nbhkdz.com冰点文库

高中物理竞赛教程:1.3《光的折射》


高考资源网(ks5u.com)

您身边的高考专家

§1.3 光的折射
1.3.1,多层介质折射 1.3.1,
如图:多层介质折射率分别为 n1 , n 2 , n3 则由折射定 律得: n1 sin i1 = n 2 sin i 2 = = n k sin ik

i1 i2

/>n1 i3 n2 n3 nR
图 1-3-1

1.3.2, 1.3.2,平面折射的视深
在水中深度为 h 处有一发光点 Q,作 OQ 垂直于水面,

求射出水面折射线的延长线与 OQ 交点 Q ′ 的深度 h′ 与入射角 i 的关系.
n= 4 3 ,由折射定律得

设水相对于空气的折射率为 令 OM=x,则
x = d tgi = d ′ tgi ′

n sin i = sin i ′

于是

d′ = d

2 tgi d 1 (n sin i ) = tgi ′ n cos i

上式表明,由 Q 发出的不同光线,折射后的延长 线不再交于同一点, 但对于那些接近法线方向的光线,
d d′

x O

γ M i

Q′

i = 0 ,则 sin 2 i = 0 , cos i = 1 于是
d′ = d n
Q 图 1-3-2

这时 d ′ 与入射角 i 无关,即折射线的延长线近似
1 3 = Q ′ ,其深度是原光点深度的 n 4 . 地交于同一点

www.ks5u.com

-1-

版权所有@高考资源网

高考资源网(ks5u.com)

您身边的高考专家

如图 1-3-3 所示,MN 反射率较低的一个表面,PQ 是背面镀层反射率很高的另 一个表面,通常照镜子靠镀 银层反射成像,在一定条件 下能够看到四个反射像,其 中一个亮度很底.若人离镜 距离 l ,玻璃折射率 n,玻璃 厚度 d,求两个像间的距离. 图中 S 为物点, S ′ 是经 MN 反射的像,若 S1 , S 2 , S 3 依次表示 MN 面折射,PQ 面 反射和 MN 面再折射成像,由视深公式得
S2 S3 S1 O2 Q O1 N S S1 P M

图 1-3-3

O1 S1 = nO1 S , O2 S 2 = O2 S1 = O1 S1 + d , O1 S 2 = n O1 S 3 ,
O1 S 3 = O1O2 + O2 S 2 d + nl + d 2d = = 1+ n n n
O1 S 3 O1 S ′ = 2d n .

故两像间距离为

1.3.3, 1.3.3,棱镜的折射与色散
入射光线经棱镜折射后改变了方向,出 射光线与入射光线之间的夹角称为偏向角,
i1 A δ D B E i2 i′2 F 折射率 C 图 1-3-4

i′1 G

由图 1-3-4 的几何关系知

′ δ = (i1 i2 ) + (i1′ i2 ) ′ = i1 + i1 α
其中

sin i1 = n sin i2

′ ′ sin i2 = n sin i1

′ ′ ①当 i1 ,α很小时, i1 ≈ ni2 , ni2 = i1 即
δ=(n-1)α
S′ h
www.ks5u.com -2-

δ

S

δ 版权所有@高考资源网 L 图 1-3-5

高考资源网(ks5u.com)

您身边的高考专家

厚度不计顶角α很小的三棱镜称之为光楔, 对近轴光线而言, δ与入射角大小无关, 各成像光线经光楔后都偏折同样的角度δ, 所以作光楔折射成像光路图时可画成一 使光线产生偏折角的薄平板, 1-3-5. 图 设物点 S 离光楔 L 则像点 S ′ 在 S 的正上方.
h = lσ = (n - 1)α l h=lδ=(n-1)αl.

′ ②当棱镜中折射光线相对于顶角α对称成等腰三角形时, i1 = i ′ , i2 = i2 .
′ sin i1 = sin i1 = n sin

α
2

α δ = 2 arcsin(n sin ) α 2


或者 sin

阳光



δ +α α红 = n sin 2 2



这为棱 镜的最小偏
图 1-3-6 图 1-3-7

阳光

向角δ,此式可用来测棱镜的折射率.

由于同一种介质对不同色光有不同的折射率,各种色光的偏折角不同,所以白 光经过棱镜折射后产生色散现象. 虹和霓是太阳被大气中的小水滴折射和反射形成 的色散现象. 阳光在水滴上经两次折射和一次反射如图 1-3-6. 形成内紫外红的虹; 阳光经小滴两次折射和两次反射如图 1-3-7,形成内红外紫的霓.由于霓经过一次 反射,因此光线较弱,不容易看到.

