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1992年全国高中数学联赛试卷一试


1992 年全国高中数学联赛试卷
第一试

一、选择题(每小题 5 分,共 30 分)
1. 对于每个自然数 n,抛物线 y ? (n +n)x ?(2n+1)x+1 与 x 轴交于 An,Bn 两点,以|AnBn|表示
2 2

该两点的距离,则|A1B1|+|A2B2|+?+|A1992B1992|的值是(

(A) 1991

)
y
1 ?1 O ?1 1 x

1992

(B) 1992

1993

(C) 1991

1993

(D) 1993

1992

2. 已知如图的曲线是以原点为圆心,1 为半径的圆的一部分,则这一曲 线的方程是( ) (A)(x+ 1 ? y2 )(y+ 1 ? x2 )=0 (B)(x? 1 ? y2 )(y? 1 ? x2 )=0 (C)(x+ 1 ? y2 )(y? 1 ? x2 )=0 (D)(x? 1 ? y2 )(y+ 1 ? x2 )=0 3. 设四面体四个面的面积分别为 S1,S2,S3,S4,它们的最大值为 S,记 ? = ( 定满足( ) ? (A)2< ≤4

? S ) /S,则 ? 一
i ?1 i

4

(B)3< ? <4

(C)2.5< ? ≤4.5

(D)3.5< ? <5.5

4. 在 △ ABC 中 , 角 A,B,C 的 对 边 分 别 记 为 a,b,c(b?1) , 且 C , s i nB 都 是 方 程

A s i nA

l o gb x =logb(4x?4)的根,则△ABC(

)

(A)是等腰三角形,但不是直角三角形 (B)是直角三角形,但不是等腰三角形 (C)是等腰直角三角形 (D)不是等腰三角形,也不是直角三角形 2 2 5. 设复数 z1,z2 在复平面上对应的点分别为 A,B,且|z1|=4,4z1 ?2z1z2+z2 =0,O 为坐标原点, 则△OAB 的面积为( ) (A)8 3 (B)4 3 (C)6 3 (D)12 3

6. 设 f(x) 是 定 义 在 实 数 集 R 上 的 函 数 , 且 满 足 下 列 关 系 f(10+x) ? f(10?x), f(20?x) ? ?f(20+x),则 f(x)是 (A)偶函数,又是周期函数 (B)偶函数,但不是周期函数 (C)奇函数,又是周期函数 (D)奇函数,但不是周期函数

二、填空题(每小题 5 分共 30 分)
1. 设 x,y,z 是实数, 3x,4y,5z 成等比数列, 且 1 , 1 , 1 成等差数列, 则 x ? z 的值是______.

x y z

z

x

2. 在区间[0,?]中,三角方程 cos7x ? cos5x 的解的个数是______.

3. 从正方体的棱和各个面上的对角线中选出 k 条,使得其中任意两条线段所在的直线都是 异面直线,则 k 的最大值是_____. 4. 设 z1,z2 都是复数,且|z1|=3,|z2|=5|z1+z2|=7,则 arg(

z2 3 ) 的值是______. z1

5. 设数列 a1,a2,?,an,?满足 a1 ? a2 ? 1,a3 ? 2,且对任何自然数 n, 都有 anan+1an+2?1,又 anan+1an+2an+3 ? an+an+1+an+2+an+3,则 a1+a2+?+a100 的值是____. 6. 函数 f(x)= x4 ? 3x2 ? 6x ? 13 ? x4 ? x2 ? 1 的最大值是_____. 三、(20 分)求证: 16 ?

?
k ?1

80

1 ? 17 k

四、(20 分)设 l,m 是两条异面直线,在 l 上有 A,B,C 三点,且 AB=BC,过 A,B,C 分别作 m 的垂线 AD,BE,CF,垂足依次是 D,E,F,已知 AD= 15 ,BE= 7 CF= 10 ,求 l 与 m 的距离.

2

五、(20 分)设 n 是自然数,fn(x) ? x

n ?1

?x x ? x ?1

? n ?1

(x?0, ? 1),令 y=x+ 1 .

x

1.求证:fn+1(x)=yfn(x)?fn-1(x),(n>1) 2.用数学归纳法证明:
1 n?2 i n ? 2i ? y n ? Cn ? ? ? (?1)i Cn ? ? ? (?1) 2 , (i ? 1,2,?, n , n为偶数) ?1 y ?i y ? 2 fn(x)= ? n ?1 n ?1 n 1 n?2 i i n ? 2i n ? 1 , n为奇数) 2 2 ? ?1 , (i ? 1,2, ? , ? y ? Cn ?1 y ? ? ? (?1) Cn ?i y ? ? ? (?1) Cn2 2 n


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