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物理竞赛讲义十一交流电


1.试证明正弦交流电 i ? I m sin ?t 的有效值 I 与最大值 Im 之间的关系为: Im ? 2I 解析:由功率: p ? ui ? i R ? I m R sin ? ? t ?
2 2 2

1 2 I m R (1 ? cos 2?t ) 2
P I2mR I2mR/2 0

做如图所示图象,由

/>
于 P—t 的图象中曲线与时间轴所包围的面积表示在 一个周期内交流电所产生的热量, “面积法” 移 故用 “ 峰填谷”可得出曲线与时间轴所包围的面积正好等

1 2 于高为 I m R ,宽为 T 的矩形面积,由交流电有效 2 1 2 2 值的定义,得: I m RT ? I RT Im ? 2I 2

t

2.某讯号源电动势 E=6V,内阻 r=100Ω ,扬声器的电阻 R=8Ω ,如图甲所示。求: (1)计 算直接把扬声器接在讯号源上时的输出功率。 (2) 如 E、r E、r 图乙所示,若扬声器经过原、副线圈匝数分别为 ∽ n1 n2 R R ∽ n1=300 匝、n2=100 匝的变压器再接到讯号源时输出 (甲) (乙) 功率多大?

? E ? ?2 解析: (1) P ? ? 1 ? R ? 2.5 ?10 W ? R?r ?
(2)利用变压器的输入等效电路计算,输入的等效电阻为:等效电路如图所示,设 a、b 间的等效电阻为 R/。 2 2 a U2 U 12 U 1 n1 n2 ? U12 R ∽ n1 n2 P入 ? / ∵ P ? ∴ P ? 2 ? 出 出 R U 2 n2 R b n1 ? R ∵

2

P ? 出

2 U2 n2 ? U12 = P入 ? 1/ R n12 ? R
2 2



R/ ?

n12 ?R 2 n2
2

U1 ∽

a b R/

?n ? ? 300 ? R ?? 1 ? R?? ? ? 8 ? 72? ? 100 ? ? n2 ?
/

? E ? / ?2 P2 ? ? / ? R ? 8.8 ?10 W R ?r ? ?

3.边长为 a 的正方形导线框放在空间均匀分布的磁场中,磁感强度 B 的大小随时间按正弦 B 规律变化,如图所示。则线框中产生的感应电动势最大 / Bm o 值为多大? O 解: 可将此问题等效为线框在磁感强度为 B 的匀强磁场 Tt o / -Bm 中,以垂直于磁场的 OO 为轴,周期为 T 的匀速转动问 题处理。 ∴ Em ? Bm ? S ? ? ? Bm ? a ?
2

2? 2? ? Bm ? a 2 ? T T

4.如图所示,用粗细相同的钢丝做成半径为 R 和 2R 的两只闭合圆环 A 和 C,现以相同的 速度把两环从磁感强度为 B 的匀强磁场区域中匀速地拉出磁场,若不考 A B 虑圆环的动能,外力对两环所做的功分别为 W1 和 W2,则 W1:W2: C

A.1:4 B.1:2 [ A ] C.1:1 D.无法判断 解析:由于圆环拉出磁场的过程中,其有效长度在变,很难找出两种情况 下电流的关系,若借助将矩形线框拉出磁场的模型,则把两环放在同一圆 心则很容易得出任何时刻两圆环中由于切割磁感线而产生的感应电动势始 终存在的关系:EC=2EA,而 RC=2RA,tC=2tA,故 W1:W2=1:4

A C

5.飞轮以 n=75 周/秒的转速逆时针转动,晚间以每秒闪动 100 次的日光灯照射,观察轮上 某点 A 的运动, (1)每相邻两次照射间隔内 A 点转过的角度?(2)所 A2 / // 看到的 A 点转速 n 为多大?(3)改变轮的转速,当转速 n 为多大时, A1 将看到 A 点不动? 解析:设闪光周期为 T,则 T=0.01s A (1) ? ? ?T ? 2? n ? T ? 2? ? 75 ? 0.01 ? 1.5? ard (弧度) A 点将转到 A1 的位置,如图所示。 (2)再下次闪光,将看到 A 点将转到 A2 的位置,如图所示,故觉得 A 点做顺时针方向的 转动,每经过 T,转过π /2 的角度。 ∵ ? ?
/

? /2
T

?