1.3.4, 1.3.4,费马原理

www.ks5u.com

-3-

版权所有@高考资源网

高考资源网(ks5u.com)

您身边的高考专家

费马原理指出, 光在指定的两点之间传播, 实际的光程总是为最大或保持恒定, 这里的光程是指光在某种均匀介质中通过的路程和该种媒质的折射率的乘积.

费马原理是几何光学中的一个十分重要的基本原理, 从费马原理可以推导出几 何光学中的很多重要规律.例如光的直线传播,反射定律,折射定律,都可以从光 程极小推出.如果反射面是一个旋转椭球面,而点光源置于其一个焦点上,所有反 射光线都经过另一个焦点,所有反射光线都经过另一个焦点,便是光程恒定的一个 例子.此外,透镜对光线的折射作用,也是很典型的.

一平凸透镜的折射率为 n,放置在空气中,透镜面孔的半径为 R.在透镜外主 光轴上取一点 F ′ , OF ′ = f ′ (图 1-3-8) .当平行光沿主光轴入射时,为使所有光 线均会聚于 F ′ 点.试问: (1)透镜凸面应取什么形状?(2)透镜顶点 A 与点 O 相 距多少?(3)对透镜的孔径 R 有何限制?
y

解: 根据费马原理,以平行光入射并会聚于 F ′ 的 所有光线应有相等的光程,即最边缘的光线 BF ′ 与任一
R

B M(x,y) x n A f′ 图 1-3-8 F ′

条光线 NMF ′ 的光程应相等.由此可以确定凸面的方程. 其余问题亦可迎刃而解. (1)取 o xy 坐标系如图,由光线 BF ′ 和 NMF ′ 的 等光程性,得

nx + ( f ′ x ) 2 + y 2 =

f ′2 + R 2

整理后,得到任一点 M(x,y)的坐标 x,y 应满足的方程为

www.ks5u.com

-4-

版权所有@高考资源网

高考资源网(ks5u.com)

您身边的高考专家

2 2 2 2 2 x n f ′ + R f ′ y 2 = (nf ′ f ′ + R ) (n 1) n2 1 n2 1 2

2



x0 =

n f ′2 + R 2 f ′ n2 1 ,

a=

nf ′

f ′2 + R 2 n2 1 ,则上式成为

(n 2 1)( x x 0 ) 2 y 2 = a 2

这是双曲线的方程,由旋转对称性,透镜的凸面应是旋转双曲面.

(2)透镜顶点 A 的位置

应满足

( n 2 1)( x A x 0 ) 2 = a 2

xA =xO

a n2 1

=

或者

f ′2 + R 2 f ′ n 1

可见,对于一定的 n 和 f ′ , x A 由 R 决定. (3)因点 F ′ 在透镜外,即 x A ≤ f ′ ,这是对 R 的限制条件,有
f ′2 + R 2 f ′ n 1

≤ f′

即要求

R ≤ n2 1 f ′

2 讨论 在极限情形,即 R ≤ n 1 f ′ 时,有如下结果:

xA =

f ′ 2 + (n 2 1) f ′ 2 f ′ n 1

= f′

即点 A 与点 F ′ 重合.又因

www.ks5u.com

-5-

版权所有@高考资源网

高考资源网(ks5u.com)

您身边的高考专家

n2 f ′ f ′ xO = = f′ n2 1
y

a=0
R N θ M θ t Φ A F′ x

故透镜凸面的双曲线方程变为

n

(n 2 1)( x f ′) 2 y 2 = 0 y = ± n 1( x f ′)
2

f′ 图 1-3-9



双曲线退化成过点 F ′ 的两条直线,即这时透镜的凸面变成以 F ′ 为顶点的圆锥面, 如图 1-3-9 所示.考虑任意一条入射光线 MN,由折射定律有 n sin θ = sin θ t ,由几 何关系

sin θ = cos =

1 f ′2 + R 2 nf ′ =1

sin θ t =



f ′2 + R 2

,

θt =

π
2

即所有入射的平行光线折射后均沿圆锥面到达点 F ′ ,此时的角θ就是全反射的临 界角. 半径为 R 的半圆柱形玻璃砖, 横截面如图 1-3-10 例 1, 所示.O 为圆心.已知玻璃的折射率为 2 .当光由玻璃射 向空气时,发生全反射的临界角为 45°,一束与 MN 平面 成 450 的平行光束射到玻璃砖的半圆柱面上,经玻璃折射 后,有部分光能从 MN 平面上射出.求能从 MN 平面射出的 光束的宽度为多少?
www.ks5u.com -6版权所有@高考资源网

