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微积分题型总结

时间:2013-12-11


.

微积分题型总结
第一部分

函 数

函数是整个高等数学研究的主要对象,因而成为考核的对象之一。特别是一元函数的 定义和性质,其中包括反函数、复合函数、隐函数、初等函数和分段函数的定义和性质。 一、 重点内容提要
1、函数定义中的关键要素是定义域与对应法则,这里要特别注意两点: ①两个函数只有当

它们的定义域和对应法则都相同时,才能说它们是相同的函数。 ②分段函数是一个函数而不是几个函数。 求函数的定义域: (答案只要求写成不等式的形式,可不用区间表示) 对于用数学式子来表示的函数,它的定义域就是使这个式子有意义的自变量 x 的取值范围(集合) 主要根据: ①分式函数:分母≠0 ②偶次根式函数:被开方式≥0 ③对数函数式:真数式>0 ④反正(余)弦函数式:自变量 x ? 1

例1 例2 例3

求函数y ? x ? x的定义域。 求函数 ln ( x ? 2y ) 4 ? x 2 ? y2 的定义域。

y=

2?x 的定义域 1 - 2x

2 例 4 y ? ln( x ? 3x) ? arccosx

在上述的函数解析式中,上述情况有几种就列出几个不等式组成不等式组解之。 2、关于反函数定义,我们仅要求掌握变量反解法。 3、函数的简单性质,重点掌握奇偶性、单调性。 4、关于复合函数定义 将复合函数拆成基本初等函数或基本初等函数经四则运算形成的函数,这在求导和积分类型题中是不 可避免的。

指出

y ? sin e

1 arctan x

的复合过程

5、隐函数:主要在后面求导数及应用中用到 6、注意初等函数的定义。注意分段函数不是初等函数。

二、 典型例题
类型题 1、求函数定义域 例1 求函数 f ( x ) ?

4? x 的定义域. lg( x ? 1)

解 要使函数表达式有意义,x 要满足:

.

?4 ? x ? 0 ? ?x ? 1 ? 0 ?lg( x ? 1) ? 0 ?
?1, ?? 1,



?x ? 4 ? ?x ? 1 ?x ? 2 ?

所以函数的定义域为(1,2) ? (2,4]. 例 2 求函数 f(x)= ?

0 ? x ?1 1? x ? 2

的定义域.

解 函数 f(x)的定义域是[0,2]. 小结:注意,对于分段函数,它的定义域为所有分段区间的并集。

如:

(1)函数 f ( x) ? x ? 1 ? x 2 的定义域是
ln ?x ? 1? x ?1



(2)函数 y ?

定义域是

(3)函数 f ( x) ? log 2 (2 x ? 1) +arcsin(1-x)的定义域
类型题 2、函数值与函数记号 例 设 f(x)=

1 ?1? ?1? ,求(1)f(x-1); (2) f ? ? ; (3)f [ f ? ? ]. x ?1 ?x? ?x?
1 1 ? ( x ? 1) ? 1 x

解 (1)f(x-1)=

(2) f ?

1 x ?1? ? ?= ? x ? 1 ?1 x ?1 x
1 x ?1 x ?1 ? x ?1 2x ? 1

(3)f [ f ?

?1? ? x ? ? ]=f ? ?? ? x ? ? x ? 1?

第二部分
意。

极限与连续

作为高等数学研究的基本工具,求函数极限和讨论函数的连续性乃是考核的基本类型题,要引起注

一、 重点内容提要
1、函数极限的求法,注意单侧极限与极限存在的充要条件。 2、知道极限的四则运算法则 3、熟练掌握两个重要极限 4、关于无穷小量 (1)掌握无穷小量的定义,要特别注意极限过程不可缺少。 (2)掌握其性质与关系 无穷小量的判定也是一个比较重要的问题

.

x ? 0, 下列那些量是无穷小量
例: tan x

x

, x cos x, x 3 , x sin x,

sin x 1 , x sin x x

5、掌握函数的连续性定义与间断点的求法 (1)掌握函数的连续性定义 (2)掌握间断点定义 (3)掌握并会用单侧连续性 (4)掌握初等函数的连续性的结论 6、掌握闭区间上连续函数的性质 (1)理解最大值和最小值定理,即在闭区间上连续的函数,必能在其上取到最大值和最小值。本定 理主要为求函数的最值做必要的铺垫。 (2)掌握介值定理的推论---零点定理。本定理主要用于判定一个方程根的存在性。

