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十中公开课数学:2.3《幂函数》

时间:2017-05-15


2.3

幂 函 数

问题引入:
1、如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克, x 元. 则所需的钱数y=____ 2、如果正方形的边长为x,则面积y=_____. x2

3、如果正方体的边长为x,体积为y,
那么y= x3

4、如果一个正方形场地的面积为 x,边长为 1<

br />那么y=______. x2 5、如果某人x 秒内骑车行进了1公里,骑车的 速度为y公里/秒,那么y=______ x
?1

以上问题中的函数具有什么共同特征?

y=x

y=
1 2

x2

y=
?1

3 x

y?x

y?x

共同特征:函数解析式是幂的形式,且 指数是常数,底数是自变量。

新课 一、幂函数的概念
一般地,函数

y?x

?

叫做幂函数,

其中x是自变量,

a

是常数。

探究1:你能举几个学过的幂函数的例子吗?

探究2:你能说出幂函数与指数函数的区别吗? 名称 x
指数 底数

式子 指数函数: y=a x 幂函数: y= x a

a
底数 指数

y
幂值 幂值

探究3:如何判断一个函数是幂函数还是指数函数? 看看自变量x是指数还是底数
指数函数

幂函数

尝 试 练 习: 1、下面几个函数中,

哪几个函数是幂函数?
(1)y =
1 x
2

(2)y=2x2 (4)y ?
5

(3)y=x2 +

x

x

3

(5)y = 2x
答案(1)(4)

2、已知幂函数y = f (x)的图象 经过点(3 , 3 ),求这个函数的解 析式。 待定系数法

y?x

1 2

下面我们来探究幂函数的性质

y?x y?x

2

y?x

3

y?x

1 2

y?x

?1

4

3

2

1

(1,1)
2 4 6

-6

-4

-2

-1

(-1,-1)
-2

-3

-4

x -3 -2 -1 0 1 2 3 y=x2 9 4 1 0 1 4 9

4

3

y=x

2

1

(1,1)
2 4 6

-6

-4

-2

-1

(-1,-1)
-2

-3

-4

(-2,4)

4

(2,4) y=x

3

2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2 4 6

-1

(-1,-1)
-2

-3

-4

(-2,4)

4

(2,4) y=x2 y=x

3

2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2 4 6

-1

(-1,-1)
-2

-3

x -3 -2 -1 0 1 2 3 y=x3 -27 -8 -1 0 1 8 27

-4

(-2,4)

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x

3

2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2 4 6

-1

(-1,-1)
-2

x
1 2

0

1

2

4

-3

y?x 0

1

2

2

-4

(-2,4)

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x (4,2)

3

2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2 4 6

-1

(-1,-1)
-2

-3

-4

(-2,4)

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1

3

y=x 2
2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2 4 6

-1

(-1,-1)
-2

-3 -2 -1 1 2 3 y ? x?1 -1/3 -1/2 -1 1 1/2 1/3

x

-3

-4

(-2,4)

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1

3

y=x 2
2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2

y=x-1
4 6

-1

(-1,-1)
-2

-3

-4

(-2,4)

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1

3

y=x 2
2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2

y=x-1
4

y=x0
6

-1

(-1,-1)
-2

-3

-4

(-2,4) 在第一象限内 , 函数图象的变化 趋势与指数有什 么关系? (-1,1)
-6 -4 -2

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1

3

y=x 2
2

1

(1,1)
2

y=x-1
4

y=x0
6

-1

(-1,-1)
-2

在第一象限内, 当a>0时,图象随x增大而上升。 当a<0时,图象随x增大而下降

-3

-4

不管指数是多少 (-2,4) ,图象都经过哪 个定点?
(-1,1)
-6 -4 -2

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1

3

y=x 2
2

1

(1,1)
2

y=x-1
4

y=x0
6

-1

(-1,-1)
-2

在第一象限内, 当a>0时,图象随x增大而上升。 当a<0时,图象随x增大而下降。

-3

图象都经过点(1,1)

-4

观察幂函数图象,将你发现的结论写在下表:
y=x 定义域 值域 奇偶性 R R y=x2 R y=x3 y=x
1 2

y=x-1

R [0,+∞) R [0,+∞)

{x|x≠0}
{y|y≠0}

[0,+∞)







非奇 非偶



在R 在(-∞,0]上减, 在R上 单调性 上增 在[0,+∞)上增, 增

在[0, 在(-∞,0)上减, +∞)上增, 在(0,+∞)上减

公共点

(1,1)

例1
如果函数 f ( x) ? (m ? m ?1)x
2 m2 ?2m?3

是幂函数,

且在区间( 0 , +∞ )内是减函数,求满足条件的
实数m的集合。

解:依题意,得 m ? m ? 1 ? 1 解方程,得 m=2或m=-1 ?3 检验:当 m=2时,函数为 f ( x) ? x 0 符合题意.当m=-1时,函数为 f ( x) ? x ? 1 不合题意,舍去.所以m=2
2

例2. 利用单调性判断下列各值的大小。 (1)5.20.8 与 5.30.8 (2)0.20.3 -2 与 0.30.3-2 解:(1)y= x0.8在(0,+∞)内是增函数,

(3)

2.5

5

与 2.7

5

∵5.2<5.3 ∴ 5.20.8 < 5.30.8 (2)y=x0.3在(0,+∞)内是增函数
∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3 (3)y=x-2/5在(0,+∞)内是减函数 ∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5

练习2
1)

1.3
?2

0.5<

1.5

0.5

?2 < 5.1 2) 5.09
1 4

3) ?1.79 > ?1.81 4)

1 4

(2 ? a )

2 ? 2 3 ≤

2

2 ? 3

练习3: 如图所示,曲线是幂函数 y = xk 在第一象

1 限内的图象,已知 k分别取 ?1,1, , 2 四个 2
C4 C2 C 值,则相应图象依次为:________ 3 C1

1

一般地,幂函数的图象在直线x=1

的右侧,大指数在上,小指数在下, 在Y轴与直线x =1之间正好相反。

例3

证明幂函数 f ( x) ? x 在[0,+∞)上是增函数.

复习用定义证明函数的单调性的步骤: (1). 设x1, x2是某个区间上任意二值,且x1<x2; (2). 作差 f(x1)-f(x2),变形 ; (3). 判断 f(x1)-f(x2) 的符号; (4). 下结论. 证明:任取 x1 , x2 ?[0,??), 且x1 ? x2 , 则

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 ?
?

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) x1 ? x2

x1 ? x2 , ? x1 ? x2 ? 0, x1 ? x2 ? 0,? f ( x1 ) ? f ( x2 ). x1 ? x2

所以幂函数 f ( x) ? x 在[0,+∞)上是增函数.

证明幂函数 f ( x) ? x 在[0,+∞)上是增函数. 证法二: 任取x1 ,x2 ∈[0,+∞),且x1< x2 ;

x1 f ( x1 ) x1 ? ? ?1 f ( x2 ) x2 x2
所以



f ( x1 ) ? f ( x2 )

f ( x) ?

x在?0, ? ??为增函数

(1)作差法:若给出的函数是有根号的式子,往往采用有 理化的方式。 (2)作商法:证明时要注意分子和分母均为正数,否则不 一定能推出f(x1)<f(x2)。

课堂小结:

本节知识结构: 幂函数

定义

五个特殊幂函数
图象 基本性质

P79习题2.3: 1,2,3.