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选修2-2第一章 导数 导学案


高二理科数学◆选修 2-2◆导学案

编写:陈国华

校审:张银铃

§ 1.1.1 变化率问题
学习目标
1. 感受平均变化率广泛存在于日常生活之中, 经历运用数学描述和刻画现实世界的过程. 体 会数学的博大精深以及学习数学的意义; 2.理解平均变化率的意义,为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供

丰富的背景.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P2~ P4,找出疑惑之处) 二、新课导学※ 学习探究 探究任务一: 问题 1:气球膨胀率,求平均膨胀率 吹气球时, 随着气球内空气容量的增加, 气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何 描述这种现象?

问题 2:高台跳水,求平均速度

新知:平均变化率:

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?f ? x2 ? x1 ?x

试试:设 y ? f ( x) , x1 是数轴上的一个定点,在数轴 x 上另取一点 x 2 , x1 与 x 2 的差记为 ?x , 即 ?x = , ?x 就表示从 x1 到 x 2 的变化量或增量,相应地, ?y 函数的变化量或增量记为 ?y ,即 ?y = ;如果它们的比值 ,则上式就表示 ?x 为 ,此比值就称为平均变化率. 或者 x 2 = 反思:所谓平均变化率也就是 的增量与 的增量的比值.

※ 典型例题 例 1 过曲线 y ? f ( x) ? x3 上两点 P (1,1) 和 Q(1 ? ?x,1 ? ?y ) 作曲线的割线,求出当 ?x ? 0.1 时 割线的斜率.

变式:已知函数 f ( x) ? ? x2 ? x 的图象上一点 (?1, ?2) 及邻近一点 (?1 ? ?x, ?2 ? ?y) ,则

?y = ?x

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2013 年上学期◆高二





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第一章 导数

例 2 已知函数 f ( x) ? x2 ,分别计算 f ( x ) 在下列区间上的平均变化率: (1)[1,3]; (2)[1,2]; (3)[1,1.1]; (4)[1,1.001]

※ 动手试试 练 1. 某婴儿从出生到第 12 个月的体重变化如图所示,试分别计算从出生到第 3 个月与第 6 个月到第 12 个月该婴儿体重的平均变化率.
W(kg) 11 8.6 6.5

3.5 3

6

9

12

T(月)

练 2. 已知函数 f ( x) ? 2 x ? 1 , g ( x) ? ?2 x ,分别计算在区间[-3,-1],[0,5]上 f ( x) 及 g ( x) 的 平均变化率.

(发现: y ? kx ? b 在区间[m,n]上的平均变化率有什么特点?

三、总结提升 1.函数 f ( x ) 的平均变化率是 2.求函数 f ( x ) 的平均变化率的步骤: (1)求函数值的增量 算平均变化率

(2)计

学习评价 ※ 当堂检测
1. y ? 2 x ? 1 在 (1, 2) 内的平均变化率为( ) A.3 B.2 C.1 D.0 2. 设函数 y ? f ( x) ,当自变量 x 由 x0 改变到 x0 ? ?x 时,函数的改变量 ?y 为( A. f ( x0 ? ?x) B. f ( x0 ) ? ?x
2

) )

C. f ( x0 )?x

D. f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 )

3. 质点运动动规律 s ? t ? 3 ,则在时间 (3,3 ? ?t ) 中,相应的平均速度为( 9 A. 6 ? ? t B. 6 ? ?t ? C. 3 ? ? t D. 9 ? ? t ?t 1 4.已知 s ? gt 2 ,从 3s 到 3.1s 的平均速度是_______ 2 2 5. y ? x ? 2x ? 3 在 x ? 2 附近的平均变化率是____

课后作业
1. 国家环保局对长期超标排污, 污染严重而未进行治理的单 位, 规定出一定期限, 强令在此期限内完成排污治理. 下图是 国家环保局在规定的排污达标日期前,对甲、乙两家企业连 续检测的结果(W 表示排污量) ,哪个企业治理得比较好?为 什么?

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编写:陈国华

校审:张银铃

§ 1.1.2 导数的概念
学习目标
1.掌握用极限给瞬时速度下的精确的定义; 2.会运用瞬时速度的定义,求物体在某一时刻的瞬时速度.

学习过程
一、课前准备(预习教材 P4~ P6,找出疑惑之处) 复习 1:气球的体积 V 与半径 r 之间的关系是 r (V ) ? 时,气球的平均膨胀率.
3

3V ,求当空气容量 V 从 0 增加到 1 4?

复习 2 :高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 h 与起跳后的时间 t 的关系为: . 求在 1 ? t ? 2 这段时间里,运动员的平均速度. h( t ) ? ? 4.9t2 ? 6.5 t ? 10

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:瞬时速度 问题 1:在高台跳水运动中,运动员有不同时刻的速度是 新知:瞬时速度定义:物体在某一时刻(某一位置)的速度,叫做瞬时速度. 探究任务二:导数

?s 当 ?t 趋近于 0 时的 ?t 新 知 : 导 数 的 定 义 : 函 数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处 的 瞬 时 变 化 率 是
问题 2:瞬时速度是平均速度
?x ?0

lim

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?f , 我们称它为函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导数, 记作 f ?( x0 ) 或 ? lim ?x ?0 ?x ?x
?x ?0

y? |x? x0 即 f ?( x0 ) ? lim

f ( x ? ?x) ? f ( x0 ) ?x

注意:(1)函数应在点 x0 的附近有定义,否则导数不存在

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(2)在定义导数的极限式中, ?x 趋近于 0 可正、可负、但不为 0,而 ?y 可以为 0 (3)

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?y 是函数 y ? f ( x) 对自变量 x 在 ?x 范围内的平均变化率,它的几何意义是过曲线 ?x y ? f ( x) 上点( x0 , f ( x0 ) )及点 ( x0 ? ?x, f ( x0 ? ?x) )的割线斜率
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f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 是函数 y ? f ( x) 在点 x0 的处瞬时变化率,它反 ?x ?0 ?x 映的函数 y ? f ( x) 在点 x0 处变化的快慢程度.
(4)导数 f ( x0 ) ? lim
/

小结:由导数定义,高度 h 关于时间 t 的导数就是运动员的瞬时速度,气球半径关于体积 V 的导数就是气球的瞬时膨胀率. ※ 典型例题 例 1、已知质点 M 按规律 s=2t2+3 做直线运动(位移单位:cm,时间单位:s), (1)当 t=2,Δ t=0.01 时,求

?s ?s ;(2)当 t=2,Δ t=0.001 时,求 ; ?t ?t

(3)求质点 M 在 t=2 时的瞬时速度

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第一章 导数

例 2、将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热. 如果 在第 xh 时,原油的温度(单位: c )为 f ( x) ? x2 ? 7 x ? 15(0 ? x ? 8) . 计算第 2h 和第 6h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
0

※ 动手试试 练 1. 在例 1 中,计算第 3h 和第 5h 时原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
练 2. 一球沿一斜面自由滚下,其运动方程是 s(t ) ? t 2 (位移单位:m,时间单位:s),求小球 在 t ? 5 时的瞬时速度
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三、总结提升 1、这节课主要学习了物体运动的瞬时速度的概念,它是用平均速度的极限来定义的,主要
记住公式:瞬时速度 v= lim
?t ?0

s(t ? ?t ) ? s(t ) ?t

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2、利用导数的定义求导,步骤为:第一步,求函数的增量 ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ; 第二步:求平均变化率

?y f ( x0 ? ?x) ?y ;第三步:取极限得导数 f ?( x0 ) ? lim . ? ? x ? 0 ?x ?x ?x

学习评价 ※ 当堂检测
1. 一直线运动的物体,从时间 t 到 t ? ?t 时,物体的位移为 ?s ,那么 lim ?s 为( ) ?t ? 0 ? t A.从时间 t 到 t ? ?t 时,物体的平均速度; B.在 t 时刻时该物体的瞬时速度; C.当时间为 ?t 时物体的速度; D.从时间 t 到 t ? ?t 时物体的平均速度 2. y ? x 2 在 x =1 处的导数为( ) A.2 x B.2 C. 2 ? ?x D.1
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3. 在 f ?( x0 ) ? lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 中, ?x 不可能( ?x



A.大于 0 B.小于 0 C.等于 0 D.大于 0 或小于 0 2 4.如果质点 A 按规律 s ? 3t 运动,则在 t ? 3 时的瞬时速度为 1 f [ x0 ? k ] ? f ( x0 ) 2 5. 若 f ?( x0 ) ? ?2 ,则 lim 等于 k ?0 k

课后作业
1. 高台跳水运动中, ts 时运动员相对于水面的高度是: h(t ) ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10 (单位: m),求 运动员在 t ? 1s 时的瞬时速度,并解释此时的运动状况.

2. 一质量为 3kg 的物体作直线运动,设运动距离 s(单位:cm)与时间(单位:s)的关系可用 1 函数 s(t ) ? 1 ? t 2 表示,并且物体的动能 U ? mv 2 . 求物体开始运动后第 5s 时的动能. 2

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编写:陈国华

校审:张银铃

§ 1.1.3 导数的几何意义
学习目标
通过导数的图形变换理解导数的几何意义就是曲线在该点的切线的斜率, 理解导数的概念并 会运用概念求导数.