二、典型例题
求函数极限常用方法有:利用极限的四则运算法则求极限,利用初等函数的连续性求极限;利用两 个重要极限求极限;利用洛必达法则求极限等。 类型题 1、利用极限的四则运算法则及初等函数连续性求极限 例1
x ? x0

lim f ( x) ? lim (a n x n ? a n ?1 x n ?1 ? ?? a1 x ? a0 )
x ? x0

? a n x0 ? a n ?1 x0
n

n ?1

? ?? a1 x0 ? a0 ? f ( x0 )

例2

?0 ? p ( x) a x ? a n ?1 x ? ?? a1 x ? a0 ? a n lim n ? lim n m ?? m ?1 x ?? q ( x ) x ?? b x ? b ? ??b1 x ? b0 ? bm m m m ?1 x ?? ?
n n ?1

n?m n?m n?m

? p( x0 ) q( x0 ) ? 0 ? q( x ) 0 ? p( x) ? 0 lim ? ? (洛比达法则) p( x0 ) ? q( x0 ) ? 0 例 3 x ? x0 q ( x ) ? 0 p( x0 ) ? 0;q( x0 ) ? 0 ?? ? ?
x2 ? 2x ? 1 求 lim x ?1 x3 ? 1
注意到 x ? 1使分子和分母都为零,可通过约去公共零因子的方法解决,我们有

例1 解

lim

x ?1

( x ? 1) 2 x2 ? 2x ? 1 x ?1 = lim = lim 2 ?0 2 3 x ?1 ( x ? 1)( x ? x ? 1) x ?1 x ? x ? 1 x ?1

注:约去零因子后, x ? 1成为连续点,便可以利用初等函数的连续性求极限了。 例 2 求 lim

x ?4

2x ? 1 ? 3 x?2 ? 2

解 同上题,设法分离出零因子,然后消去。有

.

lim

x ?4

( 2 x ? 1 ? 3)( 2 x ? 1 ? 3)( x ? 2 ? 2 ) 2x ? 1 ? 3 = lim x ? 2 ? 2 x?4 ( x ? 2 ? 2 )( 2 x ? 1 ? 3)( x ? 2 ? 2 )

? 2 x ? 1 2 ? 32 ? ( x ? 2 ? 2 ) ? ? ?2 x ? 8? x ? 2 ? 2 ? ? = lim = lim 2 2 x ?4 ? x ?4 ?x ? 4? 2 x ? 1 ? 3 x ? 2 ? 2 ?( 2 x ? 1 ? 3) ? ? ? ?

? ?

?

? ? ?

? ?

?

?

= lim

x ?4

2( x ? 2 ? 2 ) 2 ? 2 2 2 ? ? 2 3? 3 3 2x ? 1 ? 3

类型题 2、利用两个重要极限求极限 重要极限一及其推广形式

lim

sin ? ( x) sin x ?1 ? 1 ,推广形式 lim ? ( x ) ?0 ? ( x ) x ?0 x
lim lim sin x ?0 x lim x sin x ? 1
x ??

sin x ?1 x 注意比较以下四个极限 lim x sin x ? 0
x ?0 x ?0

x ??

例 2 求下列函数的极限: (1) lim
x ?0

sin 3x ; x

(2) lim

x ??

sin 3x . x

解 (1) lim

x ?0

sin 3x sin 3x 令t ? 3 x sin t lim = lim ?3 ? 3 ? 1? 3 ? 3 . x ?0 t ?0 x 3x t

sin 3x 1 1 = lim sin 3x=0(因为 lim ? 0 ,而 sin3x 是有界函数) x ?? x x ?? x x 1 例 3 求 lim xsin x ?? x 1 sin 1 x 令t ? 1 / x lim sin t ? 1. lim xsin = lim 解 x ?? x ?? t ?0 1 x t x
(2) lim
x ??

