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2016年北京市西城区高三一模数学(文)试题及答案

时间:2016-05-02


北京市西城区 2016 年高三一模试卷



学(文科)
共 40 分)

2016.4

第Ⅰ卷(选择题

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 2 甲队 乙队 1. 设集合 A ? {x |

x ≤4 x} ,集合 B ? {?1, 2, ?3, 4} ,则 A ? B ? ( ) 8 8 (A) {?1, 2} (B) {2, 4} (C) {?3, ?1} (D) {?1, 2, ?3, 4} 2. 设命题 p: ?x ? 0, sin x ? 2x ?1 ,则 ? p 为( (A) ?x ? 0, sin x≤2 ?1
x


x
x

3

2

9

0
x

1

m

(C) ?x ? 0, sin x ? 2 ?1 (D) ?x ? 0, sin x≤2 ?1 开始 3. 如果 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,那么下列函数中,一定为偶函数的是( ) 2 2 (A) y ? x ? f ( x) (B) y ? xf ( x) (C) y ? x ? f ( x) (D) y ? x f ( x) 输入 A, S 4.下面茎叶图表示的是甲、乙两个篮球队在 3 次不同比赛中的得分情况,其中有一个数字 模糊不清,在图中以 m 表示. 若甲队的平均得分不低于乙队的平均得分, k ?1 那么 m 的可能取值集合为( ) (A) {2} (B) {1, 2} (C) {0,1, 2} (D) {2,3} ??? ? ??? ? 5. 在平面直角坐标系 xOy 中,向量 OA =( ? 1, 2), OB =(2, m) , 若 O, A, B 三点 A ? A? k 能构成三角形,则( ) (A) m ? ?4 (B) m ? ?4 (C) m ? 1 (D) m ? R k ?k?2 6. 执行如图所示的程序框图,若输入的 A, S 分别为 0, 1,则输出的 S ? ( ) S ?S?A (A)4 (B)16 (C)27 (D)36 7. 设函数 f ( x) ? log 1 x ? x ? a ,则“ a ? (1,3) ”是“函数 f ( x) 在 (2,8) 上存在零点”的(
2

(B) ?x ? 0, sin x ? 2 ?1



k≥4
是 输出 S 结束



(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 8. 在某校冬季长跑活动中,学校要给获得一、二等奖的学生购买奖品,要求花费总额不得 超过 200 元. 已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为 20 元、10 元,一等奖人数与二等奖人 数的比值不得高于

1 , 且获得一等奖的人数不能少于 2 人, 那么下列说法中错误 的是 ( .. 3
(B)最多可以购买 16 份二等奖奖品 (D)共有 20 种不同的购买奖品方案

) 1 正(主)视图 1 侧(左)视图

(A)最多可以购买 4 份一等奖奖品 (C)购买奖品至少要花费 100 元

第Ⅱ卷(非选择题 共 110 分) 6 二、填空题:本大题共 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 在复平面内,复数 z1 与 z2 对应的点关于虚轴对称,且 z1 ? ?1 ? i ,则 z1 z2 ? ____.
10.在△ABC 中, b ? 7 , a ? 3 , tan C ? 11.若圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1与双曲线 C:
2

3 ,则 c ? _____. 2

俯视图

x ? y 2 ? 1(a ? 0) 的渐近线相切,则 a ? _____;双曲线 C 的渐近线方程是____. 2 a

12.一个棱长为 2 的正方体,被一个平面截去一部分后,所得几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为____. 13. 有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间 只用一种颜色的涂料,且三个房 涂料 1 涂料 2 涂料 3 间的颜色各不相同.三个房间的粉刷面积和三种颜色 的涂料费用如右表,那么在所有 16 元/ m2 18 元/ m2 20 元/ m2 房间 A 房间 B 房间 C 不同的粉刷方案中,最低的涂料总费用是 _______元. 35 m2 20 m2 28 m2 ?4 x≥4, ? ? 1, 14. 设函数 f ( x) ? ? x 则 f (8) ? ______;若 f (a) ? f (b) ? c , f ?(b) ? 0 ,则

