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高中数学复习学(教)案(第80讲)复数的概念与运算


题目 (选修Ⅱ)第四章复数 复数的概念与运算 高考要求 1 了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义 2 掌握复数代数形式的运算法则,能进行复数代数形式的加法、减法、 乘法、除法运算 3 了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想 知识点归纳
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1 虚数单位 i :(1)它的平方等于-1,即
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i 2 ? ?1 ; (2)实数可以与它进行
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四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律仍然成立 2 i 与-1 的关系: i 就是-1 的一个平方根,即方程 x2=-1 的一个根, 方程 x2=-1 的另一个根是- i 3 i 的周期性: i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n=1
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4 复数的定义:形如 a ? bi (a, b ? R ) 的数叫复数, a 叫复数的实部, b
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叫复数的虚部 全体复数所成的集合叫做复数集,用字母 C 表示*
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3 复数的代数形式: 复数通常用字母 z 表示,即 z ? a ? bi(a, b ? R) ,
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把复数表示成 a+bi 的形式,叫做复数的代数形式
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4 复数与实数、虚数、纯虚数及 0 的关系:对于复数 a ? bi(a, b ? R) ,
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当且仅当 b=0 时,复数 a+bi(a、b∈R)是实数 a;当 b≠0 时,复数 z=a+bi 叫做虚数;当 a=0 且 b≠0 时,z=bi 叫做纯虚数;当且仅当 a=b=0 时,z 就 是实数 0 5 复数集与其它数集之间的关系:N Z Q R C 6 两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么 我们就说这两个复数相等 即:如果 a,b,c,d∈R,那么 a+bi=c+di ? a=c, b=d 一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小 如果两个复 数都是实数,就可以比较大小 也只有当两个复数全是实数时才能比较大 小 7 复平面、实轴、虚轴: y 点 Z 的横坐标是 a,纵坐标是 b,复数 z=a+bi(a、b∈R)可用点 b Z(a, b)表示, 这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面, 也叫高斯平面,x 轴叫做实轴,y 轴叫做虚轴 o 实轴上的点都表示实数 对于虚轴上的点原点对应的有序实数对为(0,0), 它所确定的复数是 z=0+0i=0 表示是实数 故除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数
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Z(a,b)

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a

x

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复数集 C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系,即 复数 z ? a ? bi ???? 复平面内的点 Z (a, b) ?
一一对应

这是因为,每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来,复 平面内的每一个点,有惟一的一个复数和它对应 这就是复数的一种几何意义 也就是复数的另一种表示方法,即几何表 示方法 8.复数 z1 与 z2 的和的定义:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i 9 复数 z1 与 z2 的差的定义:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i 10 复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1 11 复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) 12.乘法运算规则:设 z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复 数,那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i 其实就是把两个复数相乘,类似两个多项式相乘,在所得的结果中把 i2 换成-1,并且把实部与虚部分别合并 两个复数的积仍然是一个复数 13 乘法运算律: (1)z1(z2z3)=(z1z2)z3 ; (2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3; (3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 14 除法运算规则:
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a ? bi (a ? bi)(c ? di) ac ? bd bc ? ad ? ? i ? c ? di (c ? di)(c ? di) c 2 ? d 2 c 2 ? d 2
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15* 共轭复数:当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复 数叫做互为共轭复数 虚部不等于 0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数
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复数 z=a+bi 和 z =a-bi(a、b∈R)互为共轭复数
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16 复数加法的几何意义:如果复数 z1,z2 分别对应于向量 OP 、OP , 2 1
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????

????

那么, OP1、 2 为两边作平行四边形 OP1SP2, 以 OP 对角线 OS 表示的向量 OS
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??? ?

就是 z1+z2 的和所对应的向量 17 复数减法的几何意义:两个复数的差 z-z1 与连接这两个向量终点并 指向被减数的向量对应
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18.复数的模: | z |?| a ? bi |?| OZ |? 题型讲解
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??? ?

a 2 ? b2

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例 1 计算 (1 ? 2i) ? (3 ? 4i)

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解: (1 ? 2i) ? (3 ? 4i) ?

