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一道赛题的简证


2005 年第 3 期

19

短  论  集  锦
一道白俄罗斯竞赛题的简证
袁安全
( 重庆合川市太和中学 ,401555)

一道赛题的简证
羊明亮
( 湖南师范大学附属中学广益高中 , 410081)

  题 目  已 知 CH 是 Rt<

br />
AB C 的高

( ∠C = 90° ) , 且与角平分线 A M 、 B N 分别交

   题目   已知 a 、 b、 c 为正实数 . 证明 : 2 2 2 a + b + c + abc = 4 ] a + b + c ≤ 3.
( 第 20 届伊朗数学奥林匹克 ( 第 2 轮) )

于 P、 Q 两点 . 证明 :通过 Q N 、 PM 中点的直 线平行于斜边 A B [ 1 ] .
( 第 52 届白俄罗斯数学奥林匹克 ( 决赛

A 类) )

这里给出此题的一个简证 . 证明: 如图 1 , 令 E 、F 分 别 为
QN 、 PM 的中点 . 联

文 [ 1 ]利用三角法给出了证明 , 本文给出 一种代数证明 . 证明 : 若 a 、 b、 c 都大于 1 , 或者都小于 1 , 显然不满足题设条件 . 因此 , a 、 b、 c 中一 定有两个或者都不大于 1 , 或者都不小于 1 , 不妨设为 a 、 b. 则 ( 1 - a ) ( 1 - b) ≥ 0, 即  ab ≥a + b - 1 .
2 2

结 CE 、 EH. 由 ∠C
= 90° , CH ⊥A B 得

∠B CH = ∠B A C. 于是 , 有

图1

∠CNB = ∠N A B + ∠A B N
= ∠B CH + ∠NB C = ∠CQ N .

① ≥ 由 a + b 2 ab , 有 4 = a2 + b2 + c2 + abc ≥ 2 ab + c2 + abc , 即  ab ( 2 + c) ≤ 4 - c2 . 于是 , ab ≤ 2 - c. ② ≤ 由 ①、 ②, 有 a + b + c 3 .
参考文献 :
[1 ]   第 20 届伊朗数学奥林匹克 ( 2002 — 2003 ) [J ] . 中等数

所以 , CN = CQ . 而 E 是 Q N 的中点 , 故 C E ⊥Q N . 由 ∠C EB = ∠CHB = 90° 得 C、 E、 H、 B 四点共圆 . 所以 , C E = EH. 从而 , 点 E 位于
CH 的中垂线上 .

学 2004 增刊 . 70 .

圆内接四边形的一个性质
葛 桂 华  黄桂君
( 江苏省高邮中学 , 225600)

同理可得 , 点 F 位于 CH 的中垂线上 . 因此 , EF ⊥CH. 而 CH ⊥A B , 故 EF ∥A B .
参考文献 :
[1 ]   李建泉等 . 2001 — 2002 国内外数学竞赛题选解 ( 五)

[J ] . 中等数学 , 2004 ( 1) .

   命题   圆内接四边形 A B CD 中 , A D 与 B C 交于点 P , A C 与 B D 交于点 M , 则 PM 2 = PA ? PD - A M ? M C.
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