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浙江省杭州市2013届高三第一次高考科目教学质量检测数学(理)试卷【详解】


2013 年杭州市第一次高考科目教学质量检测

数学(理科)试题详解
一、选择题: 1.若复数 z ? 2i ? A.

2 ,其中 i 是虚数单位,则复数 z 的模为( 1? i
B.

)

2 2

2

C.

3



D. 2

【解析】由题意,得: z ? 2i ?

2 2(1 ? i) ? 2i ? ? 1? i 1? i (1 ? i)(1 ? i)
2

复数 z 的模 z ? 12 ? (?1) 2 ? 【答案】B

2. a ?R, “ a ? 4 ” “直线 l1 : ax ? 2 y ? 3 ? 0 与直线 l2 : 2x ? y ? a ? 0 平行” 设 则 是 的( A. 充分不必要条件 C. 充要条件 【解析】由题意, a ? 4 ? ? 1 B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

)

?l : 4 x ? 2 y ? 3 ? 0 ? l1 // l2 ,即充分。 ?l2 : 2 x ? y ? 4 ? 0

又 l1 // l2 ? A B2 ? A2 B1 ? 0 ? a ? 4 ,注意到此时 l1 , l2 不重合,即必要。 1 【答案】C 3.设函数 f ( x) ? 2 ,则下列结论中正确的是(
x

) B. f (? 2) ? f (?1) ? f (2) D. f (?1) ? f (? 2) ? f (2)

A. f (?1) ? f (2) ? f (? 2) C. f (2) ? f (? 2) ? f ( ?1) 【解析】由题意, f ( x) ? 2 ? 2
x ?x

? f (? x) ,即 f ( x) 为偶函数。

? f (?1) ? f (1) ? 故 ? f (?2) ? f (2) . 显然 x ? 0时,f ( x) ? 2 x 单调递增。 ? ? f (? 2) ? f ( 2)
所以 f (?1) ? f (1) ? f ( ? 2) ? f ( 2) ? f ( ?2) ? f (2) 【答案】D

4.设等差数列 ?a n ? 的前 n 项和是 S n ,若 ?am ? a1 ? ?am?1 ( m?N*,且 m ? 2 ),则必定有 ( ) B. Sm ? 0 ,且 Sm?1 ? 0 D. Sm ? 0 ,且 Sm?1 ? 0 A. Sm ? 0 ,且 Sm?1 ? 0 C. Sm ? 0 ,且 Sm?1 ? 0 【解析】由题意,得: ?am ? a1 ? ?am?1 ? ?

?a1 +am ? 0 。 ?a1 ? am?1 ? 0

显然,易得 S m ? 【答案】C

a1 ? am a ? am?1 ? m ? 0 , Sm ?1 ? 1 ? (m ? 1) ? 0 2 2
)
开始 n=5,k=0

5.若程序框图如图所示,则该程序运行后输出 k 的值是( A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【解析】由题意,得:

n ? 5, k ? 0 ? n ? 16, k ? 1 ? n ? 8, k ? 2 ? n ? 4, k ? 3 ? n ? 2, k ? 4 ? n ? 1, k ? 5 ? 终止
当 n ? 2 时,执行最后一次循环; 当 n ? 1 时,循环终止,这是关键。输出 k ? 5 。 【答案】B
n?



n 为偶数

否 n=3n+1

n 2

k=k+1 否 n =1? 是 输出 k 结束 (第 5 题)

6. 设函数 f ( x) ? loga x (0 ? a ? 1) 的定义域为 [m, n](m ? n) ,值域为 [0, 1] ,若 n ? m 的 最小值为 ,则实数 a 的值为( A.

1 3

) D.

1 2 2 或 C. 4 3 3 【解析】由题意,分 n ? 1 或 m ? 1 两种情况: 2 (1) n ? 1 时, m ? ,此时 f ( x) 在 [m, n] 上单调递减 3 2 故 f (m) ? log a m ? 1 ? a ? 3 4 (2) m ? 1 时, n ? ,此时 f ( x) 在 [m, n] 上单调递增 3 3 故 f (n) ? log a n ? 1 ? a ? 4
B. 【答案】D

1 4

2 3 或 3 4

7.设双曲线 则

x2 y 2 ? ? 1 的左,右焦点分别为 F1 , F2 ,过 F1 的直线 l 交双曲线左支于 A, B 两点, 4 3
) C. 12 D. 16

BF2 ? AF2 的最小值为(
A.

