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2011年长春市高中毕业班第四次调研测试数学

时间:2011-05-31


2011 年长春市高中毕业班第四次调研测试 数学(理科)参考答案及评分标准
一、选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分). 1.C 2.A 3. A 4. D 5.A 6.B 7.C 8.D 9.B 10.B 11.A 12.D 简答与提示: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. C 依题意 B ? ?0, 2, 4? ,∴ A ? B

? ?0, 2? . A A

z?

2 2(1 ? i ) ? ? 1? i . 1? i 2

sin 585? ? sin 225? ? ? sin 45? ? ?
2

2 . 2 3 x. 3

D 依题意 a ? 1 ? 4 ,∴ a ? 3 ,∴渐近线方程为 y ? ?
2

A ②④恰好正视图、侧视图相同. B A 错误,相关关系是一种不确定性关系;B 正确;C 错误,从独立性检验的思想, 不能推出结论;D 错误,X 在 (2, ??) 内取值的概率为 0.5. C 由正弦定理 a ? b ?sinA<sinB. D 不 等 式 组 表 示 的 平 面 区 域 如 图 , 设 z ? x ? 2y , ∴

y

1 x- 2y+1=0 2

x+y+1=0

x z 1 x -1 y ? ? ? ,当直线过点 (0, ) 时, z 分别取得最大值 1,∴ 2 2 2 -1 x ? 2 y ? 1 的最大值为 2. ? ? 2? ? 2? 9. B ∵ T ? 2( ? ) ? ? ? ,∴? ? 2 .又 2 ? ? ? ? 0 ,∴? ? ? . 3 6 ? 3 3 10. B 依题意球半径 R ? 2 ,∴球的表面积为 4? ( 2)2 ? 8? . 11. A ∵ x 2 ? y 2 ? 2 与 y ? x 2 在第一象限的交点坐标为 (1,1) ,∴ 阴影区域的面积是 1 1 1 ? 1 1 ? 1 ? ? ? ( 2) 2 ? ?1?1 ? ? x 2 dx ? ? ? x3 1 ? ? , 0 0 8 2 4 2 3 4 6 ? 1 ? 1 1 ∴所求概率为 P ? 4 6 ? ? . ? ? 2 8 12? 12. D ∵ y ? f ( x ? 1) 的 图 象 关 于 直 线 x ? 1 对 称 , ∴ y ? f ( x) 为 偶 函 数 . 又 f ( x ? 4) ? f ( x) ? 2 f (2) , ∴当 x ? ?2 时, f (2) ? f (?2) ? 2 f (2) , f (2) ? 0 , 有 ∴ ∴ f ( x ? 4) ? f ( x) ? 0 ,∴周期 T ? 4 ,∴ f (2011) ? f (?1) ? f (1) ? 2 .
二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分). 13.

5

14. 16.

1 1 1 1 4 ? ? ? ? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 4 ? 5 5
36

15. 4 简答与提示:

数学(理科)参考答案及评分标准

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13. 14.

? ? ? 5 ∵ a ? b ,∴ ?2 ? 2m ? 0 ,∴ m ? 1 ,∴ b ? 5 .

1 1 1 1 4 ? ? ? ? ,可以归纳,也可以用裂项求和来做. 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 4 ? 5 5 ? x ,x ? 2 ?3 15. 4 ∵ 程序框图中的分段函数 f ( x) ? ? ,∵ f ( 5) ? log3 4 ? 2 , 2 ?log 3 ( x ? 1), x≥2 ? log3 4 ? 4 ,∴输出值为 4. ∴ f [ f ( 5)] ? f (log3 4) ? 3
16. 36 选出两人看成整体,再排列,共有 C2A3=36. 4 3 三、解答题(本大题必做题 5 小题,三选一选 1 小题,共 70 分). 17. (本小题满分12分) 【命题意图】本小题主要考查数列的有关知识,具体涉及等差、等比数列的通项公 式以及它们的前 n 项和等内容. 【试题解析】解:⑴ an ? 19 ? (n ?1)(?2) ? ?2n ? 21, (3 分)

n(19 ? 21 ? 2n) ? ?n 2 ? 20n . 2 ⑵ bn ? an ? 1? 3n?1 ,∴ bn ? ?2n ?21 ? 3 Sn ?
∴ Tn ? ?n ? 20n ?
2 n

(6 分)
n?1

.
n

(9 分) (12 分)

1(1 ? 3 ) 3 ?1 ? ?n2 ? 20n ? . 1? 3 2

18. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识,具体涉及到茎叶图、二项分布的 灵活应用等内容,考查学生统计与概率思想的理解,并考查学生分析及表达的能力. 【试题解析】解:⑴画出茎叶图如下: (3 分) 甲 乙 9 1 0 9 5 3 1 0 2 6 7 3 2 3 0 0 4 7 1 4 4 6 6 7 ①甲地树苗高度的平均数为 28cm,乙地树苗高度的平均数为 35 cm,∴甲地树苗的 高度的平均数小于乙地树苗的高度的平均数. ②甲地树苗高度的中位数为 27cm,乙地树苗高度的中位数为 35.5 cm,∴甲地树苗 的高度的中位数小于乙地树苗的高度的中位数. (5 分) (注:如果根据茎叶图中数据的分布趋势,直接得到比较结果仍然给分) ⑵ X ? 0,5,10,15, 20 .设 X ? 5Y ,则 Y ~ B(4, ) .