重要极限二 及其推广形式

2? ? 例 1 求 lim ?1 ? ? x ?? x? ?
x

x



2? ? ? 2 ?2 l i m ?1 ? ? = lim ?1 ? ? 令 u= 2 / x = x ?? x ? x ?? ? x? ?

x

?2

1 lim ??1 ? u ?u ? ? e 2 ? u ?0 ? ? ?

2



lim

sin 2 x sin x ? lim sin x ? 0 x ?0 x ?0 x x
x ??

(07.二.6) 极限 lim (

x ?1 x ) ? x ?1

类型题 3、利用无穷小量的性质求极限

.

例1

例2

例3

1 1 xsin x ? lim x ? 0 ?0 lim x ?0 x ?0 sinx sinx 1 x 2 sin x sinx lim ? lim sinx ? 1 ? 0 ? 0 x ?0 x ?0 x x 1 sin sinx sinx 1 x lim lim lim lim xsin x ?0 x x ?? x x ?? x ?? x x x 2 sin

lim xsin
x ?0

1 x

类型题 4、利用洛必塔法则求极限

例1

lim

例2

例3 例6

cosx - cosa - sinx ? lim ?0 x ?0 x ?0 x -a 1 1 1 - 2 ln(1 ? ) 2 x ? lim x ? ? 1 ? lim x 1 ? x ? 1 lim x ? ?? arccotx x ? ?? 1 1 ? x 2 x ??? 1 ? x x 2 1? x 1 1 lim? xlnx 例4 lim ( ? x ) 例5 lim? x sin x x ?0 x x ?0 x ?0 e ?1

求极限 lim

? ?
x 0

x

0

2t 2 dt

x ?0

t (1 ? s in t ) dt

类型题 5、判断函数在指定点的连续性(连续的定义要明确)

例 1 判断函数

x ?c o s ? 1 ? x2 , ? f ( x) ? ? ?? 1 , ? 2 ?

x ? 0,
在 x=0 处的连续性。

x?0

x ? 2(sin ) 2 cos x ? 1 2 = lim 解 因为 lim f(x)= lim ? lim x ?0 x ?0 x ?0 x ?0 x2 x2
1 . 2
f(0)= ?

x? ? sin ? ? 2 ? 1? ? x ? ??? ? ? ? ? 2? ? 2 ?

2

=?

又因为

1 ,所以函数 f(x)在 x=0 处连续. 2
x ?1 ? 2 ,要使 f (x) 在 x=3 处连续,应补充定义 f(3)=_______ x?3

(07.二.7) 设 f ( x) ?

函数在某一点是否有定义、是否有极限、是否连续、可导、可微之间的关系 小结 判断分段函数在分界点处是否连续,首先要判断函数在该点处的极限是否存在,然后考察 f(x)在该 点的极限值是否等于函数在该点处的函数值,若相等,则函数在分界点处连续,否则就不连续。

.

类型题 6、求函数的连续区间 例 求函数 f(x)=

1
3

x 2 ? 3x ? 2

的连续区间。

解 因为 f(x)的定义域为 x2—3x+2 ? 0,即(x-1)(x-2) ? 0 得 x ? 1 且 x ? 2。 所以函数 f(x)的连续区间是 ?? ?,1? ? ?1,2? ? ?2,?? ? 小结 由于一切初等函数在其定义域内都连续,因此要求初等函数的连续区间也就是求它的定义域。 类型题 7、求函数间断点。 例 1 求函数 f(x)=

1 的间断点。 ?x ? 2 ?2

解 对于有理分式函数,使分母为零的点是它的不连续点。 使(x+2)2=0 的点为 x= —2, ?x= —2 是函数 f(x)的间断点。 例 1 求函数 f(x)=

( x ? 2)( x ? 1) 的间断点。 ?x ? 2?( x ? 3)

解 对于有理分式函数,使分母为零的点是它的不连续点。 使(x-2)(x-3)=0 的点为 x= 2,x= 3 ? x= 2,x= 3 是函数 f(x)的间断点。 类型题 8、判定方程根的存在性 例 1 证明:方程 x ? 4 x ? 1 ? 0 至少存在一个实根。
5