? ?log 2 x, 0 ? x ? 4,

a, b, c 的大小关系是______. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. π π π 2 15. . Ⅰ) (本小题满分 13 分) 设函数 f ( x) ? sin x cos x ? sin ( x ? ) ( 求函数 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ) 求函数 f ( x ? ) 在 [0, ] 6 2 4 上的最大值与最小值. 16. (本小题满分 13 分)已知等差数列 {an } 的公差 d ? 0 , a2 ? a6 ? 10 , a2a6 ? 21 .(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; a (Ⅱ)设 bn ? 2 n ,记数列 {bn } 前 n 项的乘积 为 Tn ,求 Tn 的最大值. ..
17. (本小题满分 14 分)如图,在四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中, BB1 ? 底面 ABCD , AD //BC , ?BAD ? 90? , AC ? BD .(Ⅰ)求 证: B1C // 平面 ADD1 A1 ; (Ⅱ)求证: AC ? B1D ;
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(Ⅲ)若 AD ? 2 AA1 ,判断直线 B1D 与平面 ACD1 是否垂直?并说明理由. 18. (本小题满分 13 分)某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试, 现从中随机抽取 40 名学生的测试成绩,整理数据并按分数段 [40,50) , [50, 60) , [60, 70) , [70,80) , [80,90) , [90,100] 进行分组,假设同一组中的每个数据可用 该组区间的中点值代替,则得到体育成绩的折线图(如下). (Ⅰ) 体育成绩大于或等于 70 分的学生常被称为“体育良好”. 已知 该校高一年级有 1000 名学生,试估计高一年级中“体育良好”的学 14 生人数; 各 12 (Ⅱ) 为分析学生平时的体育活动情况, 现从体育成绩在 [60, 70) 和 分 [80,90) 的样本学生中随机抽取 2 人,求在抽取的 2 名学生中,至 10 数 8 少有 1 人体育成绩在 [60, 70) 的概率; 段 (Ⅲ)假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为 a, b, c ,且分别在 6 人 [70,80) , [80,90) , [90,100] 三组中,其中 a,b,c ? N .当数据 4 a, b, c 的方差 s 2 最大时,写出 a, b, c 的值.(结论不要求证明) 数 2 ? 1 2 2 2 2 (注: s ? [( x1 ? x ) ? ( x 2 ? x ) ? ? ? ( x n ? x ) ] ,其中 x 为数据 O 45 n x1, x 2 , ?, x n 的平均数) 19. (本小题满分 14 分)已知椭圆 C :

A1 B1 A B C
? ?

D1

C1 D

?

? ? ?

55

65

75

85 ?
?

95

体育成绩

? x2 y 2 ? ? 1(m ? 0) 的长轴长为 2 6 ,O 为坐标原点.(Ⅰ)求椭圆 C 的方程和离心率; 3m m (Ⅱ) 设动直线 l 与 y 轴相交于点 B ,点 A(3,0) 关于直线 l 的对称点 P 在椭圆 C 上,求 | OB | 的最小值. 20. (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? x ln x ? ax 2 ? 1,且 f ?(1) ? ?1 .(Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)若对于任意 x ? (0, ??) ,都有 f ( x) ? mx≤ ? 1 ,求 m 的最小值;

(Ⅲ)证明:函数 y ? f ( x) ? xe x ? x2 的图象在直线 y ? ?2 x ? 1 的下方.

北京市西城区 2016 年高三一模试卷参考答案及评分标准

高三数学(文科)

2016.4

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.B 2.A 3.B 4.C 5.B 6.D 7.A 8.D 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 注:第 11,14 题第一问 2 分,第二问 3 分. 3 23 3 b ≥ a? c 9. ?2 10. 2 11. 3 12. 13.1464 14. y?? x 2 3 3 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 其他正确解答过程,请参照评分标准给分. π π 1 ? cos(2 x ? ) 2 15. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:因为 f ( x) ? sin x cos x ? sin ( x ? ) 1 2 ……………… 4 分 4 ? sin 2 x ? 2 2 1 1 1 π 1 1 1 1 ? sin 2 x ? ? cos(2 x ? ) ? sin 2 x ? ? sin 2 x ? sin 2 x ? .…………… 6 分 2 2 2 2 2 2 2 2 π f ( x ) . ……………… 7 所以函数 的最小正周期为 分 π π π 1 π π 2π (Ⅱ)解:由(Ⅰ) ,得 f ( x ? ) ? sin(2 x ? ) ? . ……………… 8 分 因为 0≤x≤ ,所以 ? ≤2x ? ≤ ,所以 2 6 3 2 3 3 3 5π 1 π 3 π 3 1 π 1 1 ? ≤ sin(2 x ? )≤1 .所以 ? ? ≤sin(2 x ? ) ? ≤ .…………… 11 分 且当 x ? 时, f ( x ? ) 取到最大值 ; 12 2 6 2 3 2 2 3 2 2 π 3 1 当 x ? 0 时, f ( x ? ) 取到最小值 ? ? .……………… 13 分 6 2 2 ?(a1 ? d ) ? (a1 ? 5d ) ? 10, 16. ……………… 3 分 (本小题满分 13 分) (Ⅰ) (Ⅰ)解:由题意,得 ? ?(a1 ? d )(a1 ? 5d ) ? 21,
? a1 ? 8, ?a1 ? 2, 解得 ? 或? (舍). ……………… 5 分 所以 an ? a1 ? (n ? 1)d ? 9 ? n .……………… 7 分 ? d ? ?1, ?d ? 1 a 9? n a a a ? a ??? an .所以只需求出 Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an 的最大值.……… 9 分 (Ⅱ)解:由(Ⅰ) ,得 bn ? 2 .所以 Tn ? 2 1 ? 2 2 ??? 2 n ? 2 1 2 2 1 17 2 289 n(n ? 1) n 17 ? (?1) ? ? ? n .因为 Sn ? ? (n ? ) ? 由(Ⅰ) ,得 Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ? na1 ? , ……………… 11 分 2 2 8 2 2 2 36 所以当 n ? 8 ,或 n ? 9 时, Sn 取到最大值 S8 ? S9 ? 36 . 所以 Tn 的最大值为 T8 ? T9 ? 2 . ……………… 13 分

17. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:因为 AD //BC , BC ? 平面 ADD1 A1 , AD ? 平面 ADD1 A1 ,所以 BC // 平面 ADD1 A1 .… 2 分 因为 CC1 //DD1 , CC1 ? 平面 ADD1 A1 , DD1 ? 平面 ADD1 A1 ,所以 CC1 // 平面 ADD1 A1 .又因为 BC ? CC1 ? C ,
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所以平面 BCC1 B1 // 平面 ADD1 A1 . …… 3 分 又因为 B1C ? 平面 BCC1 B1 ,所以 B1C // 平面 ADD1 A1 .……………… 4 分 A1 (Ⅱ)证明:因为 BB1 ? 底面 ABCD , AC ? 底面 ABCD ,所以 BB1 ? AC .……… 5 分 又因为 AC ? BD , BB1 ? BD ? B , 所以 AC ? 平 面 BB1 D . ………… 7 分 又因为 B1D ? 底面 BB1 D ,所以 AC ? B1D . ……………… 9 分 (Ⅲ)结论:直线 B1D 与平面 ACD1 不垂直.……… 10 分 证明:假设 B1D ? 平面 ACD1 ,由 AD1 ? 平面 ACD1 ,得 B1D ? AD1 .………… 11 分
? 由棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, BB 1 ? 底面 ABCD , ?BAD ? 90 可得 A 1 B1 ? AA 1,

D1

B1 A B

C1 D C

A1B1 ? A1D1 ,又因为 AA1 ? A1D1 ? A1 ,所以 A1B1 ? 平面 AA1D1D ,所以 A1B1 ? AD1 .…… 12 分 又因为 A 1B 1?B 1D ? B 1 ,所以 AD 1 ? 平面 A 1 ? A 1D .…………… 13 分 1B 1 D ,所以 AD 这与四边形 AA1D1D 为矩形,且 AD=2AA1 矛盾,故直线 B1D 与平面 ACD1 不垂直.……………… 14 分
18. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:由折线图,知样本中体育成绩大于或等于 70 分的学生有 30 人,………………2 分 30 ? 750 人. ……4 分 所以该校高一年级学生中,“体育良好”的学生人数大约有1000 ? 40 ………………5 分 (Ⅱ)解:设 “至少有 1 人体育成绩在 [60,70) ”为事件 M , [60,70) [80,90) A A B 记体育成绩在 的数据为 1 , 2 , 体育成绩在 的数据为 1 , B2 , B3 ,则从这两组数据中随机抽取 2 个,所 有可能的结果有 10 种, 它们是: ( A1 , A2 ) , ( A1 , B1 ) , ( A1 , B2 ) , ( A1 , B3 ) , ( A2 , B1 ) , ( A2 , B2 ) , ( A2 , B3 ) , ( B1 , B2 ) , ( B1 , B3 ) ,

( B2 , B3 ) .而事件 M 的结果有 7 种,它们是: ( A1, A2 ) , ( A1 , B1 ) , ( A1, B2 ) , ( A1, B3 ) , ( A2 , B1 ) , ( A2 , B2 ) , ( A2 , B3 ) ,……7 分
7 .………………9 分 10 (Ⅲ)解:a,b,c 的值分别是为 70 , 80 , 100 .……………13 分 x2 y2 19. ? ? 1 ,所以 a 2 ? 3m ,b2 ? m ,………1 分 (本小题满分 14 分) (Ⅰ) 解:因为椭圆 C: 3m m

因此事件 M 的概率 P( M ) ?

