nbhkdz.com冰点文库

江苏省南京市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷


江苏省南京市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 3 分,共 42 分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1. (3 分)已知集合 A={0,2,4,6},B={x|3<x<7},则 A∩B=. 2. (3 分)函数 y=sin(ωx﹣ ) (ω>0)的最小正周期为 π,则 ω 的值为.

3.

(3 分)函数 f(x)=

的定义域为.

4. (3 分)设向量 =(1,﹣2) , =(4,x) ,若 ∥ ,则实数 x 的值为.

5. (3 分)已知 f(x)=

,则 f(f(1) )的值为.

6. (3 分)在平面直角坐标系中,已知角 点 P 的坐标为.

的终边经过点 P,且 OP=2(O 为坐标原点) ,则

7. (3 分)已知 f(x)是定义域为 R 的偶函数,且 x≥0 时,f(x)=3 ﹣1,则 f(﹣1)的值为. 8. (3 分)求值:2log212﹣log29=. 9. (3 分)函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,0≤φ<π)的部分图象如图所示,则 φ 的值为.

x

10. (3 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且在区间[0,+∞)上是单调减函数.若 f(2x+1)+f(1)<0,则 x 的取值范围是. 11. (3 分)已知函数 y=loga( x+b) (a,b 为常数,其中 a>0,a≠1)的图象如图所示,则 a+b 的值为.

12. (3 分)化简:

=.

13. (3 分)已知在△ ABC 中,∠A= ? 的值为.

,AB=2,AC=4,

=



=



=

,则

14. (3 分)若 f(x)=x(|x|﹣2)在区间[﹣2,m]上的最大值为 1,则实数 m 的取值范围是.

二、解答题:本大题共 6 小题,共 58 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤. 15. (8 分)已知 cosα=﹣ ,0<α<π. (1)求 tanα 的值; (2)求 sin(α+ )的值.

16. (8 分)已知向量 , 满足| |=2,| |=1, , 的夹角为 120°. (1)求 ? 的值; (2)求向量 ﹣2 的模.

17. (10 分)已知向量 =(cosα,sinα) , =(cosβ,﹣sinβ) . (1)若 α= (2)若 ? = ,β=﹣ ,求向量 与 的夹角;

,tanα= ,且 α,β 为锐角,求 tanβ 的值.

18. (10 分)如图所示,某住宅小区有一个矩形休闲广场 ABCD,其中 AB=40 米,BC=30 米, 根据小区业主建议, 需将其扩大成矩形区域 EFGH, 要求 A、 B、 C、 D 四个点分别在矩形 EFGH 的四条边(不含顶点)上.设∠BAE=θ,EF 长为 y 米. (1)将 y 表示成 θ 的函数; (2)求矩形区域 EFGH 的面积的最大值.

19. (10 分)已知函数 f(x)= sinx+cosx. (1)求 f(x)的单调递增区间; (2)设 g(x)=f(x)cosx,x∈[0, ],求 g(x)的值域.

20. (12 分)若函数 f(x)和 g(x)满足:①在区间[a,b]上均有定义;②函数 y=f(x)﹣ g(x)在区间[a,b]上至少有一个零点,则称 f(x)和 g(x)在[a,b]上具有关系 G. (1)若 f(x)=lgx,g(x)=3﹣x,试判断 f(x)和 g(x)在[1,4]上是否具有关系 G,并说 明理由; (2)若 f(x)=2|x﹣2|+1 和 g(x)=mx 在[1,4]上具有关系 G,求实数 m 的取值范围.
2

江苏省南京市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 3 分,共 42 分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1. (3 分)已知集合 A={0,2,4,6},B={x|3<x<7},则 A∩B={4,6}. 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 根据集合的交集的定义求出即可. 解答: 解:∵集合 A={0,2,4,6},B={x|3<x<7}, ∴A∩B={4,6}, 故答案为:{4,6}. 点评: 本题考查了集合的运算,求解时要细心.

2. (3 分)函数 y=sin(ωx﹣

) (ω>0)的最小正周期为 π,则 ω 的值为 2.

