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陕西省扶风县2010届高三数学理科模拟试题2

时间:2012-03-21


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届高三理科数学模拟试题( 扶风县 2010 届高三理科数学模拟试题(一)
本试卷分选择题和非选择题两部分. 满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 参考公式: 参考公式:锥体的体积公式 V =

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积,h 是锥体的高 3
第一部分 选择题

小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 选择题: 一个是符合题目要求的. 一个是符合题目要求的. 1.已知集合 A = 元素个数是 A.0 2.复数

{(x, y ) x + y = 0, x, y ∈ R}, B = {(x, y ) x ? y = 0, x, y ∈ R}, 则集合 A I B 的
B. 1 C. 2 D. 3

3?i 等于. 1? i A. 1 + 2i B. 1 ? 2i C. 2 + i uu ur r uu r 3 ur 1 3. 若 a = ( ,sin α ), b = (cos α , ) ,且 a / / b ,则锐角 α = 2 3
A. 45
°

D. 2 ? i

B. 60

°

C. 15

°

D. 30

°

4.等比数列 {an } 的前 n 项和为 sn ,且 4 a1 ,2 a2 , a3 成等差数列.若 a1 =1,则 s4 = A.7 B. 8 C.15 D.16

5. 如右图,一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图 都是边长为 2 的正三角形,其俯视图轮廓为正方形,则其 体积是
主视图

左视图

4 3 A. 3

B. 4 2 3

3 C. 6

D. 8 3

6. 下列说法错误的是 “若 x ≠ 1 ,则 x ? 3x + 2 ≠ 0 ”. A.命题“若 x ? 3x + 2 = 0 ,则 x = 1 ”的逆否命题为:
2 2

俯视图

B. x = 1 ”是“ x ? 3x + 2 = 0 ”的充分不必要条件. “
2

C.直线 l 与平面 α 垂直的充分必要条件是 l 与平面 α 内的两条直线垂直. D.命题 p : ?x ∈ R , 使得 x + x + 1 < 0 , 则 ?p : ?x ∈ R ,均有 x + x + 1 ≥ 0 .
2 2

7. 二项式 ( x +
2

A. 5

1 5 ) 的展开式中 x 的系数为 x B. 10 C. 20

D. 40

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8. 利用计算机在区间 (0, 1) 上产生两个随机数 a 和 b ,则方程 x = ?2a ? A.

1 2

B.

2 3

C.

1 6

b 有实根的概率为 x 1 D. 3

9.若随机变量 X ~ N (2, 2 ) ,若 X 落在区间 (?∞,k ) 和 ( k, ∞) 内的概率是相等的,则 k 等 10 +
于( A.2 ) B.10 C. 2 D.可以是任意实数 )

10.在等差数列{ a n }中, a1 = 120, d = ?4, 若 S n ≤ a n ( n ≥ 2) ,则 n 的最小值为( (A)60 (C)70 (B)62 (D)72

非选择题 第二部分 非选择题 小题, 题是必做题,14 ,14~ 题是选做题. 二、填空题:本大题共 7 小题,其中 9~13 题是必做题,14~15 题是选做题. 每小题 5 分,满 填空题: 分 30 分. 11.某社区对居民进行上海世博会知晓情况分层抽样调查。已知该社区的青年人、中年人和 老年人分别有 800 人、1600 人、1400 人,若在老年人中的抽样人数是 70,则在中年人中 的抽样人数应该是_________.

开始 输入 x 是

12 阅读如图2所示的程序框图,若输出 y 的值为0, 则输入 x 的值为 .

x > 1?




x < 1?
是 y=x

?x ? y + 2 ≥ 0 y =x2 +4x+4 ? y =1 13.如果实数 x, y 满足条件 ? y + 2 ≥ 0 ,那么 z = 2 x ? y 的最 ?x + y + 2 ≤ 0 ? 输出 y
小值为 .