故 2a ? 2 3m ? 2 6 ,
c 6 .…………5 分 ? a 3

解得 m ? 2 ,所以椭圆 C 的方程为

(Ⅱ)解:由题意,直线 l 的斜率存在,设点 P( x0 , y0 )( y0 ? 0) ,则线段 AP 的中点 D 的坐标为 ( 率 k AP

x0 ? 3 y0 , ) ,且直线 AP 的斜 2 2 y0 3 ? x0 1 ? ? ……7 分 由点 A(3,0) 关于直线 l 的对称点为 P , , 得直线 l ? AP , 故直线 l 的斜率为 ? , 且过点 D , x0 ? 3 k AP y0

x2 y 2 ? ? 1 .…………3 分 6 2

因为 c ? a2 ? b2 ? 2 ,所以离心率 e ?

2 2 2 2 y0 3 ? x0 x ?3 x0 ? y0 ?9 x0 ? y0 ?9 x2 y 2 ? (x ? 0 ), ) , 由 0 ? 0 ?1, ……9 分 令 x ? 0 , 得y? , 则 B(0, 2 y0 2 2 y0 2 y0 6 2 2 2 3 ?2 y0 ? 3 ?2 y0 ? 3 3 2 2 ) .………11 分 所以 | OB |?| | ?| y0 | ? ≥2 | y0 | ? ? 6 ? 3 y0 得 x0 ,化简,得 B(0, ? 6 .……13 分 2 | y0 | 2 y0 2 y0 2 | y0 |

所以直线 l 的方程为:y ?

3 6 ? [? 2, 2] 时等号成立.所以 | OB | 的最小值为 6 .…………… 14 分 ,即 y0 ? ? 2 | y0 | 2 20. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:对 f ( x) 求导,得 f ?( x) ? 1 ? ln x ? 2ax ,………………1 分 所以 f ?(1) ? 1 ? 2a ? ?1 ,解得 a ? ?1 ,所以 f ( x) ? x ln x ? x2 ?1 . …………………3 分 (Ⅱ)解:由 f ( x) ? mx≤ ? 1 ,得 x ln x ? x2 ? mx≤0 ,因为 x ? (0, ??) ,所以对于任意 x ? (0, ??) ,都有 ln x ? x≤m ………4 分
当且仅当 | y0 |? 设 g ( x) ? ln x ? x ,则 g ?( x ) ?

所以当 x ? 1 时, g ( x)max 所以 m 的最小值为 ?1.………………8 分 2 (Ⅲ)证 明 : “ 函数 y ? f ( x) ? xex ? x 的图象在直线 y ? ?2 x ? 1 的 下方 ” 等价于 “ f ( x) ? xe x ? x2 ? 2 x ? 1 ? 0 ” ,即要 证 , 得 g ( x) ? ln x ? x≤ ? 1 ,即 ln x≤x ? 1(当且仅当 x ? 1 时等号成立). x ln x ? xe x ? 2 x ? 0 ,所以只要证 ln x ? e x ? 2 .由(Ⅱ)

1 ? 1 . 令 g ?( x) ? 0 ,解得 x ? 1 .………5 分 当 x 变化时, g ( x) 与 g ?( x) 的变化情况如下表: x (0,1) (1, ??) x 1 ? g ?( x) 0 ? Z ] g ( x) 极大值 ? g (1) ? ?1 .……………7 分 因为对于任意 x ? (0, ??) ,都有 g ( x)≤m 成立,所以 m≥ ? 1 .

所以只要证明当 x ? (0, ??) 时, x ? 1 ? e x ? 2 即可 .………………10 分 设 h( x) ? (e x ? 2) ? ( x ?1) ? e x ? x ?1 ,所以 h?( x ) ? ex ? 1,令 h?( x) ? 0 ,解得 x ? 0 .由 h?( x) ? 0 ,得 x ? 0 ,所以 h( x) 在 (0, ??) 上为增函数.所以 h( x) ? h(0) ? 0 ,即
x 2 x ? 1 ? e x ? 2 .所以 ln x ? e x ? 2 . 故函数 y ? f ( x) ? xe ? x 的图象在直线 y ? ?2 x ? 1 的下方.

…………13 分

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