证:设 f ( x) ? x ? 4 x ? 1 ,则函数 f (x) 是定义在整个数轴上的初等函数,故在区间 [0,1] 上连续,
5

且有 f (0) ? f (1) ? (?1) ? (4) ? 0, ,由零点定理知,至少存在一个点 x ? c ? (0,1), 使得 f (c) ? 0, 或

c 5 ? 4c ? 1 ? 0, 即方程 x 5 ? 4 x ? 1 ? 0 至少存在一个实根 x ? c.
小结:这类证明题一般都是先行设一个函数,这个函数通常是将给定方程的非零项移至方程的一侧 所形成的。然后通过方程观察使函数值异号的两个不同点,这两个点做端点就可以形成一个区间。如果 所设函数在此区间上连续,问题便转化为利用零点定理的证明问题了。当然,本题的区间可以不取 0、 1 而取 0 和 0.5、0 和 2 等做端点,同样可以证明之。取 0 和 1 只是因为计算简单罢了。

第三部分

导数与微分

求函数的导数与微分自然是作为高等数学(即微积分)考核的主要内容,应该做到十分熟练。其考 核比例为 30%。

一、重点内容提要
1、掌握导数的定义和几何意义

f ' ( x0 ) ? lim f ' ( x) ? lim

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) f ( x) ? f ( x0 ) ?y ? lim ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 x ? x0 ?x x ? x0

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

2、熟练掌握求导方法

.

(1)熟练基本初等函数的导数公式(按照所给的规律性成对记忆) (2)掌握导数的四则运算法则 (3)熟练掌握复合函数的求导法则 (4)掌握隐函数的求导法则 (5)熟练掌握高阶导数的求法(以二阶导数为主) 二、典型例题 类型题 1、求显函数的导数 例 1 求函数 y=x3+ 3 x ? cos x +arctanx+ln2,求 y ' 的导数;

解 利用基本求导公式和四则运算法则, y ' =3x2+ 例 2 设 y=e-3x+ln(2x3+1), 求 y ' . 解 先利用四则运算法则有 y’=(e-3x) / + (ln 2 x ? 1 )
3

1 ?3 1 x ? sin x ? 3 1 ? x2

2

?

?

'

再分别使用复合函数求导法则,即得

y / = —3e-3x+
= —3e-3x +

1 2x ? 1
3

? 6x 2

6x2 2x3 ? 1
1 x

例3

y ? sin e

arctan

求 y'

类型题 2、隐函数求导方法 例 1 求由方程 x2-xy+y2=7 所确定的隐函数 y ? f (x) 在点(2,-1)处的导数 解 方程两边对 x 求导有:2x-(y+x y ' )+2y y ' =0

dy 。 dx

解得

y' =

y ? 2x ,于是有 2y ? x
y ? 2x 2y ? x ?
( 2 , ? 1)

y'

? 2 , ?1 ? ?

5 4

类型题 4、取对数求导法 例1 y ? x ?x ?a ?a
x a x a

(a ? 0)

求y '

例2 y? x 例3 y ?

sin x

求y '
求y '

( x ? 2) ( x ? 5) 3 4 x?4 ( x ? 7)

类型题 5、求函数的微分 补充:设 y=

x 2 ? 1 ? (arctgx) 2 ,求 dy.

.

解:∵ y ? ?

1 1 1 x 2arctgx ? ? 2 x ? 2arctgx? ? ? 2 2 1? x2 1? x 1? x2 1? x2

∴dy=

y ? ? dx ? (

x 1? x2

?

2arctgx ) dx 1? x2

例 设 y=xy+ey 求 dy. 解 注意到函数 y 是由二元方程所确定,方程两边对 x 求导:得

y ' =y+x y ' +ey y '

?

y' =

y 1? x ? ey

?
小结

dy=

y dx. 1? x ? ey

求函数 y=f(x)的微分,只要求出 f(x)的导数 f ' (x),再乘以 dx 就可以了,即 dy = f ' (x)dx。故这 里仅此一例足以了 类型题 6、导数的几何应用 例 1 求抛物线 y=x2 上点 ? ?

? 1 1? , ? 处的切线方程. ? 2 4?

