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广东省揭阳市2014届高三第二次模拟考试数学(文)试题

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重过程、重细节、重反思

绝密★启用前

广东省揭阳市2014届高三4月第二次模拟

数学(文科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 参考公式: 棱锥的体积公式: V ? 一、选择题: 1.已知(1+i)(1-mi)是实数 ( i 是虚数单位),则实数 m 的值为 A.

?1 B.1 C. -1 D. 0

1 Sh .其中 S 表示棱锥的底面积,h 表示棱锥的高. 3

2、某校有男、女生各 500 名,为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差 异,拟从全体学生中抽取 100 名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是 ( ) A.抽签法 B.随机数法 C.系统抽样法 D.分层抽样法

3.设全集 U ? R , A ? {x | y ? lg( x2 ?1)} ,则 C R A ? A. (??,1] B. (??, ?1) ∪ (1, ??) C.[-1,1] D. (1, ??)

4、下列函数中,既是偶函数又在区间(0, ?? )上存在零点的是 A、 y ?

1 x

B、 y ? e

?x

C、 y ? lg | x |

D、 y ? ? x ? 1
2

5.已知等差数列 ?an ? 中, a2 ? 6 ,前 7 项和 S7 ? 84 ,则 a6 等于 A.18 B. 20 C.24 D. 32

6.已知命题 p :函数 y ? sin 4 x 是最小正周期为

q :函数 y ? tan x 在 ( , ?) 上单调递减,则下列命题为真命题的是 2
A. p ? q B. (?p) ? q C. (?p) ? (?q ) D. (?p) ? (?q)

?

? 的周期函数,命题 2

7、在平面直角坐标系中,O(0,0),P(6,8),将向量 OP 按逆时针旋转 则点 Q 的坐标是 A、(-8,6) B、(-6,8) C、(6,-8)

? 后,得向量 OQ , 2

D、(8,-6)

8.运行如图 1 的程序框图,则输出 s 的结果是 A.

1 6

B.

25 24

C.

3 4

D.

11 12

1

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9、已知一棱锥的三视图如图 2 所示,其中侧视图和俯视图都是等腰直角三角形,正视图为 直角梯形,则该棱锥的体积为 A、8 B、16 C、32 D、48

? x ? y ? 2 ? 0, ? 10.若曲线 y=x 上存在点(x,y)满足约束条件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0, ,则实数 m 的取值范围 ?x ? m ?
2

是 A. [?2,1] B. [1, ??) C. (0, ??) D. (??,1)

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(11-13 题) 11.若 sin ? ? cos ? ?

1 ,则 sin 2? = 3
2 2

. .

12.过点(2,1)作圆 ( x ?1) ? ( y ? 2) ? 4 的弦,其中最短的弦长为

13、某研究机构对高三学生的记忆力 x 和判断力 y 进行统计分析,得下表数据: x y 6 2 8 3 10 5 12 6
?

? ?a ? ? bx ? 中的 b 的 根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y
值为 0.7 ,则记忆力为 14 的同学的判断力约为______
? ?

? ?a ? ? bx ? 中, a ? y ? b x ,其中 x , y 为样本平均值) (附:线性回归方程 y

(二)选做题(14-15 题,考生只能从中选做一题)

14.(坐标系与参数方程选做题)[在极坐标系中,过点 A ? 4 , ? ? 引圆 2
?

? ?

π?

? ? 4sin ? 的一条切线,则切线长为
2


图 3

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15.(几何证明选讲选做题)如图(3), PA 是圆 O 的切线,切点为 A , PO 交圆 O 于 B, C 两点,且 PA ? 2, PB ? 1, 则 AB 的长为 . 三.解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 在 △ ABC 中,已知 cos A ?

1 13 , cos( A ? B) ? , 且 B ? A . 7 14

(1)求角 B 和 sin C 的值; (2)若 △ ABC 的边 AB ? 5 ,求边 AC 的长.

