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高二数学椭圆同步练习


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椭圆提高练习
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.下列命题是真命题的是 A.到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆
2 B.到定直线 x ? a 和定点 F(c,0)的距离之比为 c 的点的轨迹是椭圆





c
<

br />a

C.到定点 F(-c,0)和定直线 x ? ? a 的距离之比为 c (a>c>0)的点的轨迹 是左半个椭圆
c

2

a

D.到定直线 x ? a 和定点 F(c,0)的距离之比为 a (a>c>0)的点的轨迹是椭圆
c

2

c

5 3 2.若椭圆的两焦点为(-2,0)和(2,0) ,且椭圆过点 ( ,? ) ,则椭圆方程是 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A. y ? x ? 1 B. y ? x ? 1 C. y ? x ? 1 D. x ? y ? 1 10 6 4 8 8 4 10 6 3.若方程 x2+ky2=2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则实数 k 的取值范围为 ( ) A. (0,+∞) B. (0,2) C. (1,+∞) D. (0,1) 9 4.设定点 F1(0,-3) 、F2(0,3) ,动点 P 满足条件 PF1 ? PF2 ? a ? (a ? 0) ,则点 P 的轨迹是 a ( ) A.椭圆 B.线段 C.不存在 D.椭圆或线段

x2 y2 x2 y2 和 ( ? ? 1 ? ? k ?k ? 0? 具有 a2 b2 a2 b2 A.相同的离心率 B.相同的焦点 C.相同的顶点 D.相同的长、短轴 6.若椭圆两准线间的距离等于焦距的 4 倍,则这个椭圆的离心率为 (

5.椭圆





A.

1 4

B.

2 2

C.

2 4

D.

1 2

7.已知 P 是椭圆
16 5

A. 8.椭圆

17 x2 y2 ? ? 1 上的一点,若 P 到椭圆右准线的距离是 ,则点 P 到左焦点的距离是 2 100 36 ( ) 66 77 75 B. C. D. 5 8 8

x2 y2 ? ? 1 上的点到直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 的最大距离是 16 4

( D. 10



A.3 9.在椭圆

B. 11

C. 2 2

x2 y2 ? ? 1 内有一点 P(1,-1) ,F 为椭圆右焦点,在椭圆上有一点 M,使|MP|+2|MF|的值最小, 4 3

则这一最小值是 A.

( B.



5 2

7 2

C.3

D.4

10.过点 M(-2,0)的直线 m 与椭圆

x2 ? y 2 ? 1 交于 P1,P2,线段 P1P2 的中点为 P,设直线 m 的斜率为 k1 2

( k1 ? 0 ) ,直线 OP 的斜率为 k2,则 k1k2 的值为



)A.2 B.-2 C.

1 2

D. -

1 2

二、填空题(本题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分) 1 11.离心率 e ? ,一个焦点是 F ?0,?3? 的椭圆标准方程为 ___________ . 2 12.与椭圆 4 x 2 + 9 y 2 = 36 有相同的焦点,且过点(-3,2)的椭圆方程为_______________.
1

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13.已知 P?x, y ?是椭圆

x2 y2 . ? ? 1 上的点,则 x ? y 的取值范围是________________ 144 25 14 . 已 知 椭 圆 E 的 短 轴 长 为 6 , 焦 点 F 到 长 轴 的 一 个 端 点 的 距 离 等 于 9 , 则 椭 圆 E 的 离 心 率 等 于 __________________. 三、解答题(本大题共 6 题,共 76 分)

15.已知椭圆的对称轴为坐标轴,离心率 e ?

2 ,短轴长为 8 5 ,求椭圆的方程.(12 分) 3

16.已知 A、B 为椭圆 的距离为

8 x 2 25y 2 + =1 上两点,F2 为椭圆的右焦点,若|AF2|+|BF2|= a,AB 中点到椭圆左准线 2 2 5 a 9a

3 ,求该椭圆方程.(12 分) 2

17.过椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1上一点P( x0 , y 0 )向圆O : x 2 ? y 2 ? 4 引两条切线 PA、PB、A、 8 4

B 为切点,如直线 AB 与 x 轴、y 轴交于 M、N 两点. (1)若 PA ? PB ? 0 ,求 P 点坐标; (2)求直线 AB 的方程(用 x0 , y0 表示) ; (3)求△MON 面积的最小值. (O 为原点)(12 分)

