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高考圆锥曲线大题专练


高考压轴大题突破练
1.已知椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的半焦距为 c,原点 O 到经过两点(c,0),(0,b)的直线 1 的距离为 c 2 (1)求椭圆 E 的离心率; 5 2 2 (2)如图,AB 是圆 M:(x+2) +(y-1) = 的一条直径,若椭圆 E 经过 2

x2 y2 a b

A,B 两点,求椭圆

E 的方程.
2.已知椭圆 C 的中心为坐标原点 O,一个长轴端点为(0,2),短轴端点和焦点所组成的四边 → → 形为正方形,直线 l 与 y 轴交于点 P(0,m),与椭圆 C 交于相异两点 A,B,且AP=2PB. (1)求椭圆方程;(2)求 m 的取值范围. 3.已知抛物线 C:y =4x,点 M(m,0)在 x 轴的正半轴上,过点 M 的直线 l 与抛物线 C 相交于
2

A,B 两点,O 为坐标原点.
(1)若 m=1,且直线 l 的斜率为 1,求以 AB 为直径的圆的方程; 1 1 (2)是否存在定点 M,使得不论直线 l 绕点 M 如何转动, 2+ 2恒为定值? |AM| |BM| 4.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C:y= 与直线 l:y=kx+a(a>0)交于 M,N 两点, 4 (1)当 k=0 时,分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程; (2)y 轴上是否存在点 P,使得当 k 变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由. 5.已知圆 F1:(x+1) +y =16 及点 F2(1,0),在圆 F1 任取一点 M,连接 MF2 并延长交圆 F1 于点
2 2

x2

N,连接 F1N,过 F2 作 F2P∥MF1 交 NF1 于 P,如图所示.

(1)求点 P 的轨迹方程; 1 1 (2)从 F2 点引一条直线 l 交轨迹 P 于 A, B 两点, 变化直线 l, 试探究 + 是否为定值. |F2A| |F2B| 6.已知椭圆 C 的中心在坐标原点,右焦点为 F( 7,0),A,B 是椭圆 C 的左、右顶点,D 是 椭圆 C 上异于 A,B 的动点,且△ADB 面积的最大值为 12.
1

(1)求椭圆 C 的方程; (2)求证:当点 P(x0,y0)在椭圆 C 上运动时,直线 l:x0x+y0y=2 与圆 O:x +y =1 恒有两 个交点,并求直线 l 被圆 O 所截得的弦长 L 的取值范围. 7.已知抛物线 C:y =2px (p>0),点 A,B 在抛物线 C 上. (1)若直线 AB 过点(2p,0),且|AB|=4p,求过 A,B,O(O 为坐标原点)三点的圆的方程; π (2)设直线 OA,OB 的倾斜角分别为 α ,β ,且 α +β = ,问直线 AB 是否会过某一定点? 4 若是,求出这一定点的坐标;若不是,请说明理由.
2 2 2

x2 y2 2 8.已知椭圆a2+b2=1 (a>b≥1)的离心率 e= 2 ,右焦点到直线 2ax+by- 2=0 的距离为
2 . 3 (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知椭圆 C 的方程与直线 x-y+m=0 交于不同的两点 M,N,且线段 MN 的中点不在圆 x +y =1 内,求 m 的取值范围. 9.在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C: 2+ 2=1 (a>b>0)的左焦点为 F1(-1,0),且点
2 2

x2 y2 a b

P?

? 6 1? , ?在椭圆 C 上. ? 2 2?

(1)求椭圆 C 的方程; (2)若过顶点 A(- 2,0)的直线 l1 交 y 轴于点 Q,交曲线 C 于点 R,过坐标原点 O 作直线 l2, 使得 l2∥l1,且 l2 交曲线 C 于点 S,证明:|AQ|, 2|OS|,|AR|成等比数列.

x2 y2 10 如图所示,椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的上、下顶点分别为 A,B,已知点 B 在直线 l:y=-1 a b
上,且椭圆的离心率 e= 3 . 2

(1)求椭圆的标准方程; (2)设 P 是椭圆上异于 A,B 的任意一点,PQ⊥y 轴,Q 为垂足,M 为线段 PQ 的中点,直线 AM 交直线 l 于点 C,N 为线段 BC 的中点,求证:OM⊥MN. 11.已知椭圆 C: 2+ 2=1 (a>b>0)的两个焦点分别为 F1(- 2,0),F2( 2,0),点 M(1,0)
2

x2 y2 a b

与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直. (1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 M(1,0)的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,设点 N(3,2),记直线 AN,BN 的斜率分 别为 k1,k2,求证:k1+k2 为定值. 12.已知双曲线 M: 2- 2=1(a>0,b>0)的上焦点为 F,上顶点为 A,B 为虚轴的端点,离心 2 3 3 率 e= ,且 S△ABF=1- .抛物线 N 的顶点在坐标原点,焦点为 F. 3 2 (1)求双曲线 M 和抛物线 N 的方程; (2)设动直线 l 与抛物线 N 相切于点 P, 与抛物线的准线相交于点 Q, 则以 PQ 为直径的圆是否 恒过 y 轴上的一个定点?如果是,试求出该点的坐标,如果不是,请说明理由. 13.如图,椭圆 E:错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1(a>b>0)的左焦点为 F1,右 焦点为 F2,离心率 e=错误!未找到引用源。.过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点,且△ABF2 的周长 为 8.

