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辽宁师大附中2016届高三上学期10月月考数学(理)试卷


2015—2016 学年上学期第一次模块考试 数学(理)
命题人:孙勇 校对人:田芳

第Ⅰ卷( 40 分)
一.选择题:(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。每题只有一个正确答案,将正确 答案的序号涂在答题卡上.) 1.设 U ={1,2,3,4,5} ,若 A ? B ={2}, (CU A) ? B ? {4} , (

CU A) ? (CU B) ? {1,5} 则下列结论正确的是 ( A. 3 ? A 且 3 ? B ) B. 3 ? A 且 3 ? B C. 3 ? A 且 3 ? B D. 3 ? A 且 3 ? B

2.已知命题 p : 对任意 x ? R ,总有 2 x ? 0 ; q :" x ? 1" 是 " x ? 2" 的充分不必要条件。则下 列命题为真命题的是( A. p ? q ) B. ?p ? ?q C. ?p ? q ) C.f(x)=|x| D. p ? ?q

3.下列函数中,与函数 y ? A.f(x)=log2x D.f(x)=2
x

1 x

有相同定义域的是(

B.f(x)=错误!未找到引用源。

1 4.如图,曲线 y=x2 和直线 x=0,x=1,y= ,所围成的图形(阴影部分)的面积 4 为( 2 A.3 ) 1 B.3 1 C.2 1 D.4
2? x 为( ( x ? 2) ? 2


5.定义两种运算: a ? b ? A.奇函数
2 2

a 2 ? b 2 , a ? b ? (a ? b) 2 ,则函数 f ( x) ?
C.奇函数且为偶函数
2 2

B.偶函数

D.非奇函数且非偶函数

6.已知 3 x ? 2 y ? 6 x, 则 u= x ? y ? 1的最大值是 ( A.

) D. 4

5 2

B. 3

C.

7 2

7.若函数

f ( x) ? log a x ? 1 在区间(?1,0)上有f (x)>0 ,则f (x)的递增区间是( )
B. (1,+ ?) C.( -?,-1) D.(-1,+ ?)

A.( -?,1)

8.若函数 f(x)= ?log ( ? x), x ? 0 ,若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范围是( 1

?log 2 x, x ? 0, ? ? ?
2

)

A.(-1,0)∪(0,1) C.(-1,0)∪(1,+∞)
2 4 6

B.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1)

9.已知函数 f(x)=-x -x -x ,x1,x2,x3∈R 且 x1+x2<0,x2+x3<0,x3+x1<0,则 f′(x1)+f′(x2)+ f′(x3)的值(f′(x)是 f(x)的导数)( A.一定小于零 B.等于零 ) C.一定大于零 D.正负均有可能

10. 设 函 数 f ( x) 是 定 义 在 (?? , 0) 上 的 可 导 函 数 , 其 导 函 数 为 f ?( x) , 且 有

2 f ( x) ? xf ?( x) ? x2 ,则不等式 ( x ? 2015) 2 f ( x ? 2015) ? 4 f (?2) ? 0 的解集为(
A. ? ??, ?2012 ?

)

0? B. ? ?2012,

C. ?? 2017,?? ?

D. ?? ?,?2017 ?

第Ⅱ卷(60 分)
二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
11. 直 线 ax ? by ? 2 ? 0 与 曲 线

y ? x 3 在 点 P(1,1) 处 的 切 线 互 相 垂 直 , 则

a =__________________ b
12.设函数 f ( x) ? ?
x ? 1 ?2 , ( x ? 0) ,则方程 f ( x) ? 的解集为 2 ? ? log 2 x , ( x ? 0)

.

13.函数 f ( x ) 满足: f ( a ? b) ? f ( a ) ? f (b) 且 f (1) ? 2 则

f 2 ?1? ? f ?2 ? f ? f ?1?

2

?2? ? f ?4? ? f ?3?

f

2

?3? ? f ?6? ? ? f 2 (1008) ? f (2016) f ?5? f (2015)

.

2 ? ?x -4x+6,x≥0, ? 14.设函数 f(x)= 若互不相等的实数 x1,x2,x3 满足 f(x1)=f(x2)=f(x3), ?3x+4,x<0, ?