1 ? 2i 3 ? 4i
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?

(1 ? 2i)(3 ? 4i) 3 ? 8 ? 6i ? 4i ?5 ? 10i 1 2 ? ? ?? ? i 2 2 (3 ? 4i)(3 ? 4i) 3 ?4 25 5 5

例 2 计算

(1 ? 4i)(1 ? i ) ? 2 ? 4i 3 ? 4i

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解:

(1 ? 4i)(1 ? i ) ? 2 ? 4i 1 ? 4 ? 3i ? 2 ? 4i ? 3 ? 4i 3 ? 4i
7 ? i (7 ? i )(3 ? 4i) ? 3 ? 4i 32 ? 42 21 ? 4 ? 3i ? 28i 25 ? 25i ? ? ? 1 ? i. 25 25 ?

例 3 在复平面内,若 z ? m2 (1 ? i) ? m(4 ? i) ? 6i 所对应的点在第二 象限,则实数 m 的取值范围是( A. ?0, 3? B. ?? ?,? 2?
2

) C. ?? 2, 0?
2

D. ?3, 4?

解:可用直推法,∵ z ? (m ? 4m) ? (m ? m ? 6)i

z所对应的点在第二象限
∴ m ? 4m ? 0 且 m ? m ? 6 ? 0
2 2

?

0 ? m ? 4 且 m ? 3或m ? ?2
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∴m∈(3,4) 故选 D

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例 4 已知 z 是复数, 、 z+2i

z 均为实数(i 为虚数单位), 且复数(z+ai)2 z ?i
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在复平面上对应的点在第一象限,求实数 a 的取值范围 解:设 z=x+yi(x、y∈R), ∴z+2i=x+(y+2)i,由题意得 y=-2
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1 1 z x ? 2i 1 = = (x-2i)(2+i)= (2x+2)+ (x-4)i 5 5 2?i 2-i 5
由题意得 x=4,∴z=4-2i ∵(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i,
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?12 ? 4a ? a 2 ? 0, 根据条件,已知 ? 解得 2<a<6, ?8(a ? 2) ? 0,
∴实数 a 的取值范围是(2,6) 例 5 设 a∈R,z∈C,满足(z2─a2)/(z2+a2)是纯虚数,求 x,y 应满足的条件 解:设(z2─a2)/(z2+a2)=ki(k∈R,k≠0) 则 z2─a2=ki(z2+a2)?z2(1─ki)=a2(1+ki),
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∴(x2─y2+2xyi)(1─ki)=a2+a2ki? ?

? x 2 ? y 2 ? 2 xyk ? a 2 ? , ?( y 2 ? x 2 )k ? 2 xy ? a 2 k ?

消去参数 k 即得:x2+y2=a2, 点评:(1)纯虚数的概念; (2)虚部的概念; (3)化复数问题为实数问题的化 归思想(设 z=a+bi(a,b∈R));(4)若两个复数能比较大小,则它们都是实数 (5) 实轴和虚轴的概念 例 6 设复数 z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i,试求实数 m 取何 值时,(1)z 是纯虚数;(2)z 是实数;(3)z 对应的点位于复平面的第二象限 剖析:利用复数的有关概念易求得 解:(1)由 lg(m2-2m-2)=0,m2+3m+2≠0,得 m=3 (2)由 m2+3m+2=0,得 m=-1 或 m=-2 (3)由 lg(m2-2m-2)<0,m2+3m+2>0,
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得-1<m<1- 3 或 1+ 3 <m<3

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点评:对复数的分类条件要注意其充要性,对复数相等、共轭复数的概 念的运用也是这样
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例 7 设 z∈C,求满足 z+