解 ? y'

1 x ?? 2

? 2x
x ?? 1 2

1 1 , ? ?1 (点 (? , ) 在曲线上) 2 4

? 1 1? ?抛物线 y=x2 上点 ? ? , ? 处的切线方程为 ? 2 4?
y—

1 ? = ? 1? x ? 4 ?

1? ? 2?

即 4x+4y+1=0. 注意 在求曲线的切线方程时,要特别注意所给点是否在曲线上。

第四部分

导数的应用

一、 重点内容提要
1、掌握罗必达法则 2、掌握函数增减性的导数符号判别法 (1)函数单调性的判断定理 (2)单调区间的确定 3、掌握函数的极值及其求法 4、知道曲线的凹向与拐点,掌握曲线凹向的判别法与拐点的的求法 5、掌握函数的最值的求法

二、典型例题
类型题 1、求未定型的极限 例 1 求极限 lim

x ?0

e x ? e?x ? 2 : sin 2 x

.



lim

x ?0

e x ? e?x ? 2 e x ? e?x e x ? e?x 0 (呈 型)= lim ? lim x ? 0 2 sin x cos x x ?0 sin 2 x 0 sin 2 x e x ? e? x 1 ? 1 0 型)== lim ? ?1 x ?0 2 cos 2 x 2 0

(仍呈

例 2 求下列函数的极限: (1) lim (1-x)tan
x ?1

?x
2 2



(2) lim ? x ?1

1 ? ? 2 ? ?. ? x ? 1 ln x ?
x ?1

解: (1) lim (1-x)tan
x ?1

?x

(呈 0 ? ? 型)== lim

2 sin 2
= lim
x ?1

?x
2 ? 2.

0 1? x ?1 (呈 )== lim x ?1 ?x ? ?x 0 ? csc2 ? cot 2 2 2

?

?

(2) lim ? x ?1 == lim

0 x ln x ? x ? 1 1 ? ? x (呈 型) ? ? (呈 ? ? ? 型)== lim x ?1 ( x ? 1) ln x 0 ? x ? 1 ln x ?

x ?1

1 ln x ? 1 ? 1 ln x == lim === x ?1 x ?1 1 2 ln x ? ln x ? 1 ? x x

小结 (1)罗必塔法则既不是万能的,也不一定是最简的。 (2)罗必塔法则可以连续使用,但每一次使用前都必须检查是否满足法则的条件,只有三个条件都 满足了,才能继续使用。 (3)使用罗必塔法则时,要及时化简。 类型题 2、函数单调性的判定和应用 例 求证 2 x >3-

1 (x>1) x
? ?
1 1 1? ? 2 ? ? ,则 f ' (x)= x? x x x3 ? 1 x2

证明 设 f(x)=2 x - ? 3 ? 当 x>1 时

f ' (x)>0 故 f(x)单调增加,

于是有当 x>1 时 f (x)>f(1)=0 即 2 x -?3 ?

? ?

1? 1 ? >0 即 2 x >3x? x

注意:了解和总结利用单调性证明不等式的步骤是必要的。 类型题 3、函数的极值 例 求函数 y ? x 3 x ? 1 的极值点及极值 解 函数的定义域是(- ? ,+ ? )

y' ? 3 x ? 1 +

x 33 ( x ? 1)
2

=

4x ? 3 33 ( x ? 1) 2

.

令 y ' =0 得驻点 x=

3 4 3 4
0
极小值点

又在 x=1 处函数的导数不存在。 x (- ? , ) 一 ↘

3 4

(

3 ,1) 4
+ ↗

1 不存在

(1,+ ? ) + ↗
3

y'
y

3 3 3 ? x= 是函数的极小值点,其极小值为 f( )= 4 4 4
类型题 4、函数的凹向与拐点 例 讨论 y ? 2 x ? 3x ? x ? 2 的凹向,并求拐点。
3 2

?

1 。 4

例 讨论曲线 f(x)=

x3 (a>0)的凹向,并求拐点。 x 2 ? 3a 2
? x 4 ? 9a 2 x 2 ( x 2 ? 3a 2 ) 2

解 f ' ( x) ?