学习过程
一、课前准备(预习教材 P6~ P9,找出疑惑之处)

?y ? ?x 复习 2:设函数 y ? f ( x) 在 x0 附近有定义当自变量在 x ? x0 附近改变 ?x 时,函数值也相应地 改变 ?y ? ,如果当 ?x 时,平均变化率趋近于一个常数 l ,则数 l
复习 1:曲线上向上 P( x1 , y1 ), P 1 ( x1 ? ?x, y1 ? ?y ) 的连线称为曲线的割线,斜率 k ? 称为函数 f ( x) 在点 x0 的瞬时变化率. 记作:当 ?x 时,

?l

二、新课导学※ 学习探究 探究任务:导数的几何意义 问题 1:当点 Pn ( x n , f ( xn ))(n ? 1, 2,3, 4) ,沿着曲线 f ( x) 趋近于点 P( x0 , f ( x0 )) 时,割线的变化 趋是什么?

新知 1:切线的定义:当割线 P Pn 无限地趋近于某一极限位置 PT 我们就把极限位置上的直 线 PT,叫做曲线 C 在点 P 处的切线 割线的斜率是: kn ? 当点 Pn 无限趋近于点 P 时, k n 无限趋近于切线 PT 的 斜 率 . 因 此 , 函 数 f ( x) 在 x ? x0 处 的 导 数 就 是 切 线 PT 的 斜 率 k , 即 f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) k ? lim ? f ?( x0 ) ?x ?0 ?x 新知 2:导数的几何意义:函数 y ? f ( x) 在 x0 处的导数的几何意义是曲线 y ? f ( x) 在
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P( x0 , f ( x0 )) 处切线的斜率. 即 k = f ?( x0 ) ? lim

?x ?0

f ( x ? ?x) ? f ( x0 ) ?x

※ 典型例题 例 1 如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 h(t ) ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10 的图象.根据图 象,请描述、比较曲线 h (t ) 在 t0 , t1 , t2 附近的变化情况.

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第一章 导数

例 2 如图,它表示人体血管中药物浓度 c ? f (t ) (单位: mg / mL )随时间 t (单位:min)变化的函 数图象.根据图象,估计 t =0.2,0.4,0.6,0.8 时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到 0.1)

※ 动手试试 练 1. 求 y ? x 2 在点 x ? 1 处的导数

练 2. 求双曲线 y ?

1 1 在点 ( , 2) 处的切线的斜率,并写出切线方程. x 2

三、总结提升 函数 y ? f ( x) 在 x0 处的导数的几何意义是曲线 y ? f ( x) 在 P( x0 , f ( x0 )) 处切线的斜率.
即 k = f ?( x0 ) ? lim
?x ?0

f ( x ? ?x) ? f ( x0 ) ,其切线方程为 ?x


学习评价 ※ 当堂检测
1. 已知曲线 y ? 2 x 2 上一点,则点 A(2,8) 处的切线斜率为( A. 4 B. 16 C. 8 D. 2 2. 曲线 y ? 2 x2 ? 1 在点 P (?1,3) 处的切线方程为( ) A. y ? ?4 x ? 1 B. y ? ?4 x ? 7 C. y ? 4 x ? 1 f ( x0 ? h) ? f ( x 0 ) 3. f ( x) 在 x ? x0 可导,则 lim ( ) h ?0 h A.与 x0 、 h 都有关 B.仅与 x0 有关而与 h 无关 C.仅与 h 有关而与 x0 无关 D.与 x0 、 h 都无关

D. y ? 4 x ? 7

4. 若函数 f ( x) 在 x0 处的导数存在,则它所对应的曲线在点 ( x0 , f ( x0 )) 的切线方程为 f ( x0 ? ?x) ? f ( x 0 ) 5. 已知函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导数为 11,则 lim = ?x ?0 ?x

课后作业
1. 如图,试描述函数 f ( x) 在 x = ?5, ?4, ?2, 0,1 附近的变化情况.

2.已知函数 f ( x) 的图象,试画出其导函数 f ?( x) 图象的大致形状.

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编写:陈国华

校审:张银铃

§ 1.2.1 几个常用函数导数
学习目标
1.掌握四个公式,理解公式的证明过程;2.学会利用公式,求一些函数的导数; 3.理解变化率的概念,解决一些物理上的简单问题.

学习过程
一、课前准备(预习教材 P12~ P14,找出疑惑之处) 复习 1:导数的几何意义是:曲线 y ? f ( x) 上点( x0 , f ( x0 ) )处的切线的斜率.因此,如果

y ? f ( x) 在点 x0 可导,则曲线 y ? f ( x) 在点( x0 , f ( x0 ) )处的切线方程为 复习 2:求函数 y ? f ( x) 的导数的一般方法:
(1)求函数的改变量 ?y ? (3)取极限,得导数 y / = f ?( x) ? lim (2)求平均变化率

?x ?0

?y = ?x

?y ? ?x

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:求函数 y ? f ( x) ? c 的导数.

反思: y ? ? 0 表示函数 y ? c 图象上每一点处的切线斜率为 的函数,则 y ? ? ,可以解释为 探究任务二:求函数 y ? f ( x) ? x 的导数

.若 y ? c 表示路程关于时间 即一直处于静止状态.

反思: y ? ? 1 表示函数 y ? x 图象上每一点处的切线斜率为 .若 y ? x 表示路程关于时间 的函数,则 y ? ? ,可以解释为 试试:在同一平面直角坐标系中,画出函数 y ? 2 x, y ? 3x, y ? 4 x 的图象,并根据导数定义, 求它们的导数. (1)从图象上看,它们的导数分别表示什么?(2)这三个函数中,哪一个 增加得最快?哪一个增加得最慢?(3)函数 y ? kx(k ? 0) 增(减)的快慢与什么有关?

※ 典型例题
例 1 求函数 y ? f ( x) ?

1 的导数;例 2: 求函数 y ? f ( x) ? x2 的导数 x

小结:利用定义求导法是最基本的方法,必须熟记求导的三个步骤:作差,求商,取极限.

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第一章 导数

例 3、画出函数 y ? 方程.

1 的图象.根据图象,描述它的变化情况,并求出曲线在点 (1,1) 处的切线 x

变式 1:求过曲线上点 (1,1) 且与过这点的切线垂直的直线方程.

※ 动手试试 练 1. 求曲线 y ? 2 x2 ? 1 的斜率等于 4 的切线方程.

练 2. 求函数 y ? f ( x) ? x 的导数

三、总结提升 1. 利用定义求导法是最基本的方法, 必须熟记求导的三个步骤: , , . 2. 利用导数求切线方程时,一定要判断所给点是否为切点,一定要记住它们的求法是不同 的.

学习评价
※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. f ( x) ? 0 的导数是( )A.0 B.1 C.不存在
2.已知 f ( x) ? x ,则 f ?(3) ? (
2

D.不确定 D.9

)A.0

B.2 x

C.6 )

3. 在曲线 y ? x 2 上的切线的倾斜角为 A. (0, 0) 4. 过曲线 y ? B. (2, 4)

? 的点为( 4 1 1 1 1 C. ( , ) D. ( , ) 4 16 2 4

1 上点 (1,1) 且与过这点的切线平行的直线方程是 x 5. 物体的运动方程为 s ? t 3 ,则物体在 t ? 1 时的速度为 ,在 t ? 4 时的速度为

.

课后作业
1. 已知圆面积 S ? ? r 2 ,根据导数定义求 S ?(r ) .

2. 氡气是一种由地表自然散发的无味的放射性气体.如果最初有 500 克氡气,那么 t 天后, 氡气的剩余量为 A(t ) ? 500 ? 0.834t ,问氡气的散发速度是多少?

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编写:陈国华

校审:张银铃

§ 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
学习目标
1.理解两个函数的和(或差)的导数法则,学会用法则求一些函数的导数; 2.理解两个函数的积的导数法则,学会用法则求乘积形式的函数的导数.

学习过程
一、课前准备(预习教材 P14~ P16,找出疑惑之处) 复习 1:常见函数的导数公式:

C ' ? 0 ;( x n )' ? nxn?1 ; (sin x)' ? cos x ; (cos x)' ? ? sin x ;
(log x)? ?
a

(a x )? ? a x ln a(a ? 0) ; (e

x

)? ? e x ;

1 1 (a ? 0, 且 a ? 1) ; (ln x)? ? . x ln a x

复习 2:根据常见函数的导数公式计算下列导数 1 1 (1) y ? x 6 (2) y ? x (3) y ? 2 (4) y ? 4 3 x x

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务:两个函数的和(或差)积商的导数 新知: [ f ( x) ? g ( x)]? ? f ?( x) ? g ?( x) ; [ f ( x) g ( x)]? ? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ;
[ f ( x) f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ]? ? g ( x) [ g ( x)]2

试试:根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则,求函数 y ? x3 ? 2x ? 3 的导数.

