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人教版数学高中必修部分知识点整理

时间:2018-03-01


人教版高中数学 ————各章节知识点与重难点(必修部分)
必修一
第一章 集合与函数概念
1.1 集合
1.1.1 集合的含义与表示 【知识要点】 1、集合的含义 一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合。 2、集合的中元素的三个特性 (1)元素的确定性; (2)元素的互异性; (3)元素的无序性 2、 “属于”的概念 我们通常用大写的拉丁字母 A,B,C, ??表示集合,用小写拉丁字母 a,b,c, ??表示元素 如:如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于集合 A 记作 a∈A,如果 a 不属于集合 A 记作 a ? A 3、常用数集及其记法 非负整数集(即自然数集)记作:N;正整数集记作:N*或 N+ ;整数集记作:Z;有理数集记作:Q;实数集记 作:R 4、集合的表示法 (1)列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。 (2)描述法:用集合所含元素的公共特征表示集合的方法称为描述法。 ①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法:例:不等式 x-3>2 的解集是{x∈R| x-3>2}或{x| x-3>2} (3)图示法(Venn 图) 【重点】集合的基本概念和表示方法 【难点】运用集合的三种常用表示方法正确表示一些简单的集合 1.1.2 集合间的基本关系 【知识要点】 1、 “包含”关系——子集 一般地,对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,我们就说这两个集合有包含关系, 称集合 A 为集合 B 的子集,记作 A ? B 2、 “相等”关系 如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素, 同时,集合 B 的任何一个元素都是集合 A 的元素, 我们就说集合 A 等于集合 B,即:A=B ? A ? B且B ? A 3、真子集 如果 A ? B,且 A ? B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集,记作 A ? B(或 B ? A) 4、空集 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集.

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【重点】子集与空集的概念;用 Venn 图表达集合间的关系 【难点】弄清元素与子集、属于与包含之间的区别 1.1.3 集合的基本运算 【知识要点】 1、交集的定义 一般地,由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集.记作 A∩B(读作“A 交 B”),即 A∩B={x| x∈A,且 x∈B}. 2、并集的定义 一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的并集。记作:A∪B(读作“A 并 B”), 即 A∪B={x | x∈A,或 x∈B}. 3、交集与并集的性质 A∩A = A,A∩φ = φ , A∩B = B∩A,A∪A = A,A∪φ = A , A∪B = B∪A. 4、全集与补集 (1)全集 如果集合 U 含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集。通常用 U 来表示。 (2)补集 设 U 是一个集合,A 是 U 的一个子集(即 A ? U) ,由 U 中所有不属于 A 的元素组成的集合,叫做 U 中子集 A 的 补集(或余集) 。记作: CUA ,即 CSA ={x | x ? U 且 x ? A} (3)性质 CU(C UA)=A,(C UA)∩A=Φ ,(C UA)∪A=U; (C UA)∩(C UB)=C U(A∪B),(C UA)∪(C UB)=C U(A∩B). 【重点】集合的交集、并集、补集的概念 【难点】集合的交集、并集、补集的概念与应用

1.2 函数及其表示
1.2.1 函数的概念 【知识要点】 1、函数的概念 设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一 确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数.记作: y=f(x),x∈A. 其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域. 【注意】 (1)如果只给出解析式 y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集 合; (2)函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式. 【定义域补充】 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是 (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零; (4)指数、对数式的底数必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的

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集合. (6)指数为零底不可以等于零 (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. (注意:求出不等式组的解集即为函数的定义域.) 2、构成函数的三要素 定义域、对应关系和值域 【注意】 (1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函 数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数) 。 (2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。 3、相同函数的判断方法 (1)定义域一致; (2)表达式相同 (两点必须同时具备) 【值域补充】 (1)函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. (2)应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域的基础。 4、区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间; (2)无穷区间; (3)区间的数轴表示. 【重点】理解函数的模型化思想,用集合与对应的语言来刻画函数 【难点】符号“y=f(x)”的含义,函数定义域和值域的区间表示 1.2.2 函数的表示法 【知识要点】 1、常用的函数表示法及各自的优点 (1)函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,注意判断一个图形是否是函数图象的 依据:作垂直于 x 轴的直线与曲线最多有一个交点。 (2)函数的表示法 解析法:必须注明函数的定义域; 图象法:描点法作图要注意:确定函数的定义域;化简函数的解析式;观察函数的特征; 列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征. 【注意】 解析法:便于算出函数值。列表法:便于查出函数值。图象法:便于量出函数值 2、分段函数 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程, 而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来, 并分别注明 各部分的自变量的取值情况.注意: (1)分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数; (2)分段函数的定义域是 各段定义域的并集,值域是各段值域的并集. 3、复合函数 如果 y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x),(x∈A) 称为 f 是 g 的复合函数. 4、函数图象知识归纳 (1)定义