?
2T

? 50? ard / s

∴ n ?
/

?/ ? 25周 / 秒 2?

(3)若 ? ? 2k? (k 为整数)则看到 A 点不动

2k? ? 2? n//T

n// ? k / T ? 100k (周/ 秒)

闪光效应回使正在劳动的人产生错觉,影响操作,应尽量避免。 人的视觉暂留时间为: (1/16)s—(1/10)s。 6.单匝线框 abcd 部分放在具有理想边界的匀强磁场中,饶 ab 轴以角 速度 ω 转动,如图所示。从图示位置开始计时,画出线圈中感应电流 i 随角度 ω t 变化的图象。 解:由正弦交流电的图象可知,若将此线框匀速转动的空间填补上相同 i 的匀强磁场,即可得到一个完整的正弦交流电的图象。 再根据题中的条件,在正弦交流电的图象上去掉不产生 O 感应交流电的那部分曲线,即为所求。 在一个周期内对应的角度为: 0 — a b R R R

B

d c

ωt

5? — 2? ,如图所示。 (红曲线表示的部分) 3

? 2? 4? — 、 、 3 3 3

7.如图所示,在暗室中,电风扇在频闪光源的照射下转动。光源每秒钟闪光 30 次,电扇有三个扇叶,相互之间的夹角为 1200,已知该电风扇的转速不超 过 500r/min, 现在观察者感觉到有 6 个扇叶, 则电风扇的转速为______ r/min。 解析:观察者感觉到有 6 个扇叶即表明观察者在一次闪光的时间 1/30 秒内观 察者感觉到有 6 个扇叶,即电风扇在 1/30 秒内转过了 600 或者它的整数倍,则:

n?

k ?? 3 ?300 r / min k 1 30 ? ? 2

因电风扇的转速不超过 500r/min,故电风扇的转速为 300r/min。 放映电影时,当屏幕上出现一辆车匀速奔驰的情景时,如果注视车辆的辐条,往往会产生一 些奇怪的感觉。设电影机的速率是每秒 30 副画面,车轮上有 12 根对称分布、完全相同的辐 条,如图所示。则下列推测中正确的是:[A、B、D] A.若在 1/30 秒内每根辐条恰好转过 300,则观众觉得车轮是不动的 B.若在 1/30 秒内每根辐条恰好转过 900,则观众觉得车轮是不动的 C.若在 1/30 秒内每根辐条恰好转过 3650,则观众觉得车轮是倒转的 D.若在 1/30 秒内每根辐条恰好转过 3550,则观众觉得车轮是倒转的 解析:由于每两根辐条之间的夹角为 300,故电影机的速率为每秒 30 幅画面,即在 1/30 秒 内更换一幅画面,若这时车轮正好转过 1/12 圆周(或 300)或者它的整数倍,车轮上的辐条 位置看起来几乎没变,则车轮看起来就好象静止一样;若这时车轮所转过的角度比 1/12 圆 周(或 300)或者它的整数倍略多,则会觉得车轮向前转动;若这时车轮正好转过 1/12 圆周 (或 300)或者它的整数倍略少,则会觉得车轮倒转。 当伸出一只手指时,左右快速晃动,看到的是一个手指连续地改变的位置,若速度足够快, 由于视觉暂留,在 0.04s 内初始手指的印象没有消失,后续位置的印象已经进入视觉,这段 时间的印象将连成一片, 手指的印象就构成一个扇形面; 若在打开电视机或台式电脑前左右 快速晃动只手指时, 晃动的速度越快, 手指的间隔越大。 这是因为电视机相当一个频闪光源, 其发出的光不是恒定的,每完成一幅画面需要的扫描时间为 0.02s。当光照在手指上时,能 看到手指,当光照不到手指上时,就不能看到手指,故时而看到手指,时而看不到,看到的 时候手指的位置又不同,于是看到多个手指的印象。 在暗室中有一台三叶吊扇饶 O 轴顺时针方向转动,在频率为 f 的频闪光源照射下若出现 稳定不动的三叶图样, 如右图所示, 由此可推算出吊扇在一个频闪间隔内可

? 能转过的角度为: ?

