c ? R ? , 则 a?b?c 3 ? abc (当仅当 a=b=c 时取等号) 3

b a (5) 若ab ? 0, 则 ? ? 2 (当仅当 a=b 时取等号) a b

(6)a ? 0时,x |? a ? x2 ? a2 ? x ? ?a 或 x ? a; |

| x |? a ? x2 ? a2 ? ?a ? x ? a

(7) 若a、b ? R, 则 || a | ? | b ||?| a ? b |?| a | ? | b | 4.几个著名不等式 (1)平均不等式: 如果 a,b 都是正数,那么
2 1 1 ? a b ? ab ? a?b a 2 ? b 2 (当仅当 ? . 2 2

a=b 时

取等号)即:平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a、b 为正数):
2 2 2 2 特别地, ab ? ( a ? b ) 2 ? a ?b (当 a = b 时, ( a ? b ) 2 ? a ?b ? ab ) 2 2 2 2

a 2 ? b 2 ? c 2 ? a ? ?b ? c ? ?? ? (a, b, c ? R, a ? b ? c时取等) 3 3 ? ?
2

2 2 ?幂平均不等式: a12 ? a 2 ? ... ? a n ?

1 (a1 ? a 2 ? ... ? a n ) 2 n

注:例如: (ac ? bd ) 2 ? (a 2 ?b 2 )(c 2 ?d 2 ) .

1 1 1 1 1 1 1 常用不等式的放缩法:① ? ? ? ? ? ? (n ? 2) n n ? 1 n(n ? 1) n 2 n(n ? 1) n ? 1 n
② n ?1 ? n ?

1 n ? n ?1

?

1 2 n

?

1 n ? n ?1

? n ? n ? 1(n ? 1)

(2)柯西不等式: 若a1 , a2 , a3 ,?, an ? R, b1 , b2 , b3 ?, bn ? R; 则

2 2 2 2 2 2 2 (a1b1 ? a2 b2 ? a3b3 ? ? ? an bn ) 2 ? (a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an )(b12 ? b2 ? b3 ? ?bn ) an a1 a2 a3 当且仅当 ? ? ? ? ? 时取等号 b1 b2 b3 bn

(3)琴生不等式(特例)与凸函数、凹函数 若定义在某区间上的函数 f(x),对于定义域中任意两点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ), 有
f( x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? 或 2 2 f( x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? . 2 2

则称 f(x)为凸(或凹)函数. 5.不等式证明的几种常用方法 比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法. 6.不等式的解法 (1)整式不等式的解法(根轴法). 步骤:正化,求根,标轴,穿线(偶重根打结),定解. 特例① 一元一次不等式 ax>b 解的讨论; 2 ②一元二次不等式 ax +bx+c>0(a≠0)解的讨论. (2)分式不等式的解法:先移项通分标准化,则
f ( x) ? 0 ? f ( x) g ( x) ? 0; g ( x) ? f ( x) g ( x) ? 0 f ( x) ?0?? g ( x) ? g ( x) ? 0

(3)无理不等式:转化为有理不等式求解

1 ○

? f ( x) ? 0 ? ? ? ? 定义域 f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? ? f ( x) ? g ( x) ?
? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 或? f ( x ) ? 0 ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ? ?

2 ○

? f ( x) ? 0 3 ○ f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ?

? f ( x) ? [ g ( x)]2 ?

(4).指数不等式:转化为代数不等式
a f ( x ) ? a g ( x ) (a ? 1) ? f ( x) ? g ( x); a f ( x ) ? a g ( x ) (0 ? a ? 1) ? f ( x) ? g ( x) a f ( x ) ? b(a ? 0, b ? 0) ? f ( x) ? lg a ? lg b

(5)对数不等式:转化为代数不等式
? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x)(a ? 1) ? ? g ( x ) ? 0 ; ? f ( x) ? g ( x) ? ? f ( x) ? 0 ? log a f ( x ) ? log a g ( x )(0 ? a ? 1) ? ? g ( x ) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?

(6)含绝对值不等式 1 ○应用分类讨论思想去绝对值; 3 ○应用化归思想等价转化

2 ○应用数形思想;

| f ( x) |? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ?? g ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ? | f ( x) |? g ( x) ? g ( x) ? 0( f ( x), g ( x)不同时为0)或? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? ? g ( x)或f ( x) ? g ( x) ?

注:常用不等式的解法举例(x 为正数): ① x(1 ? x) 2 ?

1 1 2 4 ? 2 x(1 ? x)(1 ? x) ? ( ) 3 ? 2 2 3 27
2 x 2 (1 ? x 2 )(1 ? x 2 ) 1 2 3 4 2 3 ? ( ) ? ? y? 2 2 3 27 9
2

② y ? x(1 ? x 2 ) ? y 2 ?
2

类似于 y ? sin x cos x ? sin x(1 ? sin x) ,③ | x ? 1 |?| x | ? | 1 | ( x与 1 同号,故取等) ? 2
x x x


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