1 2

1 4 1 0 1 1 1 P ( X ? 0) ? C4 ( ) 4 ? , P ( X ? 5) ? C4 ( ) 4 ? ? , 2 16 2 16 4 6 3 4 1 2 1 3 1 P( X ? 10) ? C4 ( ) 4 ? ? , P( X ? 15) ? C4 ( ) 4 ? ? , 2 16 8 2 16 4
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1 4 1 P( X ? 20) ? C4 ( ) 4 ? . 2 16 ∴ X 的分布列为 0 5 X 1 1 P 16 4 1 ∴ E ( X ) ? 5 E (Y ) ? 5 ? 4 ? ? 10 , 2

(9 分)

10

15

20

3 8

1 4

1 16

(10 分)

∴该市绿化部门此次采购的资金总额 X 的数学期望为 10 万元.

(12 分)

19. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识,具体涉及到面面垂直的性质定 理、线面垂直的判定定理、二面角的求法及点到面的距离,同时考查空间向量在立体几 何中的应用. 【试题解析】证明:⑴∵ AP ? PE, AO ? OE ,∴ PO ? AE , (2 分) ∵平面 PAE 与平面 ABCE 垂直,交线为 AE ,且 PO ? 平面 PAE , ∴ PO ? 平面 ABCE . (4 分) O 为原点在平面 ABCE 内分别作 CB 、 AB 的平行线为 x 、 y 轴,以 OP 所 ⑵解: 以 在直线为 z 轴,如图建系.

A(1,-1,0),B(1,3,0),C(-1,3,0),P(0,0, 2 ) ,E(-1,1,0). ??? ? ??? ? ∵ PF ? ? PB ,∴ ( xF , yF , zF ? 2) ? ?(1,3, ? 2) ,∴ F (?,3?, 2(1 ? ? )) . ?? z 设平面 FAE 的法向量为 m ? ( x, y, z) ,则 P ?? ??? ? ?m ? AE ? ?2 x ? 2 y ? 0 ? E C , ? ? ?? ??? ?m ? AF ? (? ? 1) x ? (3? ? 1) y ? 2(1 ? ? ) z ? 0 ? O F y ?? 2 2? 2 2? A B (7 分) 令 x ? 1, y ? 1, z ? ,∴ m ? (1,1, ). x ? ?1 ? ?1 ? 又平面 ABCE 的法向量可取 n ? (0,0,1) . (8 分)
?? ?? ? 2 5 ∵ cos n1 , n2 ? ,∴ 5
2 2? 2 5 ? ?1 ? , 5 2 2? 2 1?1? ( ) ? ?1
(10 分)

∴(

1 2 2? 2 2? 2 ? ?2 2 ,∴ ? ? . ) ? 8 ,∴ 2 ? ?1 ? ?1

∴点 F 到平面 ABCE 的距离 d ? zF ?

2(1 ? ? ) ?

2 . 2

(12 分)

20. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,具体涉及到椭圆与
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抛物线的标准方程、点到直线的距离公式、弦长公式、三角形的面积公式以及二次函数 在区间上的最值等内容,并考查学生的运算求解能力. 【试题解析】解:⑴当 m ? 3 时, y 2 ? 12 x ,则 F2 (3,0) .

c 1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,则 c ? 3 ,又 e ? ? ,∴ a ? 6, b2 ? 27 . 2 a 2 y a b P 2 2 x y ? ?1. 所以椭圆 C2 方程为 (4 分) 36 27 2m 5m x F1 O F M 2 ⑵∵ xP ? ,∴ | PF2 |? xP ? m ? . 3 3 又 | PF2 |? 5 ,∴ m ? 3 . (6 分) Q
设椭圆方程为 此时抛物线方程为 y 2 ? 12 x , P(2, 2 6) ,直线 PQ 方程为: y ? ?2 6( x ? 3) . 联立 ?

? y ? ?2 6( x ? 3) ?
2

? y ? 12 x ? 9 9 所以 xQ ? ,代入抛物线方程得 yQ ? ?3 6 ,即 Q ( , ?3 6) . 2 2 9 2 25 2 ∴ PQ ? (2 ? ) ? (2 6 ? 3 6) ? . 2 2 t2 M ( , t ) 到直线 PQ 的距离为 d , t ? (?3 6 ,2 6 ) . 设 12 6 2 t ?t ?6 6 6 6 6 2 75 d? ? (t ? ) ? . 30 2 2 24 ? 1

,得 2 x ? 13x ? 18 ? 0 ,即 ( x ? 2)(2 x ? 9) ? 0 ,
2

(8 分)

(10 分)

6 75 5 6 6 时, d max ? , ? ? 30 2 4 2 1 25 5 6 125 6 即△ MPQ 面积的最大值为 ? . ? ? 2 2 4 16
当t ? ?

