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2013年浙江省杭州市第二次高考科目质量检测 数学理科


2013 年浙江省杭州市第二次高考科目教学质量检测 数学试卷 (理科 2013.4.9)
考生须知: 1.本卷满分 150 分,考试时间 120 分钟. 2.答题前,在答题卷密封区内填写学校、班级和姓名. 3.所有答案必须写在答题卷上,写在试题卷上无效. 4.考试结束,只需上交答题卷.

参考公式: 如果事件 A , B 互斥,那么 P(A + B)

=P(A)+P(B) 如果事件 A , B 相互独立,那么 P(A · B)=P(A)· P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,那么

棱柱的体积公式

V ? Sh
其中 S 表示棱柱的底面积,h 表示棱柱的高 棱锥的体积公式

1 V ? Sh 3
其中 S 表示棱锥的底面积,h 表示棱锥的高 球的表面积公式

n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
Pn ? k ? ? C p ?1 ? k ?
k n k n?k

? k ? 0,1,2,?, n ?

棱台的体积公式

S ? 4πR2

1 V ? h S1 ? S1S2 ? S2 3

?

?

球的体积公式

其中 S1 , S 2 分别表示棱台的上底、下底面积,h 表示 棱台的高

V?

4 3 πR 3

其中 R 表示球的半径

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.若全集 U={1, 2, 3, 4, 5}, ? U P ={4, 5},则集合 P 可以是( A. x ? N * )

?

x ?4

?

B. ? x ? N * x ? 6?

C. x ? N * x2 ? 16

?

?

D. x ? N * x 3 ? 16 )

?

?

2.已知复数 z ? i ? tan ? ?1 (i 是虚数单位) ,则“ ? ? ? ”是“ z 为实数”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要件 甲 9 8 2 1 0 8 9

3.用茎叶图记录甲、乙两人在 5 次体能综合测评中的成绩(成绩 为两位整数),现乙还有一次不小于 90 分的成绩未记录.则甲 的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为( A. ) C.

乙 3 3 7 9

2 5

B.

7 10

4 5

D.

1 2
)

4.设 l 是一条直线, ? , ? , ? 是不同的平面,则在下列命题中,假命题是( ...
高三数理试·第 1 页 (共 4 页)

A.如果 ? ? ? ,那么 ? 内一定存在直线平行于 ? B.如果 ? 不垂直于 ? ,那么 ? 内一定不存在直线垂直于 ? C.如果 ? ? ? , ? ? ? , ? ? ? ? l ,那么 l ? ? D.如果 ? ? ? , l 与 ? , ? 都相交,则 l 与 ? , ? 所成的角互余 5.已知函数 f ( x) ? ax 3 ?

开 始 S =0, n = 1 n=n+1 S = S +g (n) 是 否 输出 S 结 束

1 2 x 在 x ? ?1 处取得极大值, 记 g ( x) 2

2011 1 .某程序框图如图所示,若输出的结果 S ? ,则判断 2012 f ' (x )
框中可以填入的关于 n 的判断条件是( A. n ? 2011? C. n ? 2011? B. n ? 2012? D. n ? 2012? )

6.设定义在区间( ?b, b )上的函数 f ( x) ? lg 值范围是( A. (1, 7.双曲线 )

1 ? ax 是奇函数( a, b ? R, 且a ? ?2 ),则 a b 的取 1 ? 2x
C. (1,

(第 5 题)

2]

B. [0,

2]

2)

D. (0,

2)

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 ,F2 ,渐近线分别为 l1 ,l2 ,点 P 在第一 a 2 b2
) D. 2

象限内且在 l1 上,若 l2 ? PF1 , l2 // PF2 ,则双曲线的离心率是( A. 5 B.2 C. 3

8.正项等比数列 ?an ?中,存在两项 am , an (m, n ? N * ) 使得 am an ? 4a1 , 且 a7 ? a6 ? 2a5 ,则

1 m

?

5 的最小值是( n

) B. 1 ?

A.

7 4

5 3
??? ? ??? ?