y2 x2 a b

(1)求椭圆 E 的方程; (2)设动直线 l:y=kx+m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P,且与直线 x=4 相交于点 Q.试探究:在 坐标平面内是否存在点 M,使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在, 说明理由. 14.已知椭圆 C:错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1(a>b>0)的离心率 e=错误! 未找到引用源。,短轴右端点为 A,P(1,0)为线段 OA 的中点.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 P 任作一条直线与椭圆 C 相交于两点 M,N,试问在 x 轴上是否存在定点 Q,使得∠MQP= ∠NQP,若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,说明理由. 15.已知椭圆 C:错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1(a>错误!未找到引用源。) 2 2 的右焦点 F 在圆 D:(x-2) +y =1 上,直线 l:x=my+3(m≠0)交椭圆于 M,N 两点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设点 N 关于 x 轴的对称点为 N1,且直线 N1M 与 x 轴交于点 P,试问△PMN 的面积是否存在最 大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.

3

16.已知点 A (0,-2) ,椭圆 E :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , F 是椭圆 E 的右 2 a b 2

焦点,直线 AF 的斜率为 (Ⅰ)求 E 的方程;

2 3 , O 为坐标原点. 3

(Ⅱ)设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P, Q 两点,当△ OPQ 的面积最大时,求 l 的方程.

x2 y 2 17.设 F1 , F2 分别是椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点,M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂 a b
直,直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N. (Ⅰ)若直线 MN 的斜率为

3 ,求 C 的离心率; 4

(Ⅱ)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且 | MN |? 5 | F 1 N | ,求 a , b .

18.平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆 M:

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)右焦点的直线 x+y-错误!未 a 2 b2
1 . 2

找到引用源。=0 交 M 于 A,B 两点,P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为 (Ⅰ)求 M 的方程;

(Ⅱ)C,D 为 M 上的两点,若四边形 ACBD 的对角线 CD⊥AB,求四边形 ACBD 面积的最 大值.
4

19.设抛物线 C :x2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点为 F , 准线为 l ,A 为 C 上一点, 已知以 F 为圆心,

FA 为半径的圆 F 交 l 于 B, D 两点.
? (Ⅰ)若 ?BFD ? 90 ,△ ABD 的面积为 4 2 ,求 p 的值及圆 F 的方程;

(Ⅱ)若 A, B, F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点,求坐 标原点到 m , n 距离的比值.

5

高考压轴大题突破练答案精析 1.解 (1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为 bx+cy-bc=0, 则原点 O 到该直线的距离 d=

bc bc = , 2 2 b +c a

1 c 3 2 2 由 d= c,得 a=2b=2 a -c ,解得离心率 = . 2 a 2 (2)方法一 由(1)知,椭圆 E 的方程为 x +4y =4b .① 依题意,圆心 M(-2,1)是线段 AB 的中点,且|AB|= 10. 易知,AB 与 x 轴不垂直,设其方程为 y=k(x+2)+1, 代入①得(1+4k )x +8k(2k+1)x+4(2k+1) -4b =0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 8k?2k+1? 则 x1+x2=- , 2 1+4k
2 2 2 2 2 2 2

x1x2=

4?2k+1? -4b , 2 1+4k

2

2

8k?2k+1? 由 x1+x2=-4,得- =-4, 2 1+4k 1 解得 k= , 2 从而 x1x2=8-2b . 于是|AB|= =
2

?1?2 1+? ? |x1-x2| ?2?

5 2 2 ?x1+x2? -4x1x2= 10?b -2?, 2
2 2

由|AB|= 10,得 10?b -2?= 10,解得 b =3, 故椭圆 E 的方程为 + =1. 12 3 方法二 由(1)知,椭圆 E 的方程为 x +4y =4b ,② 依题意,点 A,B 关于圆心 M(-2,1)对称,且|AB|= 10,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+ 4y1=4b ,x2+4y2=4b , 两式相减并结合 x1+x2=-4,y1+y2=2, 得-4(x1-x2)+8(y1-y2)=0, 易知 AB 与 x 轴不垂直,则 x1≠x2, 所以 AB 的斜率 kAB=
2 2 2 2 2 2 2 2 2

x2

y2

y1-y2 1 = , x1-x2 2

1 因此直线 AB 的方程为 y= (x+2)+1, 2
6

代入②得 x +4x+8-2b =0, 所以 x1+x2=-4,x1x2=8-2b , 于是|AB|= =
2

2

2

?1?2 1+? ? |x1-x2| ?2?