17. (本小题满分 12 分) 下表是某市从 3 月份中随机抽取的 10 天空气质量指数(AQI)和“PM2.5”(直径小于等 于 2.5 微米的颗粒物)24 小时平均浓度的数据,空气质量指数(AQI)小于 100 表示空气质 量优良. 日期编号 空气质量指数(AQI) “PM2.5”24 小时平均浓度( ug / m3 ) A1
179 135

A2
40 5

A3
98 80

A4
124 94

A5
29 80

A6
133 100

A7
241 190

A8
424 387

A9
95 70

A10
89 66

(1)根据上表数据,估计该市当月某日空气质量优良的概率; (2)在上表数据中,在表示空气质量优良的日期中,随机抽取两个对其当天的数据作进 一步的分析,设事件 M 为“抽取的两个日期中,当天‘PM2.5’的 24 小时平均浓度不超过 75 ug / m3 ”,求事件 M 发生的概率;

18.(本小题满分 14 分) 如图 4,已知三棱柱 ABC—A1B1C1 的侧棱与底面垂直,且∠ACB=90° , ∠BAC=30° ,BC=1,AA1= 6 ,点 P、M、N 分别为 BC1、CC1、AB1 的中点. (1)求证:PN//平面 ABC; (2)求证:A1M ⊥AB1C1; (3)求点 M 到平面 AA1B1 的距离.

3

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19.(本小题满分 14 分)

图4

x 已知抛物线的方程为 y ? ax 2 ? 1 ,直线 l 的方程为 y ? ,点 A ? 3, ?1? 关于直线 l 的对 2
称点在抛物线上. (1)求抛物线的方程; (2)已知 P ?

?1 ? ,1? ,求过点 P 及抛物线与 x 轴两个交点的圆的方程; ?2 ?
15 ?1 ? ) 是抛物线的焦点, P ? ,1? ,M 是抛物线上的动点,求 16 ?2 ?

? (3)已知点 F (0,

| MP | ? | MF | 的最小值及此时点 M 的坐标;

20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f(x)=ax+lnx(a<0) (1)若当 x ? [1, e] 时,函数 f(x)的最大值为-3,求 a 的值; (2) 设 g( x) ? f( x) f ? ('x ( ) ('f) x 上是单调函数,求 a 的取值范围。 , 若函数 g (x) 在 (0, 为函数( fx )的导函数) ?? )

21.(本小题满分 14 分) 已知等比数列 ?an ? 满足: a2 ? 4, 公比 q ? 2 ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn ,且

4 2 2 S n ? b n ? an ? ( n ? N ? ). 3 3 3
(1)求数列 ?an ? 和数列 {bn } 的通项 an 和 bn ; (2)设 Pn ?
n an 3 (n ? N ? ) ,证明: ? Pi ? . Sn 2 i ?1

4

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数学(文科)参考答案及评分说明
一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的 主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容 和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如 果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数. 一、选择题:BDCCA DABBD 解析: 9.该几何体是底面为直角梯形的四棱锥,依题意得 V ? 10.结合图形易得 m 的取值范围为 m ? 1 ,故选 D. 二、填空题: 11. 解析:

1 1 ? ? (4 ? 2) ? 4 ? 4 ? 16 . 3 2 y

y= x2

8 3 5 ,12. 2 2 ,13. 7.5 ,14. 4 2 ,15. . 5 9

x- 2y- 2= 0

o 1

x
x+ y- 2= 0

14.把 A 点和圆化为直角坐标系下的坐标和方程得 A? 0, ? 4 ? ,圆 x2 ? y 2 ? 4 y , A 点到圆心的距离为 6,半径为 2,所以切线长为 62 ? 22 ? 4 2 .
PB PA BA ? ? , 由已知 PA ? 2, PB ? 1, ,可解得 PC ? 4 ,所以圆 PA PC AC 3 5 BA 1 直径为 3,又由 . ? , BA2 ? AC 2 ? 9 可解得 AB ? 5 AC 2
15.由 ?PBA

?PAC , 可得:

三.解答题: 16.解(1)由 cos A ?

1 13 ? ? ? 0 , cos( A ? B ) ? ? 0, 得 0 ? A ? 且 0 ? A ? B ? ----1 分 7 14 2 2

2 可得 sin A ? 1 ? cos2 A ? 1 ? ( ) ?

1 7

4 3 , --------------2 分 7

13 3 3 sin( A ? B) ? 1 ? cos 2 ( A ? B) ? 1 ? ( )2 ? , ------------3 分 14 14
?cos B ? cos[ A ? ( A ? B)] ? cos A cos( A ? B) ? sin A sin( A ? B)

1 13 4 3 3 3 1 ? ? ? ? ? --------------------------5 分 7 14 7 14 2
∵0 ? B ??

