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求数列通项公式的十种方法

时间:2015-08-08


递推式求数列通项公式常见类型及解法
对于由递推式所确定的数列通项公式问题,通常可通过对递推式的变形转化成等差数 列或等比数列,也可以通过构 8 造把问题转化。下面分类说明。 一、 型

例 1. 在数列{an}中,已知

,求通项公式。

解:已知递推式化为

,即



所以



将以上

个式子相加,得



所以 二、 型



例 2. 求数列

的通项公式。

解:当




第1页

当 三、 例 3. 在数列 解法 1:设 得 所以有 。 型 中,

,所以



,求 ,对比

。 ,得 。于是,

,以 3 为公比的等比数列。

解法 2:又已知递推式,得 上述两式相减,得 以 3 为公比的等比数列。 所以 四、 型 ,因此,数列 是以 为首项,

,所以



例 4. 设数列 解:设 ,则 ,

,求通项公式 ,



所以









这时,所以



第2页

由于{bn}是以 3 为首项,以 为公比的等比数列,所以有



由此得:



说明:通过引入一些尚待确定的系数转化命题结构,经过变形与比较,把问题转化成基本 数列(等差或等比数列)。 五、 型

例 5. 已知 b≠0,b≠±1, b 表示 an 的通项公式。

,写出用 n 和

解:将已知递推式两边乘以

,得 , 仿类型三, 可解得

,又设 ,

, 于是, 原递推式化为 故 。

说明:对于递推式

,可两边除以

,得

,引入辅助数列

,然后可归结为类型三。 六、 型

例 6. 已知数列

,求



解:在

两边减去



所以

为首项,以



第3页

所以 令上式 ,再把这 个等式累加,得

。所以 说明: 可以变形为 ,则可从

。 ,就是 ,解得 ,于是 是公比

为 的等比数列,这样就转化为前面的类型五。 等差、等比数列是两类最基本的数列,是数列部分的重点,自然也是高考考查的热点,而 考查的目的在于测试灵活运用知识的能力,这个“灵活”往往集中在“转化”的水平上。 转化的目的是化陌生为熟悉,当然首先是等差、等比数列,根据不同的递推公式,采用相 应的变形手段,达到转化的目的。

附:构建新数列巧解递推数列竞赛题
递推数列是国内外数学竞赛命题的“热点”之一,由于题目灵活多变,答题难度较大。本文利用构 建新数列的统一方法解答此类问题,基本思路是根据题设提供的信息,构建新的数列,建立新数列与原 数列对应项之间的关系, 然后通过研究新数列达到问题解决之目的。 其中, 怎样构造新数列是答题关键。 1 求通项 求通项是递推数列竞赛题的常见题型,这类问题可通过构建新数列进行代换,使递推关系式简化, 这样就把原数列变形转化为等差数列、等比数列和线性数列等容易处理的数列,使问题由难变易,所用 的即换元和化归的思想。 例 1、数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a n ?1 ?

1 1 ? 4a n ? 1 ? 24 a n 。求 an 。 16
(1981 年第 22 届 IMO 预选题)

?

?

分析

本 题 的 难 点 是 已 知 递 推 关 系 式 中 的 1 ? 24a n 较 难 处 理 , 可 构 建 新 数 列 ?bn ? , 令

bn ? 1 ? 24an ,这样就巧妙地去掉了根式,便于化简变形。

第4页

解:构建新数列 ?bn ? ,使 bn ? 1 ? 24an ? 0
2 bn ?1 则 b1 ? 5 , b ? 1 ? 24an ,即 a n ? 24

2 n

? ?

2 2 ? bn bn ?1 1? ?1 ? 1 ? ? 1 ? 4 ? ? bn ? ? ? 化简得 24 16 ? 24 ?

?2bn?1 ?2 ? ?bn ? 3?2

2bn?1 ? bn ? 3 ,即 bn ?1 ? 3 ?

1 ?bn ? 3? 2

数列 ? bn ? 3? 是以 2 为首项,

1 为公比的等比数列。 2

?1? bn ? 3 ? 2 ? ? ? ? 2?

n ?1

? 2 2? n

即 bn ? 2 2?n ? 3

?
2

an ?

2 bn ? 1 2 2 n ?1 ? 3 ? 2 n ?1 ? 1 ? 24 3 ? 2 2 n ?1

证明不等式 这类题一般先通过构建新数列求出通项, 然后证明不等式或者对递推关系式先进行巧妙变形后再构 建新数列,然后根据已经简化的新数列满足的关系式证明不等式。 例 2、设 a0 ? 1 , a n ?
2 1 ? an ?1 ? 1

a n ?1

?n ? N ? ,求证: a n

?