5 2 ?x1+x2? -4x1x2 2
2

= 10?b -2?. 由|AB|= 10,得 10?b -2?= 10,解得 b =3, 故椭圆 E 的方程为 + =1. 12 3 2.解 (1)由题意知椭圆的焦点在 y 轴上, 设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0), 由题意知 a=2,b=c,又 a =b +c ,则 b= 2, 所以椭圆方程为 + =1. 4 2 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2), 由题意知,直线 l 的斜率存在, 设其方程为 y=kx+m,与椭圆方程联立即? 则(2+k )x +2mkx+m -4=0, Δ =(2mk) -4(2+k )(m -4)>0, 2mk ? ?x +x =-2+k , 由根与系数的关系知? m -4 ? ?x x =2+k .
1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

x2

y2

y2 x2 a b

y2 x2

?y +2x =4, ? ? ?y=kx+m,

2

2

→ → 又AP=2PB,即有(-x1,m-y1)=2(x2,y2-m). ∴-x1=2x2,∴?
? ?x1+x2=-x2, ?x1x2=-2x2. ?
2

m2-4 ? 2mk 2?2, ∴ ? 2=-2? 2+k ?2+k ?
整理得(9m -4)k =8-2m , 8-2m 2 2 又 9m -4=0 时不成立,∴k = 2 >0, 9m -4
2 2 2 2

7

4 2 得 <m <4,此时 Δ >0. 9 2? ?2 ? ? ∴m 的取值范围为?-2,- ?∪? ,2?. 3? ?3 ? ? 3.解 (1)当 m=1 时,M(1,0),此时点 M 为抛物线 C 的焦点.直线 l 的方程为 y=x-1,设
? ?y =4x, A(x1,y1),B(x2,y2),联立? ?y=x-1, ?
2

消去 y,得 x -6x+1=0,所以 x1+x2=6,y1+y2

2

=x1+x2-2=4,所以圆心坐标为(3,2). 又|AB|=x1+x2+2=8,所以圆的半径为 4, 所以圆的方程为(x-3) +(y-2) =16. (2)由题意可设直线 l 的方程为 x=ky+m,则直线 l 的方程与抛物线 C:y =4x 联立,消去 x 得,y -4ky-4m=0, 则 y1y2=-4m,y1+y2=4k, 1 1 1 1 2+ 2= 2 2+ 2 2 |AM| |BM| ?x1-m? +y1 ?x2-m? +y2 = = 若 1 1 y1+y2 2 2+ 2 2= 2 2 2 ?k +1?y1 ?k +1?y2 ?k +1?y1y2 ?y1+y2? -2y1y2 16k +8m 2k +m = 2 , 2 2 2 2= 2 2 ?k +1?y1y2 ?k +1?·16m 2m ?k +1? 1 1 1 1 + 2对任意 k∈R 恒为定值,则 m=2,此时 2+ 2= . |AM| |BM| |AM| |BM| 4
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1

所以存在定点 M(2,0),满足题意. 4.解 (1)由题设可得 M(2 a,a),

N(-2 a,a),
或 M(-2 a,a),N(2 a,a). 又 y′= ,故 y= 在 x=2 a处的导数值为 a,C 在点(2 a,a)处的切线方程为 y-a= a 2 4 (x-2 a), 即 ax-y-a=0.

x

x2

x2 y= 在 x=-2 a处的导数值为- a,C 在点(-2 a,a)处的切线方程为
4

y-a=- a(x+2 a),
即 ax+y+a=0. 故所求切线方程为 ax-y-a=0 和 ax+y+a=0. (2)存在符合题意的点,证明如下:
8

设 P(0,b)为符合题意的点,M(x1,y1),N(x2,y2),直线 PM,PN 的斜率分别为 k1,k2. 将 y=kx+a 代入 C 的方程得 x -4kx-4a=0. 故 x1+x2=4k,x1x2=-4a. 从而 k1+k2= =
2

y1-b y2-b + x1 x2 x1x2 a

2kx1x2+?a-b??x1+x2? k?a+b? = .