19 2

B. 11

【解析】由题意,得:

? AF2 ? AF1 ? 2a ? 4 ? ? BF2 ? AF2 ? 8 ? AF1 ? BF1 ? 8 ? AB ? ? BF2 ? BF1 ? 2a ? 4 ? b2 显然,AB 最短即通径, AB min ? 2 ? ? 3 ,故 ? BF2 ? AF2 ?min ? 11 a
【答案】B 8. 已知集合 A ? ( x, y ) x( x ? 1) ? y ( y ? 1) ? r , 集合 B ? ( x, y ) x 2 ? y 2 ? r 2 , A 若 则 实数 r 可以取的一个值是( A. )

?

?

?

?

?, B

2 ?1

B.

3

C. 2

D. 1 ?

2 2

【解析】 A ? ?( x, y) ( x ? )2 ? ( y ? )2 ? r ? ? 、 B ? ( x, y ) x 2 ? y 2 ? r 2

? ?

1 2

1 2

1? 2?

?

?

不难分析,A、B 分别表示两个圆,要满足 A ? B ,即两圆内切或内含。 故圆心距 O1O2 ?

2 ? r1 ? r2 ,即: 2

2 1 1 1 1 ? r ? r ? ? r2 ? 2? r ? r ? ? r ? ? 2 2 2 2 2 ? 1 ? 1 1 ? r ? r ? 2 r ? ? 1? ? 0 ? r ? 2 r ? ? 1 ? 0 ? r ? 1 ? 2 r ? . ? ? 2 ? 2 2 ? ? r 2 ? 2r ? 1 ? 0 ? r ?
显然, r ? 【答案】A

1? 6 2

1? 6 ? 2 ,故只有(A)项满足。 2

?1 ? x ? 1 ,x ? ?? , 2 ) ( ? 9 . 设 函 数 f ( x) ? ? 1 , 则 函 数 F ( x) ? xf ( x) ? 1 的 零 点 的 个 数 为 ? f ( x ? 2), x ?[2, ??) ?2
( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

1 【解析】由题意, F ( x) ? xf ( x) ? 1的零点,即 f ( x)与 的交点。 x
易绘 x ? (??, 2) 的函数图象,且 f (0) ? f (2) ? 0, f (1) ? 1, f ( ) ? f ( ) ? 当 x ? [2, ??) 时, f (4) ?

1 2

3 2

1 2

1 1 f (2) ? 0, f (6) ? f (4) ? 0, ? 2 2 依次类推,易得 f (4) ? f (6) ? f (8) ? ? ? f (2n) ? 0 1 1 1 1 1 1 又 f (3) ? f (1) ? , 同理 f (5) ? f (3) ? , f (7) ? f (5) ? 2 2 2 4 2 8 不难绘出 x ? [2, ??) 的函数图象如右,显然零点共 6 个,其中左边 1 个,右边 5
y

个。 【答案】C

10 .设 等差 数列 ?a n ? 满 足:

sin 2 a3 ? cos2 a3 ? cos2 a3 cos2 a6 ? sin 2 a3 sin 2 a6 ? 1 , 公差 sin(a4 ? a5 )

d ? (?1, 0) . 若当且仅当 n ? 9 时,数列 ?an ?的前 n 项和 Sn 取得最大值,则首项 a1 的取
值范围是( A. ? ) B. ?

? 7? 4? ? , ? 3 ? ? 6
= = =

? 4? 3? ? , ? 2 ? ? 3

C.

? 7? 4? ? ? 6 , 3 ? ? ?

D.

? 4? 3? ? ? 3 , 2 ? ? ?

