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2015-2016年山西省高二文科数学期中联考试卷及答案


2015-2016 学年第一学期期中联考 高二数学(文科)试卷

完卷时间:120 分钟

满分:150 分

第 I 卷(选择题 共 60 分)
一、选择题(本大题 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 符合题目要求.) 1.在 ?ABC 中, A ? 45? , B

? 60? , a ? A. 2 B. 2 2 C. 3

2 ,则 b ? (
D. 2 3 )



2.不等式 2 x ? 3 y ? 5 ? 0 表示的平面区域是(

A

B

C

D )

3.已知数列{an}满足 a1= 2,an+1-an= ?1 (n∈N+) ,则此数列的通项 an 等于( A.n2+1 B.n+1 C.1-n ) D.等边三角形 D.3-n

4.在△ABC中, b cos A ? a cos B ? 0 ,则该三角形为( A.直角三角形 B.锐角三角形 C.等腰三角形 )

5.对于实数 a,b,c ,下列结论中正确的是( A. 若a ? b ? 0,则

1 1 ? a b

B. 若a ? b,则ac ? bc
2

2

C.若 a ? b ? 0 , c ? d ,则 a ? c ? b ? d
2

D. 若a ? b, ?

1 a

1 ,则 a ? 0,b ? 0 b
) D. c ? 2

6.不等式 x ? 2 2 x ? c ? 0 的解集是 ? , 则 c 的取值范围是( A. c ? 2 B. c ? 2 C. c ? 2

7.设 a1 , a2 , a3 , a4 成等比数列,其公比为 3,则 A.1 B.

2a1 ? a 2 的值为( 2a 3 ? a 4
1 3
D.M≤N



1 9

C.

1 6

D. )

8.设M=2a(a-2),N=(a+1)(a-3),则 ( A.M >N B.M ≥N C.M<N

9. 在 2 和 8 之间插入 3 个数, 使它们与这两个数依次构成等比数列, 则这 3 个数的积 为 ( . A.64 B .± 64 C.16 D.± 16 ) D.有最大值 2 2



10.已知 x+3y-1=0,则关于 2 x ? 8 y 的说法正确的是( A.有最大值 8 B.有最小值 2 2

C.有最小值 8

11. 已知等差数列 ?a n ? 与等比数列 ?b n ? , 满足 a3 ? b3 ,2b3 ? b2b4 ? 0, 则 ?a n ? 的前 5 项和 S 5 ? ( A.5 ) B.10 C.20 D.40

?3x ? y ? 6 ? 0 ?x ? y ? 2 ? 0 ? 12.若变量x,y满足约束条件 ? 若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值是12, ?x ? 0 ? ?y ? 0


2 3 ? 的最小值是( a b 25 6
B.

).

A.

8 3

C.

11 3

D.4

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13.已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 2n ?1, n ? N * ,则 a9 等于 14.已知 ?ABC 得三边长成公比为 2 的等比数列,则其最大角的余弦值为 15.已知数列{an}的通项公式an=26-2n,要使此数列的前n项和Sn最大,则n的值为

16.福州青运会开幕式上举行升旗仪式,在坡度 15° 的看台上,同一列上的第一排和最后一排 测得旗杆顶部的仰角分别为 60° 和 30° ,第一排和最后一排的距离为 10 6 米(如下图所示) , 则旗杆的高度为 米.

三、解答题(本大题 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)若关于 x 的不等式(1-a)x2-4x+6<0的解集是{x| x<-3或x> 1}. (1)求实数 a 的值; (2)解关于 x 的不等式2x2+(2-a)x-a>0.

18. (本小题满分 12 分)已知递增等差数列 {an } 满足 a1 ? a4 ? 7, a2 ? a3 ? 8 . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?