. --------------------6 分 3 ∵在△ABC 中, C ? ? ? ( A ? B) ∴ sin C ? sin[? ? ( A ? B)] ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B -----------------------7 分

?B ?

?

5

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?

4 3 1 1 3 5 3 ? ? ? ? . ----------------9 分 7 2 7 2 14
AB AC ? ,-------------10 分 sin C sin B

(2)在△ABC 中,由正弦定理得:

3 AB ? sin B 2 ? 7 .------------------------12 分 ? ∴ AC ? sin C 5 3 14 5?
17.解:(1)由上表数据知,10 天中空气质量指数(AQI)小于 100 的日期编号为: A2 、A3 、A5 、A9 、A10 共 5 天,-------------------------2 分 故可估计该市当月某日空气质量优良的概率 P ?

5 1 ? .------------4 分 10 2

(2)在表示空气质量为优良的日期 A2、A3、A5、A9、A10 中随机抽取两个的所有可能的情况 为: { A2,A3},{ A2,A5},{ A2,A9},{ A2,A10},{ A3,A5},{ A3,A9},{ A3,A10},{ A5, A9},{ A5,A10},{ A9,A10},共 10 种; ---------8 分 两个日期当天“PM2.5”24 小时平均浓度小于 75 ug / m3 的有: { A2,A9},{ A2,A10}, { A9,A10},共 3 种; ------------------10 分 故事件 M 发生的概率 P ( M ) ?

3 .----------------12 分 10

18. (1)证明:连结 CB1,∵P 是 BC1 的中点 ,∴CB1 过点 P,--1 分 ∵N 为 AB1 的中点,∴PN//AC,----- -------2 分 ∵ AC ? 面 ABC , PN ? 面 ABC , ∴PN//平面 ABC. --------------------------------------4 分 (2)证法一:连结 AC1,在直角 ΔABC 中, ∵BC=1,∠BAC=30° , ∴ AC=A1C1= 3 -----------------------5 分 ∵

CC1 AC ? 1 1 = 2, A1C1 MC1

∴ Rt ?AC 1 1M

Rt ?C1CA ----------------------------7 分

∴ ?A 1MC1 ? ?CAC1 ,??AC1C ? ?CAC1 ? ?AC1C ? ?A 1MC1 ? 90 ∴AC1⊥A1M. ------------------------------8 分 ∵B1C1⊥C1A1,CC1⊥B1C1,且 C1 A1 ? CC1 ? C1 ∴B1C1⊥平面 AA1CC1-------9 分 ∴B1C1⊥A1M,又 AC1 ? B1C1 ? C1 ,故 A1M⊥平面 A B1C1,---------11 分
6

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【证法二:连结 AC1,在直角 ΔABC 中,∵BC=1,∠BAC=30° , ∴ AC=A1C1= 3 -----------------------------5 分 设∠AC1A1=α,∠MA1C1=β ∵ tan ? tan ? ?

AA1 MC1 6 2 ? = ? =1,------------------7 分 AC 3 2 1 1 AC 1 1

∴α+β=90° 即 AC1⊥A1M. ---------------------------------------8 分 ∵B1C1⊥C1A1,CC1⊥B1C1,且 C1 A1 ? CC1 ? C1 ∴B1C1⊥平面 AA1CC1,----------------------------------------9 分 ∴B1C1⊥A1M,又 AC1 ? B1C1 ? C1 故 A1M⊥面 A B1C1,---------------------------------------11 分】 (3)设点 M 到平面 AA1B1 的距离为 h, 由(2)知 B1C1⊥平面 AA1CC1 ∵ VM ? AA1B1 ? VB1 ?MAA1 ----------------------------------12 分 ∴ S?AA1B1 ? h ? S?MAA1 ? B1C1 ∴h ?

S ?MAA1 ? B1C1 S ?AA1B1

1 ? 3 ? 6 ?1 3 . ?2 ? 1 2 ? 2? 6 2
3 .--------------------------14 分 2

即点 M 到平面 AA1B1 的距离为

19.解:(1)设点 A(3,-1)关于直线 l 的对称点为 B(x,y),
y ?1 ?x?3 ? 2? ?0 ?x ? 1 ? 2 2 则? 解得 ? ,------------------------2 分 ? y ? 3 y ? 1 ? ? ? ?2 ?x ?3 ?