考点: 正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 根据三角函数的周期公式求出 ω 即可. 解答: 解:∵函数 y=sin(ωx﹣ ∴周期 T= =π,解得 ω=2, ) (ω>0)的最小正周期为 π,

故答案为:2. 点评: 本题主要考查三角函数周期的应用,要求熟练掌握三角函数的周期公式. 3. (3 分)函数 f(x)= 的定义域为(﹣∞,2].

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数成立的条件,即可得到结论. 解答: 解:要使函数 f(x)有意义,则 2﹣x≥0, 解得 x≤2, 即函数的定义域为(﹣∞,2], 故答案为: (﹣∞,2] 点评: 本题主要考查函数的定义域的求解,要求熟练掌握常见函数成立的条件.

4. (3 分)设向量 =(1,﹣2) , =(4,x) ,若 ∥ ,则实数 x 的值为﹣8.

考点: 平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由条件利用两个向量共线的性质求得 x 的值. 解答: 解:∵ =(1,﹣2) , =(4,x) , ∥ , ∴﹣2×4=x, 即 x=﹣8 故答案为:﹣8 点评: 本题主要考查两个向量共线的性质,两个向量坐标形式的运算,属于基础题.

5. (3 分)已知 f(x)=

,则 f(f(1) )的值为 4.

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用.

分析: 根据分段函数 f(x)的解析式,求出函数值即可. 解答: 解:∵f(x)=
1



∴f(1)=2 =2, f(f(1) )=f(2)=2+2=4. 故答案为:4. 点评: 本题考查了分段函数的求值问题,也考查了复合函数的应用问题,是基础题目.

6. (3 分)在平面直角坐标系中,已知角 点 P 的坐标为(﹣1, ) . .

的终边经过点 P,且 OP=2(O 为坐标原点) ,则

考点: 任意角的三角函数的定义. 专题: 计算题. 分析: 由任意角的三角函数的定义即可求值. 解答: 解:由三角函数的定义可得:x=2cos =﹣1,y=2sin =

故点 P 的坐标为(﹣1, ) . 故答案为: (﹣1, ) . 点评: 本题主要考察了任意角的三角函数的定义,属于基础题. 7. (3 分)已知 f(x)是定义域为 R 的偶函数,且 x≥0 时,f(x)=3 ﹣1,则 f(﹣1)的值为 2. 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 结合函数的奇偶性,得到 f(﹣1)=f(1) ,代入函数的解析式求出即可. 解答: 解:∵f(x)是定义域为 R 的偶函数, 1 ∴f(﹣1)=f(1)=3 ﹣1=2, 故答案为:2. 点评: 本题考查了函数的奇偶性,考查了函数求值问题,是一道基础题. 8. (3 分)求值:2log212﹣log29=4. 考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据对数的运算性质计算即可 解答: 解:2log212﹣log29=log2 =log216=4log22=4
x

故答案为:4 点评: 本题考查了对数的运算性质,属于基础题

9. (3 分)函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,0≤φ<π)的部分图象如图所示,则 φ 的值为 .

考点: 专题: 分析: 解答: 即

正弦函数的图象. 三角函数的图像与性质. 根据函数图象确定函数的周期,利用五点对应法即可得到结论. 解:由图象可知函数的周期 T=2[3﹣(﹣1)]=2×4=8, ,解得 ω= , x+φ) ,

即 f(x)=Asin(

∵A>0,ω>0,0≤φ<π, ∴当 x=3 时,根据五点对应法得 故答案为: 点评: 本题主要考查三角函数的图象和解析式的求解,根据条件求出函数的周期是解决本 题的关键.利用五点对应法是求 φ 常用的方法. 10. (3 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且在区间[0,+∞)上是单调减函数.若 f(2x+1)+f(1)<0,则 x 的取值范围是(﹣1,+∞) . 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 计算题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: 由奇函数的性质可得 f(x)在 R 上递减,原不等式即为 f(2x+1)<﹣f(1)=f(﹣ 1) ,则 2x+1>﹣1,解得即可得到取值范围. 解答: 解:函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且在区间[0,+∞)上是单调减函数, 则 f(x)在(﹣∞,0)上递减, 即有 f(x)在 R 上递减. 不等式 f(2x+1)+f(1)<0, 即为 f(2x+1)<﹣f(1)=f(﹣1) , 则 2x+1>﹣1, 解得,x>﹣1. 则 x 的取值范围为(﹣1,+∞) . 故答案为: (﹣1,+∞) . ×3+φ=π,解得 φ= ,

点评: 本题考查函数的奇偶性和单调性的判断,考查不等式的解法,考查运算能力,属于 基础题.