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在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的 x 为横坐标,函数值 y 为纵坐标的点 P(x,y)的集合 C,叫做函 数 y=f(x),(x ∈A)的图象. C 上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系 y=f(x),反过来,以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点(x, y),均在 C 上 . 即记为 C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A } 图象 C 一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行于 Y 轴的直线最多只有一个交点的若干条曲 线或离散点组成. (2)画法 A、描点法 根据函数解析式和定义域,求出 x,y 的一些对应值并列表,以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点 P(x, y),最后用 平滑的曲线将这些点连接起来. B、图象变换法 常用变换方法有三种,即平移变换、对称变换和伸缩变换 (Ⅰ)对称变换 ①将 y= f(x)在 x 轴下方的图象向上翻得到 y=∣f(x)∣的图象如:书上 P21 例 5

?1? ? ?a? ③y= f(x)和 y= -f(x)的图象关于 x 轴对称。如 y ? loga x与y ? ? loga x ? log 1 x
②y= f(x)和 y= f(-x)的图象关于 y 轴对称。如 y ? a x与y ? a ? x ? ?
a

x

(Ⅱ)平移变换 由 f(x)得到 f(x ? a) 由 f(x)得到 f(x) ? a (3)作用 A、直观的看出函数的性质; B、利用数形结合的方法分析解题的思路; C、提高解题的速度;发现解题中的错误。 5、映射 定义:一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f,使对于集合 A 中的任意一个元素 x, 在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应, 那么就称对应 f: A ?B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。 记作 “f: A ? B” 给定一个集合 A 到 B 的映射,如果 a∈A,b∈B.且元素 a 和元素 b 对应,那么,我们把元素 b 叫做元素 a 的象,元 素 a 叫做元素 b 的原象 【说明】 函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应 (1)集合 A、B 及对应法则 f 是确定的; (2)对应法则有“方向性” ,即强调从集合 A 到集合 B 的对应,它与从 B 到 A 的对应关系一般是不同的; (3)对于映射 f:A→B 来说,则应满足: (Ⅰ)集合 A 中的每一个元素,在集合 B 中都有象,并且象是唯一的; (Ⅱ)集合 A 中不同的元素,在集合 B 中对应的象可以是同一个; (Ⅲ)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。 6、函数的解析式 (1)函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则, 二是要求出函数的定义域. (2)求函数的解析式的主要方法有:待定系数法、换元法、消参法等 A、如果已知函数解析式的构造时,可用待定系数法;
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左加右减; 上加下减

B、已知复合函数 f[g(x)]的表达式时,可用换元法,这时要注意元的取值范围;当已知表达式较简单时,也可用 凑配法; C、若已知抽象函数表达式,则常用解方程组消参的方法求出 f(x) 【重点】函数的三种表示法,分段函数的概念,映射的概念 【难点】根据不同的需要选择恰当的方法表示函数,分段函数的表示及其图象,映射的概念

1.3 函数的基本性质
1.3.1 函数单调性与最大(小)值 【知识要点】 1、函数的单调性定义 设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数。区间 D 称为 y=f(x)的单调增区间; 如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),那么就说 f(x)在这个区间上是减 函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间. 【注意】 (1)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; (2)必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2;当 x1<x2 时,总有 f(x1)<f(x2) (或 f(x1)>f(x2)) 。 2、图象的特点 如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间 上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的. 3、函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法 ①任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; ②作差 f(x1)-f(x2); ③变形(通常是因式分解和配方) ; ④定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负) ; ⑤下结论(指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性) . (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性:复合函数 f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律如下: 同增异减 【注意】 函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 4、判断函数的单调性常用的结论 ①函数 y ? ? f ( x) 与 y ? f ( x) 的单调性相反; ②当函数 y ? f ( x) 恒为正或恒有负时,

y?