1 ∈R 且|z-2|=2 的复数 z z

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分析:设 z=a+bi(a、b∈R),代入条件,把复数问题转化为实数问题, 易得 a、b 的两个方程 解法一:设 z=a+bi, a ? bi 1 1 则 z+ =a+bi+ =a+bi+ 2 a ? b2 z a ? bi b b =a+ 2 +(b- 2 )i∈R 2 a ?b a ? b2 b ∴b= 2 ∴b=0 或 a2+b2=1 a ? b2 当 b=0 时,z=a, ∴|a-2|=2 ∴a=0 或 4 a=0 不合题意舍去,∴z=4
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当 b≠0 时,a2+b2=1 又∵|z-2|=2,∴(a-2)2+b2=4
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15 15 1 1 ,b= ? ,∴z= ± i 4 4 4 4 15 1 综上,z=4 或 z= ± i 4 4 1 解法二:∵z+ ∈R, z 1 1 ∴z+ =z + z z
解得 a=
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∴(z- z )-

z?z zz

=0,(z- z )·

| z | 2 ?1 =0 | z |2

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∴z= z 或|z|=1,下同解法一

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点评: 解法一设出复数的代数形式, 把复数问题转化为实数问题来研究; 解法二利用复数是实数的条件复数问题实数化 这些都是解决复数问题的常 用方法
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例8

已知 z1=x2+ x 2 ? 1 i,z2=(x2+a)i 对于任意 x∈R 均有|z1|>|z2|成
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立,试求实数 a 的取值范围 分析:求出|z1|及|z2|,利用|z1|>|z2|问题转化为 x∈R 时不等式恒成立问 题 解:∵|z1|>|z2|,∴x4+x2+1>(x2+a)2 ∴(1-2a)x2+(1-a2)>0 对 x∈R 恒成立
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当 1-2a=0,即 a=

1 时,不等式成立; 2

?1 ? 2a ? 0 当 1-2a≠0 时, ? 2 ?? 4(1 ? 2a)(1 ? a ) ? 0

? -1<a<
综上,a∈(-1,

1 2
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1 ] 2

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点评: 本题利用复数的性质求模之后, 转化为求含参数的二次不等式的 参数取值范围
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例 9 设 z 是虚数,ω =z+

1 是实数,且-1<ω <2 z

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(1)求|z|的值及 z 的实部的取值范围; (2)设 u=

1? z ,求证:u 为纯虚数; 1? z
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(3)求ω -u2 的最小值

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(1)解:设 z=a+bi(a、b∈R,b≠0), 则ω =a+bi+

a b 1 =(a+ 2 )+(b- 2 )i 2 a ?b a ? b2 a ? bi
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∵ω 是实数,b≠0, ∴a2+b2=1,即|z|=1 ∵ω =2a,-1<ω <2,
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1 ,1) 2 1 ? z 1 ? a ? bi (2)证明:u= = 1 ? z 1 ? a ? bi
∴z 的实部的取值范围是(- =

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(1 ? a ? bi)(1 ? a ? bi) (1 ? a ? bi)(1 ? a - bi)

=

1 ? a 2 ? b 2 ? 2bi b =- i 2 2 a ?1 (1 ? a) ? b

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∵a∈(-

1 ,1),b≠0, 2
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∴u 为纯虚数

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(3)解:ω -u2=2a+

b2 (a ? 1) 2

=2a+

1? a2 a ?1 =2a- 2 a ?1 (a ? 1)

2 a ?1 1 =2[(a+1)+ ]-3 a ?1 1 ∵a∈(- ,1),∴a+1>0 2
=2a-1+
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∴ω -u2≥2×2-3=1

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当 a+1=

1 ,即 a=0 时,上式取等号 a ?1
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∴ω -u2 的最小值为 1 小结: 1 复数的加、减、乘、除运算一般用代数形式进行 2 求解计算时,要充分利用 i 的性质计算问题 3 在复数的求解过程中,要注意复数整体思想的把握和应用 4 复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法,其 依据是复数的有关概念和两个复数相等的充要条件 学生练习
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1 数 z1 ? 3 ? i, z2 ? 1 ? i ,则 z ? z1 ? z2 在复平面内的对应点位于()
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A.第一象限 答案:D
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B.第二象限 C.第三象限

