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2016届湖北省枣阳市第二中学高三上学期期中考试数学(理)试题 word版

时间:


枣阳市第二中学高三年级 2015-2016 学年度上学期期中考试数 学(理科)试题
命题人: 满分 150 分,考试时间 120 分钟 ★ 祝考试顺利 ★

第 I 卷(选择题)

评卷人

得分 一、选择题(本大题共 10 小题,每题 5 分,共计 50 分)

1.已知 ? 3 x ?

1? ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x 3 ? ??? ? an x n ( n ? ? ? ) ,设 ? 3 x ? 1? 展开式的二项
n n

式系数和为 S n , ?n ? a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? an ( n ? ? ? ) , S n 与 ?n 的大小关系是( A. S n ? ?n B. S n ? ?n C. n 为奇数时, S n ? ?n , n 为偶数时, S n ? ?n D. S n ? ?n



2.已知函数 f ? x ? ? x cos x , f ? ? x ? 是 f ? x ? 的导数,同一坐标系中, f ? x ? 和 f ? ? x ? 的 大致图象是( )

3.八人分乘三辆小车,每辆小车至少载人最多载 4 人,不同坐法共有( ) A. 770 种 B. 1260 种 C. 4620 种 D. 2940 种 4.已知 f ? x ? ? x ? 6 x ? 9 x ? 2 , f ? ? x ? 是 f ? x ? 的导数, f ? x ? 和 f ? ? x ? 单调性相同的
3 2

区间是(

) B. ?1, 2? 和 ?3, ?? ?

A. ?1, 2? ? ?3, ?? ?

C. ? ??, 2?

D. ? 2, ?? ?

5. “ ? , ? , C , D 四点不在同一平面内”是“ ? , ? , C , D 四点中任意三点不在同 一直线上”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.某电视台娱乐节目中,需要在编号分别为、 2 、 3 、 4 、 5 的五个礼品盒中,装四个不 同礼品,只有一个礼品盒是空盒.不同的装法有( ) A. 5 种 B. 20 种 C. 24 种 D. 120 种 7.已知命题 p : 若 ? ? 中正确的是( ) A. p ? q 是真命题 C. ?p 是真命题
x ?x

?
6

,则 sin ? ?

1 1 ? ;命题 q : 若 sin ? ? ,则 ? ? .下面四个结论 2 2 6

B. p ? q 是真命题 D. ?q 是假命题 )

8.已知函数 f ? x ? ? e ? e ( e ? 2.71828 ??? 是自然对数的底数) , f ? x ? 的导数是( A.偶函数 B.奇函数 C.增函数 D.减函数 ) D. 4

9.已知随机变量 ? ? ? ?10, 0.04 ? ,随机变量 ? 的数学期望 ? ?? ? ? ( A. 0.2
2

B. 0.4

C. 2 )

10.已知函数 y ? 2 x ? 2 x ? 1 的导数为 y? , y? ? ( A. 2 x ? 2 B. 4 x ? 1

C. 4 x ? 2

D. 2 x ? 1

第 II 卷(非选择题)

评卷人

得分

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分.请将答 案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置,书写不清,模棱 两可,对而不全均不得分. )

11. 如图, 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 对角线 B1D 与平面 A1BC1 交于 E 点. 记四棱锥 E-A1B1C1D1 的体积为 V1,长方体 ABCD-A1B1C1D1 的体积为 V2,则

V1 的值是 V2



D1 A1 E D A B B1

C1

C

12 .在平面直角坐标系 xoy 中,已知圆 C : x ? y ? 6 x ? 5 ? 0 ,点 A, B 在圆 C 上,且
2 2

??? ? ??? ? AB ? 2 3 ,则 OA ? OB 的最大值是



13.一正四面体木块如图所示,点 P 是棱 VA 的中点,过点 P 将木块锯开,使截面平行于棱 VB 和 AC,若木块的棱长为 a,则截面面积为 .

