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2011年卓越联盟自主招生数学试题及答案(全)


湖南省岳阳县第一中学高三数学组

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2011 年同济大学等九校(卓越联盟)自主招生 数学试题
分值: 分 时量: 分钟

一、选择题, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1.已知向量 a, b 为非零向量, (a ? 2b) ? a,(b ? 2a) ? b, 则 a, b

夹角为( A.

)

? 6

B.

? 3

C.

?? 3

D.

?? 6
)

2.已知 sin 2(? ? r ) ? n sin 2? , 则

tan(? ? ? ? ? ) ?( tan(? ? ? ? ? )

A.

n ?1 n ?1

B.

n n ?1

C.

n n ?1

D.

n ?1 n ?1

3.在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 为棱 AA1 的中点, F 是棱 A1B1 上的点,且 A1 F : FB1 ? 1: 3 ,则异面直 线 EF 与 BC1 所成角的正弦值为( A. )

15 3

B.

15 5

C.

5 3

D.

5 5
)

4. i 为虚数单位,设复数 z 满足 | z |? 1 ,则

z 2 ? 2z ? 2 的最大值为( z ?1 ? i
2 ?1
D. 2 ? 2

A.

2 ?1

B. 2 ? 2

C.

5.已知抛物线的顶点在原点,焦点在 x 轴上, ?ABC 三个顶点都在抛物线上,且 ?ABC 的重心为抛物 线的焦点,若 BC 边所在的直线方程为 4 x ? y ? 20 ? 0 ,则抛物线方程为( ) A.. y 2 ? 16 x B. y 2 ? 8 x C. y 2 ? ?16 x D. y 2 ? ?8 x

6.在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,底面边长与侧棱长均不等于 2,且 E 为 CC1 的中点,则点 C1 到平面 AB1 E 的距离为( A. ) B.

3

2

C.

3 2

D.

2 2

| x| ? kx2 有四个不同的实数解,则 k 的取值范围为( ) x?4 1 1 A. (0,1) B. ( ,1) C. ( , ??) D. (1, ??) 4 4 8.如图, ?ABC 内接于 ? O ,过 BC 中点 D 作平行于 AC 的直线 l , l 交 AB 于 E ,交 ? O 于 G、F ,交 ? O
7.若关于 x 的方程
1

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在 A 点处的切线于 P ,若 PE ? 3, ED ? 2, EF ? 3 ,则 PA 的长为( A.

)

5

B.

6

C. 7

D. 2 2

l P

A G E O D B F 第 8 题图 C

9.数列 {ak } 共有 11 项, a1 ? 0, a11 ? 4, 且 | ak ?1 ? ak |? 1, k ? 1,2,?,10 满足这种条件的不同数列的个数为( A. 100 B. 120 C. 140 ) D. 160

2? 的旋转, ? 表示坐标平面关于 y 轴的镜面反射. 7 用 ?? 表示变换的复合,先做 ? ,再做 ? .用 ? k 表示连续 k 次 ? 的变换,则 ??? 2?? 3?? 4 是( ) A. ? 4 B. ? 5 C. ? 2? D. ?? 2
10.设 ? 是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为 二、解答题 11.设数列 {an } 满足 a1 ? a, a2 ? b,2an? 2 ? an?1 ? an . (1)设 bn ? an ?1 ? an ,证明:若 a ? b ,则 {bn } 是等比数列; (2)若 lim(a1 ? a2 ? ?? an ) ? 4, 求 a , b 的值;
n??

12.在 ?ABC 中, AB ? 2 AC , AD 是角 A 的平分线,且 AD ? kAC . (1)求 k 的取值范围; (2)若 S?ABC ? 1 ,问 k 为何值时, BC 最短?

13.已知椭圆的两个焦点为 F1 (?1,0), F2 (1,0) ,且椭圆与直线 y ? x ? 3 相切. (1)求椭圆的方程; (2)过 F1 作两条互相垂直的直线 l1 , l2 ,与椭圆分别交于 P, Q 及 M , N ,求四边形 PMQN 面积的最大值 与最小值.

