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高中数学奥赛系列辅导资料:几何不等式测试题


几何不等式测试题
1.在△ABC 中,M 为 BC 边的中点,∠B=2∠C,∠C 的平分线交 AM 于 D。 证明:∠MDC≤45°。 2.设 NS 是圆 O 的直径,弦 AB⊥NS 于 M,P 为弧 R,PM 的延长线交圆 O 于 Q,求证:RS>MQ。 3.在△ABC 中,设∠A,∠B,∠C 的平分线交外接圆于 P、Q、R。 证明:AP+BQ+CR>BC+CA+AB

。 4.过△ABC 内一点 O 引三边的平行线,DE∥BC,FG∥CA,HI∥AB,点 D、E、F、G、I 都在 △ABC 的边上, 求证: 表示六边形 DGHEFI 的面积, 。 表示△ABC 的面积。 上异与 N 的任一点,PS 交 AB 于

5.求证:△ABC 的内心 I 到各顶点的距离之和不小于重心 G 到各边距离之和的 2 倍。 6.凸四边形 ABCD 具有性质:(1)AB=AD+BC,(2)在其内部有点 P,P 点到 CD 的距离 为 h,并使 AP=h+AD,BP=h+BC,求证: 。 7.设 H 为锐角△ABC 的垂心,A1,B1,C1,分别为 AH,BH,CH 与△ABC 外接圆的交点。 求证: 成立。 8.一凸四边形内接于半径为 1 的圆。证明:四边形周长与其对角线之和的差值 u,满足 0<u<2。 9.已知过锐角△ABC 顶点 A、B、C 的垂线分别交对边于 D、E、F,AB>AC,直线 EF 交 BC 于 P,过点 D 且平行于 EF 的直线分别交 AC、AB 于 Q、R。N 是 BC 上的一点,且∠NQP+∠NRP <180°,求证:BN>CN。 。其中等号当且仅当△ABC 为正三角形时

参考答案 【同步达纲练习】 1.设∠B 的平分线交 AC 于 E,易证 EM⊥BC 作 EF⊥AB 于 F,则有 EF=EM, ∴AE≥EF=EM,从而∠EMA≥∠EAM,即 90°-∠AMB≥∠EAM。又 2∠MDC=2(∠MAC+∠ACD)=2∠MAC+∠ACM=∠MAC+∠AMB, ∴90°≥∠AMD+∠MAC=2∠MDC,∴∠MDC≤45°。 2.连结 NQ 交 AB 于 C,连结 SC、SQ。易知 C、Q、S、M 四点共圆,且 CS 是该圆的直径, 于是 CS>MQ。再证 Rt△SMC≌Rt△SMR,从而 CS=RS,故有 RS>MQ. 3.设 的内心为 I,由 IA+IB>AB,IB+IC>BC,

即 2(AP-IP+BQ-IQ+CR-IR)>AB+BC+CA

(1) 连 AR,∵∠AIR=∠IAR,∴IR=AR,又 AR=BR,

同理 (2) 由(1)、(2)即得 AP+BQ+CR>AB+BC+CA。 4.如图 8。

设 ∽ 同理 ,

三边长分别为 a、b、c,IF=x,EH=y,DG=z,则依题意有 ,(易知 OE=CF) ,所以,

由柯西不等式

,从而

于是 5.设 G 到各边距离为 由

(r 为内切圆半径),得 (艾尔多斯——莫德尔不等式)。故



即 AI+BI+CI≥2(r1+r2+r3)

6.分别以 A、B、P 为圆心,AD、BC、h 为半径作圆,三圆两两外切,EF 为⊙A、⊙B 外 公切线,⊙P 与 EF 相切时 h 最大,此时设 AD=r,BC=R,⊙P 半径为 m,则 化简得 ,即 由 知命题成立。

7.由外接圆心 O 向 BC 作垂线 OD 于 D, 则 AH=2·OD,∠DOC=∠A,故 HA=2OD=2RcosA。同理 HB=2RcosB,HC=2RcosC,由 BC 是 ,得 同理 。于是原不等式等价于 的垂直平分线,

而 ∴2(cosBcosC+cosCcosA+cosAcosB)



8.如图, 引进有关边长、对角线、角的记号,则 a+d>e,d+c>f,c+b>e,b+a>f,四式相加得 a+b+c+d>e+f,即 u=(a+b+c+d)-(e+f)>0.又四边形至少有一角 且 ,同样可设 ,不妨设 ,则

,由圆的半径为 1 及正弦定理得

. 于是 u<2 等价于证明: 下面证明更强的结论: 由于

故结论成立。 9.取 BC 中点 M,只需证∠MRP+∠MQP=180°,即 R、M、Q、P 四点共圆。

如图,连结 ED,易知∠PEC=∠DEC,∠DEB=∠FEB,有 ∠EMC=180°-2∠ACB,∠EDP=180°-∠ACB-∠CED。 ∴∠MED=∠ACB-∠CED=∠EPC ∴△MDE∽△MEP,从而 ME =MD·MP=MC 又∵RQ∥FP, ∴∠BRD=∠BFE=∠DCQ ∴B、R、C、Q 四点共圆。 RD·DQ=BD·CD=(BM+MD)(CM-MD)=MC -MD =MD·MP-MD =MD·PD ∴R、M、Q、P 四点共圆。
2 2 2 2 2

连结 ME。

即∠MRP+∠MQP=180°,当 N∈BC,且∠NQP+∠NRP<180°时,N 必在 M 右侧,故 BN>CN。

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