3 x 2 ( x 2 ? 3a 2 ) ? 2 x ? x 3 ( x 2 ? 3a 2 ) 2
3 2

?4 x f ?? (x)=
=

? 18a 2 x ??x 2 ? 3a 2 ? ? ?x 4 ? 9a 2 x 2 ? ? 2?x 2 ? 3a 2 ? ? 2 x

?x

2

? 3a 2 ?

4

? 6a 2 x ( x 2 ? 9 a 2 )

?x

2

? 3a 2 ?

3

令 f ' (x)=0,得 x1=0,x2=-3a,x3=3a 函数无二阶不可导点,f(x)的定义域为(- ? ,+ ? ) ,列表 x (- ? ,-3a) + -3a 0
拐点

(-3a,0) —

0 0 拐点

(0,3a) +

3a 0 拐点

(3a,+ ? ) —

y ??
y

?
3 2

?

?

?

类型题 5、函数的最值 例 求 y ? 2 x ? 3x

[?1,4] 的最大值和最小值。

例 设某商品的需求函数为 P=10-

Q ,成本函数为 5

C=50+2Q,求产量多少时总利润 L 最大。 解 ?P=10-

Q2 Q , C=50+2Q, ? R=PQ=10Q,而 5 5 Q2 Q2 -50-2Q=8Q-50 5 5

L=R-C=10Q-

令 L' =8-

?当产量 Q=20 时总利润 L 最大.

2 2 Q=0 得唯一驻点 Q=20。又 L?? =- ? 0 5 5

?Q=20 是极大值点

.

例 求平衡价格

第五部分

不定积分

不定积分运算是求导函数运算的逆运算,更是求定积分的基础,务求熟练。当然,求不定积分也是 考核内容。

一、重点内容提要
1、 (1)了解定义(2)掌握性质: (3)熟悉基本积分表 2、理解并掌握换元积分法 3、掌握分部积分法 1、原函数: F ?( x) ? f ( x) 则称 F(x)为 f(x)的一个原函数。 2、不定积分: ⑴概念:f(x)的所有的原函数称 f(x)的不定积分。

? f ( x)dx ? F ( x) ? C
注意以下几个基本事实:

?? f ( x)dx?? ? f ( x)
d ? f ( x)dx ? f ( x)dx

? f ?( x)dx ? ? df ( x) ?

f ( x) ? C

f ( x) ? C

⑵性质: a ? f ( x)dx ? a f ( x)dx(注意a ? 0)

?

?

? ? f ( x) ? g ( x)?dx ? ? f ( x)dx ? ? g ( x)dx
⑶基本的积分公式:教材 P206 3、定积分: ⑴定义 ⑵几何意义 ⑶性质: ⑷求定积分方法:牛顿—莱布尼兹公式 二、求不定积分或定积分: 可供选用的方法有—— ⑴直接积分法:直接使用积分基本公式 ⑵换元积分法:包括第一类换元法(凑微分法) 、第二类换元法 ⑶分部积分法

二、典型例题
类型题 1、利用某些恒等变换化为积分表中的公式直接积分 例 1 求不定积分

x2 ? 1 ? x 2 dx

x2 ? 1 ? 1 1 ? ? dx = ? ?1 ? dx =x-arctanx+c. 解 原式= ? 2 2 ? 1? x ? 1? x ?
类型题 2、利用第一类换元法求积分 例 1 求不定积分 sin 3 xdx.

?

.



? s i n3xdx ? 3 ? s i n3xd (3x)
代回变换


1

令u ? 3 x 1 1 u ? s i nu d u? ? 3 c o s ? c 3

1 cos 3x ? c. 3

例 2 求不定积分 x 1 ? x 2 dx :
2 ? x 1 ? x dx =
1 3 1 ?1 ? x 2 ?2 d (1 ? x 2 ) ? 1 ?1 ? x 2 ?2 ? c 2? 3

?



例3 求

?

ln x dx. x
1



?
?

3 ln x 2 dx ? ? ?ln x ?2 d ln x ? ?ln x ?2 ? c. x 3

类型题 3、利用第二类换元法求积分 例 求

x2 dx. 2? x

解 令 2 ? x ? t ,则 x=2-t2,dx=-2tdt 代入原式得

原式=

?

?2 ? t ? (?2tdt) ? ?2
2 2

t

? (4 ? 4t

2

? t 4 )dt

=-2 ? 4t ? =?