45 °

R M
O N

图 1-3-10

高考资源网(ks5u.com)

您身边的高考专家

分析: 分析

如图 1-3-11 所示.进入玻璃中的光线①垂直半球面,沿半径方向直达

球心,且入射角等于临界角,恰好在 O 点发生全反射,光线①左侧的光线经球面折 射后,射在 MN 上的入射角都大于临界角,在 MN 上发生全反射,不能从 MN 射出, 光线①右侧一直到与球面正好相切的光线③范围上的光线经光球面折射后,在 MN 面上的入射角均小于临界角,都能从 MN 面上射出,它们在 MN 上的出射宽度即是所 要求的. 解: 图 1-3-11 中,BO 为沿半径方向入射的光线, 入射光线③在 C 点与球面相切, 在 O 点正好发生全反射, 此时入射角 i = 90 ,折射角为 r,则有
45 °
1 ○ 3 ○


2

B A M
O
图 1-3-11

i R r
C

E N

sin i = n sin r
sin r = sin i 2 = n 2



r = 45

这表示在 C 点折射的光线将垂直 MN 射出, MN 相交于 与

E 点.MN 面上 OE 即是出射光的宽度.
OE = R sin r = 2 R 2

M

45 °

O

N

图 1-3-12

讨论 如果平行光束是以 45°角从空气射到半圆柱的 平面表面上,如图 1-3-12 所示,此时从半圆柱面上出射的光束范围是多大?参见
sin r = 1 2 , r = 30 ,即所有折射

图 1-3-13 所示,由折身定律 sin 45 = 2 sin r ,得

光线与垂直线的夹角均为 30°.考虑在 E 点发生折射的折射光线 EA,如果此光线 刚好在 A 点发生全反射,则有 n sin ∠EAO = sin 90 ,而

i M

E
r

i

O r

FN
C

A
www.ks5u.com -7-

B

版权所有@高考资源网

图 1-3-13

高考资源网(ks5u.com)

您身边的高考专家

n = 2 ,即有 ∠EAO = 45 ,因 EA 与 OB 平行,所以 ∠EAO = ∠AOB = 45 ,所以

= 180 45 60 = 75 ,即射向 A 点左边 MA 区域的折射光( < 45 )因在半圆
柱面上的入射角均大于 45°的临界角而发生全反射不能从半圆柱面上射出,而 A 点右边的光线( > 45 )则由小于临界角而能射出,随着φ角的增大,当
∠FCO = 45 时,将在 C 点再一次达到临界角而发生全反射,此时 ∠FOC = 15 故

知能够从半圆柱球面上出射的光束范围限制在 AC 区域上,对应的角度为 75 < < 165 . 点评 正确作出光路图并抓住对边界光线的分析是解答问题的两个重要方向, 要予以足够重视. 例 2,给定一厚度为 d 的平行平板,其折射率按下式变化

n( x ) =

n0 1 x r
d

r

α
A K

一束光在 O 点由空气垂直入射平板,并在 A 点以角α出射 (图 1-3-14) .求 A 点的折射率 nA,并确定 A 点的位置及平板 厚度. (设 n0 = 1.2, r = 13cm, α = 30 ) .

O
图 1-3-14

解: 首先考虑光的路线(图 1-3-15) .对于经过一系列不同折射率的平行平 板的透射光,可以应用斯涅耳定律

sin β1 n2 = sin β 2 n1 ,
更简单的形式是

sin β 2 n3 = sin β 3 n2

n1 sin β 1 = n 2 sin β 2 = n3 sin β 3 = 这个公式对任意薄层都是成立的.在我们的情形里,折射率只沿 x 轴变化,即

www.ks5u.com

-8-

版权所有@高考资源网

高考资源网(ks5u.com)

您身边的高考专家

n x sin β x = 常数 在本题中, 垂直光束从折射率为 n0 的点入 射,即 n x = n0 , β x = 90 为常数,于是在平 板内任一点有 n x sin β x = n0