14.如图,AB 为圆 O 的直径,点 C 在圆周上(异于点 A,B) ,直线 PA 垂直于圆 O 所在的平 面,点 M 为线段 PB 的中点.有以下四个命题:

①PA∥平面 MOB; ②MO∥平面 PAC; ③OC⊥平面 PAC; ④平面 PAC⊥平面 PBC. 其中正确的命题是 (填上所有正确命题的序号) 15.若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4 x ? 3 y ? 0 和 x 轴都相切,则该圆的 标准方程是 .
2 2

16.直线 y=kx+3 与圆(x-1) +(y+2) =4 相交于 M,N 两点,若 MN ? 2 3 ,则实数 k 的取 值范围是 . .

17.直线 (m ? 2) x ? (2m ? 1) y ? (3m ? 4) ? 0 ,恒过定点

评卷人

得分

三、解答题(本大题共 5 小题,共 65 分,解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.)
2 的椭圆 C: 2

18 . ( 本小 题 满 分 13 分) 如 图 , 已 知 点 A ( 1 , 2 ) 是 离 心 率 为

y 2 x2 ? ? 1,(a ? b ? 0) 上的一点,斜率为 2 的直线 BD 交椭圆 C 于 B、D 两点,且 A、B、D a 2 b2 三点互不重合.

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求证:直线 AB、AD 的斜率之和为定值. 19. (本小题满分 12 分)已知三棱柱 ABC- A?B?C ? 中,平面 BCC ?B? ⊥底面 ABC,BB′⊥AC, 底面 ABC 是边长为 2 的等边三角形, AA? =3,E、F 分别在棱 AA? , CC ? 上,且 AE= C ?F =2.

(Ⅰ)求证: BB? ⊥底面 ABC; (Ⅱ)在棱 A?B? 上找一点 M,使得 C ?M ∥平面 BEF,并给出证明. 20. (本小题满分 12 分)在某高校自主招生考试中,所有选报 II 类志向的考生全部参加了 “数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试,成绩分为 A, B, C , D, E 五个等级.某考 场考生的两科考试成绩数据统计如下图所示,其中“数学与逻辑”科目的成绩为 B 的考生 有 10 人.

(Ⅰ)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成 绩为 A 的人数; (Ⅱ) 若等级 A, B, C , D, E 分别对应 5 分, 4 分, 3 分, 2 分,分,求该考场考生“数学与逻辑” 科目的平均分; (Ⅲ)已知参加本考场测试的考生中, 恰有两人的两科成绩均为 A .在至少一科成绩为 A 的 考生中,随机抽取两人进行访谈,求这两人的两科成绩均为 A 的概率.

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x ) ? sin ? (Ⅰ)求函数 f ? x ? 的周期及单调递增区间;

? 7? ? ? 2 x ? ? 2sin 2 x ? 1( x ? R ) , 6 ? ?

(Ⅱ)在 ?ABC 中,三内角 A , B , C 的对边分别为 a, b, c ,已知函数 f ? x ? 的图象经过 点 ? A,

? ?

??? ? ???? 1? ? , b, a, c 成等差数列,且 AB ? AC ? 9 ,求 a 的值. 2?
1 , (a ? R) . x

22. (本小题满分 l4 分)已知函数 f ( x) ? ax ? (1 ? a ) ln x ? (Ⅰ)当 a=0 时,求 f ( x) 的极值; (Ⅱ)当 a<0 时,求 f ( x) 的单调区间;

(Ⅲ)方程 f ( x) ? 0 的根的个数能否达到 3,若能请求出此时 a 的范围,若不能,请说明理 由,

参考答案 选择: 1-5.CCCBA 6-10DBABC 填空:

1 9 12. 8
11. 13.

a2 4
2 2

14.②④ 15. ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 1 16. ? ? ?,?

? ?

12 ? 5? ?

