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【优化方案】2014届高考数学(理科,大纲版)一轮复习配套课件:9.8 简单多面体与球(A、B)(共39张PPT)


§9.8

简单多面体与球(A、B)

本节目录

教 材 回 顾 夯 实 双 基

考 点 探 究 讲 练 互 动

考 向 瞭 望 把 脉 高 考

知 能 演 练 轻 松 闯 关

教材回顾夯实双基
基础梳理 1.多面体

(1)多面体的概念 多边形 若干个平面________围成的几何体叫做多面体,围成多面体 的各个多边形叫做多面体的面,两个面的公共边叫做多面体 的棱,若干个面的公共顶点叫做多面体的顶点.

把一个多面体的任何一个面伸展为平面,如果其他各面都在 凸多面体 这个平面的同侧,这样的多面体叫做_____________. 4个 一个凸多面体至少有______面,多面体按照它的面数分别叫 做四面体、五面体、六面体等.
目录

(2)正多面体
每个面都是有相同边数的正多边形,且以每个顶点为端点都 有相同数目的棱的凸多面体叫做正多面体. 正四面体 正六面体 正八面体 正多面体只有5种:__________,________,___________,正 十二面体,正二十面体. 2.球及球面 (1)球的定义 直径 球面 半圆以它的_______为旋转轴,旋转所成的曲面叫做____. 球体 球面所围成的几何体叫做_____,简称球,球面也可看作与定 点(球心)的距离等于定长(半径)的点的集合.球可用表示球心 的字母表示,如球O.
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(2)球的截面 用一个平面去截一个球,截面是圆面.球的截面有如下性质: 垂直 ①球心与截面圆心的连线________于截面. ②球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆半径r有如下关
r= R2-d2 系:____________.

若截面过球心,d=0,r=R,此时球面被截得的圆 大圆 叫做_______.
不过球心的截面截得的圆叫做小圆.当d=R时,r=0,截面

缩成一个点,此时平面与球面相切,此点称为切点,平面叫
做球的切面.

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(3)球面距离 在球面上,两点之间的最短连线的长度,就是经过这两点的 劣弧 大圆在这两点间的一段________的长度,叫做这两点的球面 距离. =θ· R(θ为A、B对球心的张角的弧度数,

R为球半径)
(4)球的表面积与体积 4 3 πR 3 2 4πR S=_______;V球=___________.

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思考探究
球面上A、B两点间的直线距离和球面距离相等吗?

提示:不相等,球面上A、B两点间的直线距离是指A、B与球
心所确定的大圆的弦长,而A、B两点的球面距离是球面上两 点之间的最短距离,是A、B与球心所确定的大圆在这两点之 间的劣弧的长度.

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课前热身
1.过球面上两点可能作球的大圆个数是( )

A.有且只有一个
C.无数多个 答案:B

B.一个或无数个
D.不存在这种大圆

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2.给出下列命题,其中正确的有(

)

(1)底面是正多边形,而侧棱长与底面边长相等的棱锥是正 多面体;

(2)正多面体的面不是三角形就是正方形;
(3)长方体的各个面是正方形时,它就是正多面体; (4)正三棱锥是正四面体. A.(1)(2) C.(2)(3) B.(3) D.(3)(4)

答案:B
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3.(教材改编)三个球的半径的比是 1∶2∶3,其中最大的一个 球的体积是另两个球的体积之和的( A.2 倍 4 B. 倍 3 D.4 倍 )

C.3 倍

答案:C

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4.若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表 面积为______. 答案:27π 5.在120°的二面角内放一个半径为6的球,使球与两个半平

面各有且仅有一个公共点,则这两个点之间的球面距离等于
________.

答案:2π

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考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 (正)多面体的有关概念与计算

对于正多面体,从它的棱、面等方面研究性质,进行量 的计算.

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例1

若正方体的棱长为 2, 则以该正方体各个面的中心为顶 ) 2 B. 3 2 D. 3

点的凸多面体的体积为( 2 A. 6 3 C. 3

【思路分析】

凸多面体是一个八面体,即两个同底的四棱锥.

目录

【解析】

这个凸多面体由两个全等的正四棱锥组成,

2 2 正四棱锥的底面边长为 2× =1,高等于 , 2 2 1 2 2 所以体积 V=2× ×12× = ,故选 B. 3 2 3

【答案】

B
正方体就是正六面体,连结正方体六个面的

【名师点评】

中心,可得到一个正八面体,正八面体可以看作是由两个棱

长都相等的正四棱锥拼接而成.
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考点2 球的截面与球面距离
(1)平面截球截面是圆面时,要充分利用圆的性质.

球的截面圆的半径r,球心到截面的距离d,球的半径R,三者
之间的关系,能在直角三角形中体现:r2=R2-d2. (2)要注意区分大圆面与小圆面的几何特征.