? ?

4 3 1 5? 2 t ? t ? ? c ? ? t (60 ? 20t 2 ? 3t 4 ) ? c 3 5 ? 15

2 2 2 ? x 60 ? 20?2 ? x ? ? 3?2 ? x ? ? c 15 2 =? 2 ? x ?32 ? 8 x ? 3x 2 ? ? c 15
类型题 4、利用分部积分法求积分 例 1 求 ln xdx. 解

?

?

?

? ln xdx ? x ln x ? ? x ? x dx ? x ln x ? x ? c
=x(lnx-1)+C.

1

例 2 求 cos x dx 解 令

?

x ? t ,则 x=t2, dx=2tdt,
x dx ? ? cos t ? 2tdt ? 2 ? td sin t

? cos

=2 (t sin t ? sin tdt) ? 2(sin t ? cos t ) ? c

?

.

=2

?

x sin x ? cos x ? c.

?

第六部分

定积分及其应用

一、重点内容提要
1.了解定积分的概念, 注意掌握几何意义:曲边梯形的面积。 定积分是一个极限值,是一个确定的值,定积分 与积分变量用什么符号无关

?

b

a

f ( x)dx 只与被积函数与积分区间有关,而

f ( x) ? 0 ,
b

?

b

a

f ( x)dx 表 示 由曲线y ? f ( x), x ? a, x ? b, x轴 围 成 的 曲 边 梯 形 的 面 ;

f ( x) ? 0 , ? f ( x)dx 表示由曲线y ? f ( x), x ? a, x ? b, x轴 围成的曲边梯形的面积的相反数。
a

2.掌握定积分的基本性质 四则运算性质;区间可加性;

? dx ? b ? a
a

b

3.理解积分上限函数,掌握其重要性质 4.掌握牛顿——莱布尼兹公式 5.掌握定积分的换元法和分部积分法 6.掌握定积分在求平面图形面积上、经济上的应用.

二、典型例题
类型题 1.积分上限函数的导数及其应用 例 1 求下列函数对 x 的导数: (1)

?

x

a

cos t 2 dt;
x

(2)

?

o

x

cos t 2 dt;

解 2 (1) (

?
x

a

cos t 2 dt)' ? cos x 2

(2) ( cost 2 dt)' ? (? cost 2 dt)' ? ? cos x 2
o

?

0

?

x

例3 解

f ( x) ? ? (t ? 1)(t ? 2)dt, 求 f ' (?2)
o

x

f ' ( x) ? ( ? (t ? 1)(t ? 2)dt)' ? ( x ? 1)( x ? 2)
o

x

f ' (?2) ? ( ?2 ? 1)( ?2 ? 2) ? 0
例4 类型题 2.定积分的计算 例 计算下列定积分: (1)

?

1

1 2

1 x e dx; x2

1

(2)
1 1 1

? xe
0
1 1 2

1

2x

dx.



(1)

?

1

1 2

1 1 x 1 e dx ? ? ?1 e x d ? ?e x 2 x x 2

? e2 ? e

(2)

1 1 1 1 xde2 x ? ( xe2 x 1 ? ? e2 x dx) 0 ?0 0 2 ?0 2 1 1 1 1 1 1 ? (e 2 ? 0) ? e 2 x 1 ? (e 2 ? e 2 ? ) ? (e 2 ? 1) 0 2 2 2 2 2 4 1

xe2 x dx ?

.
?

例3

??
4 ? 4

tan xdx ?

;例 4

?

2

1

x2 ?1 dx ? x

;例 5

?

1

0

e ? x dx ?

例6

? ?

4

0 3

16 ? x 2 dx ? 3x ? 2 dx ?

例7

0




这里需要注意的是在用换元法求定积分时,若引入新的变量,则积分上、下限必须作相应的变换。

类型题 3 利用定积分的性质

?

a

?a

f ( x)为奇函数 ?0 ? 计算定积分 f ( x)dx ? ? a 2? f ( x)dx f ( x)为偶函数 ? 0 ?

例1 例2

?

1

?1

(sinx ? x 2 sinx ? x 3 )dx ? __________ ____
x 3 f(x 2 )dx ? __________ ____

?