1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn . an an?1

19. (本小题满分 12 分) 在锐角△ ABC 中, a、 b、 c 分别为角 A、 B、 C 所对的边, 且 3a=2csinA. (1)确定角C的大小; (2)若 c ? 10 ,且△ABC的面积为

3 ,求a+b的值. 2

20. (本小题满分 12 分) 淘宝某电商为了使每月销售甲商品和乙商品获得的总利润达到最大, 对即将出售的甲商品和乙商品进行了相关调查,得出下表: 每件甲商品和乙商品所需资金 月资金最多供应量 资金 (百元) (百元) 甲商品 进货成本 工人工资 每台利润 30 5 6 乙商品 20 10 8 300 110

问:该电商如果根据调查得来的数据,应该怎样确定甲商品和乙商品的月供应量,才能使该 电商获得的总利润最大?总利润的最大值为多少元?

cos B b 21.(本小题满分12分)在△ ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且 =- . cos C 2a+ c (1)求角 B 的大小; (2)若 a ? c ? 1 ,求实数 b 的取值范围.

22.(本小题满分 12 分)已知数列 ?a n ?中,其前 n 项和 S n 满足 Sn ? 2an ? 2 ( n ? N ) .
*

(1)求证:数列 ?a n ?为等比数列,并求 ?a n ?的通项公式; (2)设 bn ? (n ? 1) ? an , 求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ; (3)设 cn ? 4n ? 2?an ( n ? N ) ,试确定实数 ? 的取值范围,使得对任意 n ? N ,有
* *

cn?1 ? cn 恒成立.

2015-2016 学年第一学期八县(市)一中期中联考 高二数学(文科)答案
一、选择题(本大题 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 符合题目要求.) CCDCD ABAAB BA.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13. 256 14. ?

2 4

15. 12 或 13

16. 30

三、解答题(本大题 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分) 解: (1)由题意,知1-a<0且-3和1是方程(1-a)x2-4x+6=0的两根,

? ? 4 =-2 ∴?1-a 6 ? ?1-a=-3

1-a<0,

,…………………………3分

解得a=3. …………………………5分 (2)由(1)得不等式2x2+(2-a)x-a>0即为2x2-x-3>0,…………………………6分 3? 3 ? 解得x<-1或x> .∴所求不等式的解集为?x|x<-1或x>2?.…………………………10分 2 ? ? 18. (本小题满分 12 分) 解: (1)

由已知a2 ? a3 ? a1 ? a4 ..........................1分 ?a1 ? a4 ? 8 ? ? ?a1a4 ? 7 ?a ? a 4 ? 1 解得a1 ? 1, a4 ? 7..........................4分 ?d ? 2 ? an ? 2n-1.......................................6分

(2) bn ? ∴ Sn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) …………………………9 分 an an?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ... ? ? ) ? (1 ? ) ……12分 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1

19.(本小题满分 12 分) 解: (1)由 3a=2csinA 及正弦定理得, 3sinA=2sinCsinA.…………………………2分 ∵sinA≠0,∴sinC=

3 .…………………………4分 2

π ∵△ABC 是锐角三角形,∴C= .…………………………6分 3

3 π (2)∵C= ,△ABC 面积为 , 3 2 3 1 π ∴ absin = ,即 ab=2.①…………………………8分 2 3 2
∵c= 10 ,∴由余弦定理得 π a2+b2-2abcos =10,即 a2+b2-ab=10.②…………………………10分 3 由②变形得(a+b)2=3ab+10.③ 将①代入③得(a+b)2=16,故 a+b=4…………………………12分 20. (本小题满分 12 分) 解:设每月调进甲商品和乙商品分别为 x, y 台,总利润为 z (百元)则由题意,得

