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高一上学期期末考试数学试卷

时间:2015-01-15


高一上学期期末考试数学试卷
一、填空题(每小题 3 分,共 36 分) 1.函数 f ( x) ?

x ?1 ,则 f ?1 (3) ?

16

. 0 . . . . .

2 2. 已知集合 A ? ?1, x? ,B ? 1 , x

3. 若集合 M ? x

x ? 2
2

?

?

? 且 A ? B ,则 x ?
N?

则M ? ,N ? ? x y ? lg ( x ? 1)? ,
2

(1,2)
1 奇函数

4. 已知实数 a , b 满足 a ? b ? 2 , 则 ab 的最大值为 5.函数 f ( x) ? x ? lg
3

1? x 的奇偶性为 1? x

6.函数 f(x)= log2 (? x2 ? 2 x) 的单调递增区间是

(0,1?

7.若函数 f (x)是定义在 R 上的偶函数,在 (??,0] 上是减函数,且 f(2)=0,则使得 f (x)<0 的 x 的取值范围是
2

(?2,2)

.

8. 已知关于 x 的方程 x ? 6 x ? 5 ? a 有四个不相等的实数根, 则 a 的取值范围是

(0,4) .

? 1 ? 3 9.函数 f ( x) ? ? x ? 3, x ? 0 ,若 f (a) ? 2 ,则实数 a 的取值范围是 x ? ?3 ? 1, x ? 0
(?1, 0? ? (0,??)
10 . 若 函 数 y ? .

a ? b = ?6

x ?b 在 (a, b ? 4)(b ? ?2) 上 的 值 域 为 (2, ??) , 则 x?2
.

11.定义全集 U 的子集 A 的特征函数为 f A ( x) ? ?

的补集, 那么对于集合 A、B ? U , 下列所有正确说法的序号是 (3) . (1) A ? B ? f A ( x) ? f B ( x) (3) f A
B

?1, x ? A A 在全集 U 中 ,这里 ? U A 表示 0, x ? ? A U ?
(1) (2)

(2) f? A ( x) ? 1 ? f A ( x)
U

( x) ? f A ( x) ? f B ( x)

(4) f A

B

( x) ? f A ( x) ? f B ( x)
y x1
O

12.对任意的 x1 ? 0 ? x2 ,若函数 f ( x) ? a x ? x1 ? b x ? x2 的大致图像为如图所示的一条折线(两侧的 射线均平行于 x 轴) ,试写出 a 、 b 应满足的 条件是

x2

x

a ? b ? 0, a ? b ? 0

.

第 12 题图

二、选择题(每小题 3 分,共 12 分) 13.条件甲: log3 x ? 2 是条件乙: log3 x ? 1 成立的(
2



A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件

14 .若函 数 f ( x) ? (k ? 1)a x ? a ? x (a ? 0, a ? 1) 在 R 上 既是 奇函 数, 又 是减函 数, 则

g ( x) ? loga ( x ? k ) 的图像是(



15.已知 x0 是函数 f ( x) ? 2 ?
x

A. f ? x1 ? ? 0, f ? x2 ? ? 0 C. f ? x1 ? ? 0, f ? x2 ? ? 0

1 的一个零点.若 x1 ? ?1, x0 ? , x2 ? ? x0 , ??? ,则 ( 1? x B. f ? x1 ? ? 0, f ? x2 ? ? 0
D. f ? x1 ? ? 0, f ? x2 ? ? 0

)

16.设 f ( x) 是定义在 R 上的函数. ①若存在 x1 , x2 ? R , x1 ? x 2 ,使 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,则函数 f ( x) 在 R 上单调递增; ②若存在 x1 , x2 ? R , x1 ? x 2 ,使 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,则函数 f ( x) 在 R 上不可能单调递减; ③若存在 x2 ? 0 对于任意 x1 ? R 都有 f ( x1 ) ? f ( x1 ? x2 ) 成立, 则函数 f ( x) 在 R 上递增; ④对任意 x1 , x2 ? R , x1 ? x 2 ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,则函数 f ( x) 在 R 上单调递减. 则以上真命题的个数为( A.0 B.1 C.2 ) D.3

BABB 三、解答题(10+10+10+10+12=52 分) 17.设全集 U ? R ,集合 A ? { x | | x ? a | ? 1} , B ? {x | (1)求集合 B ;

x ?1 ? 2} . x?2

(2)若 A ? ? U B ,求实数 a 的取值范围.

x ?1 ?2?0 x?2 x ?5 ? ?0 2分 x?2 B ? (??, 2) ? ?5, ??)

?U B ? ? 2,5 ?

2分 2分

| x ? a | ?1 ? A ? (a ? 1, a ? 1) A ? ?U B
a ?1? 2 a ?1?5

2分 ?
k

?

3? a ? 4
(1)求 a, k 的值;

2分

19.设幂函数 f ( x) ? (a ?1) x (a ? R, k ? Q) 的图像过点 ( 2, 2) . (2)若函数 h( x) ? ? f ( x) ? 2b f ( x) ?1 ? b 在 [0, 1] 上的最大值为 2,求实数 b 的值.

(1)a ?1 ? 1?a ? 2
(2) f ( x) ? x
2

2分

( 2)k ? 2?k ? 2

2分

h( x) ? ? x 2 ? 2bx ? 1 ? b h ( x ) ? ?( x ? b ) 2 ? b 2 ? b ? 1 x ? [0,1]

1)b ? 1, hmax ? h(1) ? b ? 2 2分

2)0 ? b ? 1, hmax ? h(b) ? b ? b ? 1 ? 2
2

3)b ? 0, hmax ? h(0) ? 1 ? b ? 2 ? b ? ?1 2分

?b ?