?
2 n?2



(1990 年匈牙利数学奥林匹克试题) 分析 利用待证的不等式中含有 ? 及递推关系式中含有 1 ? a n ?1 这两个信息, 考虑进行三角代换,
2

构建新数列 ? ? n ?,使 an ? tg? n ,化简递推关系式。 证明:易知 an ? 0 ,构建新数列 ? ? n ?,使 an ? tg? n , ? n ? ? 0,

? ?? ? ? 2?

则 an ?

1 ? tg 2? n ?1 ? 1 tg? n ?1

?

1 ? cos? n ?1 ? ? tg n ?1 sin ? n ?1 2

?

tg? n ? tg

? n?1
2

,? n ?

? n ?1
2

又 a0 ? 1 , a1 ?

2 ? 1 ? tg

?
8

,从而 ? 1 ?

?
8

因此,新数列 ? ? n ?是以

? 1 为首项, 为公比的等比数列。 2 8

第5页

?1? ?n ? ? ? ?2?

n ?1

?

?
8

?

?
2 n?2

考虑到当 x ? (0,

?
2

) 时,有 tgx ? x 。所以, a n ? tg

?
2
n?2

?

?
2 n?2

注:对型如 3

2 1 ? an , 1 ? an ,

a n ?1 ? a n 都可采用三角代换。 1 ? a n a n?1

证明是整数 这类题把递推数列与数论知识结合在一起,我们可以根据题目中的信息,构建新数列,找到新的递 推关系式直接解决,或者再进行转化,结合数论知识解决。 例 3、设数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , a n ?1 ?

1 1 an ? 2 an

(n ? N )

求证:

2 a ?2
2 n

?N 2

?n ? N , n ? 1? 。
,转化为证明 bn ? N

分析 直接令 bn ?

2 an ?2

(n ? N , n ? 1)

证明:构建新数列 ?bn ? ,令 bn ?

2
2 an ?2

?0

则 an ?
2

4 4 2 ? 2 , an ?2 ?1 ? 2 2 bn bn ?1
?1 1 ?? ? 2 an ? a n ? ? ? ? ?
2

代入 a

2 n ?1

2 2 2 整理得 bn ?1 ? bn 4 ? 2bn

?

?

2 2 2 从而 bn ? bn ?1 4 ? 2bn?1

?

?
?

(n ? 3)

2 2 2 2 2 于是 bn ?1 ? bn 4 ? 2bn ?1 4 ? 2bn ?1 ? 2bn bn ?1 ? 1

?

?? ? ?

??

2

(n ? 3)

?

2 bn?1 ? 2bn bn ?1 ? 1

?

?

(n ? 3) (n ? 1) ,即

由已知, b2 ? 4 , b3 ? 24 ,由上式可知, b4 ? N , b5 ? N ,依次类推, bn ? N

2
2 an ?2

?N 。

第6页

例 4、设 r 为正整数,定义数列 ?an ? 如下: a1 ? 1 , a n ?1 ?

nan ? 2(n ? 1) 2 r n?2

(n ? N )

求证:

an ? N 。
(1992 年中国台北数学奥林匹克试题) 分析 把条件变形为 ?n ? 2?an?1 ? nan ? 2?n ? 1? 比较 a n ?1 与 an 前的系数及 a n ?1 与 an 的足码,
2r

考虑到另一项为 2?n ? 1? ,等式两边同乘以 ?n ? 1? ,容易想到构新数列 ?bn ? ,使 bn ? n?n ? 1?an 。
2r

证明:由已知得 ?n ? 2?an?1 ? nan ? 2?n ? 1?

2r

? ?n ? 1??n ? 2?an?1 ? n?n ? 1?an ? 2?n ? 1?2r?1 构建新数列 ?bn ?, bn ? n?n ? 1?an
则 b1 ? 2 , bn?1 ? bn ? 2?n ? 1?
2r ?1

? bn ? b1 ? ? ?bk ?1 ? bk ?
k ?1

n ?1

? 2 1 ? 2 2r ?1 ? 32r ?1 ? ? ? n 2r ?1

?

?? b

n

?N

?

bn ? 2n 2 r ?1 ? ? k 2 r ?1 ? (n ? k ) 2 r ?1
k ?1 n ?1

n ?1

?

?
?

1 2r 2 2 r ?1 2 2r 2r ? 2n 2 r ?1 ? ? n 2 r ?1 ? C 2 k ? ? ? C2 r ?1 n k ? C 2 r ?1 n r ?1 n ? k k ?1

?