?30 x ? 20 y ? 300 ? 3x ? 2 y ? 30 ? ? ? 5 x ? 10 y ? 110 , 即 ? x ? 2 y ? 22 ……………3 分 ? x ? 0, y ? 0 ? x ? 0, y ? 0 ? ?
目标函数是 z ? 6 x ? 8 y ,……………………4 分 画图,…………………………8 分 得? 11

y

3x ? 2 y ? 30
15

x ? 2 y ? 22
10 x

?3x ? 2 y ? 30 的交点是 P(4,9) …………10 分 ? x ? 2 y ? 22

0

22

zmax ? 6 ? 4 ? 8 ? 9 ? 96(百元)……………………11 分

3x ? 4 y ? 0

答:甲商品和乙商品分别为 4,9 台时有总利润的最大值 96 百元。………………12 分 21.(本小题满分 12 分) 解:(1)由正弦定理可得 a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C ,代入已知得

cos B sin B ?? cos C 2sin A ? sin C 2sin A cos B ? sin C cos B ? cos C sin B ? 0 即
即 2sin A cos B ? sin( B ? C ) ? 0 ∵ A? B ?C ?? ∴ sin( B ? C ) ? sin A 故 2sin A cos B ? sin A ? 0 ,即 sin A(2cos B ? 1) ? 0 ∵ sin A ? 0 ∴ cos B ? ? 又 B ? ? 0, ? ?

………………2 分

………………4 分

1 , 2 2? ∴B ? 3 1 , 2
2

………………6 分

(2)解法一:因为 a ? c ? 1 , cos B ? ?
2 2 2 2

∴ b ? a ? c ? 2ac cos B ? a ? c ? ac

………………8 分
2

? a?c? 3 ? (a ? c) ? ac = 1 ? ac ? 1 ? ? ? ? ? 2 ? 4
2

………………10 分

∴b ?

3 , 2

………………11 分

又∵ b ? a ? c ? 1 ∴

? 3 ? 3 ? b ? 1 ,即 b 的取值范围为 ? ,1? ?. 2 ? 2 ?

………………12 分

解法二: 由 a ? c ? 1 ,得 c ? 1 ? a

b2 ? a 2 ? c2 ? 2ac cos B ? a2 ? (1 ? a)2 ? a(1 ? a)

………………8 分

1? 3 ? ? a ? a ?1 ? ? a ? ? ? 2? 4 ?
2

2

………………10 分

又 0 ? a ? 1 ,∴

3 ? b2 ? 1 4
………………12 分



? 3 ? 3 ? b ? 1 ,即 b 的取值范围为 ? ,1? ?. 2 ? 2 ?

22.(本小题满分 12 分) 解:解: (1)当 n ? 1 时, S 1 ? 2a1 ? 2 , ∴ a1 ? 2 因为 Sn ? 2an ? 2 当 n ? 2 时, Sn?1 ? 2an?1 ? 2 两式相减得 an ? Sn ? Sn?1 ? 2an ? 2an?1 即 an ? 2an?1 ∴数列 ?a n ?是以 a1 ? 2 为首项,公比为 2 的等比数列. ∴ an ? 2 ? 2n?1 ? 2n (2)由(Ⅰ)知 bn ? (n ? 1) ? 2n ,它的前 n 项和为 Tn ……………4 分 ………………3 分 ………………1 分

Tn ? 2 ? 21 ? 3 ? 22 ? 4 ? 23 ? ? ? n ? 2n ?1 ? ( n ? 1) ? 2n (1) 2Tn ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? 4 ? 24 ? ? ? n ? 2n ? (n ? 1) ? 2 n ?1 (2) (1) ? (2) : ?Tn ? 2 ? 21 ? 22 ? 23 ? 24 ? ? ? 2n ? ( n ? 1) ? 2 n ?1 22 (1 ? 2n ?1 ) ? 4? ?(n ? 1) ? 2n ?1 1? 2 ? ?n ? 2n ?1 ? Tn ? n ? 2n ?1 ....................................8分
………………6 分

(Ⅲ)∵ an ? 2n ,∴ cn ? 4 n ? ? ? 2 n?1 , 要 使cn?1 ? cn 恒成立,

? cn?1 ? cn ? 4n?1 ? 4n ? ? ? 2n?2 ? ? ? 2n?1 ? 0 恒 成 立
∴ ? ? 3? 2
n ?1

恒成立.

n ?1 当 n ? 1 时, 3 ? 2 有最小值为 3,∴ ? ? 3 .…………………………12 分


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