则 x1+x2+x3 的取值范围为__________. 三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15. (本题满分 10 分)已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? (Ⅰ)求 a, b 的值; (Ⅱ)若对任意的 t ? R ,不等式 f (t ? 2t ) ? f (2t ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围
2 2

?2 x ? b 是奇函数。 2 x ?1 ? a

16. (本题满分 15 分)设函数 f ( x) ? ax ?

a ? 2 ln x. x

(Ⅰ)若 f ( x) 在 x ? 2 时有极值,求实数 a 的值和 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若 f ( x) 在定义域上是增函数,求实数 a 的取值范围.

17. (本题满分 15 分)已知函数 f ( x) 满足 f ( x) ? f ?(1)e x ?1 ? f (0) x ? (Ⅰ)求 f ( x) 的解析式及单调区间; (Ⅱ)若 f ( x) ?

1 2 x ; 2

1 2 x ? ax ? b ,求 (a ? 1)b 的最大值。 2

2015-2016 上学期第一次模块考试 高三数学(理)试题答案
一. 选择题(共 10 小题,每题 4 分,共 40 分)

BDADA
1 3

BCCCD
? ? ? 2 , 2? 2 ?
? 10 ? ,4 ? ? 3 ?

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11. ? 12. ?? 1, 13.4032 14. ?

三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15. (1)a=2,b=1 (2) f ( x) ? ?

? k ? 3t 2 ? 2t
16.

1 1 ? x 在R 上是减函数,f (t 2 ? 2t ) ? f (k ? 2t 2 ) 2 2 ?1 1 ?k ? ? 3

17.(1)∵ f ( x) ? f ?(1)e x ?1 ? f (0) x ?

1 2 x ,∴ f ?( x) ? f ?(1)e x ?1 ? f (0) ? x 。 2 1 ?1 令 x ? 1 得 , f (0) ? 1 。 ∴ f ( x) ? f ?(1)e x ?1 ? x ? x 2 。 ∴ f (0) ? f ?(1)e ? 1 , 得 2 1 f ?(1) ? e 。 ∴ f ( x) 的解析式为 f ( x) ? e x ? x ? x 2 。 2
设 g ( x) ? f ?( x) ? e ? 1 ? x ,则 g ?( x) ? e ? 1 ? 0 。∴ g ( x) 在 x ? R 上单调递增。
x x

又∵ f ?( x) ? 0 ? f ?(0) 时, x ? 0 , f ( x) 单调递增; f ?( x) ? 0 ? f ?(0) 时, x ? 0 , f ( x) 单调递减。∴ f ( x) 的单调区间为:单调递增区间为 (0, ??) ,单调递减区间为 (??, 0) 。 (2)∵ f ( x) ?
x

1 2 x ? ax ? b ,∴ e x ? (a ? 1) x ? b ? 0 。 2
x

令 h( x) ? e ? (a ? 1) x ? b 得 h?( x) ? e ? (a ? 1) 。

①当 a ? 1 ? 0 时, h?( x) ? 0 ,∴ h( x)

在 x ? R 上单调递增。但 x ? ?? 时, h( x) ? ?? 与 h( x) ? 0 矛盾②当 a ? 1 ? 0 时,由

h?( x) ? 0 得 x ? ln(a ? 1) ; 由 h?( x ) ? 0 得 x ? ln(a ? 1) 。 ∴ 当 x ? ln(a ? 1) 时 ,

h( x)min ? (a ? 1) ? (a ? 1) ln(a ? 1) ? b ? 0 ∴ (a ? 1)b ? (a ? 1) 2 ? (a ? 1) 2 ln(a ? 1) 。 令 F ( x) ? x 2 ? x 2 ln x( x ? 0) ;则 F ?( x) ? x(1 ? 2 ln x) 。

由 F ?( x) ? 0 得 0 ? x ? ∴当 a ?

e ;由 F ?( x) ? 0 得 x ? e 。 ∴当 x ? e 时, F ( x) max ?
e 。 2

e 2

e ? 1, b ? e /2 时, (a ? 1)b 的最大值为


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