把点 B(1,3)代入 y ? ax ? 1 ,解得 a = 4,
2

所以抛物线的方程为 y ? 4 x ? 1-----------------------------4 分
2

1 ,设抛物线与 x 轴的两个交点从左到右 2 1 1 分别为 C、D,则 C ( ? , 0), D ( , 0) ,--------------------5 分 2 2
(2)令 y ? 4 x ? 1=0 得 x ? ?
2

显然△PCD 是 Rt△,所以 PC 为所求圆的直径,由此可得圆心坐标为 (0, ) , 圆的半径 r ?

1 2

2 ,-------------------------7 分 2

7

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故所求圆的方程为 x ? ( y ? ) ?
2 2

1 2

1 ;(其它解法请参照给分)--8 分 2

15 ) 是抛物线的焦点,(0,-1)是抛物线的顶点, 16 17 ∴抛物线的准线为 x ? ? ,------------------9 分 16 ? (3)∵ F (0,
过点 M 作准线的垂线,垂足为 A,由抛物线的定义知 | MF |?| MA | , ∴ | MP | ? | MF | = | MP | ? | MA |?| PA | ,当且仅当 P、M、A 三点共线时“=”成立,-----11 分 即当点 M 为过点 P 所作的抛物线准线的垂线与抛物线的交点时, | MP | ? | MF | 取最小值, ∴ (| MP | ? | MF |) min ? 1 ? (?

17 33 )? ,-------------------13 分 16 16

这时点 M 的坐标为 ( , 0) .-------------------------------14 分 20.解:(1)由 f '( x) ? a ?

1 2

1 ax ? 1 ? x x 1 , ??) 上单调递减,-----------2 分 a

可得函数 f ( x ) 在 (0, ? ) 上单调递增,在 (? ∴当 x ? ? ①当 ?

1 a

1 时, f ( x ) 取最大值--------------------------3 分 a

1 ? 1 ,即 a ? ?1 时,函数 f ( x) 在 [1, e] 上单调递减, a ∴ f ( x)max ? f (1) ? ?3,解得 a ? ?3 ;-----------------------------5 分 1 1 1 ②当 1 ? ? ? e ,即 ?1 ? a ? ? 时, f ( x) max ? f (? ) ? ?3 , a e a 1 2 解得 a ? ?e ? ?1 ,与 ?1 ? a ? ? 矛盾,不合舍去;----------------6 分 e 1 1 ③当 ? ? e ,即 a ? ? 时,函数 f ( x ) 在 [1, e] 上单调递增, a e 4 1 1 ∴ f ( x)max ? f (e) ? ?3 ,解得 a ? ? ? ? ,与 a ? ? 矛盾,不合舍去;------7 分 e e e 综上得 a ? ?3 .---------------------------------------8 分 1 (2)解法一:∵ g ( x) ? ln x ? ax ? ? a , x 1 1 1 1 2 1 ∴ g '( x) ? ? a ? 2 ? ?( ? ) ? a ? ,---------------10 分 x x x 2 4 显然,对于 x ? (0, ??), g '( x) ? 0 不可能恒成立, ∴函数 g ( x) 在 (0, ??) 上不是单调递增函数,------------------------11 分 若函数 g ( x) 在 (0, ??) 上是单调递减函数,则 g '( x) ? 0 对于 x ? (0, ??) 恒成立, 1 1 ∴ [ g '( x)]max ? a ? ? 0, 解得 a ? ? ,-----------------------------13 分 4 4 综上得若函数 g ( x) 在 (0, ??) 上是单调函数,则
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1 a ? (??, ? ] .-----------------------14 分 4 1 【解法二:∵ g ( x) ? ln x ? ax ? ? a x 2 1 1 ax ? x ? 1 ∴ g '( x) ? ? a ? 2 ? ,----------------------9 分 x x x2 2 令 ax ? x ? 1 ? 0 ------------( ? ) 方程( ? )的根判别式 ? =1+4a , 1 当 ? ? 0 ,即 a ? ? 时,在 (0, ??) 上恒有 g '( x) ? 0 , 4 1 即当 a ? ? 时,函数 g ( x) 在 (0, ??) 上是单调递减;------------11 分 4 1 当 ? ? 0 ,即 a ? ? 时,方程( ? )有两个不相等的实数根: 4 ?1 ? 1 ? 4a ?1 ? 1 ? 4a ;--------------------12 分 x1 ? , x2 ? 2a 2a a ∴ g '( x) ? 2 ( x ? x1 )( x ? x2 ) , x 当 x1 ? x ? x2 时 g '( x) ? 0 ,当 x ? x2 或 0 ? x ? x1 时, g '( x) ? 0 ,
即函数 g ( x) 在 ( x1 , x2 ) 单调递增,在 (0, x1) 或 ( x2 , ??) 上单调递减, ∴函数 g ( x) 在 (0, ??) 上不单调,-------------------------13 分 综上得若函数 g ( x) 在 (0, ??) 上是单调函数,则 a ? (??, ? ] .--------14 分】 21. (1)解法一:由 a2 ? 4, q ? 2 得,

