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新课件直线的位置关系


2012.6.5

1.空间中两条直线有几种位置关系?平面内呢? 2.两条直线相交时,如何求交点的坐标?体现了 什么思想? 3.当两直线确定的方程组有唯一解,无解和无数 解时,两直线位置关系如何?此时两直线方程 有何特征? 4.方程 m(3x ? 4 y ? 2) ? n(2 x ? y ? 2) ? 0 (m,n不同时为0)表示什么图形? 5.方程 3x

? 4 y ? 2 ? ? (2 x ? y ? 2) ? 0表示的直 线包括过交点M(-2,2)的所有直线吗?

一般地,若直线l1:A1x+B1y+C1=0和 l2:A2x+B2y+C2=0相交,如何求其交 点坐标?体现了什么思想?
? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 求解方程组 ? ? A2 x ? B2 y ? C2 ? 0
交点坐标 方程组的解

对于直线 l1 : A1x ? B1 y ? C1 ? 0 l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0

A x ? B y ? C ? 0 ? 1 1 1 若方程组 ? ? A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 有惟一解,有无数组解和无解时,两 直线的位置关系如何?此时两直线方 程有何特征?
唯一解----相交 无数组解----重合 无解----平行

例1 判断下列各对直线的位置关 系,如果相交,求出其交点的坐标. (1)l1:x ? y ? 0, (3)l1: 3x ? 4y ? 5 ? 0,
l2: 3x ? 3y ? 10 ? 0 ;
l2: 6x ? 8y ? 10 ? 0.

3x ? y ? 4 ? 0, l2: (2) l1: 6x ? 2y ? 1 ? 0;

4.方程 m(3x ? 4 y ? 2) ? n(2 x ? y ? 2) ? 0 (m,n不同时为0)表示什么图形?

5.方程 3x ? 4 y ? 2 ? ? (2 x ? y ? 2) ? 0 表 示的直线包括过交点M(-2,2) 的所有直线吗?

知识探究(一)

已知点P1(x1,y1)和P2(x2,y2),下 列几种情况中,点P1和P2的距离为 多少?
(1) P1和P2在x轴上,|P1P2|=|x1-x2|

(2) P1和P2在y轴上, |P1P2|=|y1-y2|

(3)当直线P1P2与坐标轴垂直时, P2
y

P1
o

P2 P1 x

①P1和P2在垂直于x轴, |P1P2|=|y1-y2|

② P1和P2在垂直于y轴,|P1P2|=|x1-x2|

(4)任意两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)

P2
M

y

o

P1
2

x

| PP 1 2 |? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 )

2

特别地,点P(x,y)与坐标原点的距离?

例2

已 知 △ ABC 的 三 个 顶 点 坐 标 为

A(-3,1),B(3,-3),C(1,7). 求证:△ABC为等腰直角三角形.

【证明】 根据题意可得, 2 2 |AB|= ?-3-3? +?1+3? =2 13, 2 2 |BC|= ?1-3? +?7+3? =2 26, 2 2 |AC|= ?-3-1? +?1-7? =2 13. 2 2 因 为 |AB| = |AC| , 且 |AB| + |AC| = 2 |BC| , 所以△ABC 为等腰直角三角形.

知识探究

试设计一个方案求点P(1,1)到直 线l:x+y-4=0的距离。
y B Q A o P l x

| PB | ? | PA | 2 ? 2 d? ? ? 2 | AB | 2 2

知识探究

那么一般地,点P(x0,y0)到直线l: Ax+By+C=0的距离怎样表达?
y B Q A o P l x

d ?

| Ax0 ? By0 ? C | A ?B
2 2

那么特别地,点P(x0,y0)到直 线l:x=a,y=b的距离怎样表达?

例3

分别求点P(3,-2)到下列直线的距离.

(1)3x-4y+1=0;(2)y=6;(3)x=0. 【小杨点拨】 利用公式,但是要求直线方

程必须是一般式.

【解】 (1)根据点到直线的距离公式得 |3× 3- 4×?- 2?+ 1| 18 d= = . 2 2 5 3 +?-4? (2)因为直线 y= 6 平行于 x 轴, 所以 d= |6- (- 2)|= 8. (3)d= |3|= 3.

【小杨点评】 对于特殊直线,不用距离 公式有时更简单.

典例讲评

例4 求点P(-2, 3)到直线

l : 3x ? 4 y ? 3 ? 0 的距离.
例5 已知点A(1, 3), B(3, 1), C(-1, 0),求△ABC的面积.
y

A

h

C

B
x

o

知识探索 求平行直线2x-7y +8=0和2x-7y -6=0的距离。
解: 在直线 2x ? 7 y ? 6 ? 0 上取一点

y

P(3 , 0)
则 P(3 , 0) 到直线 2x ? 7 y ? 8 ? 0 的距离就是两平行线间 的距离.
?d? 2?3? 7?0?8 22 ? (?7)2

o

P

x

? 14 53

? 14 53 . 53

知识探究

两平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2: Ax+By+C2=0(C1≠C2)之间的距离如 何表示?
y l1 l2

d?
P x

| C1 ? C2 | A ?B
2 2

o

自我挑战 分别求下面两条平行直线间的距离. 3 (1)l1: 2x+ 3y- 6= 0, l2: x+ y= 1; 2 (2)l1: x+ 2= 0, l2: 2x= 3.

解:(1)法一:在直线 l2 上任取一点 A(1,0), 则点 A 到直线 l1 的距离 d 即是两平行线间的 距离. |2×1+3×0-6| 4 13 即 d= = . 13 22+32 法二:l2 可化为 2x+3y-2=0, |C1-C2| 利用公式,得 d= 2 2 A +B

|-6-?-2?| 4 13 = = . 13 2 2 2 +3 3 (2)l1:x=-2,l2:x= , 2 两条直线都垂直于 x 轴, 3 7 ∴两条直线间的距离 d=|-2- |= . 2 2

还记得小杨点评吗???
【小杨点评】 对于特殊直线,不用距离 公式有时更简单.

小结 距离公式:
(1)任意两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)的距离:
| PP 1 2 |? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 )
2 2

(2)点(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离为: Ax0 ? By0 ? C d? 2 2 A ?B (3)两条平行线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0 的距离为: C ?C

d?

1

2

A ?B
2

2


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