11. (3 分)已知函数 y=loga( x+b) (a,b 为常数,其中 a>0,a≠1)的图象如图所示,则 a+b 的值为 .

考点: 对数函数的图像与性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由图象知,logab=2,loga( +b)=0;从而解得. 解答: 解:由图象知, logab=2,loga( +b)=0 解得,b= ,a= ; 故 a+b= ; 故答案为: . 点评: 本题考查了函数的性质的应用,属于基础题.

12. (3 分)化简:

=﹣1.

考点: 专题: 分析: 解答: ∵

三角函数的化简求值. 计算题;三角函数的求值. 先分子去根号后即可化简求值. 解: = =

∵sin40°<cos40°,

∴原式=

=﹣1.

故答案为:﹣1. 点评: 本题主要考察了三角函数的化简求值,属于基础题. 13. (3 分)已知在△ ABC 中,∠A= ? 的值为﹣ .

,AB=2,AC=4,

=



=



=

,则

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 首先建立平面直角坐标系,根据向量间的关系式,求出向量的坐标,最后求出向量 的数量积. 解答: 解:在△ ABC 中,∠A= 建立直角坐标系,AB=2,AC=4, 根据题意得到: 则:A(0,0) ,F(0,1) ,D(1, ) ,E(2,0) 所以: 所以: 故答案为:﹣ 点评: 本题考查的知识要点:直角坐标系中向量的坐标运算,向量的数量及运算,属于基 础题型. 14. (3 分)若 f(x)=x(|x|﹣2)在区间[﹣2,m]上的最大值为 1,则实数 m 的取值范围是[﹣ 1, +1]. 考点: 函数的最值及其几何意义. 专题: 计算题;作图题;函数的性质及应用. 分析: 作函数 f(x)=x(|x|﹣2)的图象,由图象知当 f(x)=1 时,x=﹣1 或 x= 而由图象求解. 解答: 解:作函数 f(x)=x(|x|﹣2)的图象如下, , , = , = , = ,

+1;从

当 f(x)=1 时,x=﹣1 或 x= +1; 故由图象可知, 实数 m 的取值范围是[﹣1, +1]. 故答案为:[﹣1, +1]. 点评: 本题考查了函数的图象的应用及最值的求法,属于基础题. 二、解答题:本大题共 6 小题,共 58 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤. 15. (8 分)已知 cosα=﹣ ,0<α<π. (1)求 tanα 的值; (2)求 sin(α+ )的值.

考点: 两角和与差的正弦函数;任意角的三角函数的定义. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)根据同角的三角函数关系式即可求 tanα 的值; (2)根据两角和差的正弦公式即可求 sin(α+ )的值.

解答: 解: (1)∵cosα=﹣ ,0<α<π,∴sinα= ,

则 tanα=



(2)sin(α+

)=sinαcos

+cosαsin

= × ﹣ ×

=



点评: 本题主要考查三角函数的求值,根据同角的三角函数关系式以及两角和差的正弦公 式是解决本题的关键.

16. (8 分)已知向量 , 满足| |=2,| |=1, , 的夹角为 120°. (1)求 ? 的值; (2)求向量 ﹣2 的模.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: (1)由向量的数量积的定义,计算即可得到; (2)由向量的平方即为模的平方,计算即可得到所求值. 解答: 解: (1)由| |=2,| |=1, , 的夹角为 120°, 则 (2)| = =| |?| |?cos120°=2×1×(﹣ )=﹣1. |= =2 . =

点评: 本题考查向量的数量积的定义和性质,考查向量的平方即为模的平方,考查运算能 力,属于基础题.