※ 典型例题 例 1 假设某国家在 20 年期间的年均通贷膨胀率为 5%, 物价 p (单位: 元)与时间 t (单位: 年)
有如下函数关系 p(t ) ? p0 (1 ? 5%)t ,其中 p0 为 t ? 0 时的物价.假定某种商品的 p0 ? 1 ,那么在 第 10 个年头,这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到 0.01)?

变式:如果上式中某种商品的 p0 ? 5 ,那么在第 10 个年头,这种商品的价格上涨的速度大 约是多少?

例 2 日常生活中的饮用水通常是经过净化的. 随着水纯净度的提高, 所需净化费用不断增加. 5284 已知将 1 吨水净化到纯净度为 x % 时所需费用 (单位: 元)为 c( x) ? (80 ? x ? 100) . 求 100 ? x 净化到下列纯净度时,所需净化费用的瞬时变化率: (1)90%; (2)98%.

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第一章 导数

小结:函数在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢. ※ 动手试试 练 1. 求下列函数的导数: (1) y ? log 2 x ; (2) y ? 2e x ; (3) y ? 2 x5 ? 3x2 ? 5x ? 4 ; (4) y ? 3cos x ? 4sin x .

练 2. 求下列函数的导数: (1) y ? x3 ? log2 x ; (2) y ? xn ex ; (3) y ?

x3 ? 1 sin x

三、总结提升 1.由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导 法则与导数公式求导,而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数. 2.对于函数求导,一般要遵循先化简,再求导的基本原则.求导时,不但要重视求导法则的 应用,而且要特别注意求导法则对求导的制约作用.在实施化简时,首先要注意化简的等价 性,避免不必要的运算失误.
学习评价 ※ 当堂检测 1 1 1. 函数 y ? x ? 的导数是( )A. 1 ? 2 x x 2. 函数 y ? sin x(cos x ?1) 的导数是( )

B. 1 ?

1 x

C. 1 ?

1 x2

D. 1 ?

1 x

A. cos 2 x ? cos x B. cos 2 x ? sin x C. cos 2 x ? cos x cos x 3. y ? 的导数是( ) x sin x x sin x ? cos x x cos x ? cos x A. ? 2 B. ? sin x C. ? D. ? x2 x2 x 4. 函数 f ( x) ? 13 ? 8 x ? 2 x 2 ,且 f ?( x0 ) ? 4 ,则 x0 = sin x 5.曲线 y ? 在点 M (? , 0) 处的切线方程为 x

D. cos2 x ? cos x

课后作业
1. 求描述气球膨胀状态的函数 r (V ) ?
3

3V 的导数. 4?

2. 已知函数 y ? x ln x .(1)求这个函数的导数; (2)求这个函数在点 x ? 1 处的切线方程.

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§ 1.2.2 复合函数求导
学习目标
复合函数的分解,求复合函数的导数.

学习过程
一、课前准备(预习教材 P16~ P17,找出疑惑之处) 复习 1:求 y ? x 3 ( x 2 ? 4) 的导数;复习 2:求函数 y ? (2 x ? 3)2 的导数

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:复合函数的求导法则 问题:求 (sin 2 x)? =? 解答:由于 (sin x)? ? cos x ,故 (sin 2 x)? ? cos 2 x 这个解答正确吗? 新知:一般地,对于两个函数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) ,如果通过变量 u , y 可以表示成 x 的函 数,那么称这个函数为函数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) 的复合函数,记作: y ? f ( g ( x)) 复合函数的求导法则: 两个可导函数复合而成的复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘上中间变量对 自变量的导数.用公式表示为:yx? ? yu? ux? , 其中 u 为中间变量.即: y 对 x 的导数等于 y 对
u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积. 试试: (sin 2 x)? = 反思:求复合函数的导数,关键在于分析清楚函数的复合关系,选好中间变量。 ※ 典型例题 例 1 求下列函数的导数: (1) y ? (2 x ? 3)2 ; (2) y ? e?0.05 x ?1 ; (3) y ? sin(? x ? ? ) (其中 ? , ? 均为常数)

变式:求下列函数的导数: x (1) y ? cos ; (2) y ? x ? 1 3

小结:复合函数的求导不仅可以推广到三重,还可推广到四重、五重. 3V 例 2 求描述气球膨胀状态的函数 r (V ) ? 3 的导数. 4?

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第一章 导数

小结:求复合函数的导数,关键在于分析清楚函数的复合关系,选好中间变量。 ※ 动手试试 练 1. 一个距地心距离为 r ,质量为 m 的人造卫星,与地球之间的万有引力 F 由公式 GMm F ? 2 给出,其中 M 为地球队质量, G 为常量,求 F 对于 r 的瞬时变化率. r

三、总结提升 1. 会分解复合函数. ? ? g ?( x) ,函数 y=f(u)在点 x 的对应 2.复合函数的导数:设函数 u ? g ( x) 在点 x 处有导数 u x
? ? f ?(u) ,则复合函数 y ? f ( g ( x)) 在点 x 处也有导数,且 y' x ? y'u ?u' x 点 u 处有导数 yu

3.复合函数求导的基本步骤是:分解——求导——相乘——回代.

学习评价
※ 当堂检测 1. 设 y ? sin 2 x ,则 y ? =(
A. sin 2 x B. 2 sin x ) C. 2sin 2 x D. cos 2 x D.既是奇函数又是偶函数

2. 已知 f ( x) ? ln( x ? x 2 ? 1) ,则 f ?( x) 是( ) A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数

1 3. 若函数 f ( x) ? log 在区间 (? ,0) 内单调递增,则 a 的取值范围是 x3 ? ax )(a? 0,a? 1) a ( 2 1 3 9 9 ( )A. [ ,1) B. [ ,1) C. ( , ??) D. (1, ) 4 4 4 4 4. (log 2 (?2 x ? 3))? = 5. (lg tan x)? =

课后作业
1. 求下列函数的导数; (1) y ? ( x ? 1)99 ; (2) y ? 2e? x ; (3) y ? 2 x sin(2 x ? 5)

2. 求下列函数的导数; (1) y ? 2 x tan x ; (2) y ? ( x ? 2)3 (3x ? 1)2 ; (3) y ? 2x ln x ; (4) y ?
x2 (2 x ? 1)3

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编写:陈国华

校审:张银铃

§ 1.3.1 函数的单调性与导数
学习目标
1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理;2.掌握利用导数判断函数单调性的方法
王新敞
奎屯 新疆

学习过程
一、课前准备(预习教材 P21~ P26,找出疑惑之处) 复习 1:以前,我们用定义来判断函数的单调性. 对于任意的两个数 x1,x2∈I,且当 x1<x2 时,都有= 的 函数. (sin x) ' ? 复习 2: C ' ? ; ; ( xn )' ?
(loga x)' ?

,那么函数 f(x)就是区间 I 上
(cos x) ' ? ; (ln x) ' ? ;



; (e )' ?
x

; (a )' ?
x



二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:函数的导数与函数的单调性的关系: 问题:我们知道,曲线 y ? f ( x) 的切线的斜率就是函数 y ? f ( x) 的导数.
从函数 y ? x ? 4 x ? 3 的图像来观察其关系:
2

y
f?x? = ?x2-4?x?+3

y=f(x)=x -4x+3 (2,+∞) (-∞,2)

2

切线的斜率

f′(x)

B O
1 2 3

A

x

在区间(2, ? ? )内,切线的斜率为 ,函数 y ? f ( x) 的值随着 x 的增大而 即 y ? ? 0 时,函数 y ? f ( x) 在区间(2, ? ? )内为 函数; 在区间( ? ? ,2)内,切线的斜率为 ,函数 y ? f ( x) 的值随着 x 的增大而 即 y ? 0 时,函数 y ? f ( x) 在区间( ? ? ,2)内为
/

, ,

函数. 新知:一般地,设函数 y ? f ( x) 在某个区间内有导数,如果在这个区间内 y ? ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内的增函数;如果在这个区间内 y ? ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间 内的减函数. 试试:判断下列函数的的单调性,并求出单调区间: (1) f ( x) ? x3 ? 3x ; (2) f ( x) ? x2 ? 2 x ? 3 ;

(3) f ( x) ? sin x ? x, x ? (0, ? ) ; (4) f ( x) ? 2 x3 ? 3x2 ? 24 x ? 1.

探究任务二:如果在某个区间内恒有 f ?( x) ? 0 ,那么函数 f ( x) 有什么特性?

※ 典型例题 例 1 已知导函数的下列信息:当 1 ? x ? 4 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 4 ,或 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 4 ,或 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 .试画出函数 f ( x) 图象的大致形状.

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2013 年上学期◆高二





班级:

姓名:

第一章 导数

变式:函数 y ? f ( x) 的图象如图所示,试画出导函数 f ?( x) 图象的大致形状. 例 2 如图,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器 中,请分别找出与各容器对应的水的高度 h 与时间 t 的函数关系图象.