结束 图2

14.设已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点为 F(1,0),直线 l 与抛物线 C 相交于 A,B 两点. 若 AB 的中点为(2,2) ,则直线 l 的方程为_____________

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15▲选做题: (14~15 题,考生只能从中选做一题,两题都做记第一题的得分) 选做题: 14 考生只能从中选做一题 两题都做记第一题的得分) 中选做一题, 选做题 14~ A. (坐标系与参数方程选做题) 坐标系与参数方程选做题) 极坐标系中, 曲线 ρ = ?4 sin θ 和 ρ cos θ = 1 相交于点 A, B , 则 A, B 之间的距离 AB = . C B (几何证明选讲选做题)如图,⊙O 的直径 AB =6cm, 几何证明选讲选做题) P 是 AB 延长线上的一点,过 P 点作⊙O 的切线,切点为 C , cm. 连接 AC , 若 ∠CPA = 30°,PC =

A

O

B

P

小题, 解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程. 解答题: 16(本小题满分 12 分) 已知三角形 ABC 的三个顶点的直角坐标分别为 A(4,3)、B(0,0)、C(c,0) (1) 若 c=5,求 sin∠A 的值; (2) 若∠A 为钝角,求 c 的取值范围.

17.(本小题满分 12 分) 某校从参加某次“广州亚运”知识竞赛测试的学生中随机抽出 60 名学生,将其成绩(百 分制) (均为整数)分成六段 [40,50 ) , [50,60 ) … [90,100] 后得到如下部分频率分布直方图. 观察图形的信息,回答下列问题: (Ⅰ)求分数在 [ 70,80 ) 内的频率,并补全这个 频率分布直方图; (Ⅱ)统计方法中,同一组数据常用该组 区间的中点值作为代表,据此估计本次考试的 平均分; (Ⅲ)若从 60 名学生中随机抽取 2 人,抽到 的学生成绩在 [ 40, 70 ) 记 0 分,在 [ 70,100] 记 1 分, 用 ξ 表示抽取结束后的总记分, 求 ξ 的分布列和数学期望.
第 17 题图

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18(本题满分 14 分) 如图所示的长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形, O 为 AC 与 BD 的交点, BB1 =

2 , M 是线段 B1 D1 的中点.

(Ⅰ)求证: BM // 平面 D1 AC ; (Ⅱ)求证: D1O ⊥ 平面 AB1C ; (Ⅲ)求二面角 B ? AB1 ? C 的大小.
第 18 题图

19(本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 中, a1 = 5 且 an = 2an ?1 + 2 ? 1 ( n ≥ 2 且 n ∈ N ) .
n

*

(1)证明:数列 ?

? an ? 1 ? 为等差数列; n ? ? 2 ?

(2)求数列 {an } 的前 n 项和 S n .

x2 y 2 20(本小题满分 14 分)已知椭圆 2 + 2 = 1( a > b > 0 ) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,离心率 a b

e=

2 ,短轴长为 2. 2

(I)求椭圆的标准方程; (II)过点 F1 的直线 l 与该椭圆交于 M , N 两点,且 F2 M + F2 N =

uuuur uuuu r

2 26 ,求直线 l 的方程. 3

21(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) =

1? x + ln x ax

(1)若函数 f ( x) 在 [1, +∞ ) 上为增函数,求正实数 a 的取值范围; (2)当 a = 1 时,求 f ( x) 在 ? , 2 ? 上的最大值和最小值; 2 (3)当 a = 1 时,求证:对大于 1 的任意正整数 n ,都有 ln n >
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?1 ?

? ?

1 1 1 1 + + + ??? + . 2 3 4 n
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届高三理科数学模拟试题( 2010 届高三理科数学模拟试题(一)
参考答案 选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算. 小题, 一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算. 共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答 案 B C A C A C B D A B

小题, 二、填空题: 本大题主要考查基本知识和基本运算. 本大题共 7 小题,其中 9~13 题是必做 填空题: 本大题主要考查基本知识和基本运算. 14~ 题是选做题. 题,14~15 题是选做题. 每小题 5 分,满分 30 分. 11. 11.80 15 A 12 0 或 2 13。 13。-10 14. 14. y = x

2 3

B。 3 3

三、解答题 16. (本题满分 16. 本题满分 12 分) ( (1) AB = (?4, ?3) , AC = (c ? 4, ?3) ,若 c=5, 则 AC = (1, ?3) ,
uuur uuu r ?4 + 9 5 × 10
uuu r uuur uuur

∴ cos ∠A = cos < AC , AB >= ∴sin∠A=
3 10 ; 10

=

1 10



……………………………4 分 ……………………………6 分

? ?4c + 16 + 9 < 0 25 (2)若∠A 为钝角,则 ? 解得 c > ,…………………………11 分 c≠0 4 ? 25 ∴c 的取值范围是 ( , +∞) ……………………………12 分 4 (也可用正、余弦定理解三角形求之)

