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江苏省淮海中学2014-2015第一学期期末高二数学测试四

时间:2015-03-09


淮海中学 2014-2015 第一学期期末高二数学测试四
一.填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分)
1.椭圆
x2 y 2 ? ? 1 的焦距是 12 3

. . .

2.以圆 x 2 + y 2 = 4 上点(1, 3)为切点的圆切线方程是 3.若方程

x2

y2 ? ? 1表示的图形是双曲线,则 k 的取值范围为 2 ? k 2k ? 3

4.已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 上一点 M 到左焦点 F1 的距离是 2,则 M 到右准线的距离为 25 9


5.曲线 y ? x 3 ? x ? 3 在点 P(1,3) 处的切线方程为 6.函数 f ( x) ? xe x 的单调增区间为 .

7.把一个圆锥截成圆台,已知圆台的上、下底面半径之比为 1:2,母线长为 6cm,则圆锥 的母线长为 cm. 8.函数 f ( x ) ?

1 x ? sin x 在区间[0,π]上的最小值为 2
2



9.已知函数 f ( x) ? mx ? ln x ? 2 x 在定义域内是增函数,则实数 m 的取值范围为 10. 已知定义域为 R 的函数 f ( x) 满足 f (1) ? 3 ,且 f ( x) 的导数 f ?( x) ? 2 x ? 1 ,则不等式

f (2 x) ? 4 x 2 ? 2 x ? 1 的解集为

.

2 2 11. 圆 C1 : x2 ? y 2 ? 4ax ? 4a2 ? 4 ? 0 和 圆 C2 : x 相内切,若 ? y ?2 b y ? 2b ? 1 ?0

a, b ? R ,且 ab ? 0 ,则

1 1 ? 2 的最小值为 2 a b

_

________ .
D1 A1 M D C A B B1 C1

12.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 是 DD1 的中点, 则下列结论正确的是 (填序号)

①线段 A1M 与 B1C 所在直线为异面直线; ②对角线 BD1⊥平面 AB1C; ③平面 AMC⊥平面 AB1C; ④直线 A1M//平面 AB1C. 13.在直角坐标系中,已知 A? ?1,0? , B ?1,0 ? ,点 M 满足 取值范围为 .
1

MA ? 2 ,则直线 AM 的斜率的 MB

14.如图:设椭圆

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? 的左,右两个焦点分 a2 b2

别为 F1 , F2 ,短轴的上端点为 B ,短轴上的两个三等分点为

P, Q , 且 F1 PF2 Q 为正方形, 若过点 B 作此正方形的外接圆的
切线在 x 轴上的一个截距为 ? 为 .

3 2 ,则此椭圆方程的方程 4

二.解答题(本大题共 6 小题,共计 90 分) 15.如图,在四面体 ABCD 中, CB ? CD , AD ? BD ,点 E , F 分别是 AB , BD 的 中点. (1) EF∥平面 ACD (2)求证:平面 EFC ⊥平面 BCD ; (3)若平面 ABD ⊥平面 BCD ,且 AD ? BD ? BC ? 1 , 求三棱锥 B ? ADC 的体积.

16.设函数 f ( x) ? x ? 6 x ? 5, x ? R
3

(1)若关于 x 的方程 f ( x) ? a 有三个不同实根,求实数 a 的取值范围; (2)已知当 x ? (1, ??) 时, f ( x) ? k ( x ? 1) 恒成立,求实数 k 的取值范围。

2

17,已知圆 C1 : x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 (Ⅰ)若圆 C2 经过 E (1, ?3), F (0, 4) ,且圆 C2 与圆 C1 的公共弦平行于直线 2 x ? y ? 1 ? 0 , 求圆 C2 的方程. (Ⅱ)求证:不论实数 ? 取何实数时,直线 l1 : 2? x ? 2 y ? 3 ? ? ? 0 与圆 C1 恒交于两点,并 求出交点弦长最短时直线 l1 的方程。

18.如图,在半径为 10 3cm 的半圆形(O 为圆心)铁皮上截取一块矩形材料 ABCD, 其中点 A、B 在直径上,点 C、D 在圆周上,将所截得的矩形铁皮 ABCD 卷成一个以 AD 为母线的圆柱形罐子的侧面 (不计剪裁和拼接损耗) , 记圆柱形罐子的体积为 V (cm ) . (1)按下列要求建立函数关系式: ①设 AD ? x cm ,将 V 表示为 x 的函数; ②设 ?AOD ? ? ( rad ) ,将 V 表示为 ? 的函数; (2)请您选用(1)问中的一个函数关系,求圆柱形罐子的最大体积.
3

D

C

A

θ O B

第(18)题图

3

C:

19、 .如图,设椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2 的左焦点为 F ,上顶点为 A ,过点 A 与 AF 垂

直的直线分别交椭圆 C 与 x 轴正半轴于点 P、 Q , 且 (1)求 椭圆 C 的离心率;

8 AP ? PQ 5 .

(2)若过 A 、 Q 、 F 三点的圆恰好与直线 l : x ? 3 y ? 3 ? 0 相切,求椭圆 C 的方程.