2

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2 2 18.椭圆 x ? y ? 1 ?a > b > 0? 与直线 x ? y ? 1 交于 P 、 Q 两点,且 OP ? OQ ,其中 O 为坐标原点. 2 2 a b

(1)求

1 1 ? 2 的值; 2 a b
3 ≤ e ≤ 2 ,求椭圆长轴的取值范围.(12 分) 3 2

(2)若椭圆的离心率 e 满足

x2 y2 19.一条变动的直线 L 与椭圆 + =1 交于 P、Q 两点,M 是 L 上的动点,满足关系|MP|·|MQ|=2.若直 4 2
线 L 在变动过程中始终保持其斜率等于 1.求动点 M 的轨迹方程,并说明曲线的形状. (14 分)

20.椭圆的中心是原点 O,它的短轴长为 2 2 ,相应于焦点 F(c,0) ( c ? 0 )的准线 l 与 x 轴相交于点 A, |OF|=2|FA|,过点 A 的直线与椭圆相交于 P、Q 两点 . (1)求椭圆的方程及离心率; (2)若 OP ? OQ ? 0 ,求直线 PQ 的方程; (3) 设 AP ? ? AQ( ? ? 1 ) , 过点 P 且平行于准线 l 的直线与椭圆相交于另一点 M, 证明 FM ? ?? FQ . (14 分)

3

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参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 D 2 D 3 D 4 A 5 A 6 D 7 B 8 D 9 C 10 D

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分) 11.

y2 x2 x2 y2 ? ? 1 12. ? ?1 36 27 15 10

13. [ ?13,13]

14.

4 5

三、解答题(本大题共 6 题,共 76 分)

15.(12 分) [解析]:由

b?4 5 y2 y2 x2 x2 a ? 12 c 2 ? ?1或 ? ?1 . ,∴椭圆的方程为: e? ? ? 144 80 144 80 a 3 c?8 a2 ?b2 ? c2

16.(12 分) [解析]:设 A(x1,y1),B(x2,y2),? e ?

1 4 8 , 由焦半径公式有 a-ex1+a-ex2= a ,∴x1+x2= a , 2 5 5 1 5 1 5 3 即 AB 中点横坐标为 a ,又左准线方程为 x ? ? a ,∴ a ? a ? ,即 a=1,∴椭圆方程为 x2+ 25 y2=1. 4 4 4 4 2 9
? PA ? PB
∴OAPB 的正方形

17.(12 分) [解析]: (1)? PA? PB ? 0

2 2 ? x0 ? y0 ?8 32 ? 2 由? 2 2 ? x0 ? ?8 x0 y 0 4 ?1 ? ? 4 ?8

? x0 ? ?2 2 ∴P 点坐标为( ? 2 2 ,0 )

(2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) 则 PA、PB 的方程分别为 x1 x ?

y1 y ? 4, x2 x ? y2 y ? 4 ,而 PA、PB 交于 P(x0,y0)

即 x1x0+y1y0=4,x2x0+y2y0=4,∴AB 的直线方程为:x0x+y0y=4 (3)由 x x ? y y ? 4得M ( 4 ,0) 、 N (0, 4 ) 0 0

S ?MON

y0 1 1 4 4 1 ? | OM | ? | ON |? | |?| |? 8 ? 2 2 x0 y0 | x0 y 0 |
y0 x2 y2 8 8 ? ?2 2 |? 2 2 ( 0 ? 0 ) ? 2 2 ? S ?MON ? 2 8 4 | x y | 2 2 2 2 0 0 x0 ?

x0

? | x0 y0 |? 4 2 |

2 18. (12 分)[解析]:设 P( x1 , y1 ), P( x 2 , y 2 ) ,由 OP ⊥ OQ 2 2
2 2

当且仅当 | x 0 |?| y 0 | 时, S . ?MON min ? 2 2

?

x 1x 2 + y1 y 2 = 0

? y1 ? 1 ? x1 , y 2 ? 1 ? x 2 , 代入上式得: 2 x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? 1 ? 0