χ
O

β2

x x
C
图 1-3-16

β1

β2

β3

n1 n2

n3 n4

图 1-3-15

n x 与 x 的关系已知,因此沿平板中的光束为

sin β x =

n0 x rx = 1 = nx r r

图(1-3-16)表明光束的路径是一个半径为 XC=r 的圆,从而有
OC x = sin β x XC

现在我们已知道光的路径,就有可能找到问题的解答.按折射定律,当光在 A 点射出时,有
nA = sin α sin α = sin(90 β A ) cos β A

因为 n A sin β B = n0 ,故有

sin β A =

n0 nA
2

n cos β A = 1 0 n A
于是

nA =

sin α (1 n0 2 ) nA

因此 在本题情形

2 n A = n0 + sin 2 α

n A = 1.3

www.ks5u.com

-9-

版权所有@高考资源网

高考资源网(ks5u.com)

您身边的高考专家

n A = 1.3 =
根据

1.2 x 1 13

得出 A 点的 x 坐标为 x=1cm. 光线的轨迹方程为 y 2 + (1 + x) 2 = r 2 代入 x=1cm,得到平板厚度为 y=d=5cm 例 3,图 1-3-17 表示一个盛有折射率为 n 的液体的槽, 槽的中部扣着一个对称屋脊形的薄壁透明罩 A,D,B,顶角为 2 ,罩内为空气,整个罩子浸没在液体中,槽底 AB 的中点处 A 有一个亮点 C.请求出:位于液面上方图标平面内的眼睛从侧
图 1-3-17

D n′ = 1


n′ = 1

n

B

面观察可看到亮点的条件. 解: 本题可用图示平面内的光线进行分析,并只讨论从右侧观察的情形.如 图 1-3-18 所示,由亮点发出的任一光线 CP 将经过两次折射而从液面射出.由折射 定律,按图上标记的各相关角度有
sin α = n sin β

D
(1)

δ



γ β
P
N B



α
A
C
图 1-3-18

sin γ =

1 sin δ n

(2)

其中

δ ≤π /2
δγ ≤ π / 2( β + )
(3)

如果液内光线入射到液面上时发生全反射, 就没有从液面射出的折射光线. 全 反射临界角γ.应满足条件
sin γ c = 1 / n
www.ks5u.com - 10 版权所有@高考资源网

高考资源网(ks5u.com)

您身边的高考专家

可见光线 CP 经折射后能从液面射出从而可被观察到的条件为

γ <γ

sin γ = 1 / n

(4) (5)

现在计算 sin γ ,利用(3)式可得
sin γ = cos( β + ) = cos β cos sin β sin

由(1)式可得
1 sin α cos β = 1 n 2 sin 2 α = n n
2

由此 n sin γ = cos n 2 sin 2 α n sin α sin 又由(1)式 n sin γ = cos n 2 sin 2 α n sin α sin (6)

由图及(1)(2)式,或由(6)式均可看出,α越大则γ越小.因此,如果 , 与α值最大的光线相应的γ设为 γ m > γ c ,则任何光线都不能射出液面.反之,只 要 γ m < γ c ,这部分光线就能射出液面,从液面上方可以观察到亮点.由此极端情 况即可求出本题要求的条件. 自 C 点发出的α值最大的光线是极靠近 CD 的光线, 它被 DB 面折射后进入液体, 由(6)式可知与之相应的 γ m ;

α = π / 2
n sin γ m = cos n 2 cos 2 cos sin < 1

能观察到亮点的条件为 n sin γ m < 1

www.ks5u.com

- 11 -

版权所有@高考资源网

高考资源网(ks5u.com)

您身边的高考专家



cos n 2 cos 2 cos sin < 1

上式可写成
cos n 2 cos 2 < 1 + cos sin

取平方 cos 2 (n 2 cos 2 ) < 1 + 2 cos sin + cos 2 (1 cos 2 ) 化简后得 (n 2 cos 2 ) < 1 + 2 cos sin = cos 2 + sin 2 + 2 cos sin 故 (n 2 1) cos 2 < (cos + sin ) 2

平方并化简可得 tan > n 2 1 1 这就是在液面上方从侧面适当的方向能看到亮点时 n 与φ之间应满足条件. 例 4,如图 1-3-19 所示,两个顶角分别为 α 1 = 60 和