※ 动手试试 练 1. 判断下列函数的的单调性,并求出单调区间: (1) f ( x) ? x2 ? 2 x ? 4 ; (2) f ( x) ? e x ? x ; (3) f ( x) ? 3x ? x3 ; (4) f ( x) ? x3 ? x2 ? x .

三、总结提升 用导数求函数单调区间的步骤:①求函数 f(x)的定义域;②求函数 f(x)的导数 f ?( x) . ③解不等式 f ?( x) ? 0 , f ?( x) ? 0 ;④得递增递减区间.

学习评价
1. 若 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) 为增函数,则一定有(
2 2 2



A. b ? 4ac ? 0 B. b ? 3ac ? 0 C. b ? 4ac ? 0 D. b 2 ? 3ac ? 0 2. (2004 全国)函数 y ? x cos x ? sin x 在下面哪个区间内是增函数( ) ? 3? 3? 5? A. ( , ) B. (? , 2? ) C. ( , ) D. (2? ,3? ) 2 2 2 2 3. 若在区间 (a, b) 内有 f ?( x) ? 0 ,且 f (a) ? 0 ,则在 (a, b) 内有( ) A. f ( x ) ? 0 B. f ( x) ? 0 C. f ( x) ? 0 D.不能确定 4.函数 f ( x) ? x3 ? x 的增区间是 5.已知 f ( x) ? x ? 2xf ?(1) ,则 f ?(0) 等于
2

,减区间是

课后作业
1. 判断下列函数的的单调性,并求出单调区间: (1) f ( x) ? x3 ? x 2 ? x ; (2) f ( x) ? 3x ? x3 ; (3) f ( x) ? x ? cos x, x ? (0, ) . 2

?

2. 已知汽车在笔直的公路上行驶: (1) 如果函数 y ? f (t ) 表示时刻 t 时汽车与起点的距离, 请标出汽车 速度等于 0 的点. (2)如果函数 y ? f (t ) 表示时刻 t 时汽车的速度, 那么(1)中标出点的意义是什么?

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高二理科数学◆选修 2-2◆导学案

编写:陈国华

校审:张银铃

§ 1.3.2 函数的极值与导数
学习目标
1.理解极大值、极小值的概念;2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值; 3.掌握求可导函数的极值的步骤.

学习过程
一、课前准备(预习教材 P26~ P29,找出疑惑之处) 复习 1:设函数 y=f(x) 在某个区间内有导数,如果在这个区间内 y ? ? 0 ,那么函数 y=f(x) 在 这个区间内为 函数;如果在这个区间内 y ? ? 0 ,那么函数 y=f(x) 在为这个区间内的 函数. 复习 2:用导数求函数单调区间的步骤:①求函数 f(x)的导数 f ?( x) . ②令 解不 等式,得 x 的范围就是递增区间.③令 解不等式,得 x 的范围,就是递减区间 . 二、新课导学※ 学习探究 探究任务一: 问题 1: 如下图, 函数 y ? f ( x) 在 a, b, c, d , e, f , g , h 等点 的函数值与这些点附近的函数值有什么关系? y ? f ( x) 在这些点的导数值是多少?在这些点附近, y ? f ( x) 的导数的符号有什么规律? 可以看出, 函数 y ? f ( x) 在点 x ? a 的函数值 f (a) 比它 在点 x ? a 附近其它点的函数值都 , f ?(a) ? ; 且在点 x ? a 附近的左侧 f ?( x) 0,右侧 f ?( x) 0. 类似地,函数 y ? f ( x) 在点 x ? b 的函数值 f (b) 比它在点 x ? b 附近其它点的函数值 都 , f ?(b) ? ;而且在点 x ? b 附近的左侧 f ?( x) 0,右侧 f ?( x) 0. 新知: 我们把点 a 叫做函数 y ? f ( x) 的极小值点, f (a) 叫做函数 y ? f ( x) 的极小值;点 b 叫做函数 y ? f ( x) 的极大值点, f (b) 叫做函数 y ? f ( x) 的极大值.极大值点、极小值点统称 为极值点,极大值、极小值统称为极值.极值反映了函数在某一点附近的 , 刻画的是函数的 . 试试: (1)函数的极值 (填是,不是)唯一的;(2) 一个函数的极大值是否一定大于 极小值. ;(3)函数的极值点一定出现在区间的 (内,外)部,区间的端点 (能, 不能)成为极值点. 反思:极值点与导数为 0 的点的关系:导数为 0 的点是否一定是极值点. 比如:函数 f ( x) ? x3 在 x=0 处的导数为 ,但它 (是或不是)极值点. 即:导数为 0 是点为极值点的 条件. ※ 典型例题 1 例 1 求函数 y ? x3 ? 4x ? 4 的极值. 3

变式 1:已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx 在点 x0 处取得极大值 5,其导函数 y ? f ?( x) 的图象经过点 (1,0) , (2, 0) ,如图所示,求 (1) x0 的值(2)a,b,c 的值.

y

o

1

2

x

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2013 年上学期◆高二





班级:

姓名:

第一章 导数

变式 2:已知函数 f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 9x ? 11 .(1)写出函数的递减区间; (2)讨论函数的极大 值和极小值,如有,试写出极值; (3)画出它的大致图象.

※ 动手试试 求下列函数的极值: (1)f ( x) ? 6 x2 ? x ? 2 ;(2)f ( x) ? x3 ? 27 x ;(3)f ( x) ? 6 ? 12 x ? x3 ;(4)f ( x) ? 3x ? x3 .

练 2. 下图是导函数 y ? f ?( x) 的图象, 试找出函数 y ? f ( x) 的极值点, 并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点. 三、总结提升 1. 求可导函数 f(x)的极值的步骤; (1)确定函数的定义域; (2)求导数 f′(x); (3)求方程 f′(x)=0 的根 (4)列表写出极值. 2. 由导函数图象画出原函数图象;由原函数图象画导函数图象.
王新敞
奎屯 新疆

学习评价
1. 函数 y ? 2 ? x2 ? x3 的极值情况是( ) A.有极大值,没有极小值 B.有极小值,没有极大值 C.既有极大值又有极小值 D.既无极大值也极小值 2. 三次函数当 x ? 1 时,有极大值 4;当 x ? 3 时,有极小值 0,且函数过原点,则此函数是 ( )A. y ? x3 ? 6 x2 ? 9 x B. y ? x3 ? 6 x2 ? 9 x C. y ? x3 ? 6x2 ? 9x D. y ? x3 ? 6 x2 ? 9 x 3. 函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? a2 在 x ? 1 时有极值 10,则 a、b 的值为( A. a ? 3, b ? ?3 或 a ? ?4, b ? 11 B. a ? ?4, b ? 1 或 a ? ?4, b ? 11 C. a ? ?1, b ? 5 D.以上都不正确 4. 函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? 3x ? 9 在 x ? ?3 时有极值 10,则 a 的值为 5. 函数 f ( x) ? x3 ? 3ax2 ? a(a ? 0) 的极大值为正数,极小值为负数,则 a 的取值范围为 )

课后作业
1. 如图是导函数 y ? f ?( x) 的图象,在标记的点中,在哪一点 处 (1) 导函数 y ? f ?( x) 有极大值? (2) 导函数 y ? f ?( x) 有极小值? (3)函数 y ? f ( x) 有极大值?(4)导函数 y ? f ( x) 有极小值? 2. 求下列函数的极值: (1) f ( x) ? 6 x2 ? x ? 2 ; (2) f ( x) ? 48x ? x3 .

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高二理科数学◆选修 2-2◆导学案

编写:陈国华

校审:张银铃

§ 1.3.3 函数的最大(小)值与导数
学习目标
⒈理解函数的最大值和最小值的概念;⒉掌 握 用 导 数 求 函 数 最 值 的 方 法 和步骤.

学习过程 一、课前准备(预习教材 P29~ P31,找出疑惑之处) 复习 1:若 x0 满足 f ?( x0 ) ? 0 ,且在 x0 的两侧 f ( x) 的导数异号,则 x0 是 f ( x) 的极值点, ,则 x0 是 f ( x) 的 点, f ( x0 ) 是极值,并且如果 f ?( x) 在 x0 两侧满足“左正右负” 值;如果 f ?( x) 在 x0 两侧满足“左负右正” ,则 x0 是 f ( x) 的 点, f ( x0 ) 是极

f ( x0 ) 是极



王新敞
奎屯

新疆

复习 2:已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx 2 ?cx(a ? 0) 在 x ? ?1 时取得极值,且 f (1) ? ?1 , (1)试求常 数 a、b、c 的值; (2)试判断 x ? ?1 时函数有极大值还是极小值,并说明理由.

二、新课导学※ 学习探究 探究任务一:函数的最大(小)值 问题:观察在闭区间 ?a, b? 上的函数 f ( x) 的图象,你能找出它的极大(小)值吗?最大值, 最小值呢?

图1

图2 ,最小值是 , 极小值是 ; 最大值是 ; , 最小值是 .