C.

25 6

D.

2 5 3

D A O

9.如图所示, A, B, C 是圆 O 上的三点, CO 的延长线与线段 BA 的延长线 交于圆 O 外的点 D,若 OC ? mOA ? nOB ,则 m ? n 的取值范围是 ( ) B. (1, ??) D. ( ?1, 0) A. (0, 1) C. (??, ?1)

??? ?

C

B
(第 9 题)

10.用 C ( A) 表示非空集合 A 中的元素个数,定义 A ? B ? ?

? ?C ( A) ? C ( B), 当 C ( A ) C ( B ) , 若 A ? ( ?C ( B ) ? C (A ), 当C ( ) C B )

A ? { x | x 2 ? ax ? 1 ? 0, a ? R }, B ? { x | | x 2 ? bx ? 1|, b ? R } , S ? { | A ? ? 1 , 设 b B } 则
C ( S ) 等于(
A.4 ) B.3 C.2 D.1

高三数理试·第 2 页 (共 4 页)

二、填空题:(本大题有 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11. ( x ?

3 10 ) 的展开式中, x 6 的系数是 x

(用数字作答)。

12.已知正三棱柱 ABC - A'B'C' 的正视图和侧视图如 图所示. 设△ ABC,△ A'B'C' 的中心分别是 O, O', 现将此三棱柱绕直线 OO' 旋转, 在旋转过程中对应 的俯视图的面积为 S, 则 S 的最大值为 13.函数 f ( x) ? sin( x ? . 4 正视图 .
(第 12 题)

3

?
2

) cos x( x ? ) 的单调递减区间是 6
2

?

侧视图

14.设整数 m 是从不等式 x ? 2 x ? 8 ? 0 的整数解的集合 S 中随机抽取的一个元素,记随机变 量 ? ? m ,则 ? 的数学期望 E ? =
2

.

15.已知动点 P 在直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 上,动点 Q 在直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 上, 线段 PQ 中点

x ? y ? 0 ?2 2 2 ,则 x0 ? y0 的取值范围是 M ( x0 , y0 ) 满足不等式 ? 0 3 ? ? y0 ? ? x0 ? 2 ?

.

16.数列 {an } 中, a1 ? 2 , an ? an ?1 ? ( )n (n ? N *), Sn ? a1 ? 5a2 ? 52 a3 ? ? ? 5n ?1 an , 则

1 5

6 S n ? 5 n an ? n

.

17.设定义域为 (0, ??) 的单调函数 f ( x) ,对任意的 x ? (0, ?? ),都有 f [ f ( x) ? log x ]? 6 . 2 若 x0 是方程 f ( x) ? f ?( x) ? 4 的一个解,且 x0 ? (a, a ? 1)(a ? N *) ,则 a ? 三、解答题:(本大题有 5 小题,共 72 分) 18.(本小题满分 14 分)在△ ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c,设向量 m ? ( a , ), n ? ( cosC , c ? 2b ),且 m ? n . (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a ? 1 ,求△ ABC 的周长 l 的取值范围. 19.(本小题满分 14 分)设数列 ?an ? 与数列 ?bn ? 满足 a1 ? b1 ? 1 , 且 n ? N * ). (Ⅰ)求证: (Ⅱ)设 (1 ? .

1 2

bn 1 1 1 (n?2 ? ? ?? ? an a1 a2 an ?1

bn ? 1 an ( n ? 2 ); ? bn ?1 an ?1

1 1 1 1 1 1 * )(1 ? )? (1 ? ) ? ? ( ? ? ? ) ( n ? N ),求实数 ? 的值. b1 b2 bn a1 a2 an
高三数理试·第 3 页 (共 4 页)

P
19.(本小题满分 14 分)已知四棱锥 P - ABCD 中, PA ? 平面 ABCD,底面 ABCD 是直角梯形, ? ADC = 90? ,AD // BC,AB ? AC,AB = AC = 2,G 为△ PAC 的重心,E 为 PB 的中点,点 F 在 BC 上,且 CF = 2FB. (Ⅰ)求证:FG ? AC; (Ⅱ)当二面角 P - CD - A 的正切值为多少时, FG ? 平面 AEC;并求此时直线 FG 与平面 PBC 所成角的正弦值.


