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上海市徐汇区2014届高三上学期期末学习能力诊断数学理试题(WORD版,有答案)

时间:2014-01-11


2013 学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷 高三年级数学学科(理科)2014.1
一. 填空题:(本题满分 56 分,每小题 4 分) 1. 计算: lim
x ??

2n ? 10 = 3n ? 23

. .

2. 函数 y ? sin 2 x cos 2 x 的最小正周期是 3. 计算: 2 ? ?

?1 2? ? 2 4? ??? ?= ?3 4? ? 3 2?

.

4. 已知 sin x ?

3 ?? ? , x ? ? , ? ? ,则 x= 5 ?2 ?

.(结果用反三角函数表示)

5. 直线 l1 : ? a ? 3? x ? y ? 3 ? 0 与直线 l2 : 5 x ? ? a ? 3? y ? 4 ? 0 ,若 l1 的方向向量是 l 2 的法向量,则 实数 a= 6. 如果 f ? n ? ? 1 ? .

1 1 1 1 1 ? ??? ? ? ? ? n ( n ? N * )那么 f ? k ? 1? ? f ? k ? 共有 2 3 n n ?1 2
.

项.

7. 若函数 f ? x ? 的图像经过(0,1)点,则函数 f ? x ? 3? 的反函数的图像必经过点

8. 某小组有 10 人,其中血型为 A 型有 3 人,B 型 4 人,AB 型 3 人,现任选 2 人,则此 2 人是同一 血型的概率为
2 2

.(结论用数值表示) .

9. 双曲线 mx ? y ? 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m=

10. 在平面直角坐标系中, 动点 P 和点 M(-2,0)、 N(2,0)满足 MN ? MP ? MN ? NP ? 0 , 则动点 P(x,y) 的轨迹方程为 .

???? ? ????

???? ? ??? ?

11. 某人 5 次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为 x,y,10,11,9.已知这组数据的平均数为 10, 方差为 2,则 x ? y 的值为 .
A

12. 如图所示, 已知点 G 是△ABC 的重心, 过 G 作直线与 AB、 AC 两边分别交于 M、

???? ? ??? ? ???? ???? xy N 两点,且 AM ? x AB, AN ? y AC ,则 的值为 x? y

M

.
B

G

N C

13. 一个五位数 abcde 满足 a ? b, b ? c ? d , d ? e, 且 a ? d , b ? e (如 37201,45412), 则称这个五位数 符合“正弦规律”.那么,共有 个五位数符合“正弦规律”.

14. 定义区间 ? c, d ? 、? c, d ? 、 ? c, d ? 、? c, d ? 的长度均为 d ? c ? d ? c ? .已知实数 a, b ? a ? b ? .则满足

1 1 ? ? 1 的 x 构成的区间的长度之和为 x ?a x ?b
二. 选择题:(本题满分 20 分,每小题 5 分) 15. 直线 bx ? ay ? ab ?a ? 0,b ? 0 ? 的倾斜角是------( (A) ? ? arctan

.



a b

(B) ? ? arctan

b a

(C) arctan ? ?

? a? ? ? b?

(D) arctan ? ?

? b? ? ? a?

16. 为了得到函数 y ? 2sin ? 点-----------------( (A) 向右平移 )

?x ?? ? ? , x ? R 的图像,只需把函数 y ? 2sin x, x ? R 的图像上所有的 ?3 6?

? 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变) 6 ? (B) 向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变) 6 ? 1 (C) 向右平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) 6 3 ? 1 (D) 向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) 6 3
17. 函数 f ? x ? ? x x ? a ? b 是奇函数的充要条件是-------( (A) ab ? 0 18. 已知集合 M ? (B) a ? b ? 0 (C) a ? b ? 0
2 2
1 1

) (D) a ? b
2 2

?? x, y ? y ? f ? x ?? ,若对于任意 ? x , y ? ? M ,存在 ? x , y ? ? M ,使得
1? ?; x?
2

x1 x2 ? y1 y2 ? 0 成立,则称集合 M 是“垂直对点集”.给出下列四个集合:
① M ? ?? x , y ? y ?

? ?

②M ?

?? x, y ? y ? sin x ? 1? ;

③M ?

?? x, y ? y ? log x? ;
(B) ②③

④M ?

?? x, y ? y ? e
(D) ②④

x

?2 .


?

其中是“垂直对点集”的序号是----------------------------------------------------( (A) ①② (C) ①④

三. 解答题:(本大题共 5 题,满分 74 分) 19. (本题满分 12 分) 在△ABC 中,BC=a,AC=b,a、b 是方程 x ? 2 3x ? 2 ? 0 的两个根,且 A ? B ? 120? ,求△
2

ABC 的面积及 AB 的长.

20. (本题满分 14 分,第(1)小题 7 分,第(2)小题 7 分) 已知函数 f ? x ? ? x ? 1 , g ? x ? ? ? x ? 6 x ? 5 .
2

(1)若 g ? x ? ? f ? x ? ,求实数 x 的取值范围; (2)求 g ? x ? ? f ? x ? 的最大值.

21. (本题满分 14 分,第(1)小题 5 分,第(2)小题 9 分) 某种海洋生物身体的长度 f ? t ? (单位:米)与生长年限 t(单位:年) 满足如下的函数关系: f ? t ? ?

10 .(设该生物出生时 t=0) 1 ? 2? t ? 4

(1)需经过多少时间,该生物的身长超过 8 米; (2)设出生后第 t 0 年,该生物长得最快,求 t0 ? t0 ? N *? 的值.

22. (本题满分 16 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 5 分,第(3)小题 7 分)

x2 y 2 2 2 给定椭圆 C : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? ,称圆心在坐标原点 O,半径为 a ? b 的圆是椭圆 C 的“伴 a b
随圆”,已知椭圆 C 的两个焦点分别是 F1 ? 2, 0 , F2

?

? ?

2, 0 .

?

(1)若椭圆 C 上一动点 M 1 满足 M 1 F1 ? M 1 F2 ? 4 ,求椭圆 C 及其“伴随圆”的方程; (2)在(1)的条件下,过点 P ? 0, t ?? t ? 0 ? 作直线 l 与椭圆 C 只有一个交点,且截椭圆 C 的“伴随 圆”所得弦长为 2 3 ,求 P 点的坐标; (3)已知 m ? n ? ?

????? ?

??????

cos ? 3 , mn ? ? ? m ? n,? ? ? 0, ? ? ? ,是否存在 a,b,使椭圆 C 的“伴随圆” sin ? sin ?
2

上的点到过两点 m, m

?

? , ? n, n ? 的直线的最短距离 d
2

min

? a 2 ? b 2 ? b .若存在,求出 a,b 的值;

若不存在,请说明理由.

23. (本题满分 18 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 5 分,第(3)小题 9 分) 称满足以下两个条件的有穷数列 a1 , a2 ,? , an 为 n ? n ? 2,3, 4,?? 阶“期待数列”: ① a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? 0 ;② a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? 1. (1)若等比数列 ?an ? 为 2k ? k ? N *? 阶“期待数列”,求公比 q 及 ?an ? 的通项公式; (2)若一个等差数列 ?an ? 既是 2k ? k ? N *? 阶“期待数列”又是递增数列,求该数列的通项公式; (3)记 n 阶“期待数列” ? ai ? 的前 k 项和为 Sk ? k ? 1, 2,3,?, n ? : (i)求证: S k ?

1 ; 2 1 ,试问数列 ? S k ? 能否为 n 阶“期待数列”?若能,求 2

(ii)若存在 m ? ?1, 2,3,? , n? 使 S m ? 出所有这样的数列;若不能,请说明理由.


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