nbhkdz.com冰点文库

2007年广州市高二数学竞赛赛试卷与答案


2007 年广州市高二数学竞赛试卷

题 得

号 分



二 (11) (12)

三 (13) (14) (15)





评卷员

考生注意:⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答; ⒉不准使用计

算器; ⒊考试用时 120 分钟,全卷满分 150 分.

一、选择题:本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.请将正确选项前的字母代号填在该小题后的括号内.

?? 1 ? x ?? ? ? 7, x ? 0, 1.设函数 f ( x) ? ?? 2 ? ,若 f ( a ? 1) ? 1 ,则实数 a 的取值范围是( ? x ? 0. ? x,
A. ? -?,-4 ? B. ? ?4, 0 ? C. ? 0, ?? ?

) .

D. ? ??, ?4 ? ? ? 0, ?? ?

2. 椭圆

x2 y 2 点 P 在椭圆上, 如果线段 PF1 的中点在 y 轴上, 那么 PF1 是 PF2 ? ? 1 的焦点为 F1 和 F2 , 12 3
). B.5 倍 C.4 倍 D. 3 倍 ) .

的( A.7 倍

3.已知集合 M ? ?? x, y ? lg ? x ?
2

? ?

? ?

? 1 2? y ? ? lg x ? lg y ? ,则集合 M 中元素的个数为( 4 ? ?
C.2 个
?

A.0 个

B.1 个

D.无数个

4.设 M 是 ?ABC 内一点,且 AB ? AC ? 2 3, ?BAC ? 30 ,定义 f ( M ) ? ( m, n, p ) ,其中 m, n, p 分 别是 ?MBC , ?MCA, ?MAB 的面积,若 f ( P ) ? ? A. 9

??? ? ????

1 4 ?1 ? , x, y ? ,则 ? 的最小值是( x y ?2 ?
D.9

) .

?

3 ?1

?

B.18

C.16

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分.把答案填在题中横线上. 5.已知复数 z 满足: z ? z ? 1 ? 0 ,则 1 ? z ? z ? z ? ? ? z
2

2

3

2007

? __________.


6.在区间 ? ?2, 2? 上任取两实数 a,b,则二次方程 x ? ax ? b ? 0 有实数解的概率为
2 2

7.已知函数 f ( x) 满足: f ( m ? n) ? f ( m) f ( n), f (1) ? 4 ,则

f 2 (1) ? f (2) f 2 (2) ? f (4) f 2 (3) ? f (6) f 2 (251) ? f (502) ? ? ?? ? ? f (1) f (3) f (5) f (501)


2

8.奇函数 f ? x ? 在 R 上为减函数,若对任意的 x ? ? 0,1? ,不等式 f ? kx ? ? f ? x ? x ? 2 ? 0 恒成立, 则实数 k 的取值范围为 . 9.四面体 ABCD 中,AB=CD=6,其余的棱长均为 5,则与该四面体各个表面都相切的内切球的半径长 等于 . 10.已知 x, y 满足

?

?

1 2 3 x ?4? y ? 16 ? x 2 ,则函数 z ? x ? y ? 10 的最大值与最小值之和为 4 4



三、解答题:本大题共 5 小题,共 90 分.要求写出解答过程. 11. (本小题满分 15 分)

n ? (cos ? x ? sin ? x, 2sin ? x) ( 已知函数 f ( x) ? m ?n , 其中 m ? (sin ? x ? cos ? x, 3 cos ? x) ,
,若 f ( x) 相邻两对称轴间的距离不小于 ? ?0) (Ⅰ)求 ? 的取值范围;

?
2



(Ⅱ)在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边, a ? 求 ?ABC 的面积.

3, b ? c ? 3 ,当 ? 最大时, f ( A) ? 1 ,

12. (本小题满分 20 分) 各项都为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 2 ? S n ? 1? ? an ? an .
2

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若数列{bn}满足 b1 ? 2 , bn ?1 ? 2bn ,数列{cn}满足 cn ? ?