17. ?- 1, - 2? 解答题:

y 2 x2 ? ? 1, (Ⅱ)详见解析 4 2 试题分析: (Ⅰ)求椭圆标准方程,一般利用待定系数法,只需列出两个独立条件即可:一 是离心率, 二是点在椭圆上, (Ⅱ) 证明直线 AB、AD 的斜率之和为定值, 先从点的坐标出发, 将斜率用坐标表示,利用直线与椭圆联立方程组得到坐标之间等量关系:设 D(x1,y1) 、B
18. (Ⅰ) ( x2 , y2 ), 则 x1 + x2 = -

m2 ? 4 2 m , x1x2 = , 而 4 2

kAD + kAB =

x1 ? x2 ? 2 y1 ? 2 y2 ? 2 2 x1 ? m ? 2 2 x2 ? m ? 2 ,最后代入化简即 ? 2 2+m ? ? ? x1 x2 ? x1 ? x2 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1

可. 试题解析: (Ⅰ)解 由题意,可得 e=
2 2 2

y 2 x2 2 2 1 ,将(1, 2 )代入 2 ? 2 ? 1 ,得 2 ? 2 ? 1 , a b 2 a b

又 a =b +c ,解得 a=2,b= 2 ,c= 2 , 所以椭圆 C 的方程为

y 2 x2 ? ? 1, 4 2

(Ⅱ)证明 设直线 BD 的方程为 y= 2 x+m,又 A、B、D 三点不重合,所以 m≠0.设 D(x1, y1) 、B(x2,y2) ,

? y ? 2x ? m ? 2 2 由? 2 得,4x +2 2 mx+m -4=0, 2 ? ?2x ? y ? 4
所以 Δ =-8m +64>0,∴-2 2 <m<2 2 ,
2

m2 ? 4 2 m①,x1x2= ②. 4 2 设直线 AB、AD 的斜率分别为 kAB、kAD,
x1+x2=- 则 kAD + kAB =
x1 ? x2 ? 2 y1 ? 2 y2 ? 2 2 x1 ? m ? 2 2 x2 ? m ? 2 ? 2 2+m ? ? ? x1 x2 ? x1 ? x2 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1

(*) .? 11 分 将①②式代入(*) ,
2 m?2 2 得 2 2+m 2 ?2 2 ?2 2 ?0 m ?4 2 ? m ?1 4 2 -

所以 kAD+kAB=0,即直线 AB、AD 的斜率之和为定值 0. 考点:椭圆方程,直线与椭圆位置关系 19. (Ⅰ)详见解析(Ⅱ)M 为 A′B′的中点.

试题分析: (Ⅰ) 先将面面垂直转化为线面垂直: 取 BC 中点 O, 则 AO⊥BC, 即由平面 BCC′B′ ⊥底面 ABC 得 AO⊥平面 BCC′B′,从而 AO⊥BB′,又 BB′⊥AC,因此由线面垂直判定定理 得 BB′⊥底面 ABC. (Ⅱ)证明线面平行,一般利用线面平行判定定理,关键在于找出线线 平行.这时一般利用平几知识进行转化,如利用平行四边形.

试题解析: (Ⅰ)证明 取 BC 中点 O,连接 AO,因为三角形 ABC 是等边三角形,所以 AO⊥BC, 又因为平面 BCC′B′⊥底面 ABC,AO?平面 ABC,平面 BCC′B′∩平面 ABC=BC, 所以 AO⊥平面 BCC′B′,又 BB′?平面 BCC′B,所以 AO⊥BB′. 又 BB′⊥AC,AO∩AC=A,AO?平面 ABC,AC?平面 ABC. 所以 BB′⊥底面 ABC. (Ⅱ)显然 M 不是 A′,B′,棱 A′B′上若存在一点 M,使得 C′M∥平面 BEF,过 M 作 MN ∥AA′交 BE 于 N,连接 FN,MC′,所以 MN∥CF,即 C′M 和 FN 共面, 所以 C′M∥FN, 所以四边形 C′MNF 为平行四边形, 所以 MN=2, 所以 MN 是梯形 A′B′BE 的中位线,M 为 A′B′的中点. 考点:线面垂直判定定理,线面平行判定定理 20. (Ⅰ)3(Ⅱ)2.9(Ⅲ)

