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高中数学北师大版必修5配套课件:1-3-1 第2课时 《等比数列》的性质


第2课时 等比数列的性质

1.知识目标:灵活应用等比数列的定义及通项公式;深刻

理解等比中项概念;熟悉等比数列的有关性质,并系统了
解判断数列是否成等比数列的方法.

2.能力目标:通过自主探究、合作交流获得对等比数列的

性质的认识.
3.情感目标:充分感受数列是反映现实

生活的模型,体会 数学是来源于现实生活,并应用于现实生活的,数学是丰 富多彩的而不是枯燥无味的,提高学习的兴趣.

思考1:等比数列的概念. 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前 一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫作等比数 列,这个常数叫作等比数列的公比,公比通常用字母q表

示(q≠0).
思考2:等比数列的通项公式.

an ? a1q

n ?1

(a1 ? 0, q ? 0).

等比数列的单调性
等比数列{an}的通项公式 an=a1qn-1, 还可以改写为 an a1 n = q q ,且 q ? 0 ;当 q ? 0且q ? 1时,y=qx 是一个指数函数, a1 n 而 y= q · q 是一个不为 0 的常数与指数函数的积.因此等 a1 x 比数列{an}的图像是函数 y= q · q 的图像上一些孤立的点.

根据指数函数的单调性,分析等比数列an=a1qn-1 (q>0)的单调性,填写下表.
a1
q的范围 { a n} 的 单调性 0<q<1

a1>0
q=1 q>1 0<q<1

a1<0
q =1 q>1



非增 非减





非增 非减



等比数列的判定与证明
等比数列与等差数列一样,是一类特殊的数列,是中学数 学的一个重要内容,因此必须熟练掌握证明等比数列的方 法.证明一个数列是等比数列常用的方法是定义法. an 定义法: =常数 q(n∈ N ? ,q≠0,n≥2)?{an}为等比 an-1 an+1 数列,或 a =常数 q(n∈ N ? ,q≠0)?{an}为等比数列; n

例3

在各项为负数的数列{an}中,已知2an=3an+1,且
8 = 27

a2 ·a5

.
16 是这个等比数列中的项吗?如果是,指 81

(1)求证:{an}是等比数列,并求出通项; (2)试问 ? 明是第几项;如果不是,请说明理由.

an ?1 2 解 (1)因为2an ? 3an ?1 , 且an ? 0, 所以 ? . an 3 2 故数列{an }是公比q ? 的等比数列. 3 8 8 4 又a2 ? a5 ? , 则a1q ? a1q ? , 27 27



2 5 2 3 2 a1 ( ? ) ? ( ) . 3 3

3 由于数列各项均为负值,则a1 ? ? , 2
所以
(2)设a n ? ?

3 2 n ?1 2 n ?2 an ? ? ? ( ) ?? ( ) . 2 3 3

16 ,由等比数列的通项公式得 81 16 2 n ?2 ? ?( ? ) , 81 3



2 4 2 n ?2 ( )? ( ) . 3 3

根据指数函数的性质,有
4 ? n ? 2,即n ? 6.
16 因此, ? 是这个等比数列的第6项. 81

等比数列的实际应用 例4 据报载,中美洲地区毁林严重.据统计,在20

世纪80年代末,每时平均毁林约48hm2,森林面积每年以 3.6%~3.9%的速度减少,迄今被毁面积已达1.3×107hm2,

目前还剩1.9×107hm2.请你回答以下几个问题:

(1)如果以每时平均毁林约48hm2计算,剩下的森林经过 多少年将被毁尽? (2)根据(1)计算的年数n,如果以每年3.6%~3.9%

的速度减少,计算n年后的毁林情况;
(3)若按3.6%的速度减少,估算经过150年后、经过200 年后、经过250年后及经过300年后森林面积的情况,经过 多少年森林将被毁尽?

解 (1)如果每时平均毁林约48hm2,则每年平均毁林 48×24×365=420480(hm2)

1.9 ?107 列出比式 ? 45.2,故剩下的森林大约经过 45年将被毁尽. 420480
(2) 若以3.6%的速度减少,用计算器计算45年后还剩 的森林面积为:

1.9×107×(1-0.036)45≈3.65×106(hm2);
若以3.9%的速度减少,45年后还剩森林面积为:

1.9×107×(1-0.039)45≈3.17×106(hm2).

(3)经过150年后,还剩约7.77×104hm2;经过200年后,约剩 1.24×104hm2;经过250年后,约剩1986hm2;经过300年后,约 剩317hm2;经过512年后,约剩0.134hm2,森林几乎毁尽.