在图 1 中,在闭区间 ?a, b? 上 的 最 大 值 是 在图 2 中, 在闭区间 ?a, b? 上的极大值是

新知:一般地,在闭区间 ?a, b? 上连续的函数 f ( x) 在 ?a, b? 上必有最大值与最小值. 试试:上图的极大值点 ,为极小值点为 ;最大值为 , 最小值为 . 反思:1.函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的;函数的极值是比较极值点附近函 数值得出的;2.函数 f ( x) 在闭区间 ?a, b? 上连续,是 f ( x) 在闭区间 ?a, b? 上有最大值与最小 值的 条件;3. 函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能 不止一个,可能一个没有. 1 ※ 典型例题 例 1 求函数 f ( x) ? x3 ? 4x ? 4 在[0,3]上的最大值与最小值. 3

x 2 ? ax ? b , x ∈(0,+∞).是否存在实数 a、 b ,使 f ( x) 同时满足下列 x 两个条件: (1) f ( x) 在 (0,1) 上是减函数,在 [1, ??) 上是增函数; (2) f ( x) 的最小值是 1; 若存在,求出 a、 b ,若不存在,说明理由.
例 2 已知 f ( x) ? log 3

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2013 年上学期◆高二





班级:

姓名:

第一章 导数

6 2 3 , ? a ? 1 ,函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? b 在区间 [?1,1] 上的最大值为 1,最小值为 ? 2 3 2 求函数的解析式.

变式:设

※ 动手试试

练 1. 求函数 f ( x) ? 3x ? x3 , x ?[1,2] 的最值.

练 2. 已知函数 f ( x) ? 2x3 ? 6x2 ? a 在 [?2, 2] 上有最小值 ? 37 ( . 1) 求实数 a 的值; (2) 求 f ( x) 在 [?2, 2] 上的最大值.

三、总结提升:设函数 f ( x) 在 ?a, b? 上连续,在 ( a , b ) 内可导,则求 f ( x) 在 ?a, b? 上的最 大值与最小值的步骤如下: ⑴求 f ( x) 在 ( a, b) 内的极值; ⑵将 f ( x) 的各极值与 f ( a ) 、f (b)
比较得出函数 f ( x) 在 ?a, b? 上的最值.

学习评价
1. 若函数 f ( x) ? x3 ? 3x ? a 在区间 [0,3] 上的最大值、最小值分别为 M、N,则 M ? N 的值为 ( )A.2 B.4 C.18 D.20 3 2 2. 函数 f ( x) ? x ? 3x( x ? 1) ( )A.有最大值但无最小值 B.有最大值也有最小值 C.无最大值也无最小值 D.无最大值但有最小值 15 3. 已知函数 y ? ? x2 ? 2x ? 3 在区间 [a, 2] 上的最大值为 ,则 a 等于( ) 4 3 1 1 1 3 A. ? B. C. ? D. 或 ? 2 2 2 2 2 4. 函数 y ? x ? 2 x 在 [0, 4] 上的最大值为 5. 已知 f ( x) ? 2x3 ? 6x2 ? m ( m 为常数)在 [?2, 2] 上有最大值,那么此函数在 [?2, 2] 上的最 小值是

课后作业 1. a 为常数,求函数 f ( x) ? ? x3 ? 3ax(0 ? x ? 1) 的最大值.

2. 已知函数 f ( x) ? ? x3 ? 3x2 ? 9 x ? a , (1)求 f ( x) 的单调区间; (2)若 f ( x) 在区间 [?2, 2] 上 的最大值为 20,求它在该区间上的最小值.

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高二理科数学◆选修 2-2◆导学案

编写:陈国华

校审:张银铃

§ 1.4 生活中的优化问题举例(1)
学习目标
1.进一步理解导数的概念,会利用导数概念形成过程中的基本思想分析一些实际问题,并 建立它们的导数模型; 2.掌握用导数解决实际中简单的最优化问题,构建函数模型,求函数的最值.

学习过程
一、课前准备(预习教材 P34~ P36,找出疑惑之处) 复习 1:函数 y=2x3-3x2-12x+5 在[0,3]上的最小值是___________

复习 2:函数 f ( x) ? sin x ? x 在 [0, ] 上的最大值为_____;最小值为_______. 2

?

二、新课导学※ 学习探究 探究任务一:优化问题 ※ 典型例题 例 1 班级举行活动,通常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海 报,要求版心面积为 128dm 2 ,上、下两边各空 2dm ,左、右两边各空 1dm .如何设计海报的 尺寸,才能使四周空白面积最小?

新知:生活中经常遇到求 、 、 等问题,这些问题 通常称为优化问题. 反思:利用导数解决优化问题的实质是 . 变式:如图用铁丝弯成一个上面是半圆,下面是矩形的图形,其面 积为 a m 2 ,为使所用材料最省,底宽应为多少?

例 2 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是 0.8? r 2 分,其中 r 是瓶子 的半径,单位是厘米.已知每出售 1 mL 的饮料,制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶 子的最大半径为 6 cm .问(1)瓶子半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大?(2)瓶子半径 多大时,每瓶饮料的利润最小?

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2013 年上学期◆高二





班级:

姓名:

第一章 导数

※ 动手试试 练 1. 一条长为 100 cm 的铁丝截成两段,分别弯成两个正方形,要使两个正方形的面积和最 小,两段铁丝的长度分别是多少?

练 2. 周长为 20 的矩形,绕一条边边旋转成一个圆柱,求圆柱体积的最大值.

三、总结提升 1.解决最优化的问题关键是建立函数模型,因此首先审清题意,明确常量与变量及其关系, 再写出实际问题的函数关系式,对于实际问题来说,需要注明变量的取值范围. 2.实际问题中在变量的范围内若只有一个极值点,那么它也是最值点.

学习评价
1. 某公司生产某种新产品,固定成本为 20000 元,每生产一单位产品,成本增加 100 元, 已知总收益与年产量的关系是,则总利润最大时,每年生产的产品是( ) A.100 B.150 C.200 D.300 2. 要做一个圆锥形漏斗,其母线长为 20cm ,要使其体积最大,则其高应为( ) 3 10 3 16 3 20 3 cm B. cm C. cm D. cm A. 3 3 3 3 3. 若一球的半径为 r ,则内接球的圆柱的侧面积最大为( ) 1 A. 2? r 2 B. ? r 2 C. 4? r 2 D. ? r 2 2 4. 球的直径为 d ,当其内接正四棱柱体积最大时的高为 . 5. 面积为 S 的矩形中,其周长最小的是 .

课后作业
1. 一边长为 a 的正方形铁片,铁片的四角截去四个边长都为 x 的小正方形, 然后做成一个无 盖方盒.(1)试把方盒的容积 V 表示为 x 的函数.(2) x 多大时,方盒的容积 V 最大?

2. 在半径为 r 的半圆内作一内接梯形,使其下底为直径,其他三边为圆的弦,求梯形面积 最大时,梯形的上底长为多少?

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高二理科数学◆选修 2-2◆导学案

编写:陈国华

校审:张银铃

§ 1.4 生活中的优化问题举例(2)
学习目标
掌握用导数解决实际中简单的最优化问题,构建函数模型,求函数的最值.

学习过程
一、课前准备(预习教材 P35~ P36,找出疑惑之处) 3 复习 1: 已知物体的运动方程是 s ? t 2 ? ( t 的单位:s ,s 的单位:m ) , 则物体在时刻 t ? 4 t 时的速度 v = ,加速度 a ? 复习 2:函数 f ( x) ? 2 x3 ? 3x2 ? 12 x ? 5 在 [0,3] 上的最大值是 最小值是

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:磁盘的最大存储问题 问题: (1)你知道计算机是如何存储、检索信息的吗?(2)你知道磁盘的结构吗? (3)如何使一个圆盘的磁盘存储尽可能多的信息? 新知:计算机把信息存储在磁盘上.磁盘是带有磁性介质的圆盘,并 由操作系统将其格式化成磁道和扇区.磁道是指不同半径所构成的同 心圆轨道,扇区是指被圆心角分割成的扇形区域.磁道上的定长的弧 可作为基本存储单元,根据其磁化与否可分别记录数据 0 和 1,这个 基本单元通常称为比特,磁盘的构造如图: 为了保障磁盘的分辨率,磁道之间的宽度必须大于 m ,所占用的磁 道长度不得小于 n .为了数据检索的方便,磁盘格式化时所要求所有 磁道具有相同的比特数. 试试:现有一张半径为 R 的磁盘,它的存储区是半径介于 r 与 R 的环行区域.(1)是不是 r 越小,磁盘的存储量越大?(2) r 为多少时,磁盘具有最大存储量(最外面的磁道不存储 任何信息)? 解析:存储量=磁道数×每磁道的比特数. 设存储区的半径介于 r 与 R 之间, 由于磁道之间的宽度必须大于 m , 且最外面的磁道不存储 任何信息,所以磁道数最多可达到 . 又由于每条磁道上的比特数相同,为获得最大的存储量,最内一条磁道必须装满,即每条磁 道上的比特数可达到 .所以,磁盘总存储量为: f (r ) ?

※ 典型例题 例 1 圆柱形金属饮料罐的容积一定时, 它的高与底与半径应怎样选取, 才能使所用的材料最 省?