A
a1 n2 a2

B

α 2 = 30 的棱镜胶合在一起 C = 90 ) 折射率由下式给出: ( .
n1 = α 1 +
其中

b1

λ2 ;

n2 = α 2 +

b2

D

n1

C
图 1-3-19

λ2

α 1 = 1.1; b1 = 10 5 nm 2 α 2 = 1.3; b2 = 5 × 10 4 nm 2
1,确定使得从任何方向入射的光线在经过 AC 面时不发生折射的波长 λ 0 .确 定此情形的折射率 n1 和 n 2 . 2,画出入射角相同的,波长为 λ红 , λ 0 和 λ蓝 的三种不同光线的路径. 3,确定组合棱镜的最小偏向角. 4,计算平行于 DC 入射且在离开组合棱镜时仍平行于 DC 的光线的波长.
www.ks5u.com - 12 版权所有@高考资源网

高考资源网(ks5u.com)

您身边的高考专家

解: 1,如果 n1 = n2 ,则从不同方向到达 AC 面的波 长为 λ 0 的光线就不折射,即
λ0

λ红

α1 +
λ0 =
因而

b1

λ

2 0

= α2 +

b2

λ2 0
图 1-3-20

λ蓝

b2 b1 = 500nm α 2 α1

在此情形下 n1 = n2 = 1.5 . 2,对波长比 λ 0 长的红光, n1 和 n 2 均小于 1.5.反之,对波长比 λ 0 短的蓝光, 两个折射率均比 1.5 要大.现在研究折射率在 AC 面上如何变化.我们已知道,对 波长为 λ 0 的光, n2 / n1 = 1 . 如果考虑波长为 λ红 而不是 λ 0 的光,则由于 b1 > b2 ,所以 n2 / n1 > 1 .同理, 对蓝光有 n2 / n1 < 1 .现在我们就能画出光线穿过组合棱镜的路径了(图 1-3-20) . 3,对波长为 λ 0 的光,组合棱镜可看作顶角为 30°,折射率为 n=1.5 的单一棱 镜. 我们知道,最小偏向在对称折射时发生,即在图 1-3-21 中的 α角相等时发生. 根据折射定律,
sin α = 1 .5 sin 15 因而
图 1-3-21
15 ° 15 °

α

b

α

α = 22 50′

偏向角为

σ = 2α 30 = 15 40′
4,利用图 1-3-22 中的数据,可以写出 sin(60 α ) n 2 sin 30 = = n1 n1 sin α ; sin 30
www.ks5u.com

A
30°

B
30°

120°

αα

60° α C

- 13 -

版权所有@高考资源网

D
图 1-3-22

高考资源网(ks5u.com)

您身边的高考专家

消去α后得
2 3n12 = n 2 + n2 + 1

经变换后得
2 2 (3n12 n 2 n 2 1)λ4 + (6α 1b1 2a 2 b2 )λ2 + 3b12 b2 = 0 这是 λ 2 的二次方程.求解

得出

λ = 1.18 m
例 5,玻璃圆柱形容器的壁有一定的厚度,内装一种在紫外线照射下会发出绿 色荧光的液体,即液体中的每一点都可以成为绿色光源.已知玻璃对绿光的折射率 为 n1 ,液体对绿光的折射率为 n 2 .当容器壁的内,外半径之比 r:R 为多少时,在 容器侧面能看到容器壁厚为零? 分析: 所谓"从容器侧面能看到容器壁厚为零" 分析: ,是指眼 在容器截面位置看到绿光从 C 点处沿容器外壁的切线方向射 出,即本题所描述为折射角为 90°的临界折射.因为题中未 给出 n1 , n 2 的大小关系,故需要分别讨论.

i1 B

A O n2 n1
图 1-3-23

i2
C D

解: (1)当 n1 < n2 时,因为是要求 r:R 的最小值,所以当 n1 < n2 时,应考 虑的是图 1-3-23 中 ABCD 这样一种临界情况,其中 BC 光线与容器内壁相切,CD 光 线和容器外壁相切,即两次都是临界折射,此时应该有

sin i2 1 = n1 sin 90
设此时容器内壁半径为 r0 ,在直角三角形 BCO 中, sin i2 = r0 / R .当 r < r0 时,C 处 不可能发生临界折射,即不可能看到壁厚为零;当 r > r0 时,荧光液体中很多点发 出的光都能在 C 处发生临界折射,所以只要满足

r / R ≥ 1 / n1
www.ks5u.com - 14 版权所有@高考资源网

高考资源网(ks5u.com)