2 k? 3

(k=1、 3、 2、 ??) ? ? ? ? t ? ? ? T ? ? ?

1 f

则吊扇可能的转速为: n ?

? ?? f k? f ? ? 2? 2? 3

(k=1、2、3、??)

若在频闪光源照射下若出现稳定不动的六叶图样,如右图所示,由此可推算出吊扇在一 个频闪间隔内可能转过的角度为: ? ?

(2k ? 1)? (k=1、2、3、??) 3 ? ? ? f (2k ? 1) f n ? ? 则吊扇可能的转速为: ? (k=1、 3、 2、 ??) 2? 2? 6

若在频闪光源照射下若出现稳定不动的九叶图样,如右图所示,由此可 推算出吊扇在一个频闪间隔内可能转过的角度为:

??

2m? 9

(m 为除 3k 外的任意自然数,k=1、2、3、??)

则吊扇可能的转速为: n ?

? ? ? f mf ? ? 2? 2? 9

(m 为除 3k 外的任意自然数,k=1、2、3、??)

8.如图 35-1 所示,从阴极 K 射出的电子经 U0=5000V 的电势差加速后,沿平行于板面的方 向从中央射入两块长 L1=10cm,间距 d=4cm 的平行 金属板 AB 之间。在离金属板边缘 L2=75cm 处放置 一个直径 D=20cm, 带有记录纸的圆筒。 整个装置放 在真空内,电子发射的初速度不计。 (1)若在金属板上加以 U1=1000V 的直流电压(A 板电势高)后,为使电子沿入射方向作匀速直线运 动到达圆筒,应加怎样的磁场(大小和方向) (2)若在两金属板上加以 U2=1000cos2πtV 的交流电压,并使圆筒绕中心轴按图示方向以 n=2 转/秒匀速转动。试确定电子在记录纸上的轨迹形状,并画出 1 秒钟内所记录到的图形。 分析与解:偏转极板上加恒定电压 U 后,电子在电场中受到恒定的电场力作用,故所加的 磁场方向只要使运动电子所受到的洛仑兹力与电场力等大反向即可。 偏转极板上加上正弦交 流电后,板间电场变为交变电场,电子在板间的运动是水平方向作匀速直线运动,竖直方向 作简谐运动。偏出极板后作匀速直线运动,电子到达圆筒后,在筒上留下的痕迹是电子在竖 直方向的“扫描”和圆筒匀速转动的合运动。 据动能定理: eU 0 ?

1 2 mv0 2

得电子加速后的入射速度为:

v0=

=4.2× m/s 10

7

(1)加直流电压时,A、B 两板间场强: E1 ? U1 d ? 2.5 ?104V / m 为使电子作匀速直线运动,应使电子所受电场力与洛仑兹力平衡,即: qE1 ? qBv0 得: B=E1/v0=(2.5× 4)/(4.2× 7)=6× 4T 方向为垂直于纸面向里。 10 10 10 (2)加上交流电压时,A、B 两板间场强为: E2=U2/d=1000cos2πt/(4× 2)=2.5× 4cos2πt v/m 10 10 电子飞离金属板时的偏距为:
-

1 1 eE ? L ? y1 ? at12 ? ? 2 ? ? 1 ? 2 2 m ? v0 ?