2

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14.一袋中有 a 个白球和 b 个黑球.从中任取一球,如果取出白球,则把它放回袋中;如果取出黑球,则该 黑球不再放回,另补一个白球放到袋中.在重复 n 次这样的操作后,记袋中白球的个数为 X n . (1)求 EX 1 ; (2)设 P( X n ? a ? k ) ? pk ,求 P( X n?1 ? a ? k ), k ? 0,1,?, b; (3)证明: EX n?1 ? (1 ?

1 ) EX n ? 1. a?b

15.设 f ( x) ? x ln x . (1)求 f ?( x) ; (2)设 0 ? a ? b, 求常数 c ,使得

1 b | ln x ? c | dx 取得最小值; b ? a ?a

(3)记(2)中的最小值为 Ma , b ,证明 Ma, b ? ln 2 .

3

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参考答案: 一.选择题 1.B 二.解答题

2.D 3.B 4.C 5. A 6.D 7.C 8.B 9.B 10.D

11.【解】(1)证:由 a1 ? a, a2 ? b,2an? 2 ? an?1 ? an ,得 2(an? 2 ? an?1 ) ? ?(an?1 ? an ). 令 bn ? an ?1 ? an , 则 bn ?1 ? ? bn ,所以 {bn } 是以 b ? a 为首项,以 ? 为公比的等比数列; (2)由(1) 可知 bn ? an?1 ? an ? (b ? a)(? )n?1 (n ? N * ) ,

1 2

1 2

1 2

1 1 ? (? ) n 2 , 即 a ? a ? 2 (b ? a)[1 ? (? 1 )n ], 所以由累加法得 an ?1 ? a1 ? (b ? a ) n ?1 1 3 2 1 ? (? ) 2
也所以有 an ? a ? (b ? a)[1 ? (? )n?1 ](n ? 2), n ? 1 时, a1 ? a 也适合该式; 所以 an ? a ? (b ? a)[1 ? (? )n?1 ](n ? N * )

2 3

1 2

2 3

1 2

2 也所以 a1 ? a2 ? ? ? an ? na ? (b ? a)[n ? 3

1 1 ? (? )n 2 ] ? na ? 2 (b ? a)n ? 4 (b ? a) ? 4 (b ? a)(? 1 ) n 1 3 9 9 2 1? 2

2 4 3 9 12.【解】(1)过 B 作直线 BE ? AC ,交 AD 延长线于 E ,如图右. BD AB 所以, ? ? 2, CD AC DE BE BD 也所以有 ? ? ? 2 ,即 BE ? 2 AC , AE ? 3BD. AD AC DC 在 ?ABE 中,有 AE 2 ? AB 2 ? BE 2 ? 2 AB ? BE cos ?EBA.
n??

由于 lim(a1 ? a2 ? ?? an ) ? 4, 所以 a ? (b ? a) ? 0, ? (b ? a) ? 4, 解得 a ? 6, b ? ?3 .
A C D B

即 (3 AD)2 ? (2 AC)2 ? (2 AC)2 ? 2(2 AC ? 2 AC) ? cos A 所以, 9(kAC)2 ? 8 AC 2 ? 8 AC 2 ? cos A, 即 k 2 ? (1 ? cos A) ? (0, 所以 0 ? k ?

E

8 9

16 ) 9

4 . 3 1 AB ? AC ? sin A ? AC 2 sin A ? 1 2 5 ? 4cos A sin A

(2)因为 S?ABC ?

在 ?ABC 中,有 BC 2 ? AB2 ? AC 2 ? 2 AB ? AC cos A ? 5 AC 2 ? 4 AC 2 cos A ? 记y?

5 ? 4cos A ,则 y sin A ? 4cos A ? 5, y 2 ? 42 sin( A ? ? ) ? 5 sin A
4

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当 sin( A ? ? ) ? 1 时, y 2 ? 42 ? 5 ? y ? 3 此时 y 取最小值,此时 cos A ? 故当 k ?