1 6

试题分析: (Ⅰ)先根据“数学与逻辑”科目中成绩等级为 B 的考生人数确定参加考试所有 人数:10 ? 0.25 ? 40 人,再根据“阅读与表达”科目中成绩为 A 的频率 0.075,因此人数 为 3 人(Ⅱ)根据频率可求平均分:1? 0.2 ? 2 ? 0.1 ? 3 ? 0.375 ? 4 ? 0.25 ? 5 ? 0.075 ? 2.9 (Ⅲ)先确定至少一科成绩为 A 的考生的人数:恰有两人的两科成绩等级均为 A,2 人只有 一个科目得分为 A,然后利用枚举法列举所有基本事件,共 6 个,其中两人的两科成绩均为

1 A 的只有一种,最后根据古典概型概率公式求得 6
试题解析: (Ⅰ)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为 B 的考生有 10 人, 所以该考场有 10 ? 0.25 ? 40 人 所 以该考 场考生 中 “ 阅读与 表达 ” 科目 中成绩 等级为 A 的人数 为

40 ? (1 ? 0.375 ? 0.375 ? 0.15 ? 0.025) ? 40 ? 0.075 ? 3

(Ⅱ)该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为

1? 0.2 ? 2 ? 0.1 ? 3 ? 0.375 ? 4 ? 0.25 ? 5 ? 0.075 ? 2.9
(Ⅲ)因为两科考试中,共有 6 人得分等级为 A,又恰有两人的两科成绩等级均为 A, 所以还有 2 人只有一个科目得分为 A, 设这四人为甲,乙,丙,丁,其中甲,乙是两科成绩都是 A 的同学,则在至少一科成绩等级 为 A 的考生中,随机抽取两人进行访谈,基本事件空间为

? ? { {甲,乙},{甲,丙},{甲,丁},{乙,丙},{乙,丁},{丙,丁},有 6 个基本事件
设“随机抽取两人进行访谈,这两人的两科成绩等级均为 A”为事件 B,所以事件 B 中包含

P( B ) ?
的基本事件有 1 个,则
[ k? ?

1 6.
(Ⅱ) a ? 3 2.

?
3

21. (Ⅰ)

, k? ?

?
6

](k ? Z )

试题分析: (Ⅰ)研究三角函数性质,首先将三角函数解析式化为基本三角函数,这时要用

? sin(2 x ? ) 6 ,再从基本三角函数性 到两角差正弦公式、二倍角公式及配角公式: f ( x)

?

?
最后利用余弦定理求边. 试题解析:解:

质出发求周期及单调区间(Ⅱ)先根据条件确定角 A 的值 3 ,再利用数量积确定 bc ? 18 ,

,

f ( x) ? sin(

7? 1 3 1 3 ? 2 x) ? 2sin 2 x ? 1 ? ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? cos 2 x ? sin 2 x 6 2 2 2 2

? sin(2 x ?

?
6

) 2? ? ? ? ? ? , 由 2 k? ? ? 2 x ? ? 2 k ? ? ( k ? Z ) 得 2 2 6 2

( Ⅰ ) 最 小 正 周 期 T ?

k? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6

(k ? Z ) ,

所以 f ( x) 的单调递增区间为 [k? ?

](k ? Z ) 3 6 ? 1 ? ? 5? ( Ⅱ ) 由 f ( A) ? sin(2 A ? ) ? 可 得 2 A ? ? ? 2k? 或 ? 2 k? ( k ? Z ) 所 以 6 2 6 6 6 A?

?

, k? ?

?

?

3

, ??? ? ???? 1 bc ? 9, bc ? 18 , 2

又因为 b, a, c 成等差数列,所以 2a ? b ? c ,而 AB ? AC ? bc cos A ? 因此 cos A ?