17( 17(本题满分 12 分) (Ⅰ)设分数在 [ 70,80 ) 内的频率为 x , 根据频率分布直方图, 则有 (0.01 + 0.015 × 2 + 0.025 + 0.005) ×10 + x = 1 , 可得 x = 0.3 ,所以频率分布直方图如图所示. ……………………………4 分

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(求解频率 3 分,画图 1 分) (Ⅱ)平均分为:

并且 ξ 的可能取值是 0,1, 2 . 则 P (ξ = 0) =
2 24 2 60

x = 45 × 0.1 + 55 × 0.15 + 65 × 0.15 + 75 × 0.3 + 85 × 0.25 + 95 × 0.05 = 71 . ………7 分 (Ⅲ)学生成绩在 [ 40, 70 ) 的有 0.4 × 60 = 24 人, 在 [ 70,100 ] 的有 0.6 × 60 = 36 人.
…… …………………………8 分
1 24 1 36

所以 ξ 的分布列为

C C C 2 105 C 46 144 = = . ; P (ξ = 1) = ; P (ξ = 2) = 36 = 2 2 C 295 C60 295 C60 295
0 1 2

ξ

P

46 295

144 295

105 295
……………………11 分 1.2) (或 1.2)……………………12 分

46 144 105 354 Eξ = 0 × + 1× + 2× = 295 295 295 295
18( 18(本题满分 14 分)

解:(Ⅰ)连接 D1O ,如图,∵ O 、 M 分别是 BD 、 B1 D1 的中点, BD1 D1 B 是矩形, ∴四边形 D1OBM 是平行四边形,∴ D1O // BM . ∵ D1O ? 平面 D1 AC , BM ? 平面 D1 AC , ∴ BM // 平面 D1 AC .………………………… 4 分 (Ⅱ)连接 OB1 ,∵正方形 ABCD 的边长为 2 , BB1 = ∴ B1 D1 = 2 2 , OB1 = 2 , D1O = 2 , 则 OB1 + D1O = B1 D1 ,∴ OB1 ⊥ D1O .
2 2 2

…………………………2 分

2,

……………6 分

∵在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AC ⊥ BD , AC ⊥ D1 D , ∴ AC ⊥ 平面 BDD1 B1 ,又 D1O ? 平面 BDD1 B1 , ∴ AC ⊥ D1O ,又 AC I OB1 = O , ∴ D1O ⊥ 平面 AB1C . …………………………………………8 分

(Ⅲ)在平面 ABB1 中过点 B 作 BE ⊥ AB1 于 E ,连结 EC , ∵ CB ⊥ AB , CB ⊥ BB1 , ∴ CB ⊥ 平面 ABB1 ,又 AB1 ? 平面 ABB1 , ……………………………9 分

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∴ CB ⊥ AB1 ,又 BE ⊥ AB1 ,且 CB I BE = B , ∴ AB1 ⊥ 平面 EBC ,而 EC ? 平面 EBC , ∴ AB1 ⊥ EC . ∴ ∠BEC 是二面角 B ? AB1 ? C 的平面角. 在 Rt ?BEC 中, BE = ∴ tan ∠BEC = …………………………12 分 ………………………………10 分

2 3 , BC = 2 3

3 , ∠BEC = 60o ,
o

∴二面角 B ? AB1 ? C 的大小为 60 .

………………………………………14 分

坐标法) 解法 2 ( 坐标法 ) (Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系.连接 D1O ,则点 O(1,1, 0) 、 :

D1 (0, 0, 2) ,
∴ OD1 = ( ?1, ?1, 2) 又点 B(2, 2,0) , M (1,1, 2) , ∴ BM = (?1, ?1, 2) ∴ OD1 = BM ,且 OD1 与 BM 不共线, ∴ OD1 // BM . 又 D1O ? 平面 D1 AC , BM ? 平面 D1 AC , ∴ BM // 平面 D1 AC . …………………………………4 分

uuuu r

uuuu r

uuuu r

uuuu r

(Ⅱ)∵ OD1 ? OB1 = ( ?1, ?1, 2) ? (1,1, 2) = 0 , OD1 ? AC = (?1, ?1, 2) ? ( ?2, 2, 0) = 0 ∴ OD1 ⊥ OB1 , OD1 ⊥ AC ,即 OD1 ⊥ OB1 , OD1 ⊥ AC , 又 OB1 I AC = O ,∴ D1O ⊥ 平面 AB1C . …………………………………………8 分

uuuu uuur r uuur

uuuu uuur r

uuuu r

uuuu r

uuur

(Ⅲ)∵ CB ⊥ AB , CB ⊥ BB1 ,∴ CB ⊥ 平面 ABB1 , ∴ BC = (?2, 0, 0) 为平面 ABB1 的法向量. ∵ OD1 ⊥ OB1 , OD1 ⊥ AC , ∴ OD1 = ( ?1, ?1, 2) 为平面 AB1C 的法向量.