?an ? bn

(n为奇数) ,数列{cn}的前 n 项 (n为偶数)

和为 Tn,当 n 为偶数时,求 Tn; (Ⅲ)同学甲利用第(Ⅱ)问中的 Tn 设计了一个程序如图,但同学乙认为这个程序如果被执行会是 一个“死循环” (即程序会永远循环下去,而无法结束) .你是否同意同学乙的观点?请说明理 由. n:?0

n:?n?2

n2 Pn:? ? 24n 4
No

Tn?Pn:?2007? Yes 打印 n

结束

13. (本小题满分 20 分) 多面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的直观图,主视图,俯视图,左视图如下所示.

D1

C1 A1 B1
a 2

a
a a

D A
直观图

C B a
主视图

a 2

2 2 俯视图

a
左视图

(Ⅰ)求 A1 A 与平面 ABCD 所成角的正切值; (Ⅱ)求面 AA1 D1 与面 ABCD 所成二面角的余弦值; (Ⅲ)求此多面体的体积.

14. (本小题满分 20 分)
2 2 2

如图, 已知抛物线 C : x ? 2 py ? p ? 0 ? 与圆 O : x ? y ? 8 相交于 A 、B 两点, 且 OA?OB ? 0( O 为坐标原点) ,直线 l 与圆 O 相切,切点在劣弧 ? AB (含 A、B 两点)上,且与抛物线 C 相交于 M 、

??? ? ??? ?

N 两点, d 是 M 、 N 两点到抛物线 C 的焦点的距离之和. (Ⅰ)求 p 的值; (Ⅱ)求 d 的最大值,并求 d 取得最大值时直线 l 的方程.

y l N M A F OO x B

15.(本小题满分 20 分) 已知函数 f ( x) ? ? x ? sin x 是区间 ? ?1,1? 上的减函数. (Ⅰ)若 f ( x) ? t ? ? t ? 1 在 x ? [ ?1,1] 上恒成立,求 t 的取值范围;
2

(Ⅱ)讨论关于 x 的方程

ln x ? x 2 ? 2ex ? m 的根的个数. x

2007 年广州市高二数学竞赛参考答案
1.选 B. 2.选 A. 3.选 D. 4.选 B. 5.填 1. 6.填

1 . 4

7.填 2008. 8.填 ? ??, 2 ? .

9.填

3 7 . 8

10.填 20. 11.解: (Ⅰ) f ( x) ? m ?n ? cos
2

? x ? sin 2 ? x ? 2 3 cos ? x ? sin ? x ?
6 ).

? cos 2?x ? 3 sin 2?x ? 2 sin( 2?x ?
? ? ? 0 ,∴函数 f ( x) 的周期 T ?
由题意可知

T ? ? ? ? ,即 ? , 解得 0 ? ? ? 1 . 2 2 2? 2

2? ? ? . 2? ?

故 ? 的取值范围是 {? | 0 ? ? ? 1} . (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 ? 的最大值为 1,? f ( x) ? 2 sin( 2 x ?

?
6

).

? f ( A) ? 1 ,? sin( 2 A ?

?

6 13 ? 5 ? 而 ? 2A ? ? ? ,? 2 A ? ? ? ,? A ? . 6 6 6 6 6 3

)?

?

?

1 . 2

由余弦定理,知 cos A ?

b2 ? c2 ? a2 2 2 ,? b ? c ? bc ? 3 ,又 b ? c ? 3 , 2bc

联立解得 ?

?b ? 2 ?b ? 1 或? . ?c ? 1 ?c ? 2 1 3 . bc sin A ? 2 2
2

? S ?ABC ?