1 (b ? c) 2 ? a 2 4a 2 ? a 2 a2 ? ?1 ? ?1 ? ? 1, a ? 3 2. 2 2bc 36 12

22. (Ⅰ) f ( x) 有极小值为 f (1) ? 1 ,无极大值; (Ⅱ) 当 ? 1 ? a ? 0 时,f ( x) 的单调递减区间是 (0,1) , (? 当 a ? ?1 时, f ( x) 的单调递减区间是 (0,??) ; 当 a ? ?1 时, f ( x) 的单调递减区间是 (0,? ) , (1,??) ,单调递增区间是 (? (Ⅲ)不能,理由见解析. 试题分析:第一问将函数解析式确定,利用倒数求得函数的单调区间,从而确定出函数的极 值,第二问应用函数的倒数,确定出倒数等于零的点,注意对两个零点的大小进行讨论,从 而确定出函数的单调区间,第三问结合函数的单调性,确定出函数的根的个数,从而得出结 果,零点不可能有 3 个. 试题解析: (Ⅰ) f ( x) 其定义域为 (0,??) . 当 a ? 0 时, f ( x) ? ln x ? 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 1 , 当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 . 所以 f ( x) 的单调递减区间是 (0,1) ,单调递增区间是 (1,??) ; 所以 x ? 1 时, f ( x) 有极小值为 f (1) ? 1 ,无极大值 (Ⅱ) f ?( x) ? a ?

1 1 单调递增区间是 (1,? ) ; ,??) , a a

1 a

1 ,1) a

1 1 1 x ?1 , f ?( x) ? ? 2 ? 2 . x x x x

a ? 1 1 ax 2 ? (a ? 1) x ? 1 (ax ? 1)( x ? 1) ? 2 ? ? ( x ? 0) x x x2 x2
1 a

令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 或 x ? 当 ?1 ? a ? 0 时 , 1 ? ?

1 1 , 令 f ?( x) ? 0 , 得 0 ? x ? 1 或 x ? ? , 令 f ?( x) ? 0 , 得 a a

1 1? x ? ? ; a
当 a ? ?1 时, f ?( x) ? ? 当 a ? ?1 时 , 0 ? ?

( x ? 1) 2 ? 0. x2

1 1 ? 1 , 令 f ?( x) ? 0 , 得 0 ? x ? ? 或 x ? 1 , 令 f ?( x) ? 0 , 得 a a

?

1 ? x ? 1; a

综上所述:

当 ? 1 ? a ? 0 时, f ( x) 的单调递减区间是 (0,1) , (? 当 a ? ?1 时, f ( x) 的单调递减区间是 (0,??) ;

1 1 ,??) ,单调递增区间是 (1,? ) ; a a

当 a ? ?1 时, f ( x) 的单调递减区间是 (0,? ) , (1,??) ,单调递增区间是 (? (Ⅲ) a ? 0 时? f ?( x) ?

1 a

1 ,1) a

(ax ? 1)( x ? 1) ( x ? 0) x2

? f ?( x) ? 0 ( x ? 0) 仅有 1 解,方程 f ( x) ? 0 至多有两个不同的解.
(注:也可用 f min ( x) ? f (1) ? a ? 1 ? 0 说明. ) 由(Ⅱ)知 - 1 ? a ? 0 时,极小值 f (1) ? a ? 1 ? 0 ,方程 f ( x) ? 0 至多在区间 (? 有 1 个解.

1 ,??) 上 a

a ? -1 时 f ( x) 单调,方程 f ( x) ? 0 至多有 1 个解.
1 1 a ? -1 时, f (? ) ? f (1) ? a ? 1 ? 0 ,方程 f ( x) ? 0 仅在区间 (0,? ) 内有 1 个解; a a
故方程 f ( x) ? 0 的根的个数不能达到 3. 考点:函数的极值,函数的单调区间,函数的零点,分类讨论思想.


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