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例2 如图,在半径为 3 的球面上有 A、B、C 三点,∠ABC
3 2 =90° ,BA=BC,球心 O 到平面 ABC 的距离是 ,则 B、C 2 两点的球面距离是( ) π A. B.π 3 4 C. π 3 D.2π

【思路分析】

AC的中点为△ABC的外接圆圆心→求

BC→∠BOC→结论.

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【解析】
2

△ABC 所在的小圆的半径为

3 22 3 2 r= 3 -? ?= , 2 2 2 BC=AC· 45° sin =3 2× =3. 2 在△OBC 中,OB=OC=BC=3, π ∴∠BOC= , 3 π ∴B、C 两点的球面距离是 3× =π. 3

【答案】

B

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【思维总结】

已知球的半径,求两点B、C的球面距离,首

先求弦长BC,再求球心角∠BOC,最后利用弧长公式求出球
面距离.

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跟踪训练
1.如图,球 O 的半径为 2,圆 O1 是一小圆,O1O= 2,A、B 2π 是圆 O1 上两点,若 A,B 两点间的球面距离为 , 3 则∠AO1B=________.

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2π 解析:由 A、B 两点间的球面距离为 , 3 π 知∠AOB= ,则 AB=2. 3 又 OO1= 2,则 O1A=O1B= 2, π ∴△AO1B 中,有 O1A +O1B =AB ,故∠AO1B= . 2
2 2 2

π 答案: 2

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考点3

球的表面积与体积

球的表面积和体积都是关于球半径R的函数,因此要注意运用 函数与方程的思想方法求球的半径.其中球心是球的灵魂, 抓住了球心就抓住了球的位置.

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例3 设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为 a,顶点
都在一个球面上,则该球的表面积及体积为( 4 3 A.πa , πa 3
2

)

7 2 7 21 3 B. πa , aπ 3 54 D.5πa2,125a3π

11 2 11 33 3 C. πa , aπ 3 54

【思路分析】

正三棱柱上、下底面中心连线的中点为球心.

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【解析】 由题意知,该三棱柱为正三棱柱,且侧棱与底面边 长相等,均为 a. 如图,设 O、O1 分别为下、上底面中心,且球心 O2 为 O1O 的 中点, 3 3 a 又 AD= a,AO= a,OO2= , 2 3 2 设球的半径为 R, 1 2 1 2 7 2 2 2 则 R =AO 2= a + a = a . 3 4 12 7 2 7 2 2 ∴S 球=4πR =4π× a = πa . 12 3 4 3 4 V 球 = πR = π×( 3 3 【答案】 B 7 3 7 21 3 a) = a π. 12 54

【思维总结】

此题的关键是找出球心的位置.
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跟踪训练 2.已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半 径的一半,且AC=BC=6,AB=4,则球的半径等于______, 球的表面积等于______.

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解析:如图,设球的半径为 r,O′是△ABC 的外心,外接圆 半径为 R, 则 OO′⊥面 ABC.在 Rt△ACD 中, 1 2 2 cosA= ,则 sin A= . 3 3 在△ABC 中,由正弦定理得 6 9 9 =2R,R= 2,即 O′C= 2. 4 4 sin A 在 Rt△OCO′中, 1 2 81×2 3 6 2 由题意得 r - r = ,得 r= . 4 16 2 9×6 球的表面积 S=4πr =4π× =54π. 4 3 6 答案: 54π 2
2

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考点4 有关球与多面体的组合体
多面体的顶点都在球面上,则球称为这个多面体的外接球. 凸多面体的各个面都和球面相切,则球称为这个多面体的内 切球.可类比于平面多边形与圆的关系,多面体的性质和球 的性质要充分结合来解决问题.

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例4 正三棱锥的高为 1,底面边长为 2 6,内有一个球与它
的四个面都相切(如图).求: (1)这个正三棱锥的全面积; (2)这个正三棱锥内切球的表面积与体积.

【思路分析】

(1)利用特征三角形求斜高即可;

(2)抓住球心到正三棱锥四个面的距离相等求球的半径.

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【解】

(1)底面正三角形中心到一边的距离为

1 3 × ×2 6= 2, 3 2 则正棱锥侧面的斜高为 12+? 2?2= 3. 1 ∴S 侧=3× ×2 6× 3=9 2. 2 1 3 ∴S 全=S 侧 +S 底 =9 2+ × ×(2 6)2 2 2 =9 2+6 3.