A

G D

B

F
(第 20 题)

C

21.(本小题满分 14 分)已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 上任一点 P 到两个焦点的距离的 a 2 b2 2 和为 2 3 ,P 与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为 ? .设直线 l 过椭圆 C 的右焦点 F,交 3 椭圆C于两点 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) . ??? ??? ? ? 4 (Ⅰ)若 OA ? OB ? (O为坐标原点),求 | y1 ? y2 | 的值; tan ?AOB
(Ⅱ)当直线 l 与两坐标轴都不垂直时,在 x 轴上是否总存在点 Q ,使得直线 QA 、 QB 的倾斜 角互为补角?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

22.(本小题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ?

1 2 x . 2 (Ⅰ)设函数 F ( x) ? f ( x) ? ag ( x) ,若 x ? (0, 2) ,函数 F ( x) 不存在极值,求实数 a 的取值范围;
(Ⅱ) 设 函 数 G ( x) ?

( x ? 1) [ 2 x( ? g x ( ) ] f ) , 如 果 对 于 任 意 实 数 x ? (1, t ], 都 有 不 等 式 g ( x) t G( x)? x G t? G x G成立,求实数 t 的最大值. ( ) ( ? ) ( t )

高三数理试·第 4 页 (共 4 页)

2013 年杭州市第二次高考科目教学质量检测 数学理科卷评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 题号 答案 1 A 2 A 3 C 4 D 5 B 6 A 7 B 8 A
5? ](k ? Z ) 12

9 D

10 B

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.135 12.8 13. [k? ?

?
12

, k? ?

14.5

15. ?

? 5 ? , 34 ? ? 5 ?

16.1

17. 1

三. 解答题: (本大题有 5 小题, 共 72 分) 18. (本题满分 14 分) 解: (Ⅰ)由题意知: a cos C ?

1 1 c ? b 得 sin A cos C ? sin C ? sin B 2 2

2分 4分

又 sin B ? sin ? A ? C ? ? sin A cos C ? cos A sin C

1 1 ? sin C ? cos A sin C ,? sinC ? 0 ,? cos A ? , 2 2
又? 0 ? A ? ? ? A ?

?

3



6分

或由余弦定理同样得分 (Ⅱ)由正弦定理得: b ?

a sin B 2 2 ? sin B , c ? sin C , sin A 3 3
8分

l ? a ? b ? c ? 1?

2 2 ? sin B ? sin C ? ? 1 ? ? sin B ? sin ? A ? B ? ? 3 3

? 3 ? 1 ?? ? ? 1? 2? ? 2 sin B ? 2 cos B ? ? 1 ? 2 sin? B ? 6 ? ? ? ? ? ?

11 分

?A?

?

? 2? , ? B ? ? 0, 3 ? 3

? ? ? 5? ? ?? ?1 ? ? ? ? , ? B ? ? ? , ? ? sin ? B ? ? ? ? ,1? 6 ?6 6 ? 6? ?2 ? ? ?
14 分
2 2 2

故 ?ABC 的周长 l 的取值范围为 ? 2,3? .

(2)另解:周长 l ? a ? b ? c ? 1 ? b ? c 由(1)及余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A

? b2 ? c 2 ? bc ? 1

8分

高三数理试·第 5 页 (共 4 页)

? (b ? c)2 ? 1 ? 3bc ? 1 ? 3(

b?c 2 ) ,即 b ? c ? 2 , 2

10 分

又 b ? c ? a ? 1?l ? a ? b ? c ? 2 , 即 ?ABC 的周长 l 的取值范围为 ? 2,3? . 14 分

19. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ) n ? 2 时,?

bn 1 1 ? ? ? ? ? 1 (n ? 2 且 n ? N ? ) , an a1 a2 an ?1
? bn ?1 bn 1 ? ? , a n ?1 a n a n