20、设圆 动圆

C1 : x2 ? y 2 ?10x ? 6 y ? 32 ? 0 ,

C2 : x2 ? y2 ? 2ax ? 2(8 ? a) y ? 4a ? 12 ? 0 , C C (1)求证:圆 1 、圆 2 相交于两个定点;
x2 ? y2 ? 1 C T (2)设点 P 是椭圆 4 上的点,过点 P 作圆 1 的一条切线,切点为 1 ,过点 P 作 C2 T2 C2 PT1 ? PT2
圆 的一条切线,切点为 ,问:是否存在点 P,使无穷多个圆 果存在,求出所有这样的点 P;如果不存在,说明理由. ,满足

?如

[来源:数理化网]

4

答案
1、6;2、 x ? 3 y ? 4 ;3、k>2 或 k<3/2; 4、10;5、y=2x+1 ;6、[-1, ? ?) 7、12;

1 3 1 x ? y ?1 8、 ? ;9、m ? ;10、( , ??) ;11、9;12、①②③;13、[-1,1];14、 10 9 2 2 6 2 3 15、 ;16、 5 ? 4 2 ? a ? 5 ? 4 2 ; k ? ?3 12

?

2

2

17.解: (Ⅰ) 解法一:设圆 C2 的一般方程为: x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0, 则公共弦所在的直线方程为: ( D ? 2) x ? ( E ? 2) y ? F ? 0, 所以 又

D?2 E?4 ? , 即 D ? 2 E ? 6 ---------------------------------6 分 2 1
因 为 圆

C2





E( ? 1 F ,

3 ,)

, 所

( 以

0

,

4

)

D 9? E ?3 F? ? 0? , D ?1 ? ? ? 4F ?? 0 ? ,E---8 分 ? 1 ? 6E ? ? ? ? D ?2 ?E 6 , ? ?? F 1 ?
2 2

?6 0 6 .

, ,

所以圆 C2 的方程为 x ? y ? 6x ?16 ? 0 .---------------------------10 分 解法二:设圆 C2 的圆心 C2 的坐标为 ( a, b) ,则有

? (a ? 1) 2 +(b ? 3) 2 ? (a ? 0) 2 +(b ? 4) 2 ? ----------------------6 分 ?b ? 2 ? ( ? 2) ? ? 1 ? ? a ?1
解得 ?

?a ? ?3 ?b ? 0

---------------------8 分

设圆 C2 的半径 r2 ?

(?3 ? 1) 2 ? (0 ? 3) 2 ? 5
2 2

所以圆 C2 的方程为 ( x ? 3) ? y ? 25 ---------------------10 分 (Ⅱ)将直线 l1 : 2? x ? 2 y ? 3 ? ? ? 0 方程整理为:

? ? 2x ?1? ? ? 2 y ? 3? ? 0 对于 ? ? R 恒成立,
所以 ?

?2 x ? 1 ? 0 1 3 ,即直线 l1 恒过定点 P ( , ) ,------------------12 分 2 2 ?2 y ? 3 ? 0

由圆心 C1 (1, 2) ,半径为 1.

5

1 3 2 PC1 ? ( ? 1)2 ? ( ? 2)2 ? ?1 2 2 2
1 3 P ( , ) 恒在圆 C1 内, 2 2
所以不论实数 ? 取何实数时, 直线 l1 : 2? x ? 2 y ? 3 ? ? ? 0 与圆 C1 恒交于两点-----14 分 直线 l1 与圆 C1 恒交点弦长最短时, l1 ? PC1

kPC1 ? 1 ,直线 l1 的斜率为 k1 ? ?1
所以直线 l1 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 ,即为所求.----------------16 分 18、8.解: (1)① AB ? 2 (10 3) 2 ? x 2 ? 2? r , r ?

300 ? x 2

?



V ? f ( x) ? ? (
4分

300 ? x 2

?

)2 ? x ?

1

?

(? x 3 ? 300 x) , ( 0 ? x ? 10 3 )

………………

② AD ? 10 3 sin ? , AB ? 20 3 cos ? ? 2? r , r ?

10 3 cos ?

?



10 3 cos ? 2 3000 3 ? V ? g (? ) ? ? ( ( 0 ? ? ? )……… ) ? 10 3 sin ? ? sin ? cos 2 ? , ? ? 2
8分 (2)选用 f ( x) : f '( x) ? ?

3

?

( x 2 ? 100) ? ?

3

?

