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2013理科二模-上海市静安杨浦青浦宝山区高三数学

时间:2013-05-18


2013 年上海市 17 区县高三数学二模真题系列卷——静安杨浦青浦宝山区数学(理科)

2013 年上海市静安、杨浦、青浦、宝山区高三年级二模试卷——数学(理科)
2013 年 4 月 (考试时间 120 分钟,满分 150 分)
一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每 个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.已知全集 U ? R ,集合 A ? x x 2 ? 2x ? 3 ? 0 ,则 CU A ? 2.若复数 z 满足 z ? i (2 ? z ) ( i 是虚数单位) ,则 z ? 3.已知直线 2 x ? y ? 1 ? 0 的倾斜角大小是 ? ,则 tan 2? ? 4.若关于 x、 y 的二元一次方程组 ? . .

?

?

.

?m x ? y ? 3 ? 0 有唯一一组解,则实数 m 的取值范围是 ?(2m ? 1) x ? y ? 4 ? 0
开始 输入 p n=1 S=0

.

5.已知函数 y ? f (x) 和函数 y ? log2 ( x ? 1) 的图像关于直线 x ? y ? 0 对称, 则函数 y ? f (x) 的解析式为 .

x2 ? y 2 ? 1 ,则此双曲线的焦点到渐近线的距离为 6.已知双曲线的方程为 3

.


n=n+1 S=S+2?n

sin x ? cos x cos(? ? x) 7.函数 f ( x) ? 的最小正周期 T ? 2 sin x cos x ? sin x
8.若 (1 ? 2 x) 展开式中含 x 项的系数等于含 x 项系数的 8 倍,则正整数 n ?
n
3

.

n<p?
? 否

输出 S . 结 束
.

9.执行如图所示的程序框图,若输入

p 的值是 7 ,则输出 S

的值是

(第 9 题图)

10.已知圆锥底面半径与球的半径都是 1cm ,如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等, 那么这个圆锥的母线长为

cm .

11. 某中学在高一年级开设了 4 门选修课, 每名学生必须参加这 4 门选修课中的一门, 对于该年级的甲、 乙、 丙 3 名学生,这 3 名学生选择的选修课互不相同的概率是 12.各项为正数的无穷等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 lim (结果用最简分数表示).

Sn ? 1 , 则其公比 q 的取值范围是 n ?? S n ?1

.

13.已知两个不相等的平面向量 ? , ? ( ? ? 0 )满足| ? |=2,且 ? 与 ? - ? 的夹角为 120°, 则| ? |的最大值是 .

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5 ? 1 ? 10 ? 5 ? 9 15 14.给出 30 行 30 列的数表 A : ? ? 13 20 ?? ? ? ?117 150 ?

9 15 21 27 ?

13 20 27 34 ?

? ? ? ? ?

183 216 ?

117 ? ? 150 ? 183 ? ? ,其特点是每行每列都构成 216 ? ? ? ? 1074? ?

等差数列,记数表主对角线上的数 1, , , , , 10 21 34 ? 1074按顺序构成数列 ?bn ? ,存在正整数

s、t (1 ? s ? t ) 使 b1 , bs , bt 成等差数列,试写出一组 ( s, t ) 的值

.

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答案纸的相应编 号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.已知 ? ? ( (A)

?
2

, ? ) , sin ? ?

1 . 7

3 ? ,则 tan(? ? ) 的值等于?????????( 5 4 1 (B) ? . (C) 7 . (D) ? 7 . 7



16.已知圆 C 的极坐标方程为 ? ? a sin ? ,则“ a ? 2 ”是“圆 C 与极轴所在直线相切” 的 ??????????????????????????????( )

(A)充分不必要条件. (B)必要不充分条件. (C)充要条件. (D)既不充分又不必要条件. 17.若直线 ax ? by ? 2 经过点 M (cos? , sin ? ) ,则 ??????????(
2 2 (A) a ? b ? 4 . 2 2 (B) a ? b ? 4 . (C)



1 1 1 1 ? 2 ? 4 . (D) 2 ? 2 ? 4 . 2 a b a b

18. 已知集合 M ? ( x, y) y ? f ( x) ,若对于任意 ( x1 , y1 ) ? M ,存在 ( x2 , y 2 ) ? M ,使得

?

?

x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 成立,则称集合 M 是“ ? 集合”. 给出下列 4 个集合:
① M ? ?( x, y ) y ?

? ?

1? ? x?

② M ? ( x, y) y ? e ? 2
x

?

?

③ M ? ( x, y) y ? cos x

?

?

④ M ? ( x, y) y ? ln x

?

?


其中所有“ ? 集合”的序号是????????????????????( (A)②③ . (B)③④ . (C)①②④. (D)①③④.