uuu r

uuuu r

uuur

uuuu r

uuur

uuuu r

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1 , 2 uuu uuuu r r o o ∴ BC 与 OD1 的夹角为 60 ,即二面角 B ? AB1 ? C 的大小为 60 .………………14 分 (Ⅲ) 法三 设二面角 B ? AB1 ? C 的大小为 α , AB1C 在平面 AB1 B 内的射影就是 ?AB1 B , (法三) ? S ?AB1B 1 根 据 射 影 面 积 公 式 可 得 cos α = , S ?AB1B = ? AB ? B1 B = 2 , 2 S ?AB1C
∴ cos < BC , OD1 >=

uuu uuuu r r

1 S?AB1C = ? AC ? B1O = 2 2 2 S ?AB1B 2 1 ∴ cos α = = = ,∴二面角 B ? AB1 ? C 的大小为 60o ∴ S ?AB1C 2 2 2

…………14 分

19( (本小题主要考查等比数列 递推数列等基础知识, 本小题主要考查等比数列、 19(本题满分 14 分) 本小题主要考查等比数列、递推数列等基础知识,考查综合运用知识 分析问题和解决问题的能力) 分析问题和解决问题的能力 (1) ∵数列 ? 解: 设 bn =

? an ? 1 ? 为等差数列 n ? ? 2 ?

an ? 1 5 ?1 =2 , b1 = n 2 2 a 1 ?1 a ?1 1 bn +1 ? bn = n+n+1 ? n n = n +1 ?( an+1 ? 2an ) + 1? ? 2 2 2 ? 1 = n +1 ?( 2n +1 ? 1) + 1? = 1 , ? 2 ?

………………4 分

可知,数列 ?

? an ? 1 ? 为首项是 2 、公差是 1 的等差数列. n ? ? 2 ?
an ? 1 a1 ? 1 = + ( n ? 1) ×1 , 2n 2

………………5 分

(2)由(1)知,

∴ an = ( n + 1) ? 2 n + 1 . ∴ Sn = 2 ? 2 + 1 + 3 ? 2 + 1 + L + n ? 2
1 2

………………7 分

(

) (

)

(

n ?1

+ 1) + ?( n + 1) ? 2n + 1? . ? ?

即 S n = 2 ? 21 + 3 ? 22 + L + n ? 2 n ?1 + ( n + 1) ? 2 n + n . 令 Tn = 2 ? 21 + 3 ? 2 2 + L + n ? 2 n ?1 + ( n + 1) ? 2n , 则 2Tn = 2 ? 2 2 + 3 ? 23 + L + n ? 2n + ( n + 1) ? 2n +1 . ②-①,得 Tn = ?2 ? 2 ? 2 + 2 + L + 2
1 2 3

① ②………………11 分
n +1

(

n

) + ( n + 1) ? 2

= n ? 2n+1 .
∴ Sn = n ? 2
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n +1

+ n = n ? ( 2n+1 + 1) .

………………14 分

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20( 20(本题满分 14 分)

? c 2 = ? 解: (Ⅰ)由条件有 ? ,解得 a = 2,c=1 。 a 2 ? 2 2 ?b = a ? c = 1
所以,所求椭圆的方程为

x2 + y 2 = 1 。 ……………………………4 分 2

( 0) (Ⅱ)由(Ⅰ)知 F1 ( ?1, 0) 、 F2 1, 。
若直线 l 的斜率不存在,则直线 l 的方程为 x=-1. 将 x=-1 代入椭圆方程得 y = ±

2 。 2

不妨设 M ( ?1,

2 2 ) 、 N ? 1, ( ? ) , 2 2

uuuu uuuv v 2 2 ∴ F2 M + F2 N = (?2, ) + (?2, ? ) = (?4, 0) . 2 2 uuuu uuuv v ∴ F2 M + F2 N = 4 ,与题设矛盾。