?

n bn

又 bn ?
n

? k 2r ?1 ? ? (n ? 1 ? k ) 2r ?1 ? ? k 2r ?1 ? ?n ? 1 ? k ?
k ?1 k ?1 k ?1 2 r ?1 1 2 ? C2 ? k ? C2 r ?1 ?n ? 1? r ?1 ?n ? 1? 2r 2 r ?1

n

n

n

?

2 r ?1

? ?

? ? ?n ? 1?
k ?1

?

2r 2r k 2 ? ? ? C2 r ?1 ?n ? 1?k

? ?n ? 1?

| bn

?
4

n?n ? 1? | bn ,从而 an ? N 。

解决整除问题 一般通过构建新数列求出通项,再结合数论知识解决,也可用数学归纳法直接证明。 例 5、设数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , a2 ? 3 ,对一切 n ? N ,有

第7页

an?2 ? ?n ? 3?an?1 ? ?n ? 2?an ,求所有被 11 整除的 an 的一切 n 值。
(1990 年巴尔干地区数学奥林匹克试题) 分析 变形递推关系式为 an?2 ? an?1 ? ?n ? 2??an?1 ? an ?,就容易想到怎样构建新数列了。 解:由已知 an?2 ? an?1 ? ?n ? 2??an?1 ? an ? 构建新数列 ? bn ??n ? 2?,

bn?1 ? an?1 ? an

?n ? 1?

则 b2 ? 2 , bn?1 ? ?n ? 1??an ? an?1 ? ? ?n ? 1?bn

?n ? 2? ?n ? 2?

? ?

bn ? nbn?1 ? n?n ? 1?bn?2 ? ? ? n?n ? 1??3b2 ? n!
an ? a1 ? ? ?a n ? an?1 ? ? 1 ? ? bk ?? k!
k ?2 k ?2 k ?1 n n n

从而 a 4 ? 11? 3 , a8 ? 11? 4203, a10 ? 11? 367083 ,当 n ? 11 时,由于
10 n

? k!被 11 整除,因而
k ?1

10

a n ? ? k! ? ? k! 也被 11 整除。
k ?1 k ?11

5

所以,所求 n 值为 n ? 4 ,8,及 n ? 10 的一切自然数。 证明是完全平方数 这类题初看似乎难以入手,但如能通过构建新数列求出通项 an ,问题也就迎刃而解了。 例 6、设数列 ?an ? 和 ?bn ? 满足 a0 ? 1 , b0 ? 0 ,且

?a n ?1 ? 7 a n ? 6bn ? 3 ? ?bn ?1 ? 8a n ? 7bn ? 4
求证: an 是完全平方数。

① ②

?n ? 0,1,2,??

(2000 年全国高中联赛加试题) 分析 先用代入法消去 bn 和 bn ?1 ,得 an?2 ? 14an?1 ? an ? 6 ? 0 ,如果等式中没有常数项 6,就可 以利用特征根方法求通项,因此可令 Cn ? an ? a ,易求得 a ? ? 证明:由①式得 bn , bn ?1 代入②得

1 。 2

第8页

an?2 ? 14an?1 ? an ? 6 ? 0
化为 ? a n ? 2 ?

? ?

1? 1? ? 1? ? ? ? 14? a n?1 ? ? ? ? a n ? ? ? 0 2? 2? ? 2? ?

构建新数列 ?cn ? , c n ? a n ?

1 1 ,且 c 0 ? , 2 2 1 1 7 c1 ? a1 ? ? ?7a0 ? 6b0 ? 3? ? ? 2 2 2

cn?2 ? 14?cn?1 ? ? cn ? 0
由特征方程

?2 ? 14? ? 1 ? 0 得两根

?1 ? 7 ? 4 3 , ?2 ? 7 ? 4 3
所以
n cn ? m1?1 ? m2 ?n 2

1 ? m1 ? m2 ? ? ? 2 当 n ? 0 ,1 时,有 ? ?m 7 ? 4 3 ? m 7 ? 4 3 ? 1 1 2 ? 2 ?

?

?

?

?

解得: m1 ? m2 ? 则 cn ?

n 1 1 7?4 3 ? 7?4 3 4 4 2n 2n 1 1 ? 2? 3 ? 2? 3 4 4

? ?

1 4

?

?

?

n

?

?

?

则 an ? cn ? 因为 2 ? 3

n n 2 1 1? ? 2? 3 ? 2? 3 ? ? ? ? 2 4?

?

? ?

?

?

? ? ?2 ? 3 ?
n

n

为正偶数,所以, an 是完全平方数。

从上述各题构建新数列的过程中,可以看出对题设中递推式的观察、分析,并据其结构特点进行合 理变形,是成功构建新数列的关键。构建新数列的目的是为了化繁为简、化未知为已知、化不熟悉为熟 悉,这也是解答数学问题的共性之所在。

第9页


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