D.第四象限

2 已知 z ? 1 ? i ,则在复平面上与 i z 对应的点所在的象限是()
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A.第一象限 答案:B
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B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3 已知复数 z ? (m ? m ? 2) ? (m ? 3m ? 2)i 对应的点位于复平面的虚
2 2
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轴上,则实数 m 为() A 1 B –1 或 2 答案:C 4 i ? i ? i ??? i
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C-1

D2

2

3

2005

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的值等于 () C

A 1 答案:C

B –1

i

D

?i

5 复平面内若复数 z ? m (1 ? i) ? m(1 ? i) ? 6i 所对应的点在第二象限
2

则实数 m 的取值范围是( A
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) C
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(0,3)



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(?2,0)

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(3,4)



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(??,?2)

答案:C 6 已知 z1 , z2 是复数,以下四个结论正确的是(
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①若 z1 ? z2 ? 0, 则z1 ? 0, z2 ? 0

②若 z1 ? z2 ? 0 ,则 z1 ? z2 ? 0, 则z1 ? 0, z2 ? 0 ③若 z1 ? z1 ? 0, 则z1 ? 0 ④若 z1 ? z2 ,则向量 OZ1 与 OZ2 重合 A 仅②正确 B 仅②③正确 C ②③④正确 D 仅②④正确 答案:A 7 i-2 的共轭复数是 A 2+i B 2-I C -2+i D -2-i 解析:由共轭复数的定义知选 D 答案:D 8 计算(2+i)+(3+i3)+(4+i5)+(5+i7)(其中 i 为虚数单位)的值是 A 10 B 12 C 14 D 16 3 5 7 解析:(2+i)+(3+i )+(4+i )+(5+i )=2+3+4+5=14 答案:C
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?

?

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3 1 + i,则 1+ω 等于 2 2 1 1 A -ω Bω 2 C- D 2 ? ? 3 3 1 1 1 解析:1+ω = + i=-(- - i)=- 2 2 2 2 ?
9 设复数ω =-
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答案:C 10 复数 z1=3+i,z2=1-i,则 z=z1·z2 在复平面内的对应点位于 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 解析:z=z1z2=(3+i)(1-i)=4-2i 答案:D
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y x 5 - = ,则 x+y=___________ 1 ? i 1 ? 2i 1 ? 3i x(1 ? i) y(1 ? 2i) 5(1 ? 3i) 解析:由已知得 - = , 2 10 5
11 设 x、y∈R,且
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即 5x-2y+(5x-4y)i=5+15i, ∴x=-1,y=-5 答案:-6 12 下列命题中: ①任意两个确定的复数都不能比较大小; ②若|z|≤1,则-1≤z≤1; ③若 z12+z22=0,则 z1=z2=0;
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④z+ z =0 ? z 为纯虚数; ⑤z= z ? z∈R
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其中正确的命题是 解析:①中的两个实数可比较大小,②中的 z 可为虚数,③中的 z1=i, z2=1,④中的 z=0 答案:⑤
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a 2 ? 2a ? 15 i 为纯虚数,其中实数 a 13 要使复数 z = a ? a ? 6 + a2 ? 4
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2

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是否存在?若存在,求出 a 的值,若不存在,说明理由 解:要使复数 z 为纯虚数,必须 a ? a ? 6 ? 0 且
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a 2 ? 2a ? 15 ? 0, a2 ? 4

即 (a ? 3)(a ? 2) ? 0 ,解得 a ? 3或a ? 2 但是,当 a ? 3 时

a 2 ? 2a ? 15 =0此时 z 不是纯虚数 a2 ? 4 a 2 ? 2a ? 15 无意义 a2 ? 4
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当 a ? ?2 时,

所以不存在实数 a 使 z 为纯虚数 课前后备注
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