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安徽省合肥八中2015届高三上学期第二次段考数学理试题 Word版

时间:2014-10-07


安徽省合肥八中 2015 届高三上学期第二次段考数学理试题
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.角 2014 是第( A.一
2

)象限 B.二

C.三

D.四

2. 已知集合 A ? {x | x ? 5 x ? 14 ? 0},B ? {x | m ? 1? x ? 2m ? 1} ,若 B ? ? 且 A B ? A , 则 A. ?3 ? m ? 4 B. ?3 ? m ? 4 C. 2 ? m ? 4 D. 2 ? m ? 4 3.下列四个选项错误的是 A.命题“若 x ? 1 ,则 x ? 3x ? 2 ? 0 ”的逆否命题是“若 x ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 ” B.若 p ? q 为真命题,则 p, q 均为真命题
2 2

C.若命题 p : ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0
2 D.“ x ? 2 ”是“ x ? 3x ? 2 ? 0 ”成立的充分而不必要条件

4.已知角 ? 的终边上有一点 P 的坐标为 (sin A.

5? 6
a

B.
b

2? 3

2? 2? , cos ) ,则角 ? 的最小正值为 3 3 5? 11? C. D. 3 6

5.设实数 a, b, m 满足 2 ? 5 ? m ,且 A. 10 B.10

1 1 ? ? 2 ,则 m 的值为 a b
C.20 D.100

6.已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? m( A ? 0,| ? |? 的相邻两个对称轴之间的最短距离为 的解析式是 A.

?
2

) 的最大值为 4,最小值为 0,且该函数图象

? ? ,直线 x ? 是该函数图象的一条对称轴 ,则该函数 6 2
y ? 2sin(2 x ?

y ? 4 sin(2x ?

?
6

)

B.

?
6

)?2

C.

D. y ? 2sin( x ? 7.

?
3

y ? ?2sin( x ? ) ? 2 3

?

) ?2

? ? (2cos
2 ? 2

?

2

x )dx 的值是 2
B.2 C. ? ? 2 D. ? ? 2

A. ?

8. 设函数 g ( x) 是二次函数 , f ( x ) ? ?

? x ,| x |? 1
2

? x,| x |? 1

, 若函数 f [ g ( x)] 的值域是 [0,?? ) , 则函数

g ( x) 的值域是 A. (??, ?1] [1, ??) B. [0, ??)
2

C. (??, ?1] [0, ??)
x

D. [1, ??)

9.设函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a, b, c ? R) ,若 x ? ?1 为函数 f ( x)e 的一个极值点,则下列图 象不可能为 y ? f ( x) 的图象的是

A
x

B
2

C

D

10.设函数 f ( x) ? e ? x ? 2, g ( x) ? ln x ? x ? 3 ,若实数 a , b 满足 f (a) ? g (b) ? 0 ,则 A. g (a) ? 0 ? f (b) B. f (b) ? 0 ? g (a) C. 0 ? g (a) ? f (b) D. f (b) ? g (a) ? 0 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,请将答案写在答题卷的相应位置上. 11.函数 f ( x) ? 2sin(

?

4

? x), x ?[ ?? , 0] 的单调递减区间为
2

12.设扇形的周长为 8cm,面积为 4cm ,则该扇形的圆心角的弧度数为 13.已知 sin 2? ? ? sin ? , ? ? (

?

2

, ? ) ,则 tan 2? ?

14.利民厂某产品的年产量在 100 吨至 300 吨之间,年生产的总成本 y (万元)与年生产量 x (吨)

x2 ? 30 x ? 4000 , 则 每 吨 的 成 本 最 低 时 的 年 产 量 为 之间的关系可近似第表示为 y ? 10
吨 15. 设函数 f ( x ) 的定义域为 D , 若存在非零实数 t 使得对于任意实数 x ? M (M ? D) , 有

x ? t ? D 且 f ( x ? t ) ? f ( x) ,则称函数 f ( x) 为 M 上的“ t 高调函数”。 给出下列三个命题: (1) 1 x 函数 f ( x ) ? ( ) 是 R 上的“1 高调函数”; (2)函数 f ( x) ? sin 2 x 是 R 上的“ ? 高调函数”; (3) 2 2 若定义域为 [?1, ??) 的函数 f ( x) ? x 为 [?1, ??) 上的“ m 高调函数”,那么实数 m 的取值范 围是 [2, ??) .其中正确的命题是 (写出你认为正确的所有命题的序号)
三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤. 16(本小题满分 12 分) 已知集合 A ? { x | x ? 3 x ? 2 ? 0}, B ? {y | y ? x ? 2x ? a},C ? {x | x ? ax? 4? 0} , 命题
2 2 2

B ? ? ;命题 q : A ? C . (Ⅰ )若命题 p 为假命题,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ )若命题 p ? q 为真命题,求实数 a 的取值范围. p: A

17(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 3 ? 2log2 x, g ( x) ? log2 x. (Ⅰ )当 x ? [1, 4] 时,求函数 h( x) ? [ f ( x) ? 1]g ( x) 的值域; (Ⅱ )如果对任意的 x ? [1, 4] ,不等式 f ( x2 ) ? f ( x ) ? k ? g ( x) 恒成立,求实数 k 的取值范围.

18(本小题满分 12 分)

设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边长分别为 a, b, c ,且 (2b ? 3c)cos A ? 3a cos C . (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若角 B ?

?
6

, BC 边上的中线 AM 的长为 7 ,求 ?ABC 的面积.

19(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? (1 ? 2a) x ? a ln x(a 为实常数) (Ⅰ )当 a ? ?1 时,求曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程; (Ⅱ )当 a ? 0 时,讨论函数 y ? f ( x) 在区间(0,1)上的单调性,并求出相应的单调区间.