17. (10 分)已知向量 =(cosα,sinα) , =(cosβ,﹣sinβ) . (1)若 α= (2)若 ? = ,β=﹣ ,求向量 与 的夹角;

,tanα= ,且 α,β 为锐角,求 tanβ 的值.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题;三角函数的求值;平面向量及应用. 分析: (1)化简向量 a,b,再由向量的夹角公式,计算即可得到; (2)运用向量的数量积的坐标表示,结合两角和的余弦公式,同角的平方关系和商数关系, 再由 tanβ=tan[(α+β)﹣α],运用两角差的正切公式,计算即可得到. 解答: 解: (1)若 α= 则 =(0,1) , =( ,β=﹣ , ) , ,

cos< , >=

=

= , ;

由 0≤< , >≤π,则有向量 与 的夹角

(2)若 ? =

, ,

则 cosαcosβ﹣sinαsinβ= 即有 cos(α+β)= .

由于 α,β 为锐角,即 0<α+β<π, 则 sin(α+β)= 即有 tan(α+β)= =1, = = ,

由 tanα= ,则 tanβ=tan[(α+β)﹣α]=

=

= .

点评: 本题考查平面向量的数量积的坐标表示和夹角公式,考查两角和的余弦公式,两角 差的正切公式,考查角的变换方法,考查运算能力,属于中档题. 18. (10 分)如图所示,某住宅小区有一个矩形休闲广场 ABCD,其中 AB=40 米,BC=30 米, 根据小区业主建议, 需将其扩大成矩形区域 EFGH, 要求 A、 B、 C、 D 四个点分别在矩形 EFGH 的四条边(不含顶点)上.设∠BAE=θ,EF 长为 y 米. (1)将 y 表示成 θ 的函数; (2)求矩形区域 EFGH 的面积的最大值.

考点: 三角函数的最值;函数解析式的求解及常用方法;三角函数中的恒等变换应用. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)由几何图形结合解直角三角形知识将 y 表示成 θ 的函数; (2)直接由矩形面积等于长乘宽列出面积关于 θ 的表达式,结合三角函数的化简与求值得答 案. 解答: 解: (1)如图, 由∠BAE=θ,∠E=90°,得∠ABE=90°﹣θ, 再由∠ABC=90°,得∠CBF=θ,同理∠DCG=θ. 由 AB=40(米) ,BC=30(米) ,四边形 ABCD 为矩形,得 DC=40(米) , 因此,EF=EB+BF=40sinθ+30cosθ(米) , 因此 y=40sinθ+30cosθ(0°<θ<90°) ; (2) +2500sinθcosθ

=1200+1250sin2θ, (0°<θ<90°) . 因此 θ=45°时,SEFGH 取到最大值,最大值为 2450. 因此,矩形区域 EFGH 的面积的最大值为 2450 平方米.

点评: 本题考查了简单的数学建模思想方法,考查了三角函数的化简与求值,正确将 y 表 示成 θ 的函数是解答该题的关键,是中档题. 19. (10 分)已知函数 f(x)= sinx+cosx. (1)求 f(x)的单调递增区间; (2)设 g(x)=f(x)cosx,x∈[0, ],求 g(x)的值域.

考点: 三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)首先,化简函数解析式,然后,结合正弦函数的单调性求解; (2) 化简函数 g(x) =f(x)cosx= 求解其值域. 解答: 解: (1)f(x)=2 则函数 f(x)的单调增区间满足: ﹣ +2kπ ≤ ≤x≤2kπ+ , ,2kπ+
2

sinxcosx+cos x=sin (2x+

2

)+ ,然后, 根据 x∈[0,

],

=2sin(x+

) ,

,k∈Z,

∴2kπ﹣

∴函数 f(x)的单调增区间[2kπ﹣ (2)g(x)=f(x)cosx= ∵x∈[0, ∴ ≤2x+ ], ≤ , )+ ≤ ,

], (k∈Z) . sin2x+ =sin(2x+ )+ ,

sinxcosx+cos x=

∴0≤sin(2x+

∴g(x)的值域为[0, ].