( x ? 10)( x ? 10) , 0 ? x ? 10 3 ,
………………10 分

令 f '( x) ? 0 ,则 x ? 10 列表得:

x
f '( x)

(0,10)

10
0
极大值

(10,10 3)

?
单调增

?
单调减 ………………13 分

f ( x)

(不列表,利用导函数的符号,判断出单调性同样得分)

6

? f ( x) max ? f (10) ?

2000

?
?
2 , 0 ? t ? 1 , h(t ) ?

选用 g (? ) :令 t ? sin ? , 0 ? ? ?

3000 3

?

t (1 ? t 2 )

? h '(t ) ?

3000 3

?

(?3t 2 ? 1) ? ? 3 3

9000 3

?

(t ?

3 3 )(t ? ), 3 3
………………

令 h '(t ) ? 0 ,则 t ? 10 分 列表得:

t
h '(t )

(0,

3 ) 3

3 3

(

3 ,1) 3

?
单调增

0
极大值

?
单调减 ………………13 分

h(t )

? h(t ) max ? h(

3 2000 2000 ,即 g (? ) max ? )? 3 ? ?

………………15 分

(对 g (? ) 直接求导求解也得分, g '(? ) ? 答:圆柱形罐子的最大体积为

3000 3 cos ? (1 ? 3 sin ? )(1 ? 3 sin ? )

?



2000

?



19.(I)设

Q( x0 ,0) ,由 F (?c, 0), A(0, b) ,知 FA ? (c, b), AQ ? ( x0 , ?b) .
2

FA ? AQ,?cx0 ? b ? 0 ,得
P( x1 , y1 ),由AP ?

x0 ?

b2 c .



8 8b2 5 PQ, 得x1 ? ,y ? b 5 13c 13 .................4 分

8b2 2 5 ) ( b)2 13c ? 13 ?1 2 b2 因为点 P 在椭圆上,所以 a ,整理得: (
7

2b ? 3ac,即 2(a ? c ) ? 3ac, 2e ? 3e ? 2 ? 0 ,故椭圆的离心率
2 2 2 2

e?

1 2 .......8 分

2b 2 ? 3ac, 得
(II)由(I)知

1 3 b2 3 1 ? a, 又c ? a, 于是F (? a, 0), Q( a, 0) 2 2 c 2 2 ,12 分

1 a?3 1 1 2 (? a, 0), r ? FQ ? a, 所以 ?a 2 2 所以 ?AQF 的外接圆圆心为 2 半径 ,...14 分
x2 y 2 ? ?1 3 解得 a ? 2,? c ? 1, b ? 3 ,故所求椭圆方程为 4 .........16 分

20.解(1)将方程 x ? y ? 2ax ? 2(8 ? a) y ? 4a ? 12 ? 0 化为
2 2

x2 ? y 2 ?16 y ? 12 ? (?2x ? 2 y ? 4)a ? 0 ,

? x2 ? y 2 ? 16 y ? 12 ? 0 ? x ? 4 ? x ? 6 ? ? ? ?2 x ? 2 y ? 4 ? 0 y ? 2 或 ? y ? 4 ,所以圆 C2 过定点 (4, 2) 和 令? 得? (6, 4) ,……………4 分
?x ? 4 ? y ? 2 代入 x2 ? y 2 ?10x ? 6 y ? 32 ? 0 ,左边=16 ? 4 ? 40 ? 12 ? 32 ? 0 ? 右边,故点 将? (4, 2) 在圆 C1 上,同理 可得点 (6, 4) 也在圆 C1 上,所以圆 C1 、圆 C2 相交于两个定点 (4, 2)
和 (6, 4) ;……………6 分 (2)设
2 2 P( x0 , y0 ) ,则 PT1 ? x0 ? y0 ? 10 x0 ? 6 y0 ? 32 ,………8 分

PT2 ? x0 2 ? y0 2 ? 2ax0 ? 2(8 ? a) y0 ? 4a ? 12

, ………………………10 分

PT1 ? PT2 即 ?10x0 ? 6 y0 ? 32 ? ?2ax0 ? 2(8 ? a) y0 ? 4a ? 12 ,整理得 ( x0 ? y0 ? 2)(a ? 5) ? 0 (*)……………………………12 分
? x0 ? y0 ? 2 ? 0 ? 2 ? x0 ? y0 2 ? 1 ? C2 PT ? PT ? 4 1 2 存在无穷多个圆 ,满足 的充要条件为 有解,解此方程组得
6 ? x0 ? ? ? 5 ? x0 ? 2 ? ?y ? ? 4 ? 0 5 ,…………………………………………14 分 ? ? y0 ? 0 或 ?
8

故 存 在 点 P , 使 无 穷 多 个 圆

C2 , 满 足 PT1 ? PT2 , 点 P 的 坐 标 为

6 4 (2, 0)或( , ? ) 5 5 .………………16 分

9


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