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(2)设正三棱锥 P-ABC 的内切球球心为 O, 连结 OP、 OA、 OB、 OC,而 O 点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径 r. ∴VP- ABC=VO- PAB+VO- PBC+VO- PAC+VO- ABC 1 1 1 = S 侧 · S△ ABC· S 全 · r+ r= r=(3 2+2 3)r. 3 3 3 1 1 3 又 VP- ABC= × × ×(2 6)2×1=2 3, 3 2 2 ∴(3 2+2 3)r=2 3, 2 3?3 2-2 3? 2 3 得 r= = = 6-2. 18-12 3 2+2 3 ∴S 内切球=4π( 6-2)2=(40-16 6)π. 4 8 3 V 内切球 = π( 6-2) = (9 6-22)π. 3 3
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【思维总结】

解决球与其他几何体的切、接问题,关键在

于仔细观察、分析,弄清相关元素的关系和数量关系,选准

最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体
的各种元素以及体现这些元素之间的关系),达到空间问题平 面化的目的.

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方法感悟
方法技巧

1.某点的经度是:经过这点的经线与地轴确定的半平面与本
初子午线(0°经线)和地轴确定的半平面所成的二面角的度数, 即经度是一个二面角.某点的纬度是:经过这点的球半径与

赤道面所成的角的度数.纬度是一个线面角.

图(1):经度——P点的经度也就是 图(2):纬度——P点的纬度也就是

或∠AOB的度数. 或∠POB的度数.

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2.关于球的有关运算 (1)球的大圆含有球的计算元素 R,故有关球的计算问题,通常 先作出球的大圆,然后利用平面几何知识求解. (2)计算或证明截面问题时要注意联系球的半径、截面圆的半径 及球心到截面的距离三者的关系,重视球的截面(含球的切面) 的性质. 1 (3)涉及到多面体的内切球的问题,不妨考虑运用公式 V 多 = 3 Pr(P 为多面体的表面积,r 为内切球的半径),该公式的推导只 需将球心与多面体的各顶点相连,将多面体分成以多面体每一 个面为底面,球心为顶点的小棱锥(高为 r),于是多面体的体积 就等于这些小棱锥的体积之和.
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失误防范
1.正四面体有以下重要性质: (1)在正方体中,截去 4 个相等三棱锥后,可以得到一个正四面 体.同样,一个正四面体补上 4 个相等三棱锥后,可以成为一 个正方体. (2)由(1)可知:正四面体的棱长是相应正方体棱长的 2倍,其 1 体积是相应正方体体积的 . 3 (3)正四面体的相对棱互相垂直.

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2.球面上 A、B 两点的球面距离是用弧长公式计算的,不同于 A、B 两点的直线距离,此时∠AOB 不是用角度表示,而是用 弧度表示. 3. 分清球与其它多面体“切”与“接”的区别. 如正方体的内 1 切球、 外接球, 以及和棱相切的球的半径分别为正方体棱长的 、 2 3 2 、 倍. 2 2 6 设正四面体的棱长为 a,则高 h= a,内切球的半径 r= 3 6 6 a,外接球的半径 R= a.即 h=R+r,R=3r. 12 4

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考向瞭望把脉高考
命题预测
从近两年的高考试题来看,考查的内容主要有 (1)球心到截面的距离、截面圆的半径、球的半径三者间的关 系;(2)球面距离;(3)球的表面积和体积;(4)球与多面体切接 组合问题.在2012年高考中,课标全国卷等均考查球的截面 性质及其体积的求法,四川卷等考查了球面距离问题,课标全国 卷等考查了球的体积问题,此类题虽然以填空、选择题型出现, 由图形复杂对空间想象能力有较高的要求,均属较难题目.

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预测2014年高考仍将以选择题、填空题的形式考查球心到截
面的距离、截面圆的半径、球的半径三者间的关系、球面距

离、球的表面积和体积基础知识,其中球与多面体、圆柱、
圆锥的切接后求表面积和体积仍将是考查的热点.

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典例透析 例
(2011· 高考大纲全国卷)已知平面α截一球面得圆M,过

圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的
半径为4,圆M的面积为4π,则圆N的面积为( A.7π C.11π B.9π D.13π )

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【解析】 如图,由题意可知∠AMN=60° ,设球心为 O,连 接 ON、OM、OB、OC,则 ON⊥CD,OM⊥AB, 且 OB=4,OC=4. 在圆 M 中,∵π·MB2=4π, ∴MB=2.在△OMB 中,OB=4, ∴OM=2 3. 在△MNO 中,OM=2 3,∠NMO=90° -60° =30° , ∴ON= 3. 在△CNO 中,ON= 3,OC=4, ∴CN= 13,∴S=π·CN2=13π.

【答案】

D

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【名师点评】 本题主要考查了球的截面问题以及二面角的平 面角,需要学生具备较高的空间想象能力,对运算也有较高要 求,属难度较大题目.解决本题的关键是将平面 α、平面 β 与 球的截面圆正确作出,构造出球心与圆心、球的半径、截面圆 的半径的直角三角形.

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