您身边的高考专家

即可看到壁厚为零. (2)当 n1 = n2 时 此时荧光液体发出的光线将直接穿过容器内壁,只要在

A
O

E r0

B

r1

C

i2

CD 及其延长线上有发光体,即可看到壁厚为零,因此此时应
满足条件仍然是 r / R ≥ 1 / n1 . (3)当 n1 > n2 时
图 1-3-24

D

因为 n1 > n2 ,所以荧光液体发出的光在容器内壁上不可能发生折射角为 90° 的临界折射,因此当 r = r0 时,所看到的壁厚不可能为零了.当 r > r0 时,应考虑的 是图 1-3-24 中 ABCD 这样一种临界情况,其中 AB 光线的入射角为 90°,BC 光线的 折射角为 r1 ,此时应该有 n sin 90 = 1 sin r 1 n2 在直角三角形 OBE 中有

sin r1 = OE / OB
因为图 1-3-23 和图 1-3-24 中的 i 2 角是相同的,所以 OE = r0 ,即 n sin 90 = 1 r 0/ r n2
r0 = R n1 代入,可得当



r / R ≥ 1 / n2
时,可看到容器壁厚度为零. 上面的讨论, 1-3-23 和图 1-3-24 中 B 点和 C 点的位置都是任意的, 图 故所得 条件对眼的所有位置均能成立(本段说明不可少) . 例 6,有一放在空气中的玻璃棒,折射率 n=1.5,中心轴线长 L=45cm,一端是
www.ks5u.com - 15 版权所有@高考资源网

高考资源网(ks5u.com)

您身边的高考专家

半径为 R1 =10cm 的凸球面. (1)要使玻璃棒的作用相当于一架理想的天文望远镜(使主光轴上无限远处 物成像于主光轴上无限远处的望远系统) ,取中心轴为主光轴,玻璃棒另一端应磨 成什么样的球面? (2)对于这个玻璃棒,由无限远物点射 来的平行入射光束与玻璃棒的主光轴成小角 度 1 时,从棒射出的平行光束与主光轴成小 角度 2 ,求 2 / 1 (此比值等于此玻璃棒的 望远系统的视角放大率) . 分析: 分析: 首先我们知道对于一个望远系统来说,从主光轴上无限远处物点发出 的入射光线为平行于主光轴的光线,它经过系统后的出射光线也应与主光轴平行, 即像点也在主光轴上无限远处,然后我们再运用正弦定理,折射定律及的小角度近 似计算,即可得出最后结果. 解: (1)对于一个望远系统来说,从主光轴上无限远处的物点发出的入射光 为平行于主光轴的光线,它经过系统后的出射光线也应与主光轴平行,即像点也在 主光轴上无限远处,如图 1-3-25 所示,图中 C1 为左端球面的球心. 由正弦定理,折射定律和小角度近似得
AF1 R1 sin r1 r 1 1 = ≈ 1 = ≈ R1 sin(i1 r1 ) i1 r1 (i1 / r1 ) n 1 AF1 1 1 = R1 n 1
i1

P A

i1 r1 R1 C1

n

i1 r1

C2 R2

B

F1

图 1-3-25







光线 PF1 射至另一端面时,其折射光线为平行于主光轴的光线,由此可知该端

C 如图 1-3-25 所示. 面的球心 C2 一定在端面顶点 B 的左方, 2 B 等于球面的半径 R2 ,

www.ks5u.com

- 16 -

版权所有@高考资源网

高考资源网(ks5u.com)

您身边的高考专家

仿照上面对左端球面上折射的关系可得
BF1 1 1 = R2 n 1



又有

BF1 = L AF1



由②③④式并代入数值可得

R2 = 5cm



即右端应为半径等于 5cm 的向外凸面球面. (2)设从无限远处物点射入的平行光线用 a,b 表示,令 a 过 C1 ,b 过 A,如 图 1-3-26 所示,则这两条光线经左端球面折射后的相交点 M,即为左端球面对此 无限远物点成的像点.现在求 M 点的位置.在 AC1 M 中 R1 AM AM = = ′ sin(π 1 ) sin 1 sin( 1 1 ) 又

⑥ ⑦

′ n sin 1 = sin 1
α
R1

′ 已知 1 , 1 均
为小角度,则有
AM ≈

b

n
1
C1

1

A

1 1 1′

F1

2

C2

R2

2

B

1

R1 1 1 (1 ) n

M

图 1-3-26

⑧ 与②式比较可知, AM ≈ AF1 ,即 M 位于过 垂直于主光轴的平面上.上面已

知,玻璃棒为天文望远系统,则凡是过 M 点的傍轴光线从棒的右端面射出时都将是

www.ks5u.com

- 17 -

版权所有@高考资源网

高考资源网(ks5u.com)

您身边的高考专家

相互平行的光线.容易看出,从 M 射向 C2 的光线将沿原方向射出,这也就是过 M 点的任意光线(包括光些 a,b)从玻璃棒射出的平行光线的方向.此方向与主光 轴的夹角即为 2 .