变式:当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值 S 时,它的高与底面半径应怎样选取,才能使饮 料罐的容积最大?

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2013 年上学期◆高二





班级:

姓名:

第一章 导数

例 2 已知某商品生产成本 C 与产量 q 的函数关系式为 C ? 100 ? 4q ,价格 p 与产量 q 的函数 关系式为 p ? 25 ?

1 q .求产量 q 为何值时,利润 L 最大? 8

※ 动手试试 在边长为 60 cm 的正方形铁片的四角切去边长都为 x 的小正方形,再把它 的边沿虚线折起(如图), 做成一个无盖的方底箱子, 箱底的边长是多少时, 箱底的容积最大? 最大容积是多少? x
x 60 x x

60

三、总结提升 1. 解决优化问题与应用传统知识解应用题的唯一区别是:解题过程中需运用导数求出函数 的最值. 2. 在解决导数与数学建模问题时,首先要注意自变量的取值范围,即考虑问题的实 际意义. 解决优化问题的过程实际上是一个典型的数学建模过程.

学习评价
1. 以长为 10 的线段 AB 为直径为圆,则它的内接矩形面积的最大值为( ) A.10 B.15 C.25 D.50 2. 设底为正三角形的直棱柱的体积为 V,那么其表面积最小时,底面边长为(
3 3 3 3



A. V B. 2V C. 4V D. 2 V 3. 某商品在最近 30 天的价格 f (t ) 与时间 t (天) 的函数关系是 f (t ) ? t ? 10(0 ? t ? 30, t ? N ? ) , 销售量 g (t ) 与时间 t 的函数关系是 g (t ) ? ?t ? 35(0 ? t ? 30, t ? N ? ) , 则这种商品的销售多额的 最大值为( ) A.406 B.506 C.200 D.500 4. 要做一个底面为长方形的带盖的箱子,其体积为 72 cm 3 ,其底面两邻边长之比为 1 : 2 , 则它的长为 ,宽为 ,高为 时,可使表面积最小. 5. 做一个无盖的圆柱形水桶,若需使其体积是 27? ,且用料最省,则圆柱的底面半径为

课后作业
1. 某宾馆有 50 个房间供游客居住,当每个房间定价为每天 180 元时,房间会全部住满;房 间单价每增加 10 元,就会有一个房间空闲.如果游客居住房间,宾馆每间每天需花费 20 元 的各种维护费用.房间定价多少时,宾馆利润最大?

4 2. 已知某商品进价为 a 元/件,根据以往经验,当售价是 b(b ? a) 元/件时,可卖出 c 件.市场 3 调查表明,当售价下降 10%时,销量可增加 40%,现决定一次性降价,销售价为多少时, 可获得最大利润?

22

高二理科数学◆选修 2-2◆导学案

编写:陈国华

校审:张银铃

导数及其应用(复习 1)
学习目标
提高学生综合、灵活运用导数的知识解决有关函数问题的能力.

学习过程
一、课前准备 复习 1:已知点 P 和点 Q 是曲线 y ? x2 ? 2x ? 3 上的两点,且点 P 的横坐标是 1,点 Q 的横坐 标是 4,求: (1)割线的 P Q 斜率; (2)点 P 处的切线方程.

复习 2:求下列函数的导数: (1) y ? 2 x tan x ; (2) y ? e x ln x .

二、新课导学※ 学习探究 探究任务一:本章知识结构 问题:本章学过哪些知识点?

反思:1、导数的概念是: 2、导数的几何意义是: ※ 典型例题 例 1 已知函数 f ( x) ? x( x ? c)2 在 x ? 2 处有极大值,求 c 的值.

变式:已知函数 f ( x) ?

x2 ? 2 x ? a , x ?[1, ??) ,若 f ( x) ? 0 恒成立,试求实数 a 的取值范围. x

例 2 如图:过点 P (1,1) 作直线 AB ,分别与 x 轴的正半轴, y 轴的 ?ABC 的面积最小, 正半轴交于 A, B 两点, 当直线 AB 在什么位置时, 最小面积是多少?

23

2013 年上学期◆高二





班级:

姓名:

第一章 导数

变式:用总长 14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制容器底面一边的长比另一 边的长多 0.5m ,那么高为多少时容器的容积最大?最大容积是多少?

※ 动手试试 练 1. 如图,直线 l 和圆 C ,当 l 从 l0 开始在平面上绕 O 点按逆时针方向匀速转动(转动 角 度不超过 90°)时,它扫过的圆内阴影部分的面积 S 是时间 t 的函数,这个函数的图象大致 是( ).

练 2. 某旅行社在暑假期间推出如下组团办法:达到 100 人的团体,每人收费 1000 元.如果 团体的人数超过 100 人,那么每超过 1 人,每人平均收费降低 5 元,但团体人数不能超过 180 人.如何组团,可使旅行社的收费最多?

三、总结提升 运用导数的知识解决有关函数问题的方法步骤.

学习评价
※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1. 已知函数 y ? f ( x) 在区间 (a, b) 内可导, 且 x0 ? (a, b) , 则 lim
h?0

A. f ?( x0 )
3

B. 2 f ?( x0 )
2

C. ?2 f ?( x0 )

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) 的值为 ( h



D.0

2. f ( x) ? ax ? 3x ? 2 ,若 f ?(?1) ? 4 ,则 a 的值为( ) A.19/3 B.16/3 C.13/3 D. 10/3 1 1 3. 设 y ? 8x2 ? ln x ,则此函数在区间 (0, ) 和 ( ,1) 内分别为( ) 2 4 A.单调递增,单调递减 B.单调递增,单调递增 C.单调递减,单调递增 D.单调递减,单调递减 4. 曲线 y ? x3 ? x ? 2 在点 P0 处的切线平行于直线 y ? 4 x ? 1 ,则点 P0 的坐标是 5. 函数 y=x+2cosx 在区间[0,

1 ]上的最大值是 2

课后作业
1. 已知某养猪场每年的固定成本是 20000 元, 每年最大规模的养殖量是 400 头.每养 1 头猪, 1 2 成本增加 100 元.如果收入函数是 R(q) ? ? q ? 400q ( q 是猪的数量) ,每年多少头猪可使 2 总利润最大?总利润是多少?(可使用计算器) 2. 一艘船的燃料费与船速度的平方成正比,如果此船速度是 10 km / h ,那么每小时的燃料 费是 80 元. 已知船航行时其他费用为 480 元/时,在 20 km 航程中,航速多少时船行驶总费 用最少(精确到 1 km / h )?此时每小时费用等于多少(精确到 1 元) (可用计算器)

24

高二理科数学◆选修 2-2◆导学案

编写:陈国华

校审:张银铃

导数及其应用(复习 2)
学习目标
提高学生综合、灵活运用导数的知识解决有关函数问题的能力.

学习过程
※ 典型例题 例 1、已知 f(x)=ex-ax-1.(1)求 f(x)的单调增区间;(2)若 f(x)在定义域 R 内单调递增,求 a 的取值范围.

变式:已知 a∈R,函数 f(x)= (-x2+ax)ex (x∈R,e 为自然对数的底数).(1)当 a=2 时,求 函数 f(x)的单调递增区间;(2)若函数 f(x)在(-1,1)上单调递增,求 a 的取值范围.

例 2、已知函数 f(x)=x3-3ax2+3x+1.(1)设 a=2,求 f(x)的单调区间;(2)设 f(x)在区间(2,3) 中至少有一个极值点,求 a 的取值范围.

变式:设函数 f(x)=x3+bx2+cx (x∈R),已知 g(x)=f(x)-f′(x)是奇函数.(1)求 b、c 的值; (2)求 g(x)的单调区间与极值.

例 3、 已知 a 为实数,且函数 f(x)=(x2-4)(x-a).(1)求导函数 f′(x);(2)若 f′(-1)=0, 求函数 f(x)在[-2,2]上的最大值、最小值.

25

2013 年上学期◆高二





班级:

姓名:

第一章 导数

变式:已知函数 f(x)=ax3-6ax2+b,是否存在实数 a、b,使 f(x)在[-1,2]上取得最大值 3、 最小值-29?若存在,求出 a、b 的值,若不存在,请说明理由.

三、总结提升 运用导数的知识解决有关函数问题的方法步骤.

学习评价
π? 1. (2010· 山东烟台模拟)函数 y=x+2cos x 在? ?0,2?上取得最大值时,x 的值为( A. 0 B. ) π π π C. D. 6 3 2 2. (2011· 山东滨州模拟)已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c, x∈[-2,2]表示的曲线过原点, 且在 x =± 1 处的切线斜率均为-1,给出以下结论:①f(x)的解析式为 f(x)=x3-4x,x∈[-2,2];② f(x)的极值点有且仅有一个;③f(x)的最大值与最小值之和等于 0.其中正确的结论有( ) A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 3. (2010· 泰安模拟)函数 f(x)=x3-3bx+3b 在(0,1)内有极值,则实数 b 的取值范围是( ) 1 ? A. (0,1) B. (-∞,1) C. (0,+∞) D. ? ?-∞,2? 1 4. 已知函数 f(x)= x4-2x3+3m(x∈R), 若 f(x)+9≥0 恒成立, 则实数 m 的取值范围是( ) 2 3 3 ?-∞,3? ?-∞,3? ,+∞? B. ? ,+∞? A. ? C. D. 2 2 2 2? ? ? ? ? ? ? ? 1 5. 当 x≥2 时,ln x 与 x- x2 的关系为( ) 2 1 1 1 A. ln x>x- x2 B. ln x<x- x2 C. ln x=x- x2 D. 大小关系不确定 2 2 2

课后作业
1. (2011· 山东兖州高三第一次模拟考试)已知函数 f(x)=x3-3ax2-bx,其中 a,b 为实数. (1)若 f(x)在 x=1 处取得的极值为 2,求 a,b 的值; (2)若 f(x)在区间[-1,2]上为减函数,且 b=9a,求 a 的取值范围.