当 b=-a 时,有 k1+k2=0, 则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补,故∠OPM=∠OPN,所以点 P(0,-a)符合题意. 5.解 (1)∵F2P∥MF1, ∴

PF2 PN PF2 4-PF1 = ? = ? PF1+PF2=4>F1F2=2, MF1 F1N 4 4 x2 y2

∴点 P 的轨迹是以 F1,F2 为焦点,长轴长 2a=4 的椭圆,其轨迹方程为 + =1. 4 3 (2)①若 lAB 的斜率存在时,设 lAB 为:y=k(x-1), 联立 + =1,可得:(3+4k )x -8k x+4k -12=0, 4 3 不妨设 A(x1,y1),B(x2,y2) (x2<1<x1),

x2 y2

2

2

2

2

? ? 则? 4k -12 ? ?x x = 3+4k ,
2 1 2 2

8k x1+x2= 2, 3+4k

2



1 1 1 1 + = + 2 2 |F2A| |F2B| 1+k |x1-1| 1+k |x2-1|



? 1 + 1 ? ? ? 1+k ?x1-1 1-x2?
1
2



? 1-x2+x1-1 ? ? ? 1+k ??x1-1??1-x2??
1
2



x1-x2 ? ? ??x1+x2?-x1·x2-1? ? ? 1+k
1
2



? ?x1+x2?2-4x1·x2? ? 2? 1+k ??x1+x2?-x1·x2-1 ?
1



? 1 ? 1+k ? ?
2

8k 4k -12 2- 2 -1 3+4k 3+4k

? 8k 2?2-4×4k -12 ? ?3+4k ? 2 3+4k ? ? ?
2 2 2 2

? ?
9



?12 1+k ? 1 ? 3+4k ? 12 4 = = . 9 1+k ? ? 9 3 ? 3+4k ?
2 2 2 2

? 3? ②若 lAB 的斜率不存在时,此时 lAB:x=1,则 A?1, ?, ? 2?
B?1,- ?,此时 2

? ?

3?

?

1 1 2 2 4 + = + = . |F2A| |F2B| 3 3 3 1 4 + 为定值 . |F2A| |F2B| 3 1

综上可知,变化直线 l,则

6.解 (1)设椭圆的方程为 2+ 2=1 (a>b>0). 1 由已知可得(S△ADB)max= ·2a·b=ab=12.① 2 ∴F( 7,0)为椭圆右焦点,∴a =b +7.② 由①②可得 a=4,b=3,∴椭圆 C 的方程为 + =1. 16 9 (2)∵P(x0,y0)是椭圆上的动点,
2 2

x2 y2 a b

x2

y2

x0 y0 9x0 2 ∴ + =1,∴y0=9- . 16 9 16
∴圆心 O 到直线 l:x0x+y0y=2 的距离

2

2

2

d=

2

x +y

2 0

2 0



2

x2 x2 0+9- 0

9 16



2 2 <1 (0≤x0≤16). 7 2 x0+9 16
2 2

∴直线 l:x0x+y0y=2 与圆 O:x +y =1 恒有两个交点.

L=2 r2-d2=2

1-

4

7 2 x0+9 16

7 2 2 ∵0≤x0≤16,∴9≤ x0+9≤16, 16 ∴ 2 5 ≤L≤ 3. 3
2

7.解 (1)易知直线 x=2p 与抛物线 y =2px 的两个交点的坐标分别是 M(2p,2p),N(2p,- 2p),弦长|MN|=4p (p>0).又|AB|=4p,且直线 AB 过点(2p,0),所以△AOB 是直角三角形, 所以过 A,B,O 三点的圆的方程是(x-2p) +y =4p .
2 2 2

10

(2)设点 A? ,y1?,B? ,y2?,直线 AB 的方程为 x=my+b, ?2p ? ?2p ? 设直线与抛物线相交. 由方程组?
? ?x=my+b, ?y =2px, ?
2 2

? y1

2

?

? y2

2

?

消去 x,得 y -2mpy-2pb=0, 所以 y1+y2=2mp,y1y2=-2pb. 故 tan π tan α +tan β =tan(α +β )= 4 1-tan α tan β

y1 y2 + x1 x2 x2y1+x1y2 2p?y1+y2? = = = , y1y2 x1x2-y1y2 y1y2-4p2 1- x1x2
2p·2mp 2mp 即 1= , 2=- -2pb-4p b+2p 所以 b=-2p-2mp, 所以直线 AB 的方程为 x=my-2p-2mp, 即 x+2p=m(y-2p),所以直线 AB 过定点(-2p,2p). 8.解 (1)由题意,知 e= = 所以 e = 2=
2 2 2

c a

2 , 2

c2 a2-b2 1 = , a a2 2

所以 a =2b .所以 a= 2c= 2b. |2ac- 2| 2 因为右焦点(c,0),则 = , 2 2 3 4a +b 所以 b=1,所以 a =2,b =1. 故椭圆 C 的方程为 +y =1. 2
2 2

x2

2

x-y+m=0, ? ? 2 (2)联立方程?x 2 +y =1, ? ?2
消去 y,可得 3x +4mx+2m -2=0, 则 Δ =16m -12(2m -2)>0,解得- 3<m< 3. -4m 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1+x2= , 3
2 2 2 2