① 又将 y ? 1 ? x代入

y 2a 2 x 2 2 2 2 2 2 ? ( a ? b ) x ? 2 a x ? a ( 1 ? b ) ? 0 , ? ? 1 ? ? ? 0 , ? x ? x ? , 1 2 a2 ? b2 a2 b2 a 2 (1 ? b 2 ) 代入①化简得 1 ? 1 ? 2 . x1 x 2 ? 2 a ? b2 a2 b2 a2 c2 b2 1 b2 1 1 b2 2 (2) ? e 2 ? ? 1 ? 2 ? ? 1 ? 2 ? ? ? 2 ? , 又由(1)知 b 2 ? 2 2 3 2 2 a 3 2a ? 1 a a a
1 1 2 5 3 5 6 ,∴长轴 2a ∈ [ 5, 6 ]. ? ? ? ? a2 ? ? ?a? 2 2a 2 ? 1 3 4 2 2 2 19.(14 分) ?
[解析]: 设动点 M(x, y), 动直线 L: y=x+m, 并设 P(x1, y1), Q(x2, y2)是方程组 ? y ? x ? m, 的解, 消去 y, 得 3x2+4mx+2m2 ? 2 2 ?x ? 2 y ? 4 ? 0 4

飞跃文化培训 -4=0, 其中 Δ=16m2-12(2m2-4)>0, ∴-

4m 且 x1+x2=- , x1x2= 2m 6 <m< 6 , 3

2

?4, 又∵|MP|=

3

|MQ|= 2 |x 2 |x-x1|,

-x2|.由|MP||MQ|=2,得|x-x1||x-x2|=1,也即 |x2-(x1+x2)x+x1x2|=1,于是有 x 2 ?

x 2 2x 2 4mx 2m 2 ? 4 2 2 2 2 ? ?1夹 ? ? 1. ∵m=y-x,∴|x +2y -4|=3.由 x +2y -4=3,得椭圆 7 7 3 3

在直线 y ? x ? 6 间两段弧,且不包含端点.由 x2+2y2-4=-3,得椭圆 x2+2y2=1.
2 2 20.(14 分) [解析]: (1)由题意,可设椭圆的方程为 x ? y ? 1(a ? 2

?a 2 ? c 2 ? 2, 2 ) .由已知得 ? ? a2 2 a ?c ? 2( ? c). c ? 2 2 6 x y 解得 a ? 6 , c ? 2 ,所以椭圆的方程为 . ? ? 1 ,离心率 e ? 6 2 3

? x2 y2 ? ? 1, (2)解:由(1)可得 A(3,0) .设直线 PQ 的方程为 y ? k ( x ? 3) .由方程组 ? 2 ?6 ? y ? k ( x ? 3) ? 得 (3k 2 ? 1) x 2 ? 18k 2 x ? 27k 2 ? 6 ? 0 ,依题意 ? ? 12(2 ? 3k 2 ) ? 0 ,得 ? 6 ? k ? 6 . 3 3 2 2 18k , ① 27k ? 6 . ②,由直线 PQ 的方程得 设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ? x1 x2 ? 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

y1 ? k ( x1 ? 3), y2 ? k ( x2 ? 3)

.于是 y1 y2 ? k 2 ( x1 ? 3)(x2 ? 3) ? k 2 [ x1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 9] . ③ ④,由①②③④得 5k
2

∵ OP ? OQ ? 0 ,∴ x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 .

? 1 ,从而 k ? ?

5 6 ? (? , 5 3

6 . ) 3

所以直线 PQ 的方程为 x ? 5 y ? 3 ? 0 或 x ? 5 y ? 3 ? 0 . (2)证明: AP ? ( x1 ? 3, y1 ), AQ ? ( x2 ? 3, y2 ) .由已知得方程组

? x1 ? 3 ? ? ( x 2 ? 3), ? y ? ?y , 2 ? 1 ? x12 y12 注意 ? ? 1 ,解得 x ? 5? ? 1 ,因 F (2, 0), M ( x1 , ? y1 ) ,故 2 ? ? ? 1, 2? 2 ?6 ? x2 y2 ? 2 ? 2 ? 1. 2 ?6 1? ? ? ?1 FM ? ( x1 ? 2, ? y1 ) ? (?( x2 ? 3) ? 1, ? y1 ) ? ( , ? y1 ) ? ?? ( , y2 ) . 2 2? 而 FQ ? ( x ? 2, y ) ? ( ? ? 1 , y ) ,所以 FM ? ?? FQ . 2 2 2 2?

5


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