1 2. 设函数 f(x)=(a-2)ln(-x)+ +2ax(a∈R). x (1)当 a=0 时,求 f(x)的极值;(2)当 a≠0 时,求 f(x)的单调区间.

26

高二理科数学◆选修 2-2◆导学案

编写:陈国华

校审:张银铃

§ 1.5 定积分的概念
学习目标
1.理解曲边梯形面积的求解思想,掌握其方法步骤;2.了解定积分的定义、性质及函数在 上可积的充分条件;3.明确定积分的几何意义和物理意义;4.无限细分和无穷累积的思维 方法.

学习过程
一、课前准备(预习教材 P38~ P47,找出疑惑之处) 复习 1:函数 y ? (sin x 2 )3 的导数是 复习 2:若函数 y ? loga ( x2 ? 2 x ? 3) 的增区间是 (??, ?1) ,则 a 的取值范围是

二、新课导学※ 学习探究 探究任务一:曲边梯形的面积 问题 :下图的阴影部分类似于一个梯形,但有一边是曲线 y ? f ( x) 的一段,我们把直线 x ? a , x ? b (a ? b) , y ? 0 和 曲线 y ? f ( x) 所围成的图形称为曲边梯形 . 如何计算这个曲 边梯形的面积呢? 2 研究特例:对于 x ? 1 , y ? 0 , y ? x 围成的图形(曲边 三角形)的面积如何来求呢? 新知:1.曲边三角形面积的过程 分割 ? 近似代替 ? 求和 ? 取极限 2.定积分的定义:如果函数 f(x)在区间[a,b]上连续,用分点将区间[a,b]等分成 n 个小区
n

间,在每个小区间上任取一点ξ i(i=1,2,?,n),作和式∑f(ξ i)Δ x.当 n→∞时,上述和式无
b 限接近于某个常数,这个常数叫做函数 f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作?b af(x)dx,即?af(x)dx n b-a =lim ∑ f(ξi),其中 f(x)称为_________,x 称为 ,f(x)dx 称为__________, [a,b] n →∞ = n i 1 i=1

为_________,a 为 3.定积分的几何意义: 4.定积分的性质:
b b a a b c b

,b 为_________,“?”称为积分号.

(1) ? kf ( x)dx ? k ? f ( x)dx ( k 为常数) (2) ? [ f1 ( x) ? f 2 ( x)]dx ? ? f1 ( x)dx ? ? f 2 ( x)dx
a a a

b

b

b

(3) ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx (其中 a ? c ? b )
a a c

试试:求直线 x ? 0, x ? 2, y ? 0 与曲线 y ? x 2 所围成的曲边梯形的面积.

反思:在求曲边梯形面积过程中,你认为最让你感到困难的是什么?(如何分割,求和逼近 是两大难点)

※ 典型例题
例 1 利用定积分的定义,计算 ? x3 dx 的值
0 1

变式:计算 ? x 3dx 的值,并从几何上解释这个值表示什么?
0

2

27

2013 年上学期◆高二





班级:

姓名:

第一章 导数

例 2 计算定积分 ? (2 x ? x 2 )dx ;变式:计算定积分 ? (1 ? x)dx
0 1

1

2

※ 动手试试
练 1. 计算 ? x3 dx ,并从几何上解释这些值分别表示什么.
0 1

练 2. 计算 ? x 3 dx ,并从几何上解释这些值分别表示什么.
?1

0

三、总结提升 1. 求曲边梯形的面积;2. 会计算定积分.

学习评价
1. 设 f ( x) 在 [a, b] 上连续,且 ( F ( x) ? C )? ? f ( x) , ( C 为常数) ,则 lim ( )A. F ( x) B. f ( x ) C.0 D. f ?( x) 2. 设 f ( x) 在 [a, b] 上连续,则 f ( x) 在 [a, b] 上的平均值为( b f (a) ? f (b) 1 b A. B. ? f ( x )dx C. ? f ( x)dx a 2 2 a 几何意义和性质 ? f ( x)dx =(
?a a

?x ?0

F ( x ? ?x) ? F ( x) ? ?x

) D.

1 b f ( x)dx b ? a ?a
a ?a

3. 设 f ( x) 是连续函数,且为偶函数,在对称区间 [?a, a] 上的定积分 ? f ( x)dx ,由定积分的 ) C. ? f ( x)dx
?a 0 0 a

A.0 4. 5.

B. 2 ? f ( x)dx
?a 1 x2 0

D. ? f ( x )dx
0

? e dx 与 ? e
x 0

1

dx 的大小关系为

?

3

?3

1 (sin5 x ? )dx = 2

课后作业
1. 试用定积分的几何意义说明 ?
1 0

1 ? x 2 dx 的大小.

2. 简化下列格式,并画出所表示的图形的面积. ? x 2 dx ? ? x 2 dx
?3 ?2

?2

1

28

高二理科数学◆选修 2-2◆导学案

编写:陈国华

校审:张银铃

§ 1.6 微积分基本定理
学习目标
1.理解定积分的概念和定积分的性质,理解微积分基本原理; 2.掌握微积分基本定理,并会求简单的定积分; 3.能够运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出,满足 F ?( x) ? f ( x) 的函数 F ( x) .

学习过程
一、课前准备(预习教材 P51~ P54,找出疑惑之处) 复习 1:函数 y ? x3 cos x3 的导数为 ? 2? 复习 2:若函数 f ( x) ? cos2 (3x ? ) ,则 f ?( ) = 3 9 二、新课导学※ 学习探究 探究任务一:导数与定积分的联系 问题 1:一个作变速直线运动的物体的运动规律是 s ? s (t ) .由导数的概念可知,它在任意时 刻 t 的速度 v(t ) ? s?(t ) .设这个物体在时间段 [a, b] 内的位移为 S,你能分别用 s(t ), v(t ) 表示 S 吗?

新知:如果函数 F ( x) 是 [a, b] 上的连续函数,并且 F ?( x) ? f ( x) ,那么 ? f ( x)dx ? F (b) ? F (a)
a

b

这个结论叫做微积分基本定理,也叫牛顿—莱布尼兹公式
f ( x)dx ? F ( x) |b 为了方便起见,还常用 F ( x) |b a ? F (b) ? F ( a ) a 表示 F (b) ? F (a ) ,即 ?
a b

试试:计算 ? x 2 dx
0

1

反思:计算定积分 ? f ( x )dx 的关键是找到满足 F ?( x) ? f ( x) 的函数 F ( x) . 通常我们可以运用
a

b

基本初等函数的求导公式的四则运算法则从反方向求出 F ( x) .

※ 典型例题 例 1 计算下列定积分: 21 (1) ? dx ; 1 x

(2) ? (2 x ?
1

3

1 )dx x2

(3) ?

2

0

4 ? x 2 dx

例 2. 计算下列定积分: ? sin xdx , ? sin xdx , ? sin xdx .
0

?

2?

2?

?

0

变式:计算下列定积分,试利用定积分的几何意义做出解释.

?

?

2

?

? cos dx ; ? cos dx ; ?
2
0

?

3? 2

?

?

cos dx

2

29

2013 年上学期◆高二





班级:

姓名:

第一章 导数

小结:定积分的值可能取正值也可能取负值,还可能是 0: (1)当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时,定积分的值取正值,且等于曲边梯形的面积; (2)当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时,定积分的值取负值,且等于曲边梯形的面积; (3)当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形的面积时,定积分的值 为 0,且等于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积. ※ 动手试试 0 2 1 练 1. 计算: ? ( x ? )dx ; 练 2.计算 ? sin xdx ; ?? 1 x

三、总结提升
1.理解掌握牛顿—莱布尼兹公式 ? f ( x)dx ? F (b) ? F (a) .
a b

2.熟练掌握求原函数的方法是求定积分的关键.

学习评价
1. 设连续函数 f ( x) ? 0 ,则当 a ? b 时,定积分 ? f ( x )dx 的符号(
a b



A.正 B.当 0 ? a ? b 时为正,当 a ? b ? 0 时为负 C.负 D.以上结论都不对 2. 函数 y ? ? cos xdx 的一阶导数是(
0 x

) D. sin x )
?
3?