2

?2

类型题 4.平面图形的面积计算 例 求曲线 y ? x 与直线 y ? x ? 2 围成的平面图形的面积。
2



? 由联立方程组 ? y ? x
2

2

?y ? x ? 2

,求得交点坐标为(-1,1)及(2,4)

? A ? ? [( x ? 2) ? x 2 ]dx
?1

1 x3 2 9 ? [ ( x ? 2) 2 ? ] ?1 ? 2 3 2
类型题 5.定积分在经济学上的应用

第七部分
一、重点内容提要

多元函数微积分

⒈ 掌握偏导数的求法 2.掌握复合函数的偏导数、全微分的计算公式 3. 掌握隐函数求导公式 4 .二重积分,掌握直角坐标系下的二重积分的计算

二、典型例题
类型题 1.求偏导数 例 1 设 z ? x ( x ? 0), 求
y

?z ?z , 。 ?x ?y



?z ? yx y ?1 , ?x

?z ? x y ln x ?y

.

例 2 设 z ? cos x sin y

求dz

例 3 求多元函数的高阶偏导数

z?e

sin x

?2z ?2z ?2z cos y, , , ?y?x ?x?y ?x 2
u ? e x? y , v ? x 2 ? y , 求
2

例 4 求下列复合函数的偏导数: 设 z ? ln(u ? v ),
2

?z ?z , ; ?y ?x



?z ?z ?u ?z ?v 2u x ? y 2 1 ? ? ? 2 e ? 2 2x ?x ?u ?x ?v ?x u ? v u ?v
? 2(ue x ? y ? x )
2

u2 ? v
2

?

2( e x ? y e x ? y ? x )
2 2 2 (e x ? y ) 2 ? ( x 2 ? y )

?

2 2( e 2 ( x ? y ) ? x ) 2 (e x ? y ) 2 ? x 2 ? y

同理

?z 4 ye 2 ( x ? y ) ? 1 ? x? y2 2 。 ?y (e ) ? x2 ? y

类型题 2.求全微分 例 求 z ? ln

x 2 ? y 2 的全微分

解: ?

?z ? ?x ?z ? ?y

1

x2 ? y2 2 x2 ? y2 1 x ?y
2 2

?

2x

?

x x ? y2
2

?

2y 2 x ?y
2 2

?

y x ? y2
2

? dz ?

?z ?z 1 dx ? dy ? 2 ( xdx ? ydy) ? ?x ?y x ? y2

dz (1,4) ? ?dx ?

1 dy 4

类型题 4.二重积分的计算 例 计算二重积分

??
D

x2 dxdy ,其中 D 是曲线 xy=1 与直线 y=x,x=2 所围。 y2

解 留意区域 D 的形式,有

??
D
2 1

2 2 x x 2 x2 1 dxdy ? ? dx?1 2 dy ? ? x 2 ( ? ) dx 2 1 1 y y 1 x y x

x

? ? ( ? x ? x 3 )dx ? ( ?
例 例 计算二重积分 计算二重积分

x2 x4 2 9 ? ) ? 2 4 1 4

?? (3x ? 2 y)dxdy ,其中 D 由两坐标轴及直线 x+y=2 所围。
D

?? xy dxdy,其中 D 由圆周 x
2 D

2

? y 2 ? 4 及 y 轴所围成的右半区域。

类型题 5.交换积分次序 例1 交换二重积分 I ? dy
0

? ?

1

1? y

0

f ( x, y )dx 的积分次序

.

解 例2

画出区域图,可见 交换二重积分 I ?

I ? ? dx?
0

1

1? x 2

0

f ( x, y )dy
3 1 ( 3? x )

?

1

0

dx? f ( x, y )dy ? ? dx? 2
0 1 0

x2

f ( x, y )dy 的积分次序

解 画出区域图,易见 I ?

?

1

0

dy?

3?2 y y

f ( x, y )dx





交换积分次序的一般步骤是先按所给的二重积分的积分限画出积分区域 D, 再按积分区域 D 确定新 的积分次序的积分限。 二重积分的计算,关键是确定其积分限,因此适当做些这方面的练习是必要的。


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