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东北三省四市教研联合体2015届高三第一次模拟考试数学(理)试题(理科)试题及答案


2015 年数学科模拟试题答案(理科)
1 D 2 A 3 D 4 B 5 B 6 D 7 C 8 B 9 C 10 A 11 D 12 C

13. 2 17.(1)解:? 0 ? A ?

14. ?540

15. -1

16. ( ,1)

3 ? ?

? ,? ? A ? ? ? 4 4 4 ? 2? 5? ?, A ? ? ,? A ? ……………………2 分 4 3 12 ?C ?
(2)

1 3

?

3

……………………4 分

? sin B ?

2 3 , sin C ? 2 2

?b : c ? 2 : 3 ……………………6 分
?b ? c ? 2 ? 3,?b ? 2, c ? 3 ……………………8 分
sin A ? sin(B ? C ) ? 6? 2 ……………………10 分 4

? S ?ABC ?

1 1 6 ? 2 3? 3 bc sin A ? ? 2 ? 3 ? ? 2 2 4 4
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

……………………12 分 18.答案:⑴因为网购金额在 2000 元以上的频率为 0 .4 , 所以网购金额在 2000 元以上的人数为 100 ? 0.4 =40 所以 30 ? y ? 40 , 所以 y ? 10 ,……………………1 分

频率 组距

x ? 15 ,……………………2 分
所以 p ? 0.15, q ? 0.1 ……………………4 分 所以频率分布直方图如右图……………………5 分

0.5 ⑵由题设列联表如下

1

1.5

2

2.5

3

(千元)

网龄 3 年以上 购物金额在 2000 元以上 购物金额在 2000 元以下 合计 所以 K ?
2

网龄不足 3 年 5 20 25

合 计 40 60 100 ……………………7 分

35 40 75

n( ad ? bc) 2 100(35 ? 20 ? 40 ? 5) 2 ? 5.56 ……………………9 分 = 75 ? 25 ? 40 ? 60 ( a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

因为 5.56 ? 5.024 ……………………10 分 所以据此列联表判断,有 97 .5 %的把握认为网购金额超过 2000 元与网龄在三年以上有关. ……………………12 分 19.证明: (1)取 AD 中点 O ,连结 PO, BO . 侧面 PAD 为等边三角形,底面 ABCD 为菱形且 ?DAB ?

?
3

? PO ? AD, BO ? AD ……………………2 分

PO ? BO ? O,? AD ? 面POB ……………………4 分
? PB ? AD ……………………5 分
(2)侧面 PAD ? 底面 ABCD ,侧面 PAD ? 底面 ABCD = AD ,

? PO ? 面ABCD , PO ? AD ? PO ? 面ABCD ……………………7 分
以 O 为坐标原点, OA 方向为 x 轴, OB 方向为 y 轴, OP 方向为 z 轴建立空间直角坐标系,设 A 点坐标 为 (1,0,0) 则 B(0, 3,0), P(0,0, 3), D(?1,0,0),C(?2, 3,0)

? PA ? (1,0,? 3), PD ? (?1,0,? 3), AB ? (?1, 3,0) ……………………8 分
设面 PAB 的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) , 则?
? ? x1 ? 3 z1 ? 0 ,令 x1 ? 3 ,解得 n1 ? ( 3 ,1,1) ……………………9 分 ?? x1 ? 3 y1 ? 0 ? ? ?

设面 PCD 的法向量为 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) ,同理解得 n2 ? ( 3 ,1,?1) ……………………10 分

? cos? ?

n1 ? n2 n1 ? n2
? ?

?

?

?

3 ?1?1 3 ? 5? 5 5

面 PAB 与面 PCD 所成的角(锐角)的余弦值为

3 ……………………12 分 5

20.解: (1)设抛物线的方程是 x 2 ? 2 py( p ? 0) , A( x A , y A ), B( x B , y B ) , 由抛物线定义可知 y A ? y B ? p ? 8 ……………………2 分 又 AB 中点到 x 轴的距离为 3,∴

y A ? y B ? 6 ,∴p=2,

所以抛物线的标准方程是 x 2 ? 4 y .……………………4 分 (2) 设 P(x1 , y1 ), x1 ? 0, Q( x 2 , y 2 ) , 则 x 2 ? 4 y 在 P 处 的 切 线 方 程 是 y ?

x1 x ? y1 , 直 线 2

PQ : y ? ?

2 8 x ? 2 ? y1 代入 x 2 ? 4 y 得 x 2 ? x ? 4(2 ? y1 ) ? 0 ,……………………6 分 x1 x1 8 8 4 , x1 x2 ? ?8 ? 4 y1 ,所以 x2 ? ? ? x1 , y 2 ? ? y1 ? 4 ……………………8 分 x1 x1 y1
2

故 x1 ? x2 ? ?

而 FP ? FQ ? ? y1 ? 2 y1 ?