点评: 本题重点考查了三角函数的图象与性质、三角恒等变换公式、辅助角公式等知识, 属于中档题. 20. (12 分)若函数 f(x)和 g(x)满足:①在区间[a,b]上均有定义;②函数 y=f(x)﹣ g(x)在区间[a,b]上至少有一个零点,则称 f(x)和 g(x)在[a,b]上具有关系 G. (1)若 f(x)=lgx,g(x)=3﹣x,试判断 f(x)和 g(x)在[1,4]上是否具有关系 G,并说 明理由; (2)若 f(x)=2|x﹣2|+1 和 g(x)=mx 在[1,4]上具有关系 G,求实数 m 的取值范围. 考点: 函数零点的判定定理. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)先判断它们具有关系 G,再令 h(x)=f(x)﹣g(x)=lgx+x﹣3,利用函数零 点的判定定理判断. 2 (2)令 h(x)=f(x)﹣g(x)=2|x﹣2|+1﹣mx ,当 m≤0 时,易知 h(x)在[1,4]上不存在 零点,当 m>0 时,h(x)= ;再分段讨论函数的零点即可.
2

解答: 解: (1)它们具有关系 G: 令 h(x)=f(x)﹣g(x)=lgx+x﹣3, ∵h(1)=﹣2<0,h(4)=lg4+1>0; 故 h(1)?h(4)<0,又 h(x)在[1,4]上连续, 故函数 y=f(x)﹣g(x)在区间[a,b]上至少有一个零点, 故 f(x)和 g(x)在[1,4]上具有关系 G. 2 (2)令 h(x)=f(x)﹣g(x)=2|x﹣2|+1﹣mx , 当 m≤0 时,易知 h(x)在[1,4]上不存在零点, 当 m>0 时,h(x)= 当 1≤x≤2 时, 由二次函数知 h(x)在[1,2]上单调递减, 故 ; ;

故 m∈[ ,3]; 当 m∈(0, )∪(3,+∞)时, 若 m∈(0, ) ,则 h(x)在(2,4]上单调递增, 而 h(2)>0,h(4)>0; 故没有零点; 若 m∈(3,+∞) ,则 h(x)在(2,4]上单调递减, 此时,h(2)=﹣4m+1<0; 故没有零点;

综上所述, 若 f(x)=2|x﹣2|+1 和 g(x)=mx 在[1,4]上具有关系 G, 则 m∈[ ,3]. 点评: 本题考查了学生对新定义的接受能力与分段函数的应用,属于基础题.
2


江苏省南京市2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题(附答案)

南京市 2014-2015 学年度第一学期期末学情调研测试高一数学 注意事项: 2015.01 1.本试卷共 4 页,包括填空题(第 1 题~第 14 题) 、解答题(第 15 题...

高一数学-2014-2015学年南京市高一(下)期末数学试卷

2014-2015 学年江苏省南京市高一(下)期末数学试卷一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置 上. 1.不等式 <0...

江苏省南京市2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题(word,含解析)

江苏省南京市2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题(word,含解析)_数学_高中教育_教育专区。南京市 2014-2015 学年度第一学期期末学情调研测试卷 高一数学 ...

江苏省南京市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷

[1,4]上具有关系 G,求实数 m 的取值范围. 2 江苏省南京市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析 一、填空题:本大题共 14 小题,每小...

江苏省南京市2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含答案

江苏省南京市2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含答案_高一数学_数学_高中教育_教育专区。南京市 2014-2015 学年度第一学期期末学情调研测试卷 高一...

2014-2015学年江苏省南京市高一(下)期末数学试卷 Word版含解析

2014-2015 学年江苏省南京市高一(下)期末数学试卷一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置 上. 1.不等式 <0...

江苏省南京市2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题

江苏省南京市2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题_数学_高中教育_教育专区。高中数学 南京市 2014-2015 学年度第一学期期末学情调研测试卷 高一数学 注意事项...

江苏省南京市2014-2015学年高一第二学期期末数学试卷(含答案)

江苏省南京市2014-2015学年高一第二学期期末数学试卷(含答案)_数学_高中教育_教育专区。江苏省南京市2014-2015学年高一第二学期期末数学试卷(含答案) ...

江苏省南京市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析

[1,4]上具有关系 G,求实数 m 的取值范围. 2 江苏省南京市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析 一、填空题:本大题共 14 小题,每小...