【解析】先化简:

(sin 2 a3 ? sin 2 a3 sin 2 a6 ) ? (cos 2 a3 ? cos 2 a3 cos 2 a6 ) ?1 sin(a4 ? a5 )

(sin a3 cos a6 ) 2 ? (cos a3 sin a6 ) 2 ?1 sin(a4 ? a5 ) sin(a3 ? a6 ) sin(a3 ? a6 ) ?1 sin(a4 ? a5 )

? sin(a3 ? a6 ) ? 1? ? ?? d ? ? a3 ? a6 ? ?3d ? 6
又当且仅当 n ? 9 时,数列 ?a n ?的前 n 项和 Sn 取得最大值,即:

?a9 ? a1 ? 8d ? 0 4? 3? a9 ? 0, a10 ? 0 ? ? ? ? a1 ? 3 2 ?a10 ? a1 ? 9d ? 0
【答案】B 二、填空题:

2 11.二项式 ?1 ? ? 的展开式中第四项的系数为 ? ? ? x?

5



2 3 【解析】第四项 T4 ? C5 ? ? ? ? ? ?80 x ?3 ,系数为 ?80 ? ? ? x?
【答案】 ?80

3

12.从 0,1,2,3 中任取三个数字,组成无重复数字的三位数中,偶数的个数是 数字回答). 【解析】考虑三位数“没 0”和“有 0”两种情况。
2 【1】没 0:2 必填个位, A2 种填法; 2 【2】有 0:0 填个位, A3 种填法; 1 0 填十位,2 必填个位, A2 种填法;

(用

2 2 1 所以,偶数的个数一共有 A2 + A3 + A2 =10 种填法。

【答案】10

13.无穷数列 1, 2, 2,3,3,3, 4, 4, 4, 4,5,? 的首项是 1,随后两项都是 2,接下来 3 项都是 3, 再接下来 4 项都是 4,?,以此类推.记该数列为 ?a n ? ,若 an?1 ? 20 , an ? 21 ,则

n?



【解析】将 1, 2, 2,3,3,3, 4, 4, 4, 4,5,?分组成 ?1 ,?2, 2?,?3,3,3?, ?4, 4, 4, 4?, ?5,? ,? 。 ? ? 第 1 组有 1 个数,第 2 组有 2 个数,以此类推... 显然 an?1 ? 20 在第 20 组, an ? 21 在第 21 组。 易知,前 20 组共 所以, n ? 211 。 【答案】211

(1 ? 20) ? 20 ? 210 个数. 2

14.若正数 x, y 满足 2 x ? y ? 3 ? 0 ,则 【解析】由题意: 2 x ? y ? 3 ? 0 ?

x ? 2y 的最小值为 xy



2x y ? ?1 3 3

x ? 2 y 2 1 ? 2 1 ? ? 2x y ? 2 ? y ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? xy x y ? x y ? ? 3 3 ? 3? x
【答案】3

x? 5 2 5 ?? ? ?2? ? 3 y? 3 3 3

15.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别 a,b,c,若 a 2 ? b 2 ?

1 2 c .则直线 ax ? by ? c ? 0 被圆 2

x 2 ? y 2 ? 9 所截得的弦长为
【解析】由题意:设弦长为 l



圆心到直线的距离 d ?

a?0 ?b?0 ? c a ?b
2 2

?

c 1 2 c 2

? 2

?l? 由几何关系: r ? d ? ? ? ? l ? 2 7 ?2?
2 2

2

【答案】 2 7

?y ? x ? 0 16.若整数 x, y 满足不等式组 ? x ? y ? 7 ? 0 ,则 2x ? y 的最大值为 ? .. ?x ? 0 ?
【解析】由题意,绘出可行性区域如下: 设 z ? 2 x ? y ,即求 y ? ?2 x ? z 的截距的最大值。 因为 x, y ? Z ,不妨找出 ? 7 , 7 ? 附近的“整点”。 ? ? ?2 2? 有(3, 3)、(3, 4)满足. 显然过(3, 4)时, z ? 10 最大. 【答案】10
?

. y

(0,7)

? 3, 4?
? 3,3?

?7 7? ? , ? ?2 2?

(7,0)
??

O

x

17.如图,在扇形 OAB 中, ?AOB ? 60 ,C 为弧 AB 上的一个动点.若 OC

A

? x O A y O,则 x ? 3 y 的取值范围是 ? B

? ?

? ?