3 . 5

8 5 时, BC 取最小值 3 . 15 x2 y 2 13.【解】设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,因为它与直线 y ? x ? 3 只有一个公共点, a b

? x2 y2 ? 1, ? ? 所以方程组 ? a 2 b 2 只有一解,整理得 (a2 ? b2 ) x2 ? 2 3a2 x ? 3a 2 ? a 2b2 ? 0 . ? y ? x ? 3. ?
所以 ? ? (?2 3a2 )2 ? 4(a2 ? b2 (3a2 ? a2b2 ) ? 0, 得 a 2 ? b2 ? 3 . 又因为焦点为 F1 (?1,0), F2 (1,0) ,所以 a 2 ? b2 ? 1, 联立上式解得 a 2 ? 2, b2 ? 1 所以椭圆方程为

x2 ? y2 ? 1 . 2

| PQ | ? | MN | (2)若 PQ 斜率不存在(或为 0)时,则 S四边形PMQN ? ? 2 1 若 PQ 斜率存在时,设为 k (k ? 0) ,则 MN 为 ? . k

2 2 ? 2 1? 2

1 2 ? 2.

所以直线 PQ 方程为 y ? kx ? k .设 PQ 与椭圆交点坐标为 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 )

? x2 2 ? ? y ? 1, 联立方程 ? 2 化简得 (2k 2 ? 1) x2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 . ? y ? kx ? k . ?
则 x1 ? x2 ?

?4k 2 2k 2 ? 2 , x1 x2 ? 2 2k 2 ? 1 2k ? 1

所以 | PQ |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? 同理可得 | MN |? 2 2

(1 ? k 2 )[16k 4 ? 4(2k 2 ? 1)(2k 2 ? 1)] k2 ?1 ?2 2 2 2k 2 ? 1 2k ? 1

k2 ?1 2 ? k2

所以 S四边形PMQN

1 2 k | PQ | ? | MN | (k 2 ? 1)2 k 4 ? 2k 2 ? 1 1 ? ?4 4?4 4 ? 4( ? 4 2 2 ) 2 (2 ? k 2 )(2k 2 ? 1) 2k ? 5k 2 ? 2 2 2k ? 5k ? 2 1 k2 1 1 ? 4( ? 4 ) ? 4( ? ) 2 2 4k ? 10k ? 4 2 4k 2 ? 4 1 ? 10 k2
5

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因为 4k 2 ? 4

1 4 ? 10 ? 2 4k 2 ? 2 ? 10 ? 18 (当且仅当 k 2 ? 1 时取等号) 2 k k

所以,

1 1 4k 2 ? 4 2 ? 10 k

? (0,

1 1 1 16 ], 也所以 4( ? ) ?[ ,2] 1 18 2 4k 2 ? 4 ? 10 9 k2

所以综上所述, S四边形PMQN 的面积的最小值为

16 ,最大值为 2. 9

a ;也可能为 a ? 1 个 a?b a b a 2 ? ab ? b b ? (a ? 1) ? ? (即取出的是黑球),概率为 ,故 EX 1 ? a ? . a?b a?b a?b a?b a (2)首先, P( X n?1 ? a ? 0) ? P ? ; k ? 1 时,第 n ? 1 次取出来有 a ? k 个白球的可能性有两种; 0 a?b 第 n 次袋中有 a ? k 个白球,显然每次取出球后,球的总数保持不变,即 a ? b 个白球(故此时黑球有 a?k b ? k 个),第 n ? 1 次取出来的也是白球,这种情况发生的概率为 P ? ; k a?b 第 n 次袋中有 a ? k ? 1 个白球,第 n ? 1 次取出来的是黑球,由于每次球的总数为 a ? b 个,故此时 b ? k ?1 黑球的个数为 b ? k ? 1 .这种情况发生的概率为 P ?1 ? (k ? 1) . k a?b a?k b ? k ?1 故 P( X n?1 ? a ? k ) ? P ? ? Pk ?1 ? (k ? 1). k a?b a ?b
14. 解】 n ? 1 时,袋中的白球的个数可能为 a 个(即取出的是白球),概率为 【 (1) (3)第 n ? 1 次白球的个数的数学期望分为两类: 第 n 次白球个数的数学期望,即 EX n .由于白球和黑球的总个数为 a ? b ,第 n ? 1 次取出来的是白球, 这种情况发生的概率是 白球的个数是 EX n ? 1.