1 4

an ? a2 ? 2n?2 ? 2n. ---------------------------------2 分 4 2 2 4 2 n 由上式结合 S n ? b n ? an ? 得 S n ? b n ? (2 ? 1) , 3 3 3 3 3 4 2 n 4 2 n ?1 则当 n ? 2 时, bn ? Sn ? Sn?1 ? bn ? (2 ? 1) ? bn ?1 ? (2 ? 1) ,------4 分 3 3 3 3 ? bn ? 2n?1 ? 4bn?1 ? 2n ? 0 ---------------------------------5 分

? bn ? 2n ? 4(bn?1 ? 2n?1 ) ,--------------------------7 分 4 2 ∵ b1 ? S1 ? b1 ? ? 1 ,∴ b1 ? 2 ,-----------------------8 分 3 3
∴数列 {bn ? 2n } 是首项为 b1 ? 2 ? 4 ,公比为 4 的等比数列,---------9 分 ∴ bn ? 2 ? 4 ? 4
n n?1

? 4n ,∴ bn ? 4n ? 2n .--------------------------10 分

【解法二:(1) 由 a2 ? 4, q ? 2 得,

an ? a2 ? 2n?2 ? 2n. ---------------------------------------2 分 4 2 2 4 2 n 由上式结合 S n ? b n ? an ? 得 S n ? b n ? (2 ? 1) , 3 3 3 3 3 4 2 n 4 2 n ?1 则当 n ? 2 时, bn ? Sn ? Sn?1 ? bn ? (2 ? 1) ? bn ?1 ? (2 ? 1) ,---------4 分 3 3 3 3
9

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? bn ? 2n?1 ? 4bn?1 ? 2n ? 0 ? bn ? 4bn?1 ? 2n (n ? 2) ?
bn b1 1 1 ? ? ? ? 4n 4 22 23
bn bn ?1 1 ? ? (n ? 2) , ------------6 分 4n 4n ?1 2n 1 1 (1 ? n ?1 ) 1 1 1 22 2 ? ? n , -----------8 分 ? n ? 1 2 2 2 1? 2



∵ b1 ? S1 ?

4 2 b1 ? ? 1 ,∴ b1 ? 2 ,---------------------------9 分 3 3 4 2 4 2 2 b n ? (2n ? 1) = (4n ? 2n ) ? (2n ? 1) ? (2 n ?1 ? 1)(2n ? 1) , 3 3 3 3 3

∴ bn ? 4n ? 2n .----------------------------------------------10 分】 (2)由 bn ? 4n ? 2n 得 S n ?

an 2n 3 1 1 ? ? ( n ? n ?1 ) ------------------12 分 ∴ Pn ? 2 Sn (2n ?1 ? 1)(2n ? 1) 2 2 ? 1 2 ? 1 3


?P ?P ?P ?
i ?1 i

n

1

2

3 1 1 1 ? 3 )? ? Pn ? [(1 ? 2 ) ? ( 2 2 2 ?1 2 ?1 2 ?1

?(

1 1 ? n ?1 ) 2 ?1 2 ?1
n

?

3 1 3 (1 ? n ?1 ) ? .-------14 分 2 2 ?1 2

10


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