1 f ( x) 与函数 y ? f ( x) 的单调性相反;

③函数 y ? f ( x) 与函数 y ? f ( x) ? C (C 为常数)的单调性相同;

④当 C > 0(C 为常数)时, y ? f ( x) 与 y ? C ?f ( x) 的单调性相同;

⑤函数 f ( x ) 、 g ( x) 都是增(减)函数,则 f ( x) ? g ( x) 仍是增(减)函数; ⑥若 f ( x) ? 0, g ( x) ? 0 且 f ( x ) 与 g ( x) 都是增(减)函数,则 f ( x)?g ( x) 也是增(减)函数; 若 f ( x) ? 0, g ( x) ? 0 且 f ( x ) 与 g ( x) 都是增(减)函数,则 f ( x)?g ( x) 也是减(增)函数;
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当 C < 0(C 为常数)时, y ? f ( x) 与 y ? C ?f ( x) 的单调性相反;

⑦设 f ( x ) ? 0 ,若 f ( x ) 在定义域上是增函数,则 减函数. 5、函数的最大(小)值定义

n

1 f ( x) 、 k ?f ( x)(k ? 0) 、 f ( x)(n ? 1) 都是增函数,而 f ( x ) 是
n

(ⅰ)一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足: (1)对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M; (2)存在 x0∈I,使得 f(x0) = M 那么,称 M 是函数 y=f(x)的最大值. (ⅱ)一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足 (1)对于任意的 x∈I,都有 f(x)≥ M; (2)存在 x0∈I,使得 f(x0) = M 那么,称 M 是函数 y=f(x)的最大值. 【注意】
1 函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在 x0∈I,使得 f(x0) = M; ○ 2 函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M(f(x)≥M) ○ .

6、利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法
1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 ○ 2 利用图象求函数的最大(小)值 ○ 3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值 ○

如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b); 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b); 【重点】函数的单调性及其几何意义,函数的最大(小)值及其几何意义 【难点】利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性,利用函数的单调性求函数的最大(小)值.1.3.2 函数的奇偶 性 【知识要点】 1、偶函数定义 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么 f(x)就叫做偶函数. 2、奇函数定义 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=—f(x),那么 f(x)就叫做奇函数. 【注意】 ①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质; ②函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。 ③由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个 x,则-x 也一定是定 义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称) . 3、具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 4、利用定义判断函数奇偶性的格式步骤 ①首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称; ②确定 f(-x)与 f(x)的关系; ③作出相应结论:若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则 f(x)是偶函数; 若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数. 5、函数奇偶性的性质

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①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性, 则其单调性完全相同; 偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性, 则其单调性恰恰相反. ②奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称. ③若 f ( x ) 为偶函数,则 f (? x) ? f ( x) ? f (| x |) . ④若奇函数 f ( x ) 定义域中含有 0,则必有 f (0) ? 0 . ⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数,都可表示成“一个奇函数 F ( x) 与一个偶函数 G ( x) 的和(或差) ”. 如设 f ( x) 是定义域为 R 的任一函数, 则 F ( x ) ?

f ( x) ? f (? x) f ( x) ? f (? x) , G ( x) ? . 2 2

⑥复合函数的奇偶性特点是: “内偶则偶,内奇同外”. ⑦既奇又偶函数有无穷多个( f ( x) ? 0 ,定义域是关于原点对称的任意一个数集). 【重点】函数的奇偶性的定义及其几何意义 【难点】判断函数的奇偶性的方法与格式

第二章 基本初等函数
2.1 指数函数
2.1.1 指数与指数幂的运算 【知识要点】 1、根式的概念: 负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是 0,记作 n 0 =0. 【注意】 (1) ( n a )n ? a (2)当 n 是奇数时, n an ? a ,当 n 是偶数时, n a n ?| a |? ? 2、分数指数幂 (1)正数的正分数指数幂的意义,规定: a n ? (2)正数的正分数指数幂的意义: a
_ m n

?a, a ? 0 ??a, a ? 0

m

n

a m (a ? 0, m, n ? N ? , 且n ? 1)

?

1 a
m n

(a ? 0, m, n ? N ? , 且n ? 1)

(3)0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 3、实数指数幂的运算性质 (1) a a ? a
r s r s

(a ? 0, r, s ? R) (2) (a ) ? a (a ? 0, r, s ? R) r r r (3) (ab) ? a b (a ? 0, b ? 0, r ? R)
rs

r ?s

【注意】 在化简过程中,偶数不能轻易约分;如 [(1 ? 2) ]2 ? 1 ? 2而应= 2 ? 1
2 1

【重点】分数指数幂的意义,根式与分数指数幂之间的相互转化,有理指数幂的运算性质 【难点】根式的概念,根式与分数指数幂之间的相互转化,了解无理数指数幂. 2.1.2 指数函数及其性质 【知识要点】 1、指数函数的概念 一般地,函数 y ? a
x

叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域为 R.