(或用配方法? (b ? c) ? 3bc ? 3

1 3 ) b ? c ? 3, ? bc ? 2 .? S ?ABC ? bc sin A ? 2 2

12.解: (Ⅰ)当 n ? 1 时,由 2 ? S1 ? 1? ? a1 ? a1 ,解得 a1 ? 2 ,
2

当 n ? 2 时,由 2 ? S n ? 1? ? an ? an ,得 2 ? S n ?1 ? 1? ? an ?1 ? an ?1 .
2 2

两式相减,并利用 an ? S n ? S n ?1 ,求得 an ? an ?1 ? 1 . ∴数列 ?an ? 是首项为 2,公差为 1 的等差数列.∴ an ? n ? 1 ( n ? N ) .
*

(Ⅱ)∵ ?bn ? 是首项为 2,公比为 2 的等比数列,∴ bn ? 2 .
n

当 n 为偶数时, Tn ? ? a1 ? a3 ? ? ? an ?1 ? ? 2 ? 2 ? ? ? 2
2 4

?

n

?

n a1 ? an ?1 n 4 ?1 ? 2 ? n 2 ? 2n 4 n ? ? ? ? ? ? 2 ? 1? . 2 2 1? 4 4 3

(Ⅲ)∵ Pn ?

n2 , ? 24n (n 为偶数) 4 4 n 47 4 , ? 2 ? n ? (n 为偶数) 3 2 3

设 d n ? Tn ? Pn ?

∴ d 4 ? d 6 ? d8 ? d10 ? 2007 ? d12 ? d14 ? ? .且 d 2 ? 2007 , (利用数列的单调性或函数的单调性判断) ∴ d n ? 2007 ,即 Tn ? Pn ? 2007 (n 为偶数) . 因此同学乙的观点正确. 13. (Ⅰ)解:由已知图可得,平面 A1 AB ? 平面 ABCD ,取 AB 中 点 H ,连接 A1 H , 在等腰 ?A1 AB 中,有 A1 H ? AB ,则 A1 H ? 平面 ABCD . ∴ ?A1 AB 是 A1 A 与平面 ABCD 所成的角. ∵ A1 H ? 2 AH ,∴ tan ?A1 AB ?

D1

C1 A1 B1

D A
K H

C B

A1 H ? 2. AH

故 A1 A 与平面 ABCD 所成角的正切值为 2. (Ⅱ)解法 1:取 AD 中点 K ,连接 D1 K , KH ,同理有 D1 K ? 平面 ABCD ,即 ?AHK 是 ?AA1 D1 在平面 ABCD 内的射影. 取 HK 的中点 M,取 A1 D1 的中点 N,连接 MN,AM,AN,则 ?MAN 就是面 AA1 D1 与面 ABCD 所

成的二面角. ∵MN=a, AM ?

2 MN 1 a ,∴ tan ?MAN ? ? 2 2 .即 cos ?MAN ? . 4 AM 3 1 . 3

∴面 AA1 D1 与面 ABCD 所成二面角的余弦值为

解法 2:取 AD 中点 K ,连接 D1 K , KH ,同理有 D1 K ? 平面 ABCD ,即 ?AHK 是 ?AA1 D1 在平 面 ABCD 内的射影, 在 ?AA1 D1 中, AA1 ? AD1 ?

5 2 3 1 a, A1 D1 ? a , S ?AA1D1 ? a 2 ,又 S ?AHK ? a 2 , 2 2 8 8 S ?AHK 1 ? . S ?AA1D1 3

设面 AA1 D1 与面 ABCD 所成二面角的大小为 ? ,则 cos ? ? ∴面 AA1 D1 与面 ABCD 所成二面角的余弦值为

1 . 3

(Ⅲ)解:∵该多面体为长方体削去四个全等的三棱锥,每个三棱锥的体积都为

1 1 a a 1 3 ? ? ? ?a ? a . 3 2 2 2 24
∴此多面体的体积 V ? a ? 4 ?
3

1 3 5 3 a ? a . 24 6

14. (Ⅰ) 解:设点 A 的坐标为 ? x1 , y1 ? ? x1 ? 0 ? , 由于抛物线 C 和圆 O 关于 y 轴对称,故点 B 的坐标为 ? ? x1 , y1 ? .