4 ? 7 ? 0 ……………………10 分 y1

3 2 y1 ? 2 y1 ? 7 y1 ? 4 ? 0 ( y1 ? 0) ,得 ( y1 ? 1) 2 ( y1 ? 4) ? 0 ,所以 y1 ? 4 ,

存在点 P(?4,4) .……………………12 分 (说明:没求出 y1 ,但说明关于 y1 的方程 y1 ? 2 y1 ? 7 y1 ? 4 ? 0 ( y1 ? 0) 有解,也给分。
3 2

例如令 f ( y1 ) ? y1 ? 2 y1 ? 7 y1 ? 4 ? 0 , f (1) ? 0, f (5) ? 0 ,
3 2

所以 y1 ? 2 y1 ? 7 y1 ? 4 ? 0 ( y1 ? 0) 有解)
3 2

21 解: (1) f ' ( x) ?

a(1 ? x) ( x ? 0) , ……………………2 分 x
[来源:Zxxk.C

om][来源:Z&xx&k.Com]

当 a ? 0 时, f ( x) 的单调增区间为 ? 0,1? ,单调减区间为 ?1, ?? ? ;……………………3 分 当 a ? 0 时, f ( x) 的单调增区间为 ?1, ?? ? ,单调减区间为 ? 0,1? ; ……………………4 分
[来

( 2)令 F ( x) ? a ln x ? ax ? 3 ? ax ? x ? 4 ? e ? a ln x ? x ? 1 ? e

F ' ( x) ?

x?a ?0 x

2 若 ? a ? e , a ? ? e , F ( x) x ? e, e

? ? 是增函数,

e ?1 ? e2 F ( x) m a x? F (e ) ? 2a ? e ? e ? 1 ? 0, a ? 2
2 2
2

无解. ……………………5 分

若 e ? ?a ? e , ? e ? a ? ?e , F ( x) , x ? ?e,?a? 是减函数; x ? ? a, e2 , 是增函数 ,
2

?

?

F (e) ? a ? 1 ? 0, a ? ?1 . F (e 2 ) ? 2a ? e 2 ? e ? 1 ? 0, a ?
? ?e 2 ? a ?
2

e ?1 ? e2 2

e ?1 ? e2 ……………………6 分 2
2

若 ? a ? e , a ? ?e , F ( x) x ? e, e 2

? ? 是减函数,

F ( x) max ? F (e) ? a ? 1 ? 0, a ? ?1,? a ? ?e 2 ……………7 分
综上所述 a ?

e ?1 ? e2 ……………………8 分 2

(3)令 a ? ?1 (或 a ? 1 )此时 f ( x) ? ? ln x ? x ? 3 ,所以 f (1) ? ?2 , 由 ( Ⅰ ) 知 f ( x) ? ? ln x ? x ? 3 在 (1,??) 上 单 调 递 增 , ∴ 当 x ? (1,??) 时 f ( x) ? f (1) , 即

? ln x ? x ? 1 ? 0 ,∴ ln x ? x ? 1 对一切 x ? (1,??) 成立,……………………9 分
∵ n ? 2, n ? N* ,则有 ln( ……………………10 分 要证 ln(22 ? 1) ? ln(32 ? 1) ? ln(42 ? 1) ? 只需证 ln(

1 1 1 1 1 ? 1) ? 2 ? ? ? , 2 n n (n ? 1)n n ? 1 n

? ln(n2 ? 1) ? 1 ? 2ln n!(n ? 2, n ? N ? )
? ln( 1 ? 1) ? 1(n ? 2, n ? N ? ) 2 n

1 1 1 ? 1) ? ln( 2 ? 1) ? ln( 2 ? 1) ? 2 2 3 4

……………………11 分

1 1 1 1 ? 1) ? ln( 2 ? 1) ? ln( 2 ? 1) ? ? ln( 2 ? 1) 2 2 3 4 n 1 1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? 1? ? 1 2 2 3 3 4 n ?1 n n ln(
所以原不等式成立……………………12 分 22.⑴因为 BE 是⊙ O 的切线,所以 ?EBD ? ?BAD ……………………2 分 又因为 ?CBD ? ?CAD, ?BAD ? ?CAD ……………………4 分 所以 ?EBD ? ?CBD ,即 BD 平分 ?EBC .……………………5 分 ⑵由⑴可知 ?EBD ? ?BAD ,且 ?BED ? ?BED

?BDE ∽ ?ABE ,所以

BE BD ? ,……………………7 分 AE AB

又因为 ?BCD ? ?BAE ? ?DBE ? ?DBC ,所以 ?BCD ? ?DBC BD ? CD ……………………8 分

BE BD CD ? ? ,……………………9 分 AE AB AB 所以 AE ? DC ? AB ? BE ……………………10 分
所以 23.解: (1)圆锥曲线 C 的参数方程为

? x ? 2 cos? ( ? 为参数) , ? ? y ? 3 sin ?

所以普通方程为 C :

x2 y2 ? ? 1 ……………………2 分 4 3

A(0,? 3), F2 (1,0), F1 (?1,0) ? k ? 3, l : y ? 3( x ? 1) ……………………3 分
? 直线 l 极坐标方程为: ? sin ? ? 3? cos ? ? 3 ? 2 ? sin(? ?
……………………5 分

?
3

)? 3

t ? x ? ?1 ? ? 2 ? (2)直线 l 的参数方程是 ? ( t 为参数) ,……………………7 分 ? y ? 3t ? 2 ?
2 代入椭圆方程得 5t ? 4t ? 12 ? 0 ……………………8 分

12 ……………………9 分 5 12 ?| F1 M || F1 N |? ……………………10 分 5 ? t1 t 2 ? ?

?? 3 x ? 2, x ? ?2 ? 24.解: f ( x ) ? ?? x ? 6,?2 ? x ? 2 ,……………………2 分 ?3 x ? 2, x ? 2 ?
(1) a ? 3 , f ( x) ? g ( x) ? ?

?? 3x ? 2 ? 3 ? x ?? x ? 6 ? 3 ? x ?3x ? 2 ? 3 ? x 或? 或? ? x ? ?2 ?? 2 ? x ? 2 ?x ? 2

3 5 或x ? ,……………………4 分 2 2 3 5 不等式的解集为 ( ?? , ] ? [ ,?? ) ……………………5 分 2 2 ? x ? ?2或 - 2 ? x ?
(2)图象……………………8 分 所以 a ? 2 ……………………10 分

y

4

0 2

x


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