y1+y2=x1+x2+2m=

-4m 2m +2m= , 3 3
11

? 2m 1 ? ? 2m?2 ?m?2 2 2 所以 MN 的中点坐标为?- , m?,又 MN 的中点不在圆 x +y =1 内,所以?- ? +? ? ≥1, ? 3 3 ? ? 3 ? ?3?
3 5 3 5 解得 m≥ 或 m≤- . 5 5 9.解 (1)因为椭圆 C 的左焦点为 F1(-1,0),所以 c=1, 将点 P?
4

x y ? 6 1? , ?代入椭圆 2+ 2=1, a b ? 2 2?
2 2 2

得 4b -3b -1=0,即 b=1, 所以 a =b +c =2, 所以椭圆 C 的方程为 +y =1. 2 (2)由题意可知直线 l1 和 l2 的斜率都存在且相同, 设直线 l1:y=k(x+ 2),则 Q(0, 2k), 又直线 OS:y=kx,代入 +y =1, 2 化简得(1+2k )x =2, 所以|OS|= 1+k |xs-0|, 从而 2|OS| =2( 1+k |xs-0|) = 将 y=k(x+ 2)代入 +y =1, 2 化简得(1+2k )x +4 2k x+4k -2=0, 2 2+2k 2 所以|AR|= 1+k |xA-xR|= 2 , 1+2k 又有|AQ|= 2+2k , 4+4k 2 所以|AQ|·|AR|= 2=2|OS| , 1+2k 所以|AQ|, 2|OS|,|AR|成等比数列. 10.(1)解 依题意,得 b=1. 因为 e= =
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

x2

2

x2

2

4+4k 2. 1+2k

2

x2

2

c a

3 2 2 2 2 ,又 a -c =b ,所以 a =4. 2

所以椭圆的标准方程为 +y =1. 4 (2)证明 设点 P 的坐标为(x0,y0),x0≠0, 因为 P 是椭圆上异于 A,B 的任意一点, 所以 +y0=1. 4
12

x2

2

x2 0

2

因为 PQ⊥y 轴,Q 为垂足,所以点 Q 坐标为(0,y0).

? ? 因为 M 为线段 PQ 的中点,所以 M? ,y0?. ?2 ?
x0
2?y0-1? 又点 A 的坐标为(0,1),可得直线 AM 的方程为 y= x+1.

x0

? ,-1? 因为 x0≠0,所以 y0≠1,令 y=-1,得 C? ?. ?1-y0 ?
x0
因为点 B 的坐标为(0,-1),点 N 为线段 BC 的中点, 所以 N?

x0 ? ,-1? ?. ?2?1-y0? ?

x0 → ?x0 ,y0+1? 所以向量NM=? - ?. ? 2 2?1-y0? ?
→ ?x0 ? 又OM=? ,y0?, ?2 ?

x0 → → x0?x0 ?+y (y +1) 所以OM·NM= ? - 0 0 2 2 ?1- y0?? 2? ?
= - +y0+y0 4 4?1-y0?

x2 0

x2 0

2

x0 ?x0 2? =? +y0?- +y0 ?4 ? 4?1-y0?
=1-(1+y0)+y0=0. 所以 OM⊥MN. 11.(1)解 依题意,得 c= 2,所以 a -b =2, 由点 M(1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直,得 b=|OM|=1, 所以 a= 3,故椭圆 C 的方程为 +y =1. 3
2 2

2

2

x2

2

x=1, ? ? 2 (2)证明 当直线 l 的斜率不存在时,由?x 2 +y =1, ? ?3
解得 x=1,y=± 设 A?1, 6 . 3

? ?

6? ? 6? ?,B?1,- ?, 3? ? 3?

6 6 2- 2+ 3 3 则 k1+k2= + =2 为定值. 2 2 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=k(x-1).

13

将 y=k(x-1)代入 +y =1 化简整理, 3 得(3k +1)x -6k x+3k -3=0, 依题意,直线 l 与椭圆 C 必相交于两点, 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 6k 3k -3 则 x1+x2= 2 ,x1x2= 2 . 3k +1 3k +1 又 y1=k(x1-1),y2=k(x2-1), 2-y1 2-y2 所以 k1+k2= + 3-x1 3-x2 = = = ?2-y1??3-x2?+?2-y2??3-x1? ?3-x1??3-x2? [2-k?x1-1?]?3-x2?+[2-k?x2-1?]?3-x1? 9-3?x1+x2?+x1x2 12-2?x1+x2?+k[2x1x2-4?x1+x2?+6] 9-3?x1+x2?+x1x2 12-2× = 6k 3k -3 6k +k?2× 2 -4× 2 +6? 2 3k +1 3k +1 3k +1 2 2 6k 3k -3 9-3× 2 + 2 3k +1 3k +1
2 2 2 2 2 2 2 2 2

x2

2



12?2k +1? =2. 2 6?2k +1?