A. cos x

B. ? sin x
3? 2 0

C. cos x ? 1

3. 与定积分 ? | sin x | dx 相等的是(
3? 3? 0 0 0

A. | ? 2 sin xdx | B. ? 2 sin xdx C. ? sin xdx ? ? 2 sin xdx D. ? 2 sin xdx ? ?? 2 sin xdx
?
0 2

?

3?

4.

?

2

1

( x ? 1)dx =

;5.

?

2

1

1 dx = x2
2

课后作业
1. 计算定积分: (1) ? (4 ? 2 x)(4 ? x 2 )dx ; (2) ?
0 2

1

x2 ? 2 x ? 3 dx . x

2. 计算定积分 ? sin xdx 的值,并从几何上解释这个值表示什么.
0

3?

30

高二理科数学◆选修 2-2◆导学案

编写:陈国华

校审:张银铃

§ 1.7 定积分的简单应用
学习目标
1.理解定积分概念和性质的基础上熟练掌握定积分的计算方法; 2.掌握在平面直角坐标系下用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积,会解决简单的 物理问题.

学习过程
一、课前准备(预习教材 P56~ P59,找出疑惑之处) 复习 1:利用定积分求平面图形面积时,可分成几个步骤? 复习 2:计算抛物线 y 2 ? 2 x 与直线 y ? x ? 4 所围成的图形面积.

二、新课导学※ 学习探究 探究任务一:定积分在几何中的应用 问题: 如何求曲边图形的面积?
新知:1.当 f ( x) 在 [a, b] 上有正有负时,则 A ? ? | f ( x) | dx
a b

2.平面图形是由两条曲线 y1 ? f ( x) , y2 ? g ( x) , x ? [a, b] 及直线 x ? a, x ? b 所围成且
f ( x) ? g ( x) .其面积都可以用公式 A ? ? [ f ( x) ? g ( x)]dx 求之.
a b

3.当介于两条曲线 y1 ? f ( x) , y2 ? g ( x) , x ? [a, b] 和两条直线 y ? a, y ? b 之间的平面图形的 面积公式为: A ? ? [ f ( x) ? g ( x)]dx
a b

试试:求正弦曲线 y ? sin x, x ?[0,

3? 3? 及 x 轴所围成的平面图形的面积. ] 和直线 x ? 2 2

反思:求定积分就是求曲边梯形的面积. ※ 典型例题 例 1 计算由曲线 y 2 ? x , y ? x 2 所围图形的面积 S.

变式:计算由直线 y ? x ? 4 ,曲线 y ? 2x 以及 x 轴所围图形的面积 S.

?3t ,(0 ? t ? 10) ? 例 2 一辆汽车的速度—时间函数关系为: v(t ) ? ?30,(10 ? t ? 40) ??1.5t ? 90,(40 ? t ? 60) ?

求汽车在这 60 秒行驶的路程.

31

2013 年上学期◆高二





班级:

姓名:

第一章 导数

变式:在弹性限度内,将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置 l m 处,求克服弹力所作的功.

※ 动手试试 练 1. 计算由 y ? e x , y ? e , x ? 0 所围图形的面积.

m / s )的速度运动, 练 2. 一物体沿直线以 v ? 2t ? 3 ( t 的单位: 求该物体在 3 s, v 的单位: 间行进的路程.

5s

三、总结提升 1. 会应用定积分求比较复杂的平面图形的面积、求变速直线运动物体的路程以及求变力所 作的功等. 2. 在解决问题的过程中,能过数形结合的思想方法,加深对定积分几何意义的理解.

学习评价
1. 若 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 是 [a, b] 上 的 两 条 光 滑 曲 线 的 方 程 则 由 这 两 条 曲 线 及 直 线 x ? a, x ? b 所围成的平面区域的面积为( ) A. ? [ f ( x) ? g ( x)]dx B. ? [ g ( x) ? f ( x)]dx C. ? | f ( x) ? g ( x) | dx D. | ? f ( x) ? g ( x)dx |
a a a a b b b b

2. 已知自由下落物体的速度为 v ? gt ,则物体从 t ? 0 到 t ? t0 所走过的路程为( ) 1 1 1 A. gt0 2 B. gt0 2 C. gt0 2 D. gt0 2 3 2 4 3? 3. 曲线 y ? cos x(0 ? x ? ) 与坐标轴所围图形的面积是( ) 2 5 A.2 B.3 C. D.4 2 N) 4.一物体在力 F ( x) ? 3x ? 4 (单位: 的作用下, 沿着与力相同的方向从 x ? 0 处运动到 x ? 4 处(单位: )则力 F ( x) 所作的功为 5. 弹簧所受的压缩力 F 与缩短的距离 l 按胡克定律 F ? kl 计算. 如果 10N 的力能使弹簧压 缩 1 cm ,那么把弹簧从平衡位置压缩 10 cm (在弹性限度内)做功为

课后作业
1. 求下列曲线所围成图形的面积: ? 3? (1) y ? cos x, x ? , x ? , y ? 0 ;(2) y ? 9 ? x2 , y ? x ? 7 . 2 2

55 (单位: 1? t m / s )紧急刹车至停止.求(1)从开始紧急刹车至火车完全停止所经过的时间; (2)紧急刹 车后火车运行的速度.
2. 一列火车在平直的铁轨上行驶,由于遇到紧急情况,火车以速度 v(t ) ? 5 ? t ?

32

高二理科数学◆选修 2-2◆导学案

编写:陈国华

校审:张银铃

定积分与微积分基本定理复习课
学习目标
1. 了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念. 2. 了解微积分基本定理的含义.

学习过程
※ 典型例题
1 x-x2+ ?dx. 例 1、求下列定积分.(1)?2(x2+2x+1)dx;(2)?π(sin x-cos x)dx;(3)?2? x? ? ? ??
1 0 1

2 1? 3 2 2? 0 x 变式:求下列定积分:(1)?2 0(4x +3x -x)dx; (2)?1 x-x +x dx; (3)?-π(cos x+e )dx. ? ?

x ?-2≤x≤0?, ? ? 例2 、 先画出函数 y=?x ?0<x≤1?, ? ?1 ?1<x≤3?

2

的图象, 再求这个函数在区间[-2,3]上的定积分;

0≤x≤ ?, sin x? ? 2? ? ? 变式:已知函数 f(x)=? ?π 1 ?2<x≤2? ?, ? ?x-1 ?2<x≤4?,

π

画出 f(x)的图象,并求?4 0f(x)dx.

33

2013 年上学期◆高二





班级:

姓名:

第一章 导数

例 3、 求由抛物线 y=x2-1,直线 x=2,y=0 所围成的图形的面积.

1 变式:求曲线 y= x,y=2-x,y=- x 所围成图形的面积. 3

总结提升 1.求定积分的方法 (1)利用定义求定积分(定义法),可操作性不强.(2)利用微积分基本定理求定积分步骤如下: ①求被积函数 f(x)的一个原函数 F(x);②计算 F(b)-F(a).(3)利用定积分的几何意义求定积 分,当曲边梯形面积易求时,可通过求曲边梯形的面积求定积分. 1 π 2 1 2 如:定积分?1 0 1-x dx 的几何意义是求单位圆面积的 ,所以?0 1-x dx= . 4 4 2.求曲边多边形的面积其步骤为:(1)画出草图,在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图 象.(2)借助图形确定被积函数,求出交点坐标,确定积分的上限、下限.(3)将曲边梯形的 面积表示为若干定积分之和.(4)计算定积分.

学习评价
1 1.(2010· 湖南)?4 )A.-2ln 2 B.2ln 2 2 dx 等于( x 2 ? ?x -1≤x 3 ? 2.已知 f(x)= ,则?1 )A. -1f(x)dx 的值为( 2 ? x ? 3. C.-ln 2 D.ln 2

2 4 4 B.- C.- D. 3 3 3 D.4 4 5 B. C. 5 6

?

π 2 π ? 2

(sin x ? cos x) d x 的值是(

)A.0

π B. 4

C.2 3 )A. 4 )A. 1 1 B. 12 4

?x2, x∈[0,1], ? 4.设 f(x)=? 则?2 0f(x)d x 等于( ?2-x, x∈ ,2], ?

D.不存在

5.由曲线 y=x2,y=x3 围成的封闭图形面积为(

1 7 C. D. 3 12

课后作业
5 6.已知 f(x)是偶函数,且?5 0f(x)dx=6,则?-5f(x)dx=________. 7.已知函数 f(x)=-x3+ax2+bx (a,b∈R)的图象如图所示,它与 x 轴在原点处相 1 切,且 x 轴与函数图象所围区域(图中 阴影部分)的面积为 ,则 a 的值为 12 ________. 8.(2010· 陕西)从如图所示的长方形区域内任取一个点 M(x,y),则点 M 取自阴影 部分的概率为________.[来源:Zxxk.Com] 9.抛物线 y=-x2+4x-3 及其在点 A(1,0)和点 B(3,0)处的切线所围成图形的面积 为________. 10.从如图所示的长方形区域内任取一个点 M(x,y),则点 M 取自阴影部分的概率 为_______.

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选修2-2第一章 导数 导学案

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