1? 5 (舍) 2

2分
2分

综上:?b ? 2或b ? ?1

a ? 0.1 ? 15ln , ( x ? 6) ? ? a?x f ( x ) ? 20.有时可用函数 描述某人学习某学科知识的掌握程度, ? ? x ? 4.4 , ( x ? 6) ? x?4 ? * 其中 x 表示某学科知识的学习次数( x ? N ) , f ( x ) 表示对该学科知识的掌握程度,正实
数 a 与学科知识有关. (1)证明:当 x ? 7 时,掌握程度的增加量 f ( x ? 1) ? f ( x) 总是单调递减的; (2)根据经验,学科甲、乙、丙对应的 a 的取值区间分别为 (115,121] 、 (121,127] 、

(127,133] .当学习某学科知识 6 次时,掌握程度是 85%,请确定相应的学科.

(1)当x ? 7时,f(x+1)-f(x)=

0.4 ( x ? 3)( x ? 4)

2分

而当 ? 7时,函数y=( x ? 3)( x ? 4)单调递增,且( x ? 3)( x ? 4) ? 0. 故f(x+1)-f(x)单调递减. ?当 ? 7,掌握程度的增长量f(x+1)-f(x)总是单调递减. (2)由题意可知0.1 ? 15ln 解得a ? a ? 0.85, a?6 2分 整理得 2分
21 . 对 于 函 数

3分

a ? e0.05 , a?6

e0.05 ? 6 ? 20.50 ? 6 ? 123.0, e0.05 ? 1 123.0 ? ?121,127 ? 123.0 ? ?121,133?. 由此可知,该学科是乙和丙学科。 1分

f1 ( x), f 2 ( x), h( x)
,如果存在实数 a, b 使得 h( x) ? a ? f1 ( x) ? b ? f 2 ( x) ,那么称 h( x) 为 f1 ( x), f 2 ( x) 的生成函 数. (1)下面给出两组函数, h( x) 是否分别为 f1 ( x), f 2 ( x) 的生成函数?并说明理由; 第一组: f1 ( x) ? lg

x , f 2 ( x) ? lg10 x, h( x) ? lg x ; 10

第二组: f1 ( x) ? x 2 ? x , f 2 ( x) ? x 2 ? x ? 1 , h( x) ? x 2 ? x ? 1 ; (2)设 f1 ( x) ? log 2 x, f 2 ( x) ? log 1 x, a ? 2, b ?1 ,生成函数 h( x) .若不等式
2

3h ( x) ? 2h( x) ? t ? 0 在 x ?[2, 4] 上有解,求实数 t 的取值范围;
2

1 ( x ? 0) ,取 a ? 0, b ? 0 ,生成函数 h( x) 图像的 x 最低点坐标为 (2, 8) . 若对于任意正实数 x1 , x2 且 x1 ? x2 ? 1 .试问是否存在最大的常数 m , 使 h( x1 )h( x2 ) ? m 恒成立?如果存在,求出这个 m 的值;如果不存在,请说明理由.
( 3)设 f1 ( x) ? x ( x ? 0),

f 2 ( x) ?

x ? b lg10 x ? lg x 10 所以 h( x) 是 f1 ( x), f 2 ( x) 的生成函数
解: (1)① a lg

?

a ?b ?1 a ?b ?0

1 1 ?a ? ,b ? 2 2

2分

② 设 a( x2 ? x) ? b( x2 ? x ? 1) ? x2 ? x ? 1 ,即 (a ? b) x2 ? (a ? b) x ? b ? x2 ? x ? 1,

?a ? b ? 1 ? 则 ?a ? b ? ?1 ,该方程组无解.所以 h( x) 不是 f1 ( x), f 2 ( x) 的生成函数. ?b ? 1 ?
(2) h( x) ? 2 f1 ( x) ? f 2 ( x) ? 2log 2 x ? log 1 x ? log 2 x
2

2分

若不等式 3h2 ( x) ? 2h( x) ? t ? 0 在 x ?[2, 4] 上有解,

3h2 ( x) ? 2h( x) ? t ? 0 ,
即 t ? ?3h2 ( x) ? 2h( x) ? ?3log2 2 x ? 2log 2 x

2分

2 设 s ? log2 x ,则 s ? [1, 2] , y ? ?3log2 2 x ? 2log2 x ? ?3s ? 2s ,

ymax ? ?5 ,故, t ? ?5 .
(3)由题意,得 h( x) ? ax ?

2分
b b ( x ? 0) ,则 h( x) ? ax ? ? 2 ab x x

b ? ?a ? 2 8 ? 2a ? ? 8 ( x ? 0) 2 ,解得 ? ,所以 h( x) ? 2 x ? ? x ?b ? 8 ? 2 ab ? 8 ? 假设存在最大的常数 m ,使 h( x1 )h( x2 ) ? m 恒成立.
于是设 u ? h( x1 )h( x2 ) ? 4( x1 ? =

1分

4 4 64 x x )( x2 ? ) ? 4 x1 x2 ? ? 16( 1 ? 2 ) x1 x2 x1 x2 x2 x1

4 x1 x2 ?

2 x2 ? x2 ( x ? x )2 ? 2 x1 x2 64 64 80 ? 16 ? 1 ? 4 x1 x2 ? ? 16 ? 1 2 ? 4 x1 x2 ? ? 32 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1x2 2分

令 t ? x1 x2 ,则 t ? x1x2 ? (

x1 ? x2 2 1 1 ) ? ,即 t ? (0, ] 2 4 4 80 1 ? 32 在 t ? (0, ] 上单调递减, 设 u ? 4t ? 4 t

1 u ? u( ) ? 289 ,故存在最大的常数 m ? 289 4

1分


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