?

bn ?1 1 1 1 1 ? ? ??? ? , a n ?1 a1 a 2 a n ?1 a n

? bn?1an ? (bn ? 1)an?1 ? 0(n ? 2 且 n ? N ? ) ,
所以

bn ? 1 a n ? ( n ? 2) . bn ?1 a n ?1

7分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

bn ? 1 a n 1 1 1 ? (n ? 2), b2 ? a 2 ,? (1 ? )(1 ? )? (1 ? ) bn ?1 a n ?1 b1 b2 bn

?

b ? 1 1 b1 ? 1 b2 ? 1 b ? 1 bn ? 1 b1 ? 1 b2 ? 1 ? ?? ? n ? ? ? ? ? ? n ?1 ? ? bn ?1 b1 b2 bn b1 b2 b3 bn bn ?1 ? a a b 1 b1 ? 1 a 2 a3 1 1 1 ? ? ? ? ? ? n ?1 ? n ? bn ?1 ? 2 ? n ?1 ? 2( ? ??? ) b1 b2 a3 a 4 a n a n ?1 a n ?1 a1 a 2 an

(1 ?


1 1 1 )(1 ? )? (1 ? ) b1 b2 bn =2,即 ? =2. 1 1 1 ? ?? ? a1 a2 an

14 分

或先猜想出 ? =2,再证明(数学归纳法)同样给分. 20. (本小 题满分 15 分) (Ⅰ)连结 CG 并延长交 PA 于 H,连结 BH, ∵G 是△PAC 的重心, ∴CG:GH=2:1, ∵CF:FB=2:1, ∴CG:GH=CF:FB, ∴FG∥BH. ∵PA⊥平面 ABCD, ∴PA⊥AC, ∴AC⊥平面 PAB, ∴AC⊥BH ∴FG⊥AC . 6分 (Ⅱ)∵PA⊥平面 ABCD, ∴PA⊥CD , ∵CD⊥AD, ∴CD⊥平面 PAD, ∴CD⊥PD, ∴∠PDA 为二面角 P-CD-A 的平面角.
高三数理试·第 6 页 (共 4 页)

第 20 题

如图所示,以 A 为坐标原点建立空间直角坐标系 ° ∵AB=AC=2 且 AB⊥AC , ∴∠ACB=45 , ° ° 在直角梯形 ABCD 中, ∵∠BCD=90 ,∴∠ACD=45 , ∵AC=2 , ∴AD=CD= 2 .

∴A(0,0,0) C( 2 , 2 ,0) D(0, 2 ,0) B( 2 , ? 2 ,0) , , , ,

设 P(0,0, a ) ∴H(0,0, , ∵FG⊥平面 AEC

2 a 2 a ) E( , ,? , ) , 2 2 2 2
∴BH⊥AE ∴a ? 2 2 ,

∴FG⊥AE∵FG∥BH

???? a ∴ BH =( ? 2 , 2 , ) , 2
∴PA= 2 2 ,∴ tan ∠PDA=2 .

???? ??? ? ??? ? a ,∴ BH ? AE ? 0 , AE =( 2 , ? 2 , ) 2 2 2

∴当二面角 P-CD-A 的正切值为 2 时,FG⊥平面 AEC . 10 分 ∵BH∥FG ∴FG 与平面 PBC 所成的角等于 BH 与平面 PBC 所成的角 ∵ BH =( ? 2 , 2 , 2 ) , BC =(0, 2 2 ,0) ,

????

??? ?

??? ? PC =( 2 , 2 , ?2 2 ) ,


? ?n ? BC ? 0 ?y ? 0 ? 设平面 PBC 的法向量 n =(x,y,z) ∴ ? ? ??? , , ∴? ? ?x ? 2z ?n ? PC ? 0 ?
令 z=1, ∴ n =(2,0,1).

? ??? ?

?

? BH ∴ cos ? ????, n ?? ???? ? n ? ? 15 . 设直线 FG 与平面 PBC 所成的角为 ? , BH ? BH ? n 15

???? ?