等比中项
与等差中项的概念类似,如果在a与b中插入一个数G, 使得a,G,b成等比数列,那么根据等比数列的定义, G b , G2=ab ,G=± ab (ab>0),我们称G为a,b的等 ? a G 比中项.

在等比数列中,首末两项除外,每一项都是它前后两
项的等比中项.

注意:关于等比数列中项的理解应注意体会以下几点: (1)在a、b同号时,a、b的等比中项有两个; a、b异号时, 没有等比中项; (2)在一个等比数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末 项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项; (3)“a、G、b成等比数列”等价于G 2=ab(ab>0) ,可以用

它来判断或证明三数成等比数列.
同时还要注意到“a、G、b成等比数列”与“G= 等价的.
ab

”是不

等比数列的性质 设{an}是公比为q的等比数列,那么 (1)an=am·qn-m; (2)如果m,n,p,q∈N+,且m+n=p+q,则am·an= ap·aq(反之不一定成立,例如常数列).特别地,当m+n=
2 a p 2p时,有am·an=________ ;

在有穷等比数列中,与首末两项等距离的二项的积等于首
末两项的积;

(3)等比数列中每隔一定项取出一项按原来顺序排列构成
的数列仍为等比数列.例如am,a2m,a3m也成等比数列; (4){λ an}(λ ≠0),{|an|}皆为等比数列,公比分别为

q, q ; ________
(5)若{an}和{bn}分别是公比为q和p的等比数列,则数列 an {an ·bn },{ }仍是等比数列,它们的公比分别为 bn
q p ________. qp,

例5:(1)已知{an}是等比数列,且an>0,a2a4+2a3a5+a4a6 =25,那么a3+a5的值等于________. (2)等比数列{an}中,若a9=-2,则此数列前17项之积为 ________. (3)在等比数列中,若a1=1,a5=10,则a9=________. (4)在等比数列{an}中,a3· a4· a5=3,a6· a7· a8=24,则 a9· a10· a11的值是________.

解析:(1)由等比数列性质得 a2a4=a3,a4a6=a5, 把 a2a4+2a3a5+a4a6=25 化为 a3+2a3a5+a5=25 ∴(a3+a5) =25,又 an>0 ∴a3+a5=5.
2 2 2

2

2

(2)由题意得a1a2a3…a15a16a17
=(a1a17)·(a2a16)·(a3a15)…a9 =a9·a9·…·a9=a917=(-2)17=-217.

(3)∵{an}是等比数列, ∴a1,a5,a9 仍是等比数列,a2 5= a1a9,
2 a5 100 ∴a9 = = =100. a1 1 (4)∵{an}是等比数列,

∴a3·a4·a5,a6·a7·a8,a9·a10·a11 仍成等

a6a7a8 24 比数列,此新数列公比 q= = =8 , a3a4a 5 3
∴a9a10a11=(a6a7a8)·q=24×8=192.

答案:(1)5

(2)-217

(3)100

(4)192

⒈在等比数列{an}中,a2=-2,a5=54,a8= -1458 那么a3+a5= _6 . ⒊在等比数列{an}中, a15 =10, a45=90,则 30 或-30 a30 =__________. ⒋在等比数列{an}中,a1+a2 =30, a3+a4 =120, 480 则a5+a6=_____.

.

⒉在等比数列{an}中,an>0,a2 a4+2a3a5+a4a6=36,

5.在等比数列{an}中,已知a4a7=-512,a3+a8=124,且 公比为整数,求a10的值. 分析:利用等比数列的性质,若m+n=k+l,则aman=

akal来解决.
解析:由 a4a7=-512,知 a3a8=-512.
? ?a3a8=-512, 解方程组? ? ?a3+a8=124, ? ?a3=128, 或? ? ?a8=-4. ? ?a3=-4, 得? ? ?a8=128

(舍去, 因为此时 q 不为整数. )

所以 q=

5 a8

a3

=-2,

所以 a10=a3q7=-4×(-2)7=512.

评析:本题若把条件表示为a1、q的形式亦可解决,但运算 步骤较麻烦,因此解题时要合理选择方法.

1.等比数列的单调性; 2.等比数列的判定与证明;

3.等比数列的实际应用;
4.等比中项; 5.等比数列的简单性质.

自安于弱,而终于弱矣;自安于遇,而终于愚 矣 ——吕祖谦


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