??? ? ??? ? ? OA?OB ? 0 ,? x1 ?(? x1 ) ? y12 ? 0 , 即 ? x12 ? y12 ? 0 . ? 点 A 在抛物线 C 上,? x12 ? 2 py1 . ??2 py1 ? y12 ? 0 , 即 y1 ? ?2 p ? y1 ? ? 0 . ? y1 ? 0,? y1 ? 2 p .? x1 ? ?2 p .? 点 A 的坐标为 ? ?2 p, 2 p ? .
又 p ? 0, 解得 p ? 1 . ? 点 A 在圆 O 上, ? ? ?2 p ? ? ? 2 p ? ? 8 ,
2 2

y l N M A F OO x N1 B

(Ⅱ) 解法 1:设直线 l 的方程为: y ? kx ? b ,因为 l 是圆 O 的

切线,则有

k ?0 ? 0 ? b k 2 ?1
2

?2 2,

又 b ? 0 ,则 b ? 2 2k ? 2 .

M1

即 l 的方程为: y ? kx ? 2 2k ? 2 .
2

联立 ?
2

? ? y ? kx ? 2 2k 2 ? 2,
2 ? ? x ? 2 y.

即 y ? 2k ? 4 2k ? 2 y ? 8 k ? 1 ? 0 .
2 2 2

?

?

?

?

设 M ? xM , yM ? , N ? xN , y N ? ,则 yM ? y N ? 2k ? 4 2k ? 2 .
2 2

如图,设抛物线 C 的焦点为 F ,准线为 L ,作 MM 1 ? L, NN1 ? L ,垂足分别为 M 1 , N1 . 由抛物线的定义有:

d ? MF ? NF ? MM 1 ? NN1 ? yM ? y N ? 1 ? 2k 2 ? 4 2k 2 ? 2 ? 1 .
令t ?

2k 2 ? 2 ,则 2k 2 ? t 2 ? 2 .∴ d ? t 2 ? 4t ? 1 ? ? t ? 2 ? ? 5 .
2

又∵ ?1 ? k ? 1 ,∴ 2 ? t ? 2 . ∴当 t ? 2 时, d 有最大值 11. 当 t ? 2 时, k ? ?1 ,故直线 l 的方程为 y ? ? x ? 4 . 解法 2:设直线 l 与圆 O 相切的切点坐标为 ? x0 , y0 ? ,则切线 l 的方程为 x0 x ? y0 y ? 8 . 由?

? x0 x ? y0 y ? 8, 2 2 2 消去 x ,得 y0 y ? ?16 y0 ? 2 x0 ? y ? 64 ? 0 . 2 ? x ? 2 y.

2 16 y0 ? 2 x0 设 M ? xM , yM ? , N ? xN , y N ? ,则 yM ? y N ? . 2 y0

如图,设抛物线 C 的焦点为 F ,准线为 L ,作 MM 1 ? L, NN1 ? L ,垂足分别为 M 1 , N1 . 由抛物线的定义有:

d ? MF ? NF ? MM 1 ? NN1 ? yM ? y N ? 1 ?
2 2 , ? x0 ? 8 ? y0 2 16 y0 ? 2 ? 8 ? y0 ? 2 y0

2 16 y0 ? 2 x0 ?1 . 2 y0

d?

? 1 1? 16 16 ? 1 ? 2 ? ? 1 ? 16 ? ? ? ? 5 . y0 y0 ? y0 2 ?

2

? 2 ? y0 ? 2 2 ,? 当 y0 ? 2 时, d 有最大值 11.
当 y0 ? 2 时, x0 ? ?2 ,故直线 l 的方程为 y ? ? x ? 4 .

15.解:(Ⅰ)? f ( x) ? ? x ? sin x 在 ? ?1,1? 上是减函数,

? f ?( x) ? ? ? cos x ? 0 在 ? ?1,1? 上恒成立, ? ? ? ? cos x, cos x ? [cos1,1] ,
? ? ? -1 .
又? f ( x) 在 ? ?1,1? 上单调递减,

? f ( x) max ? f (?1) ? ?? ? sin1,
∴只需 ?? ? sin1 ? t ? ? t ? 1 ,
2

? (t ? 1)? ? t 2 ? sin1 ? 1 ? 0 (其中 ? ? -1 )恒成立.
令 g (? ) ? (t ? 1)? ? t ? sin1 ? 1(? ? -1) ,
2

则?