2、指数函数的图象和性质 0<a<1 a>1

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图象

定义域 R ,值域(0,+∞) (1)过定点(0,1),即 x=0 时,y=1 性质 (2)在 R 上是减函数 (3)当 x>0 时,0<y<1; 当 x<0 时,y>1 图象特征 共性 向 x 轴正负方向无限延伸 函数图象都在 x 轴上方 图象关于原点和 y 轴不对称 函数图象都过定点(0,1) 0<a<1 自左向右看,图象逐渐下降 在第一象限内的图象纵坐标都小于 1 在第二象限内的图象纵坐标都大于 1 图象上升趋势是越来越缓 自左向右看,图象逐渐上升 在第一象限内的图象纵坐标都大于 1 在第二象限内的图象纵坐标都小于 1 图象上升趋势是越来越陡 (2)在 R 上是增函数 (3)当 x>0 时,y>1; 当 x<0 时,0<y<1 函数性质 函数的定义域为 R 函数的值域为 R+ 非奇非偶函数 过定点(0,1) 减函数 当 x>0 时,0<y<1; 当 x<0 时,y>1 函数值开始减小极快, 到了某一值后减小速度较慢; a>1 增函数 当 x>0 时,y>1; 当 x<0 时,0<y<1 函数值开始增长较慢, 到了某一值后增长速度极快; 【重点】指数函数的的概念和性质. 【难点】用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质.

2.2 对数函数
2.2.1 对数与对数运算 【知识要点】 1、对数的概念 一般地,如果 a ? N ,那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作: x ? log a N
x

( a— 底数, N— 真数, log a N — 对数式) 【注意】 (1)注意底数的限制,a>0 且 a≠1; (2)真数 N>0; (3)注意对数的书写格式.

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2、两个重要对数 (1)常用对数:以 10 为底的对数,

log10 N记为lg N ; (2)自然对数:以无理数 e 为底的对数的对数 , loge N记为ln N

3、对数式与指数式的互化

x ? loga N ? a x ? N
对数式 指数式 对数底数← a → 幂底数 对数← x → 指数 真数← N → 幂 【结论】 (1)负数和零没有对数 (2)logaa=1, loga1=0,特别地,lg10=1, lg1=0 , lne=1, ln1=0 (3)对数恒等式: a
log a N

?N

4、如果 a > 0,a ? 1,M > 0,N > 0 有 (1) log( ? loga M ? loga N a M ? N) 两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和 (1) log a

M ? log a M ? log a N N

两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差 (3) loga M n ? n loga M (n ? R) 一个正数的 n 次方的对数等于这个正数的对数 n 倍 【说明】 (1)简易语言表达:”积的对数=对数的和”…… (2)有时可逆向运用公式 (3)真数的取值必须是(0,+∞) (4)特别注意: loga MN ? loga M ? loga N 5、换底公式

loga ?M ? N ? ? loga M ? loga N

log a b ?

log c b lg b ? ? a ? 0, a ? 1, c ? 0, c ? 1, b ? 0 ? log c a lg a
n 1 ② loga b? logb c? logc d ? loga d ③ log am b n ? log a b m logb a

利用换底公式推导下面的结论 ① loga b ?

【重点】对数的概念,对数式与指数式的相互转化 【难点】对数概念的理解,换底公式的应用 2.2.2 对数函数及其性质 【知识要点】 1、 对数函数的概念 函数 y ? log a x (a>0,且 a≠1) 叫做对数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞) . 【注意】 (1)对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。如: y ? loga 对数函数,而只能称其为对数型函数. (2)对数函数对底数的限制:a>0,且 a≠1
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x ?1 , y ? loga x ? 2 都不是

2、对数函数的图像与性质 对数函数 y ? log a x (a>0,且 a≠1) 0 < a < 1 y 图像 0 (1,0) x 0 (1,0) x a > 1 y