20(本小题满分 13 分)

x x x cos ? 3 cos 2 . 3 3 3 (Ⅰ)将 f ( x ) 写成 A sin(? x ? ? ) ? b 的形式,并求出该函数图象的对称中心; 2 (Ⅱ)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 b ? ac ,求 f ( B ) 的取值范围.
已知函数 f ( x) ? sin

21(本小题满分 13 分)

1 2 ax ? (1 ? a ) x ? 2 . 2 (Ⅰ )当 a ? 0 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ )若 0 ? x ? 1 ,求证: f (1 ? x) ? f (1 ? x) ; (Ⅲ ) 若 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 为 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 上 的 两 点 , 记 k 为 直 线 AB 的 斜 率 , 若 x ?x x0 ? 1 2 , 2 f '( x) 为 f ( x) 的导函数,求证: f '( x0 ) ? k .
已知函数 f ( x) ? ? ln x ?

参考答案 一、 1 C 二、 11、 12. 2 13. 3 14. 200 15. ②③ 2 D 3 B 4 D 5 A 6 B 7 D 8 B 9 D 10 A

三、

17.【答案】 :(1)h(x)=(4-2log2x)· log2x=-2(log2x-1)2+2, 因为 x∈[1,4],所以 log2x∈[0,2].故函数 h(x)的值域为[0,2].……………4 分 (2)由 f(x2)· f( x)>k· g(x)得 (3-4log2x)(3-log2x)>k· log2x, 令 t=log2x,因为 x∈[1,4],所以 t=log2x∈[0,2], 所以(3-4t)(3-t)>k· t 对一切 t∈[0,2]恒成立, ①当 t=0 时,k∈R; ?3-4t??3-t? 9 ②当 t∈(0,2]时,k< 恒成立,即 k<4t+ -15 恒成立, t t 9 9 3 因为 4t+ ≥12,当且仅当 4t= ,即 t= 时取等号, t t 2 9 所以 4t+ -15 的最小值为-3,即 k 的取值范围为(-∞,-3).……………8 分 t

18. 【答案】

(1)∵(2b- 3c)cos A= 3acos C,

∴(2sin B- 3sin C)cos A= 3sin Acos C. 即 2sin Bcos A= 3sin Acos C+ 3sin Ccos A. ∴2sin Bcos A= 3sin B. ∵sin B≠0,∴cos A= 3 , 2

π ∵0<A<π,∴A= .…………………6 分 6 π 2π (2)由(1)知 A=B= ,所以 AC=BC,C= , 6 3 1 设 AC=x,则 MC= x.又 AM= 7, 2 在△AMC 中,由余弦定理得 AC2+MC2-2AC· MCcos C=AM2, x ?x? 即 x2+? ?2-2x·· cos 120° =( 7)2,解得 x=2, 2 ?2? 1 2π 故 S△ABC= x2sin = 3.…………………12 分 2 3 1 19.【答案】(1)当 a=-1 时,f(x)=x2+x-ln x,则 f′(x)=2x+1- ,(2 分) x 所以 f(1)=2,且 f′(1)=2. 所以曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线的方程为:y-2=2(x-1), 即:y=2x.(4 分)

1 2( x ? )(x ? a) a 2 (2)由题意得 f′(x)=2x-(1+2a)+ = (1>x>0), x x
1 由 f′(x)=0,得 x1= ,x2=a,(5 分) 2 1 1 ① 当 0<a< 时,由 f′(x)>0,又知 x>0 得 0<x<a 或 <x<1 2 2 1 由 f′(x)<0,又知 x>0,得 a<x< , 2 1 ? ? 1? 所以函数 f(x)的单调增区间是(0,a)和? ?2,1?,单调减区间是?a,2?, 1 1 ② 当 a= 时,f′(x)≥0,且仅当 x= 时,f′(x)=0, 2 2 所以函数 f(x)在区间(0,1)上是单调增函数. 1 1 ③ 当 <a<1 时,由 f′(x)>0,又知 x>0 得 0<x< 或 a<x<1, 2 2

1 由 f′(x)<0,又知 x>0,得 <x<a, 2 1? ?1 ? 所以函数 f(x)的单调增区间是? ?0,2?和(a,1),单调减区间是?2,a?, 1 ④ 当 a≥1 时,由 f′(x)>0,又知 x>0 得 0<x< , 2 1 由 f′(x)<0,又知 x>0,得 <x<1, 2 1? ?1 ? 所以函数 f(x)的单调增区间是? ?0,2?,单调减区间是?2,1?.(12 分) 20.【答案】 f ( x) ? 1 sin 2 x ? 3 (1 ? cos 2 x ) ? 1 sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 3 ? sin( 2 x ? ? ) ? 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2

2x ? 2x ? 3k ? 1 ? ) =0 即 ? ? k? (k ? z )得x ? ? k?z 3 3 3 3 2 3k ? 1 ?, k ? z ……………………6 分 即对称中心的横坐标为 2
由 sin(

(Ⅱ )由已知 b2=ac

a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? c 2 ? ac 2ac ? ac 1 ? ? ? , 2ac 2ac 2ac 2 1 ? ? 2 x ? 5? ? ? cos x ? 1, 0 ? x ? , ? ? ? 2 3 3 3 3 9 ? ? 5? ? ? 2x ? 2x ? 3 ?| ? |?| ? | , ? sin ? sin( ? ) ? 1, ? 3 ? sin( ? ) ? 1 ? , 3 2 9 2 3 3 3 3 3 2 3 即 f ( x) 的值域为 ( 3 ,1 ? ]. 2 ? 3 综上所述, x ? (0, ] , f ( x) 值域为 ( 3 ,1 ? ] . ……………………13 分 3 2 cos x ?


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