2

综上,得 k1+k2=2 为定值. 12.解 (1)在双曲线中,c= a +b , 2 3 a +b 2 3 由 e= ,得 = , 3 a 3 解得 a= 3b,故 c=2b. 1 1 所以 S△ABF= (c-a)×b= (2b- 3b)×b 2 2 =1- 3 ,解得 b=1. 2
2 2 2 2

所以 a= 3,c=2,其上焦点为 F(0,2). 所以双曲线 M 的方程为 -x =1, 3 抛物线 N 的方程为 x =8y. 1 2 (2)由(1)知抛物线 N 的方程为 y= x , 8
2

y2

2

14

1 故 y′= x,抛物线的准线为 y=-2. 4 1 2 设 P(x0,y0),则 x0≠0,y0= x0, 8 1 2 1 且直线 l 的方程为 y- x0= x0(x-x0), 8 4 1 1 2 即 y= x0x- x0. 4 8 1 1 ? ?y= x0x- x2 0, 4 8 由? ? ?y=-2, 所以 Q(

x0-16 ? ?x= , 2x0 得? ? ?y=-2.

2

x2 0-16 ,-2). 2x0

假设存在点 R(0,y1),使得以 PQ 为直径的圆恒过该点, 1 2 → → 也就是RP·RQ=0 对于满足 y0= x0(x0≠0)的 x0,y0 恒成立. 8

x0-16 → → 由于RP=(x0,y0-y1),RQ=( ,-2-y1), 2x0
→ → 由RP·RQ=0, 得 x0· 整理得
2

2

x2 0-16 +(y0-y1)(-2-y1)=0, 2x0
2 -2y0-y0y1+2y1+y1=0,
2

x2 0-16

即(y1+2y1-8)+(2-y1)y0=0,(*) 1 2 由于(*)式对满足 y0= x0(x0≠0)的 x0,y0 恒成立, 8
?2-y1=0, ? 所以? 2 ? ?y1+2y1-8=0,

解得 y1=2.

故以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上的定点,定点坐标为(0,2). 13 解:(1)因为|AB|+|AF2|+|BF2|=8, 即|AF1|+|F1B|+|AF2|+|BF2|=8, 又|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a, 所以 4a=8,a=2. 又因为 e=错误!未找到引用源。,即错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,所以 c=1, 所以 b=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. 故椭圆 E 的方程是错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1. (2)法一 由错误!未找到引用源。 2 2 2 得(4k +3)x +8kmx+4m -12=0. 因为动直线 l 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P(x0,y0),
15

所以 m≠0 且Δ =0, 2 2 2 2 即 64k m -4(4k +3)(4m -12)=0, 2 2 化简得 4k -m +3=0.(*) 此时 x0=-错误!未找到引用源。=-错误!未找到引用源。,y0=kx0+m=错误!未找到引用源。, 所以 P(-错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。). 由错误!未找到引用源。,得 Q(4,4k+m). 假设平面内存在定点 M 满足条件, 由图形对称性知,点 M 必在 x 轴上. 设 M(x1,0),则错误!未找到引用源。·错误!未找到引用源。=0 对满足(*)式的 m,k 恒成立. 因为错误!未找到引用源。=(-错误!未找到引用源。-x1,错误!未找到引用源。),错误!未 找到引用源。=(4-x1,4k+m), 则由错误!未找到引用源。·错误!未找到引用源。=0, 得-错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。-4x1+错误!未找到引用源。+错误!未找 到引用源。+3=0, 整理得(4x1-4)错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。-4x1+3=0.(**) 由于(**)式对满足(*)式的 m,k 恒成立, 所以错误!未找到引用源。解得 x1=1. 故存在定点 M(1,0),使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M. 2 2 2 法二 由错误!未找到引用源。得(4k +3)x +8kmx+4m -12=0. 因为动直线 l 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P(x0,y0), 所以 m≠0 且Δ =0, 2 2 2 2 即 64k m -4(4k +3)(4m -12)=0, 2 2 化简得 4k -m +3=0.(*) 此时 x0=-错误!未找到引用源。=-错误!未找到引用源。, y0=kx0+m=错误!未找到引用源。, 所以 P(-错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。). 由错误!未找到引用源。得 Q(4,4k+m). 假设平面内存在定点 M 满足条件,由图形对称性知,点 M 必在 x 轴上. 取 k=0,m=错误!未找到引用源。,此时 P(0,错误!未找到引用源。),Q(4,错误!未找到引用 2 2 源。 ),以 PQ 为直径的圆为(x-2) +(y-错误! 未找到引用源。 ) =4,交 x 轴于点 M1(1,0),M2(3,0); 取 k=-错误!未找到引用源。,m=2,此时 P(1,错误!未找到引用源。),Q(4,0),以 PQ 为直径 2 2 的圆为(x-错误!未找到引用源。) +(y-错误!未找到引用源。) =错误!未找到引用源。,交 x 轴于点 M3(1,0), M4(4,0).所以若符合条件的点 M 存在, 则 M 的坐标必为(1,0). 以下证明 M(1,0)就是满足条件的点: 因为 M 的坐标为(1,0), 所以错误!未找到引用源。=(-错误!未找到引用源。-1,错误!未找到引用源。),错误!未 找到引用源。=(3,4k+m), 从而错误!未找到引用源。·错误!未找到引用源。=-错误!未找到引用源。-3+错误!未 找到引用源。+3=0, 故恒有错误!未找到引用源。⊥错误!未找到引用源。, 即存在定点 M(1,0),使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M.

