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2015高中数学 初高中衔接教程 第八讲 均值不等式练习 新人教版

时间:2017-01-07


第八讲
【要点归纳】 当 a,b,c>0 时,则

均值不等式

a?b a?b 2 ? ab ? ab ? ( ) (当且仅当 a=b 时,取“=” ) 2 2 a?b?c 3 a?b?c 3 ? abc ? abc ? ( ) (当且仅当 a=b=c 时,取“=” (2) ) 3 3
(1) 更一般地,当 ai ?

0 ( i ? 1,2,3?n)时, 则

a1 ? a 2 ? ? ? a n n ? a1 a 2 ? a n (当且仅当 a1 ? a2 ? ? ? an 时,取“=” ) n

【典例分析】 例 1 设 a,b,c>0,证明下列不等式: (1)

b a ? ?2 a b

(2)

1 1 1 9 ? ? ? a b c a?b?c

例 2 下列命题中有________个正确 (1)函数 f ( x) ? x ? (2)函数 f ( x) ?

4 的最小值是 4; x

4 ? x2 ?

1 4 ? x2

的最小值是 2

(3)函数 f ( x ) ? 1 ? 2 x ? (4)函数 f ( x) ? x ?

6 ( x ? 0) 的最大值是 1 ? 4 3 x

4 ( x ? 0) ,当 x=1 时,取最小值。 x2

例 3 (1) 已知 x, y ? 0 ,且

1 9 ? ? 1 ,求 x+y 的最小值; x y
y2 ? 1 ,求 x 1 ? y 2 的最大值。 2

(2) 已知 x, y ? 0 ,且 x ?
2

例 4 (1)当 x>1 时,求 y ? x ?

1 的最小值; x ?1 1 5 (2)当 x ? 时,求 y ? 4 x ? 2 ? 的最大值。 4x ? 5 4

例 5 (1)当 a,b>0 时,证明:

1 1 4 ? ? a b a?b 1 1 k ? ? (2)设 a>b>c,求使得不等式 恒成立的 k 的最大值。 a?b b?c a?c

例 6 某食品厂定期购买面粉, 已知每吨面粉的价格为 1800 元, 该厂每天需用面粉 6 吨, 面粉的保管费为平均每吨每天 3 元,因需登记入库,每次所购面粉不能当天使用,每次购面 粉需支付运输费 900 元,求该厂多少天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最 少?

【反馈练习】 1、已知 a, b ? 0 ,且 a+b=1,求

1 1 ? 的最小值。 a b

2、函数 y=x(1-2x) ( 0 ? x ?

1 )的最大值等于___________;此时 x=__________ 2

3、函数 y ? ax ?

2 ( x ? 0, a ? 0) 的最小值为 6,则实数 a=_____________ x2

4、已知 a, b ? 0 ,且 ab=3+a+b,求 ab 的取值范围。

5、求函数 y ?

x 3( x ? 1)
2

( x ? 0) 的最大值及相应的 x 的值。

6、设计一幅宣传画,要求画面面积为 4840 cm ,画面的宽与高的比为 ? (? ? 1) ,画面
2

的上下各留 8 cm 空白,左右各留 5 cm 空白,怎样确定画面的高与宽尺寸,能使宣传画所用纸张面积最 小?

第八讲

均值不等式

【典例分析】 例 2 2 个(③④两个命题正确) 例3 (1)当 x=4,y=12 时,x+y 取最小值 16; (2)当 x=

3 6 3 2 2 ,y= 时, x 1 ? y 取最大值 。 2 2 4

例 4 (1)当 x=2 时, y min ? 3 ; (2)当 x=1 时, y max ? 1 例 5 (1)略 例6 (2) 4

解:设该厂应 x 天购买一次面粉,其购买量为 6x 吨。

由题意知,面粉的保管费用为 3[6x+6(x-1)+?+6×2+6×1]=9x(x+1) 设平均每天所支付的总费用为 y 元,则

y?
=

1 [9x ( x ? 1) ? 900 ] ? 6 ? 1800 x

900 900 ? 9 x ? 10809 ≥2 ? 9x ? 10809? 10989 x x 900 ,即 x=10 时取等号, x

当且仅当 9 x ?

故该厂应 10 天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少。 【反馈练习】

1 1 1 时, ? 取最小值 4。 2 a b 1 1 2、当 x ? 时, y max ? 4 8
1、当 a ? b ? 3、a=4

2 ax ax 2 a2 3 提示: y ? ax ? 2 ? ? ? ?3 ?6 2 2 x2 2 x
ab ? 3
x 3( x ? 1)
2

4、ab≥9 提示:ab=3+a+b ? 3 ? 2 ab ? 5、当 x=1 时, y max ?

1 6

提示: y ?

?

1 1 3( x ? ) x

6、宽为 55cm,高为 88cm


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