EX n a ? b ? EX n ;第 n ? 1 次取出来的是黑球,这种情况发生的概率是 ,此时 a?b a?b

EX n a ? b ? EX n ( EX n ) 2 EX n EX n ? ? ( EX n ? 1) ? ? (1 ? )( EX n ? 1) a?b a?b a?b a?b ( EX n ) 2 ( EX n ) 2 EX n ) 1 ? ? EX n ? ?1? ? (1 ? ) EX n ? 1 a?b a?b a?b a?b 1 15.(1) f ?( x) ? ln x ? x ? ? ln x ? 1 ; x (2)若 c ? ln a, 则 | ln x ? c |? ln x ? c, 显然,当 c ? ln a,ln x ? c 取最小; 若 c ? ln b, 则 | ln x ? c |? c ? ln x, 当 c ? ln b, c ? ln x 取最小.
故 EX n ?1 ? 故 ln a ? c ? ln b.
ec b 1 b 1 | ln x ? c | dx ? [? (ln x ? c)dx ? ? c (c ? ln x)dx] ?a a e b?a b?a ec b 1 ? {? [(ln x ? 1) ? (c ? 1)]dx ? ? c [(c ? 1) ? (ln x ? 1)]dx} e b?a a

6

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c

由(1)知 ? [(ln x ? 1) ? (c ? 1)]dx ? x ln x |e ?(c ? 1)(ec ? a) a
a

ec

?

b

ec

[(c ? 1) ? (ln x ? 1)]dx ? (c ? 1)(ec ? a) ? x ln x |bc e

所以,

1 b 1 c ?a | ln x ? c | dx ? b ? a (?a ln a ? b ln b ? 2e ? a ? b ? ac ? bc)?(?) b?a

记 g (c) ? ?2ec ? (a ? b)c ? a ln a ? b ln b ? a ? b, 则令 g ?(c) ? ?2ec ? a ? b ? 0 ,得 c ? 即c ?

a?b 2

1 b a?b 时, | ln x ? C | dx 取最小值. b ? a ?a 2 1 a?b a?b (3)将 c ? 代入 (?) 式右边, Ma, b ? [?a ln a ? b ln b ? (a ? b)ln ] ? ln 2 b?a 2 2 a?b 等价于 (a ? b)ln ? a ln a ? b ln b ? (b ? a)ln 2 ? (a ? b) ? ln(a ? b) ? a ln a ? b ln b ? 2b ln 2 2 b a ? a ln(a ? b) ? a ln a ? b ln(a ? b) ? b ln b ? 2b ln 2 ? a ln(1 ? ) ? b ln( ? 1) ? 2b ln 2. a b a a b 由于 0 ? a ? b, ? 1 ? 2 时, b ln(1 ? ) ? b ln 2. 所以下面只须证明 a ln(1 ? ) ? b ln 2 即可. b b a b a b a 又 a ln(1 ? ) ? b ln 2 ? ln(1 ? ) ? ln 2. 令 ? t ? (0,1) , a b a b a b 1 1 1 则 ln(1 ? ) ? t ln(1 ? ) ? ln(1 ? )t ,注意到函数 ln(1 ? )t 是单调递增的,且 t ? 1. b a t t t 1t 11 所以 ln(1 ? ) ? ln(1 ? ) ? ln 2 .得证. t 1

天津大学等九所高校“卓越联盟”自主招生 学业水平测试试卷分析
对于数理知识测试中数学部分,专家评论道:数学考题考察的是高中数学的基本知识、 基本概念和基本技能,但只是考察的侧重点与高考不同,试题重点考察了学生的空间想象能 力,要求学生能将“数”与“形”相结合来分析和解决问题。该份试卷从工科院校的特点出 发,考察了学生应用基础知识求解几何与分析方面的(最大值或最小值)优化问题,能够延伸 性地考察学生的数学能力。 对于数理知识测试中物理部分,专家评论道:物理题目涉及了力学、热学、光学、电磁学、 振动、近代物理知识,体现了能力测试为主导,特别是考核学生综合运用基础知识,基本技能解 决问题和分析问题的能力。选择题多数与高考题类型相似,主要考核学生对物理基本概念、基 本思想的理解掌握程度和基本原理的运用能力。计算题主要考察了电学、热学和力学知识的 综合应用能力。
7


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