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三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必 要的步骤. 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分. 在棱长为 2 的正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中, E, F 分别为 A1 B1 , CD 的中点. (1)求直线 EC 与平面 B1 BCC1 所成角的大小; (2)求二面角 E ? AF ? B 的大小.

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 . 如图所示,扇形 AOB ,圆心角 AOB 的大小等于 过点 C 作平行于 OB 的直线交弧 AB 于点 P . (1)若 C 是半径 OA 的中点,求线段 PC 的大小; (2)设 ?COP ? ? ,求△ POC 面积的最大值及此时 ? 的值.

? ,半径为 2 ,在半径 OA 上有一动点 C , 3

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21. (本题满分 14 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分 . 已知函数 f ( x) ? x 2 ? a . (1)若 F ( x ) ? f ( x) ?

2 是偶函数,在定义域上 F ( x) ? ax 恒成立,求实数 a 的取值范围; bx ? 1

(2)当 a ? 1 时,令 ? ( x) ? f ( f ( x)) ? ?f ( x) ,问是否存在实数 ? ,使 ? (x) 在 ?? ?,?1? 上是减函数, 在 ?? 1,0? 上是增函数?如果存在,求出 ? 的值;如果不存在,请说明理由.

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 已知点 A(1,0) , P 、 P 、 P 是平面直角坐标系上的三点,且 AP 、 AP 、 AP 成等差数列, 1 2 3 2 3 1 公差为 d , d ? 0 . (1)若 P 坐标为 ?1, ?1? , d ? 2 ,点 P 在直线 3x ? y ? 18 ? 0 上时,求点 P 的坐标; 1 3 3 (2)已知圆 C 的方程是 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 3) 2 ? r 2 (r ? 0) ,过点 A 的直线交圆于 P、P3 两点, 1

P2 是圆 C 上另外一点,求实数 d 的取值范围;
(3)若 P 、 P 、 P 都在抛物线 y ? 4 x 上,点 P 的横坐标为 3 ,求证:线段 PP 的垂直平分线 1 2 3 2 1 3
2

与 x 轴的交点为一定点,并求该定点的坐标.

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23. (本题满分 18 分)本题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且满足 a1 ? a ( a ? 3 ), an?1 ? S n ? 3n ,设 bn ? S n ? 3n , n ? N ? . (1)求证:数列 ?bn ? 是等比数列; (2)若 a n ?1 ≥ a n , n ? N ? ,求实数 a 的最小值; (3)当 a ? 4 时,给出一个新数列 ?en ? ,其中 en ? ?

?3 , n ? 1 ,设这个新数列的前 n 项和为 C n , ?bn , n ? 2

若 C n 可以写成 t p ( t, p ? N ? 且 t ? 1, p ? 1 )的形式,则称 C n 为“指数型和”.问 ?C n ? 中的项 是否存在“指数型和”,若存在,求出所有“指数型和”;若不存在,请说明理由.

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上海市静安杨浦青浦宝山区 2013 年高考二模数学试题(理科) 参考答案
一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果, 每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. [?1,3] ; 2. 2 ; 3.

4 ; 3

4. m ?

1 ; 3

5. y ? 2 x ? 1 ;

6.1 ;

P43 3 63 4 3 7. ? ;8. 5 ;9. ;10. 17 ;11. 3 ? ;12. ?0,1? ;13. ;14. (17,25) . 64 8 3 4
二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答案纸的相应编 号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. D ; 16. A ; 17. B ;18. A

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必 要的步骤 . 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分 . (1)解法一:建立坐标系如图 平面 B1BCC1 的一个法向量为 n1 ? (0,1,0) 因为 E (2,1,2) C (0,2,0) ,?EC ? (?2,1,?2) , 可知直线 EC 的一个方向向量为?d ? (?2,1,?2) . 设直线 EC 与平面 B1 BCC1 成角为 ? , d 与 n1 所成角为 ? ,则

sin ? ? cos? ?

n1 ? d n1 d

?

1 9 ?1

?

1 3

1 故EC 与 平 面 1 B C C成 角 大 小 为r c s i n B a 1 3

解法二: EB1 ? 平面 B1BCC1 ,即 B1C 为 EC 在平面 B1BCC1 内的射影, 故 ?ECB1 为直线 EC 与平面 B1 BCC1 所成角, 在 Rt?EB1C 中, EB1 ? 1, B1C ? 2 2 , 故 tan?ECB1 ?

EB1 1 2 ? ? B1C 2 2 4

故EC与平面B1BCC1成角大小为arctan

2 4

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(2)解法一:建立坐标系如图.平面 ABCD 的一个法向量为 n1 ? (0,0,1) 设平面 AEF 的一个法向量为 n2 ? ( x, y, z) ,因为 AF ? (?2,1,0) , AE ? (0,1,2) 所以 ?