∴直线 l 的斜率存在。
设直线 l 的斜率为 k,则直线的方程为 y=k(x+1) 。 设 M (x1,y1 ) 、 N ( x2 , y2 ) ,

……………………6 分

联立

{

x2 + y 2 =1 2 y=k(x+1) ,消 y 得 (1 + 2k 2 ) x 2 + 4k 2 x + 2k 2 ? 2 = 0 。
?4 k 2 2k ,从而 y1 + y2 = k ( x1 + x2 + 2) = , 2 1 + 2k 1 + 2k 2
……………………10 分

由根与系数的关系知 x1 + x2 =

又Q F2 M = ( x1 ? 1, y1 ) , F2 N = ( x2 ? 1, y2 ) ,

uuuuv

uuuu v

uuuuv uuuu v ∴ F2 M + F2 N = ( x1 + x2 ? 2, y1 + y2 ) 。

uuuuv uuuu 2 v ∴ F2 M + F2 N = ( x1 + x2 ? 2) 2 + ( y1 + y2 )2

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=(

8k 2 + 2 2 2k 2 ) +( ) 2 1 + 2k 1 + 2k 2

=

4(16k 4 + 9k 2 + 1) 4k 4 + 4 k 2 + 1



4(16k 4 + 9k 2 + 1) 2 26 2 =( ) 。 4 2 4 k + 4k + 1 3
4 2

化简得 40k ? 23k ? 17 = 0 解得 k = 1或者k = ?
2 2

17 40

∴ k = ±1. ∴ 所求直线l的方程为y = x + 1或者y = ? x ? 1
……………………14 分 21(1)∵ f ( x) = 21 ∵ ∴

1? x + ln x ax

∴ f ′( x) =

ax ? 1 ( a > 0) ax 2

……………1 分

函数 f ( x) 在 [1, +∞ ) 上为增函数

ax ? 1 ≥ 0 对 x ∈ [1, +∞ ) 恒成立, ……………………2 分 ax 2 1 ∴ ax ? 1 ≥ 0 对 x ∈ [1, +∞ ) 恒成立,即 a ≥ 对 x ∈ [1, +∞ ) 恒成立 x ∴ a ≥1 ……………………4 分 x ?1 (2)当 a = 1 时, f ′( x) = 2 , x f ′( x) =
∴ 当 x ∈ ? ,1? 时, f ′( x) < 0 ,故 f ( x) 在 x ∈ ? ,1? 上单调递减;当 x ∈ (1, 2] 时,

?1 ? ?2 ?

?1 ? ?2 ?

f ′( x) > 0 ,故 f ( x) 在 x ∈ (1, 2] 上单调递增,
?1 ? ? ?

………………6 分

∴ f ( x) 在区间 ? , 2 ? 上有唯一极小值点,故 f ( x ) min = f ( x )极小值 = f (1) = 0 2

……7 分



1 1 1 3 ln e3 ? ln16 f ( ) = 1 ? ln 2, f (2) = ? + ln 2, f ( ) ? f (2) = ? 2 ln 2 = 2 2 2 2 2



e3 > 16



?1? f ? ? ? f ( 2 ) > 0,即f ?2?

?1? ? ? > f ( 2) ?2?

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∴ f ( x) 在区间 ? , 2 ? 上的最大值 f ( x) max = f ? ? = 1 ? ln 2 ?2 ? ?2? 综上可知,函数 f ( x) 在 ? , 2 ? 上的最大值是 1 ? ln 2 ,最小值是 0. ……………………9 分 2 (3)当 a = 1 时, f ( x) = 当 n > 1 时,令 x =

?1

?

?1?

?1 ?

? ?

1? x x ?1 + ln x , f ′( x) = 2 ,故 f ( x) 在 [1, +∞ ) 上为增函数。 x x





n ,则 x > 1 ,故 f ( x) > f (1) = 0 ……………………11 分 n ?1 n 1? ? n ? n ? 1 + ln n = ? 1 + ln n > 0 ,即 ln n > 1 ………12 分 f? ?= n n ?1 n n ?1 n ?1 n ? n ?1? n ?1 2 1 3 1 4 1 n 1 ln > , ln > , ln > , ???, ln > 1 2 2 3 3 4 n ?1 n
…………………13 分

2 3 4 n 1 1 1 1 ln + ln + ln + ??? + ln > + + + ??? + 1 2 3 n ?1 2 3 4 n 1 1 1 1 ∴ ln n > + + + ??? + 2 3 4 n 1 1 1 1 即对大于 1 的任意正整数 n ,都有 ln n > + + + ??? + 2 3 4 n


……………………14 分

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