【解析】方法(一):特殊点代入法。 C 与 A 重合时, x ? 1, y ? 0 ,此时 x ? 3 y ? 1 ; C 与 B 重合时, x ? 0, y ? 1,此时 x ? 3 y ? 3 . 注意到,C 从 B 点运动至 A 点时,x 逐渐变大,y 逐渐变小。 显然,一开始 x 趋于 0,而 y 趋于 1, 故 x ? 3 y 的范围受 y 的影响较大。 故猜想, x ? 3 y ?[1, 3] 方法(二):设扇形的半径为 r 考虑到 C 为弧 AB 上的一个动点, OC ? x OA? y OB . 显然 x, y ?[0,1] 两边平方: ? OC ? ? r 2 ? ? xOA? y OB ? ? x 2 ? r 2 ? 2 xy OA ?OB? y 2 ? r 2 ? ? ? ?
?? ?? ?? ?? ?? 2 2
??

C

O
(第 17 题)

B

??

??

? ? ? ? 2 消 r : y ? x ? y ? x ?1 ? 0 ,显然 ? ? 4 ? 3x2 ? 0
2

2

? x ? 4 ? 3x 2 ( y ? 0) , 2 1 3 4 ? 3x 2 故 x ? 3y ? ? x ? . 2 2 1 3 4 ? 3x 2 不妨令 f ( x) ? ? x ? ( x ? [0,1]) 2 2
得: y ?

1 9x f '( x) ? ? ? ? 0, 2 2 4 ? 3x 2 所以 f ( x ) 在 x ? [0,1] 上单调递减, f (0) ? 3, f (1) ? 1 得 f ( x) ?[1,3] ,即 x ? 3 y ?[1, 3]
【答案】 [1, 3]

三、解答题: 18.(本题满分 14 分)设 f ( x) ? 6cos2 x ? 3sin 2x( x ? R). . (Ⅰ)求 f ( x) 的最大值及最小正周期; (Ⅱ)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,锐角 A 满足 f ( A) ? 3 ? 2 3 , B ? 求 【解析】

?
12



a 的值. c

19.(本题满分 14 分)已知甲箱中只放有 x 个红球与 y 个白球 ( x, y ? 0, 且 x ? y ? 6) ,乙箱 中只放有 2 个红球、1 个白球与 1 个黑球(球除颜色外,无其它区别). 若甲箱从中任取 2 个球, 从乙箱中任取 1 个球. (Ⅰ)记取出的 3 个球的颜色全不相同的概率为 P,求当 P 取得最大值时 x, y 的值; (Ⅱ)当 x ? 2 时,求取出的 3 个球中红球个数 ? 的期望 E (? ) . 【解析】

20.(本题满分 14 分)已知数列 ?a n ?满足 a1 ? 1, an ?1 ? 1 ? (Ⅰ)设 bn ? (Ⅱ)设 cn ?

1 ,其中 n? N*. 4an

2 2an ? 1

,求证:数列 ?bn ? 是等差数列,并求出 ?a n ?的通项公式 an ;

4an 1 , 数列 ?cncn?2 ? 的前 n 项和为 Tn ,是否存在正整数 m ,使得 Tn ? n ?1 cmcm?1

对于 n?N*恒成立,若存在,求出 m 的最小值,若不存在,请说明理由. 【解析】

21.(本题满分 15 分)已知椭圆 C:

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,右焦点到直线 2 a b 2

3 l1 : 3x ? 4 y ? 0 的距离为 . 5
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 l2 : y ? kx ? m(km ? 0) 与椭圆 C 交于 A、B 两点,且线段 AB 中点恰好在直 线 l1 上,求△OAB 的面积 S 的最大值.(其中 O 为坐标原点). 【解析】

22.(本题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? x ? (a ? 2) x ? a ln x.
2

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 的极小值; (Ⅱ)当 a ? ?1 时, 过坐标原点 O 作曲线 y ? f ( x) 的切线, 设切点为 P(m, n) , 求实数 m 的值; (Ⅲ)设定义在 D 上的函数 y ? g ( x) 在点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程为 l : y ? h( x), 当

若 x ? x0 时,

g ( x ) ? h( x ) 则称 P 为函数 y ? g ( x) 的 “转点” 当 . ? 0 在 D 内恒成立, x ? x0

a ? 8 时,试问函数 y ? f ( x) 是否存在“转点”.若存在,请求出“转点”的横坐标,
若不存在,请说明理由.

【解析】


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