???? ? ∴ sin ? ? cos ? BH , n ? ? 15 , 15

∴直线 FG 与平面 PBC 所成的角的正弦值为 15 .
15

15 分

21. (本小题满分 15 分) 解: (Ⅰ)由椭圆的定义知 a ?

3 ,又 ?

b2 2 ? ? ,∴ b 2 ? 2 , 2 3 a

∴ 所以椭圆 C 的方程是 ∵ OA ? OB ?

x2 y 2 ? ? 1. 3 2

4 4 ,∴ | OA | ? | OB | cos ?AOB ? , tan ?AOB tan ?AOB 1 ∴ | OA | ? | OB | sin ?AOB ? 4 ,∴ S ?AOB ? | OA | ? | OB | sin ?AOB ? 2 , 2

高三数理试·第 7 页 (共 4 页)

又 S ?AOB ?

1 | y1 ? y 2 | ?1 ,故 | y1 ? y 2 |? 4 . 2

7分

(Ⅱ)假设存在一点 Q(m,0) ,使得直线 QA、QB 的倾斜角互为补角, 依题意可知直线 l 、 QA、QB 斜率存在且不为零. 直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) , k ? 0

? y ? k ( x ? 1) ? 2 2 2 2 由 ? x2 y 2 消去 y 得 ? 3k ? 2 ? x ? 6k x ? 3k ? 6 ? 0 ? ?1 ? 2 ?3
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 则 x1 ? x2 ?

6k 2 3k 2 ? 6 , x1 ? x2 ? 2 3k 2 ? 2 3k ? 2

∵直线 QA、QB 的倾斜角互为补角, ∴ kQA ? kQB ? 0 ,即

y1 y2 ? ? 0 又 y1 ? k ( x1 ? 1) , y2 ? k ( x2 ? 1) , x1 ? m x 2 ? m

代入上式可得 2 x1 x2 ? 2m ? (m ? 1)( x1 ? x2 ) ? 0 ∴ 2?

3k 2 ? 6 6k 2 ? 2m ? (m ? 1) ? 2 ? 0 ,即 2m ? 6 ? 0 ,∴ m ? 3 , 3k 2 ? 2 3k ? 2
15 分

∴存在 Q ( 3,0) 使得直线 QA、QB 的倾斜角互为补角

22.(本小题满分 l5 分) 解: (I)由 F ( x) ? ln x ?

1 1 ? ax 2 1 2 ( x ? 0) , ax , 得 F ?( x) ? ? ax ? x x 2

当 a ? 0 时, F ?( x) ? 0( x ? 0) ,此时 F (x) 在 (0,2) 上无极值, 当 a ? 0 时,所以 F (x) 在区间 (0,

1 a

) 上递增,在区间 ( 1 a

1 a

,??) 上递减,

所以要使得 F (x) 在 (0,2) 上不存在极值,只要 (II) tG ? x ? ? xG ? t ? ? G ? x ? ? G ? t ?

?2 ?0?a?

1 1 ,从而 a ? . 6 分 4 4

高三数理试·第 8 页 (共 4 页)

? ? t ? 1? G ? x ? ? ? x ? 1? G ? t ? ?
设函数 h( x) ?

G ? x? x ?1

?

G ?t ? t ?1

?

f 2 ? x? g ( x)

?

f 2 ?t ? g (t )

8分

f 2 ( x) ,即问题等价于 h( x) ? h(t ) 在 ?1, t 上恒成立,即 h (t ) 为 h(x ) 的最大值,而 g ( x)

?

h( x ) ?

4 ln x(1 ? ln x) f 2 ( x) 2ln 2 x ,所以 h?( x) ? ? ( x ? 0) , 2 g ( x) x x3

12 分

故 h(x ) 在区间 (e,?? ) 上单调递减,在区间 (1, e) 上单调递增,因此 t ? e ,即实数 t 的最大值为

e.

14 分

高三数理试·第 9 页 (共 4 页)


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