16

14 解:(1)由已知,b=2, 又 e=错误!未找到引用源。, 即错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,解得 a=2 错误!未找到引用源。, 所以椭圆方程为错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1. (2)存在.证明如下: 假设存在点 Q(x0,0)满足题设条件. 当 MN⊥x 轴时,由椭圆的对称性可知恒有∠MQP=∠NQP,即 x0∈R; 当 MN 与 x 轴不垂直时, 设 MN 所在直线的方程为 y=k(x-1), 2 2 2 2 代入椭圆方程化简得(k +3)x -2k x+k -12=0, 设 M(x1,y1),N(x2,y2), 则 x1+x2=错误!未找到引用源。,x1x2=错误!未找到引用源。. kMQ+kNQ=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。, (x1-1)(x2-x0)+(x2-1)(x1-x0) =2x1x2-(1+x0)(x1+x2)+2x0 =错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。+2x0, 若∠MQP=∠NQP,则 kMQ+kNQ=0, 即 k[错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。+2x0]=0, 整理得 k(x0-4)=0, ∵k∈R,∴x0=4,∴Q(4,0). 综上,在 x 轴上存在定点 Q(4,0),使得∠MQP=∠NQP. 2 2 15 解:(1)由题设知,圆 D:(x-2) +y =1 的圆心坐标是(2,0),半径是 1, 所以圆 D 与 x 轴交于两点 (3,0),(1,0). 所以在椭圆中 c=3 或 c=1, 2 2 2 又 b =3,所以 a =12 或 a =4(舍去,因为 a>错误!未找到引用源。). 于是,椭圆 C 的方程为错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1. (2)因为 M(x1,y1),N(x2,y2),N1(x2,-y2). 2 2 由错误!未找到引用源。消去 x 得(m +4)y +6my-3=0, 所以 y1+y2=-错误!未找到引用源。,y1y2=-错误!未找到引用源。. 因为直线 N1M 的方程为错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, 令 y=0, 得 x=错误!未找到引用源。+x1=错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。=4, 所以点 P(4,0). S△PMN=错误!未找到引用源。|FP|·|y1-y2| =错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。·错误!未找到引用源。 =2 错误!未找到引用源。 =2 错误!未找到引用源。·错误!未找到引用源。≤2 错误!未找到引用源。·错误!未找 到引用源。=1.
17

当且仅当 m +1=3 即 m=±错误!未找到引用源。时等号成立. 故△PMN 的面积存在最大值,且这个最大值为 1.

2

16 解: (Ⅰ)设 F (c, 0) ,由条件知

2 2 3 ,得 c ? 3 , ? c 3



c 3 2 2 2 ,所以 a ? 2 , b ? a ? c ? 1 , ? a 2
x2 ? y 2 ? 1; 4

故 E 的方程是

(Ⅱ)当直线 l ? x 轴时不合题意,故设 l : y ? kx ? 2 , P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) , 将 y ? kx ? 2 代入

x2 ? y 2 ? 1得 (4k 2 ? 1) x2 ?16kx ? 12 ? 0 , 4
2

当△ ? 16(4k 2 ? 3) ? 0 ,即 k ?

3 8k ? 2 4k 2 ? 3 时, x1 , x2 ? , 4 4k 2 ? 1

从而 | PQ |? 1 ? k | x1 ? x2 |?
2

4 1 ? k 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 1
2 1? k 2


又点 O 到直线 PQ 的距离 d ?

所以△ OPQ 的面积 S ?

1 4 4k 2 ? 3 , d | PQ |? 2 4k 2 ? 1

令 4k 2 ? 3 ? t ,则 t ? 0 , S ?

4t 4 , ? t ?4 t? 4 t
2

因为 t ?

4 7 ? 4 ,当且仅当 t ? 2 , k ? ? 时取等号,且满足△ ? 0 , t 2

所以当△ OPQ 的面积最大时, l 的方程为 y ? 【注】求根公式比韦达定理简单:

7 7 x?2 或 y ? ? x ? 2. 2 2

PQ ?

x ?x ? ?1 ? k ? ? ??
2 1 2

2

? 4 x1 x2 ? ?

?