2

电子飞离金属板时的竖直速度为:vY=at1=(eE2/m) 1/v0) (L 从飞离板到到达筒的偏距: y2=vyt2=(eE2/m) 1/ v0) 2/ v0)=(eE2L1L2)/(m v02)所以 (L (L 在纸筒上的落点对入射方向的总偏距为: (如图 35-2 所示) 2 y=y1+y2=(L1/2+L2)(eE2L1/m v0 )=(L1/2+L2)(L1U2/2U0d) =(10/2+75)× 10-2× (10× 1000cos2πt)/(2×5000×4)=0.20cos2πt m 可见,在记录纸上的点以振幅 0.20m,周期 T=2π/ω=1 秒而作简 谐运动。因圆筒每秒转 2 周(半秒转 1 周),故在 1 秒内,纸上的图 形如图 35-3 所示。 9.如图边长为 L,具有质量的刚性正方形导线框 abcd,位于光滑水平面上,线框总电阻为 d c a oi I b0 o x0 x <L x x

R。虚线表示一匀强磁场区域的边界,宽为 s(s>L),磁感应强度为 B,方向竖直向下。线框 以 v 的初速度沿光滑水平面进入磁场,已知 ab 边刚进入磁场时通过导线框的电流强度为 I。 试在 i—x 坐标上定性画出此后流过导线框的电流 i 随坐标位置 x 变化的图线。 分析: (1)线框还没有完全进入(或恰好完全进入)磁场时,速度就减小为零。在此过程中 速度减小,电流减小,所受安培力减小,加速度减小,又使速度减小,运动越来越慢,因而 电流减小也越来越慢,故图象的斜率越来越小,最后速度减小为零,电流也为零如图所示。 (2) 线框不能完全通过 (或恰好完全通过) 磁场时, 速度就减小为零。 I0 i 在 0→L 的过程中,电流的变化与(1)类似;在 L 处,电流由某一数 值 I1 突然变为零;在 L→s 段,线框做匀速运动,无感应电流;在 s o 点后,线框做减速运动,感应电流减小,电流的变化与(1)类似,只 -I1 是方向相反,电流由 I1 减小违零。如图所示。 (3)线框能完全进入磁场,且速度不为零。在 0→s 段,此过程中电流 I0 的变化与(2)类似;在 s→s+L 段,电流的变化与(2)中的 s 以后段 o 类似;只是在 s+L 处,电流由-I2 突然变为零;以后线框做匀速运动,无 -I2 -I1 感应电流,如图所示。 i

L x0≤L+s

x1 x

x s s+L x0≤L+s L

10.如图甲所示,真空中电极 K 发出的电子(初速不计)经过 U0=1000V 的加速电场后,由小 孔 S 沿两水平金属板 A、B 向中心线射入。A、B 板长 l=0.02m,相距 d=0.020m,加在 A、B 两板间电压 u 随时间 t 变化的 u-t 图线如图乙所示,设 A、B 间的电场是均匀的,且两板外 无电场。在每个电子通过电场区域的极短时间内,场强视为恒定。两板右侧放一记录圆筒, 筒的左侧边缘与极板右端距离 b=0.15m,筒绕其竖直轴匀速转动,周期 T=0.20s,筒的周长 s=0.20m,筒能接收到通过 A、B 板的全部电子。 (1)以 t=0 时(见图乙,此时 u=0)电子打到圆筒记录纸上的点作为 xOy 坐标系的原点,并取 y 轴竖直向上,试计算电子打到记录纸上的最高点 y 坐标和 x 坐标。(不计重力作用) (2)在给出的坐标纸(图丙)上定量地画出电子打到记录纸上的点形成的图线。

(1)y=2.5cm ? (2)

12.在 LC 振荡电路中,电容器的电容为 cF,充电后两极板间最大电压为μ V,通过自感系数

为 lH 的线圈放电,则一次放电时间为________s,线圈上的电流从 0 开始到再次为 0 至少要 经 历 的 时 间 为 ________s , 这 段 时 间 内 通 过 线 圈 的 电 量 为 ________C 。 [

?
2

LC ; π

LC ;2CU ]
7.由电源、电阻、电容、电感线圈和电键组成的电路如图所示,电键闭合后电路中有稳定的 电流。从某时刻起打开电键 K,则电容器上极板所带电量 q 随时间 t 的变化关系是下图中的 哪一个: [ D ]


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