? ?t ? 1 ? 0, ?t ? 1 ? 0, ,即 ? 2 ? ??t ? 1 ? t ? sin1 ? 1 ? 0. ? g ? ?1? ? 0.

?t ? -1, 2 ?? 2 而 t ? t ? sin1 ? 0 恒成立, ?t ? t ? sin1 ? 0.
? t ? -1 .
(Ⅱ)令 f1 ( x) ?

ln x , f 2 ( x) ? x 2 ? 2ex ? m , x 1 ? ln x , ? f1?( x) ? x2
当 x ? ? 0, e ? 时, f1?( x) ? 0 , ? f1 ( x) 在 (0, e] 上为增函数;

x ? [e, ??)时, f1?( x) ? 0,? f1 ( x)在[e, ??) 上为减函数,
当 x ? e 时, f1 ( x) max ? f1 (e) ? 而 f 2 ( x ) ? ( x ? e) ? m ? e ,
2 2

1 . e

∴函数 f1 ( x)、f 2 ( x) 在同一坐标系的大致图象如图所示,

1 1 2 ,即 m ? e ? 时,方程无解. e e 1 1 2 2 ②当 m ? e ? , 即 m ? e ? 时,方程有一个根. e e 1 1 2 2 ③当 m ? e < , 即 m<e ? 时,方程有两个根. e e
∴①当 m ? e ?
2


2007年广州市高二数学竞赛试题技答案

2007年广州市高二数学竞赛试题答案_学科竞赛_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档2007年广州市高二数学竞赛试题答案_学科竞赛_高中教育_教育...

2007年广州市高二数学竞赛试卷

2007年广州市高二数学竞赛试卷_学科竞赛_高中教育_教育专区。2007 年广州市高二...m 的根的个数. x 2007 年广州市高二数学竞赛参考答案 1.选 B. 2.选 A....

2007年广州市高二数学竞赛试卷

2007年广州市高二数学竞赛试卷_学科竞赛_高中教育_教育专区。2007 年广州市高二...m 的根的个数. x 2007 年广州市高二数学竞赛参考答案 1.选 B. 2.选 A....

2007年广州市高二数学竞赛试卷

m 的根的个数. x 2007 年广州市高二数学竞赛参考答案 1.选 B. 2.选 A. 3.选 D. 4.选 B. 5.填 1. 6.填 1 . 4 7.填 2008. 8.填 ? ??,...

2007年广州市高二数学竞赛试卷

m 的根的个数. x 2007 年广州市高二数学竞赛参考答案 1.选 B. 2.选 A. 3.选 D. 4.选 B. 5.填 1. 6.填 1 . 4 7.填 2008. 8.填 ? ??,...

2007年广州市高二数学竞赛试卷

2007 年广州市高二数学竞赛试卷 题得 号分 一 二(11) (12) 三(13) (14...m 的根的个数. x 2007 年广州市高二数学竞赛参考答案 1.选 B. 2.选 A....

2007年广州市高二数学竞赛试卷

2007 年广州市高二数学竞赛试卷 题号得分 评卷员 一 二(11) (12) 三(13)...m 的根的个数. x 2007 年广州市高二数学竞赛参考答案 1.选 B. 2.选 A....

2007年全国高中数学联赛一、二试试题及答案

2007年全国高中数学联赛一、二试试题答案_高一数学_数学_高中教育_教育专区。2007 年全国高中数学联合竞赛一试试卷 (考试时间:上午 8:00—9:40) 一、选择题(...

2007年广东省广州市高二数学竞赛试题

2007 年广州市高二数学竞赛试卷一、选择题:本大题共 4 小题,每小题 6 分,...m 的根的个数. x 2007 年广州市高二数学竞赛参考答案 1.选 B. 2.选 A....

2012年广州市高二数学竞赛试题及答案

3 2012 年广州市高二数学竞赛试题 参考答案与评分标准 参考答案与评分标准说明: .参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识能力, 说明:1.参考答案与...