2 C1 F1 AF1 R1 = = 1 C 2 F1 BF1 R2
由②③式可得



AF1 R1 BF1 R2

=

R1 R2



2 R1 = =2 1 R2



例 7,在直立的平面镜前放置一个半径为 R 的球形玻璃鱼缸,缸壁很薄,其中 心离镜面为 3R,缸中充满水.远处一观察者通过球心与镜面垂直的方向注视鱼缸, 一条小鱼在离镜面最近处以速度 v 沿缸壁游动. 求观察者看到鱼的两个像的相对速 度.水的折射率 n=4/3.见图 1-3-27 和图 1-3-28. 解: 鱼在 1 秒钟内游过的距离为 v.我们把这个距离当作物,而必须求出两 个不同的像.在计算中,我们只考虑近轴光线和小角 度,并将角度的正弦角度本身去近似. 在 L1 点游动的鱼只经过一个折射面就形成一个 像(图 1-3-27) .从 L1 点以角度 γ = ∠AT1O 发出的光 线,在 A 点的水中入射角为 v,在空气中的折射角为 nγ ,把出射光线向相反方向 延长给出虚像位置 K1 .显然

2v
R1 T 1

v
O

A B

图 1-3-27

∠K 1 AT1 = nγ γ = (n 1)γ

www.ks5u.com

- 18 -

版权所有@高考资源网

高考资源网(ks5u.com)

您身边的高考专家

从三角形 K1T1 A ,有

v
γ

ε

C

D ε
O

v E F B

K1T1 (n 1)γ = = n 1 K1 A γ
利用通常的近似

K1
2 v 3

T1

图 1-3-28

K1 A ≈ K1O + R , K 1T ≈ K1O R
于是

K 1O R = n 1 K1O + R
所以这个虚像与球心的距离为
K 1O = n R 2n

水的折射率 n=4/3,从而 K1O = 2 R .若折射率大于 2,则像是实像.由像距与物距 之商得到放大率为

K 1O n = T 1O 2 n
对水来说,放大率为 2. 以与速度 v 相应的线段为物,它位于在 E 处平面镜前距离为 2R 处,它在镜后 2R 远的 T2 处形成一个与物同样大小的虚像 T2 离球心的距离为 5R.在一般情形中, 我们设 T 2O = kR . T2 的虚像是我们通过球作为一个透镜观察时的(虚)物.因此, 我们只要确定 T2 的实像而无需再去考虑平面镜. 我们需要求出以γ角度从 T2 发出的光线在 C 点的入射角ε, 其中 γ = ∠CT2 B 在 三角形 T2 OC 中

ε T2 O kR = = =k γ CO R , ε = kγ
玻璃中的折射角为

www.ks5u.com

- 19 -

版权所有@高考资源网

高考资源网(ks5u.com)

您身边的高考专家

ε
n

=

kγ = ∠DCO = ∠CDO n

需要算出角 ∠DOB .因为
∠COF = ε γ = kγ γ = γ ( k 1)

而且 ∠COD 与 C 点和 D 点的两角之和相加,或与 ∠COF 和 ∠DOB 之和相加, 两种情况下都等于 180°,因此
∠DOB + γ ( k 1) = 2 ∠DOB = γ ( kγ n



2k k + 1) n

从三角形 DOK 2 ,有 OK 2 k ε = = 2k DK 2 2k k +1 γ k + 1 n n 此外 OK 2 k = OK 2 R 2k k +1 n 因此像距为 OK 2 = 若 k=5,n=4/3,得 OK 2 = 放大率为
10 R 3

kn R n( 2k 1) 2k

OK 2 n = OT2 n(2k 1) 2k
若把 k=5,n=4/3 代入,则放大率为 2/3. 综合以上结果,如鱼以速度 v 向上运动,则鱼的虚像以速度 2v 向上运动,而
www.ks5u.com - 20 版权所有@高考资源网