?? 2 x ? y ? 0 ,令 x ? 1 ,则 y ? 2, z ? ?1 ? n2 ? (1,2,?1) ? y ? 2z ? 0
n1 ? n2 n1 n2 ? ?1 1? 4 ?1 ? 6 6
6 . 6

cos? ?

由图知二面角 E ? AF ? B 为锐二面角,故其大小为 arccos

解法二:过 E 作平面 ABC 的垂线,垂足为 E ? , ?EGE ? 即为所求

E ? ? AB ,过 E ? 作 AF 的垂线设垂足为 G , ?ADF ∽ ?AGE

G ?E AD GE ? 2 2 ? ? ? 即 GE ? ? AE ? AF 1 5 5
所以二面角 E ? AF ? B 的大小为 arctan 5 .

在 Rt?EE ?Q 中 tan ?EG E ? ?

EE ? ? 5 GE ?

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 .

2? , OP ? 2, OC ? 1 3 2? 2 2 2 由 OP ? OC ? PC ? 2OC ? PC cos 3
解:(1)在△ POC 中, ?OCP ?

? 1 ? 13 . 2 ? (2)∵ CP ∥ OB ,∴ ?CPO ? ?POB ? ? ? , 3
得 PC ? PC ? 3 ? 0 ,解得 PC ?
2

在△ POC 中,由正弦定理得

2 CP OP CP ? ? ,即 2? sin ? sin ?PCO sin ? sin 3 ? CP 4 ? ?OC ? sin( ? ? ) . 2? 3 3 sin 3
1 2? CP ? OC sin , 2 3

∴ CP ?

4 3

sin ? ,又

OC sin(

?
3

??)

解法一:记△ POC 的面积为 S (? ) ,则 S (? ) ?

?

4 ? 1 4 4 ? 3 ? sin ? ? sin( ? ? ) ? sin ? ? sin( ? ? ) ? 3 2 3 3 2 3 3

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?

4 3

sin ? (

2 3 1 sin 2 ? cos? ? sin ? ) ? 2 sin ? cos? ? 2 2 3

? sin 2? ?

? 3 3 3 2 3 ? (sin 2? ? ) ? cos 2? ? 3 6 3 3 3

∴? ?

? 3 时, S (? ) 取得最大值为 . 6 3
2? OC 2 ? PC 2 ? 4 1 ? ?? 3 2OC ? PC 2

解法二: cos

2 2 2 2 即 OC ? PC ? OC ? PC ? 4 ,又 OC ? PC ? OC ? PC ? 3OC ? PC 即 3OC ? PC ? 4

当且仅当 OC ? PC 时等号成立, 所以 S ?

1 2? 1 4 3 3 CP ? OC sin ? ? ? ? 2 3 2 3 2 3

? OC ? PC ∴ ? ?

? 3 时, S (? ) 取得最大值为 . 6 3

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 .
2 解:(1) F ( x) ? x ? a ?

2 是偶函数,?b ? 0 即 F ( x) ? x 2 ? a ? 2 , x ? R bx ? 1

又 F ( x) ? ax 恒成立即 x 2 ? a ? 2 ? ax ? a( x ? 1) ? x 2 ? 2 当 x ? 1时 ? a ? R 当 x ? 1 时, a ?

x2 ? 2 3 ? ( x ? 1) ? ? 2 ,a ? 2 3 ? 2 x ?1 x ?1 x2 ? 2 3 ? ( x ? 1) ? ?2, x ?1 x ?1

当 x ? 1 时, a ?

a ? ?2 3 ? 2

综上: ? 2 3 ? 2 ? a ? 2 3 ? 2 (2) ? ( x) ? f ( f ( x)) ? ?f ( x) ? x ? (2 ? ? ) x ? (2 ? ? )
4 2

? ? (x) 是偶函数,要使 ? (x) 在 ?? ?,?1? 上是减函数在 ?? 1,0? 上是增函数,即 ? (x) 只要满足
在区间 ?1,??? 上是增函数在 ?0,1? 上是减函数.
2 令 t ? x ,当 x ? ?0,1? 时 t ? ?0,1? ; x ? ?1,??? 时 t ? ?1,??? ,由于 x ? ?0,??? 时,

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t ? x 2 是增函数记 ? ( x) ? H (t ) ? t 2 ? (2 ? ? )t ? (2 ? ? ) ,故 ? (x) 与 H (t ) 在区间 ?0,??? 上
有相同的增减性,当二次函数 H (t ) ? t 2 ? (2 ? ? )t ? (2 ? ? ) 在区间 ?1,??? 上是增函数在 ?0,1? 上 是减函数,其对称轴方程为 t ? 1 ? ?