?? 16k ?2 48 ? 4 1 ? k 2 4k 2 ? 3 2 1 ? k ? ? ? ?? ?? ? 2 2 4k 2 ? 1 4 k ? 1 4 k ? 1 ? ? ? ? ? ?
18

17 解: (Ⅰ)根据 c ? a2 ? b2 及题设知 M (c, 将 b ? a ? c 代入 2b ? 3ac ,解得
2 2 2 2

b2 ) , 2b2 ? 3ac , a

c c 1 ? , ? ?2 (舍去) , a a 2

故 C 的离心率为

1 ; 2

(Ⅱ)由题意,原点 O 为 F1F2 的中点, MF2∥y 轴, 所以直线 MF2 与 y 轴的交点 D(0, 2) 是线段 MF2 的中点,



b2 ? 4 ,即 b2 ? 4a ,① a

由 | MN |? 5 | F 1 N | ,得 DF 1 ? 2F 1N ,

????

???? ?

3 ? ?2(?c ? x1 ) ? c ? x1 ? ? c 设 N ( x1 , y1 ) ,则 ? ,即 ? 2 , ? 2 y ? 2 ? 1 ? ? y1 ? ?1
代入 C 的方程,得

9c 2 1 ? ? 1,② 4a 2 b 2 9( a 2 ? 4 a) 1 ? ? 1, 4a 2 4a

将①及 c ? a2 ? b2 代入②,得

2 解得 a ? 7 , b ? 4a ? 28 ,故 a ? 7 , b ? 2 7 .

18.解:(Ⅰ)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , P( x0 , y0 ) ,则

x12 y12 x2 2 y2 2 y ? y2 ? ? 1 ? 2 ?1, , , 1 ? ?1 , 2 2 2 a b a b x1 ? x2
由此可得

b2 ( x1 ? x2 ) y ?y ? ? 1 2 ? 1, 2 a ( y1 ? y2 ) x1 ? x2
y0 1 ? ,所以 a 2 ? 2b2 , x0 2
2 2

因为 x1 ? x2 ? 2 x0 , y1 ? y2 ? 2 y0 ,

又由题意知,M 的右焦点是 ( 3,0) ,故 a ? b ? 3 , 因此 a ? 6 , b ? 3 ,所以 M 的方程是
2 2

x2 y 2 ? ? 1; 6 3
19

? 4 3 ?x ? y ? 3 ? 0 x? ? 4 6 ? ?x ? 0 ? 3 ,或 ? (Ⅱ)由 ? x 2 y 2 ,解得 ? ,因此 | AB |? , ? 3 ? ?1 ?y ? 3 ? ? ?y ? ? 3 3 ?6 ? 3 ?
由题意可设直线 CD 方程是 y ? x ? n(?

5 3 ? n ? 3) ,设 C ( x3 , y3 ) , D( x4 , y4 ) , 3

?y ? x ? n ?2n ? 2(9 ? n2 ) ? 2 2 由 ? x2 y 2 ,得 3x ? 4nx ? 2n ? 6 ? 0 ,于是 x3 , x4 ? , 3 ? ? 1 ? 3 ?6

4 9 ? n2 所以 | CD |? 1 ? 1 | x3 ? x4 |? , 3
2

由已知四边形 ACBD 面积 S ?

1 8 6 | CD || AB |? 9 ? n2 , 2 9 8 6 , 3

当 n ? 0 时, S 取得最大值,最大值是

所以,四边形 ACBD 面积的最大值是

8 6 . 3

19 解: (Ⅰ)由已知可得△ BFD 是等腰直角三角形, BD ? 2 p , 圆 F 的半径 | FA |? 2 p ,点 A 到准线 l 的距离 d ? FA ? FB ? 2 p , 因为△ ABD 的面积为 4 2 ,所以

1 ? BD ? d ? 4 2 , 2

解得 p ? 2 ,或 p ? ?2 (舍去),所以 F (0,1) , 圆 F 的方程是 x ? ( y ? 1) ? 8 ;
2 2

(Ⅱ)因为 A, B, F 三点在同一直线 m 上,所以 ?ADB ? 90 ,
?

由抛物线定义 | AD |?| AF |?

1 3 | AB | ,所以 ?ABD ? 30? ,所以直线 m 的斜率是 ? , 2 3

当直线 m 的斜率是

3 3 x ? b ,代入 x2 ? 2 py 得 时,可设 n : y ? 3 3

x2 ?

3 px ? 2 pb ? 0 , 3
20

由于 n 与 C 只有一个公共点,故△=

p 4 2 p ? 8 pb ? 0 , b ? ? , 6 3

p 所以坐标原点到 m , n 距离的比值等于 2 ? 3 , |b|
当直线 m 的斜率是 ?

3 时,由图形的对称性可知,原点到 m , n 距离的比值为 3 . 3

21


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