高考资源网(ks5u.com)

您身边的高考专家

2 v 鱼的实像以速度 3 向下运动.两个像的相对速度为 2 8 2υ + υ = υ 3 3

是原有速度的 8/3 倍. 我们还必须解决的最重要的问题是: 从理论上已经知道了像是如何运动的, 但 是观察者在作此实验时,他将看到什么现象呢? 两个像的速度与鱼的真实速度值,从水中的标尺上的读数来看,是一致的.实 际上观察到两个反方向的速度,其中一个速度是另一个速度的三倍,一个像是另一 个像的三倍.我们应当在远处看,因为我们要同时看清楚鱼缸后远处的一个像和鱼 缸前的另一个像.两个像的距离为 8.33R.用肉眼看实像是可能的,只要我们比明 视距离远得多的地方注视它即可.题目中讲到"在远处的观察者" ,是指他观察从 两个不同距离的像射来的光线的角度变化.只要观察者足够远,尽管有距离差,但 所看到的速度将逐渐增加而接近于 8/3.他当然必须具有关于鱼的实际速度(v) 的一些信息. 两个像的相对速度与物的原始速度之比的普遍公式为 2n (k 1)(n 1) 2 n 2k (n 1) n 用一个充满水的圆柱形玻璃缸,一面镜子和一支杆,这个实验很容易做到.沿玻 璃缸壁运动的杆代表一条鱼.

www.ks5u.com

- 21 -

版权所有@高考资源网

高中物理竞赛教程:1.3《光的折射》

高中物理竞赛教程:1.3《光的折射》_预防医学_医药卫生_专业资料。竞赛教程本资料来自于资源最齐全的21世纪教育网 www.21cnjy.com §1.3 光的折射 i1 i2 1...

高中物理竞赛教程:1.3《光的折射》

高中物理竞赛教程:1.3《光的折射》 高中物理竞赛教程高中物理竞赛教程隐藏>> 高考资源网(ks5u.com) 您身边的高考专家 §1.3 光的折射 1.3.1,多层介质折射 ...

高中物理竞赛教程:1.4《光在球面上的反射与折射》

高中物理竞赛教程:1.4《光在球面上的反射与折射》_学科竞赛_高中教育_教育专区。§1.4、光在球面上的反射与折射 1.4.1、球面镜成像 (1)球面镜的焦距球面镜的反...

高中物理竞赛全套教程讲座之三:1[1].几何光学

高中物理竞赛全套教程讲座之三:1[1].几何光学_高三理化生_理化生_高中教育_教育...外层材料的折射率 n2 = 1.2 ,试问入射角在什么范围内才能确保光在光导纤维...

高中物理竞赛教程:1.5《透镜成像》

高中物理竞赛教程:1.5《透镜成像》_学科竞赛_高中教育...通过光心的光线方向不变; ②平行主轴的光线,折射后...1.5.3、组合透镜成像 如果由焦距分别为 f 1 和 ...

高中物理竞赛全套教程讲座之三:1.几何光学

高中物理竞赛全套教程讲座之三:1.几何光学_高考_高中教育_教育专区。物理 竞赛 ...1.3 ,外层材料的折射率 n2 ? 1.2 ,试问入射角在什么范围内才能确保光在...

高中竞赛教程3.1.4 光在球面上的反射与折射

高中竞赛教程3.2.1 光的波... 33页 8财富值喜欢此文档的还喜欢 物理竞赛物光 65页 5财富值 高中物理基础训练42 光的... 6页 免费 13.1《光的折射》PP...

高中物理竞赛教程:2.1《光的波动性》

高中物理竞赛教程:2.1《光的波动性》 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 第...? 3?30?? ,宽度 w=4.0cm ,折射率 n=1.5 .问:当幕与双棱镜的距离分别...

高中物理竞赛教程:1.4《光在球面上的反射与折射》

高中物理竞赛教程:1.4《光在球面上的反射与折射》_理学_高等教育_教育专区。高中...(ks5u.com) 您身边的高考专家 可解得 υ1 = 3R O1O2 = 2.6 R , ...

高中物理竞赛教程:1.4《光在球面上的反射与折射》

高中物理竞赛教程:1.4《光在球面上的反射与折射》_实习总结_总结/汇报_应用文书...下面 以凹镜为例来推导: (如图 1-4-3 所示)设在凹镜的主轴上有个物体 ...