2?? ? 1 ? ? ? 4. 2

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 解(1) AP ? 1 ,所以 AP ? 5 ,设 P ? x, y ? 1 3 3

?? x ? 1?2 ? y 2 ? 25 ? 则? ,消去 y ,得 x2 ? 11x ? 30 ? 0 ,?(2 分) ?3x ? y ? 18 ? 0 ?
解得 x1 ? 5 , x2 ? 6 ,所以 P 的坐标为 ? 5, ?3? 或 ? 6, 0 ? 3 (2)由题意可知点 A 到圆心的距离为 t ?

(3 ? 1) 2 ? (3 ? 0) 2 ? 13 ?(6 分)

(ⅰ)当 0 ? r ? 13 时,点 A ?1,0 ? 在圆上或圆外, 2d ? AP3 ? AP1 ? P1 P3 , 又已知 d ? 0 , 0 ? P P ? 2r ,所以 1 3

?r ? d ?0 或 0? d ? r
max

(ⅱ)当 r ? 13 时,点 A ?1,0 ? 在圆内,所以 2d

?

13 ? r ? r ? 13 ? 2 13 ,

又已知 d ? 0 , 0 ? 2d ? 2 13 ,即 ? 13 ? d ? 0 或 0 ? d ? 13 结论: 0 ? r ? 13 时,? r ? d ? 0 或 0 ? d ? r ; r ? 13 时,? 13 ? d ? 0 或 0 ? d ? 13 当 当 (3)因为抛物线方程为 y ? 4 x ,所以 A ?1,0 ? 是它的焦点坐标,点 P 的横坐标为 3 ,即 AP ? 8 2 2
2

设 P ? x1, y1 ? , P ? x3 , y3 ? ,则 AP ? x1 ? 1, AP ? x3 ? 1 , AP ? AP ? 2 AP , 1 3 1 3 1 3 2 所以 x1 ? x3 ? 2 x2 ? 6 直线 PP 的斜率 k ? 1 3

y ? y1 y3 ? y1 4 ,则线段 PP 的垂直平分线 l 的斜率 kl ? ? 3 ? 1 3 4 x3 ? x1 y3 ? y1 y3 ? y1 y ?y ? ? 3 1 ? x ? 3? 2 4

则线段 PP 的垂直平分线 l 的方程为 y ? 1 3 直线 l 与 x 轴的交点为定点 ? 5,0 ?

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 解: (1) an?1 ? S n ? 3n ? S n?1 ? 2S n ? 3n , bn ? S n ? 3n , n ? N ? ,当 a ? 3 时,

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bn?1 Sn?1 ? 3n?1 2Sn ? 3n ? 3n?1 =2,所以 ?bn ? 为等比数列. b1 ? S1 ? 3 ? a ? 3 , bn ? (a ? 3) ? 2 n?1 . ? ? n n bn Sn ? 3 Sn ? 3
(2) 由(1)可得 S n ? 3n ? (a ? 3) ? 2 n?1

an ? S n ? S n?1 , n ? 2, n ? N ?
? a 2 ? a1 an?1 ?a n , ? ?a n ?1 ? a n n ? 2
, a ? ?9

a n ?1 ? ; an ? ? n ?1 n?2 n?2 ?2 ? 3 ? (a ? 3) ? 2
所以 a ? ?9 ,且 a ? 3 .所以 a 的最小值为 (3)由(1)当 a ? 4 时, bn ? 2 n?1

n 当 n ? 2 时, Cn ? 3 ? 2 ? 4 ? ? ? 2 n ? 2 ? 1 , C1 ? 3 ,

所以对正整数 n 都有 Cn ? 2 n ? 1. 由t
p

? 2 n ? 1 , t p ? 1 ? 2 n ,( t, p ? N ? 且 t ? 1, p ? 1 ), t 只能是不小于 3 的奇数.
p p 2

①当 p 为偶数时, t ? 1 ? (t
p p

? 1)(t ? 1) ? 2 n ,

p 2

因为 t 2 ? 1 和 t 2 ? 1 都是大于 1 的正整数,
p g p h

所以存在正整数 g, h ,使得 t 2 ? 1 ? 2 , t 2 ? 1 ? 2 ,

2 g ? 2 h ? 2 , 2 h (2 g ?h ? 1) ? 2 ,所以 2 h ? 2 且 2 g ?h ? 1 ? 1 ? h ? 1, g ? 2 ,
相应的 n ? 3 ,即有 C3 ? 32 , C3 为“指数型和”; ? 和, ? 和”. ? 仍为奇数,又 t ? 1 为正偶数,所以 (t ? 1)(1 ? t ? t ? ? ? t
2 p ?1
2 p ?1 p 2 p ?1 ②当 p 为奇数时, t ? 1 ? (t ? 1)(1 ? t ? t ? ? ? t ) ,由于 1 ? t ? t ? ? ? t 是 p 个奇数之

) ? 2 n 不成立,此时没有“指数型

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