(12 分)

21. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力,具体涉及到用导数来研 究函数的切线方程、单调性与极值,并考查转化与化归等数学思想. 【试题解析】解:⑴ f ?( x ) ?

? f (1) ? 1 1 ? ax ? b ,依题意得 ? , x f ?(1) ? 2 ?

(2 分)

? a ?? ? b ? 1 n x 即? 2 ,解得 a ? 0, b ? ?1 ,∴ f (x) ?l x ? . (4 分) ?1 ? a ? b ? 2 ? 2 2 ⑵∵ 2mf ( x) ? x 有唯一实数解,∴ x ? 2m ln x ? 2mx ? 0 有唯一实数解.
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设 g ( x) ? x 2 ? 2m ln x ? 2mx ,则 g ?( x) ? 令 g ?( x) ? 0 , x ? m x ? m ? 0 .
2

2 x 2 ? 2m x ? 2m . x

∵ m ? 0 , x ? 0 ,所以 x1 ? ∴ x2 ?

m ? m 2 ? 4m , ? 0 (舍去) 2
(6 分)

m ? m2 ? 4m . 2 (0, x2 ) ( x2 ,??) x2 x 0 - + g ?(x ) ↘ ↗ g (x) ∴当 x ? x2 时, g (x) 取极小值 g ( x2 ) ,同时也是最小值. ? 2 ? g ?( x2 ) ? 0, ? x2 ? m x2 ? m ? 0, 则? , ? 2 即 ? x2 ? 2m ln x2 ? 2m x2 ? 0. ? g ( x2 ) ? 0 . ? ∴ 2m ln x2 ? mx2 ? m ? 0 , ∵ m ? 0 , 2 ln x2 ? x2 ? 1 ? 0 . ∴ ① 设函数 h( x) ? 2 ln x ? x ? 1 , ∵当 x ? 0 时, h(x) 是增函数,∴ h( x) ? 0 至多有一解.

(8 分)

(10 分)

m ? m2 ? 4m ∵ h(1) ? 0 ,∴方程①的解为 x2 ? 1 ,即 ? 1, 2 1 解得 m ? . 2

(12 分)

请考生在 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲. 【命题意图】本小题主要平面几何的证明,具体涉及到四点共圆、切割线定理等内容. 【试题解析】解:⑴ 连接 BD . ∵ AB 是⊙ O 的直径,∴ ?ADB ? 90? , A F 又∵ ?AGF ? 90? ,∴ D、B、G 、 四点共圆, D ∴ ?DBA ? ?F . O H ∵?DCA ? ?DBA ,∴ ?DCA ? ?F , C B ∴C 、 D 、 F 、 E 四点共圆. (5 分) ⑵ 由切割线定理 GH ? GC ? GD , 又由⑴C 、 D 、 F 、 E 四点共圆, ∴ 由割线定理得 GC ? GD ? GE ? GF .
2

F

E

G

∴GH ? GE ? GF .
2

(10 分)

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程选讲. 【命题意图】本小题主要考查坐标系与参数方程的相关知识,具体涉及到极坐标方
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程与平面直角坐标方程的互化、参数的几何意义等内容. 【试题解析】⑴由 ? ? 2 5 sin ? 得 x2 ? y 2 ? 2 5 y ? 0, 即 x2 ? ( y ? 5)2 ? 5. ⑵ (方法一) l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程, (3 ? 将 得 即 t 2 ? 3 2t ? 4 ? 0, 由于 ? ? (3 2)2 ? 4 ? 4 ? 2 ? 0 , ∴设 t1 , t2 是上述方程的两实根, ∴? 1 (5 分)

2 2 2 2 t) ? ( t) ? 5 , 2 2

?t ? t2 ? 3 2 ? ?t1t2 ? 4 ?

, 则 t1 ? 0, t2 ? 0 ,
(10 分)

∴|PA|+|PB|= | t1|+|t2 | = t1 +t2 = 3 2 .

(方法二)直线的一般方程为 x ? 3 ? y ? 5 ,即 x ? y ? 5 ? 3 ? 0 .容易知道 P 在 直线上,又 32 ? ( 5 ? 5 ) 2 ? 5 ,所以 P 在圆外,联立圆与直线方程可以得到

A(2, 5 ?1) , B(1, 5 ? 2) ,所以|PA|+|PB|= 2 ? 2 2 ? 3 2 .
24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲.

(10 分)

【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识,具体涉及到均值不等式的应用及 绝对值不等式的求解等内容.

1 1 |?| x | ? | | ≥2,当且仅当 x ? ±1 时取“ ? ” , x x ∴函数 f ( x ) 的值域为 [2, ??) . (5 分) ⑵∵ f ( x) ?| a ? 1| ?a 对一切非零实数 x 均成立, ∴只需 | a ? 1| ?a <2. 3 3 当 a ≥1 时,不等式可化为 a ? 1 ? a ? 2 ,解得 a ? ,∴1≤ a ? ; 2 2 a ? 1 时,不等式可化为 1 ? a ? a ? 2 ,解得 1<2,∴ a ? 1 . 当 3 综上 a ? . (10 分) 2
【试题解析】解:⑴∵ | x ?

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