定义域: (0,+∞) 在(0,+∞)上是减函数 当 x>1 时,y<0 当 x=1 时,y=0 当 0<x<1 时,y>0

值域:R 在(0,+∞)上是增函数 当 x>1 时,y>0 当 x=1 时,y=0 当 0<x<1 时,y<0

性质 过点(1 ,0), 即当 x =1 时,y=0

【重要结论】 在 log b 中,当 a ,b 同在(0,1) 或(1,+∞)内时,有 log b>0; a a 当 a,b 不同在(0,1) 内,或不同在(1,+∞) 内时,有 log b<0. a 【口诀】底真同大于 0(底真不同小于 0). (其中,底指底数,真指真数,大于 0 指 log b 的值) a 底数 a 对函数 y ? loga x 的影响. 规律:底大枝头低, 头低尾巴翘 4 考点 Ⅰ、 logab, 当 a,b 在 1 的同侧时, logab >0; 当 a,b 在 1 的异侧时, logab 应的对数函数,底数不同真数也不同利用(1)的知识不能解决的插进 1(=logaa)进行传递. Ⅲ、求指数型函数的定义域要求真数>0,值域求法用单调性. Ⅳ、分辨不同底的对数函数图象利用 1=logaa ,用 y=1 去截图象得到对应的底数。 Ⅴ、y=ax(a>0 且 a ≠1) 与 y=logax(a>0 且 a ≠1) 互为反函数,图象关于 y=x 对称。 <0 Ⅱ、对数函数的单调性由底数决定的,底数不明确的时候要进行讨论。掌握利用单调性比较对数的大小,同底找对 3、如图,

5 比较两个幂的形式的数大小的方法 (1)对于底数相同指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断.
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(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小比较,可以利用比商法来判断. (3)对于底数不同也指数不同的两个幂的大小比较,则应通过中间值来判断.常用 1 和 0. 6 比较大小的方法 (1)利用函数单调性(同底数);(2)利用中间值(如:0,1.) ;(3)变形后比较;(4)作差比较 【重点】掌握对数函数的图象与性质 【难点】对数函数的定义,对数函数的图象和性质及应用 2.3 幂函数 【知识要点】 1、幂函数定义 一般地,形如 y ? x? 的函数称为幂函数,其中 x 是自变量,α 为常 2、幂函数性质归纳 (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1) ; (2) α >0 时, 幂函数的图象通过原点, 并且在[0,+ ∞) 上是增函数. 特 α >1 时,幂函数的图象下凸;当 0<α <1 时,幂函数的图象上凸; (3)α <0 时,幂函数的图象在(0,+∞)上是减函数.在第一象限内, 边趋向原点时,图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴,当 x 趋于+∞ 在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴. 【重点】从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质 【难点】画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质,体会图象的变 化规律 当 x 从右 时,图象 别地,当 数.

第三章 函数的应用
3.1 函数与方程
3.1 方程的根与函数的零点 【知识要点】 1、函数零点的概念 对于函数 y=f(x),使 f(x)=0 的实数 x 叫做函数的零点.(实质上是函数 y=f(x)与 x 轴交点的横坐标) 2、函数零点的意义 方程 f(x)=0 有实数根?函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点?函数 y=f(x)有零点. 3、零点定理 函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的,并且有 f(a)f(b)<0,那么函数 y=f(x)在区间(a,b)至少有一个零点 c, 使得 f( c)=0,此时 c 也是方程 f(x)=0 的根. 4、函数零点的求法 求函数 y=f(x)的零点: (1) (代数法)求方程 f(x)=0 的实数根; (2) (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 y=f(x)的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点. 5、二次函数的零点 二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0). (1)△>0,方程 f(x)=0 有两不等实根,二次函数的图象与 x 轴有两个交点,二次函数有两个零点. (2)△=0,方程 f(x)=0 有两相等实根(二重根) ,二次函数的图象与 x 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点 或二阶零点. (3)△<0,方程 f(x)=0 无实根,二次函数的图象与 x 轴无交点,二次函数无零点. 【重点】零点的概念及存在性的判定 【难点】零点的确定

11

3.1.2 用二分法求方程的近似解 【知识要点】 1、概念 对于在区间[a,b]上连续不断且 f(a)f(b)<0 的函数 y=f(x),通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的 两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 2、用二分法求方程近似解的步骤 ⑴确定区间[a,b],验证 f(a)f(b)<0,给定精确度ε ; ⑵求区间(a,b)的中点 c; ⑶计算 f(c), ①若 f(c)=0,则 c 就是函数的零点; ②若 f(a)f(c)<0,则令 b=c(此时零点 x0∈(a,c)) ③若 f(c)f(b)<0,则令 a=c(此时零点 x0∈(c,b)) (4)判断是否达到精确度ε :即若|a-b|<ε ,则得到零点近似值为 a(或 b);否则重复⑵~⑷ 【重点】通过用二分法求方程的近似解,体会函数的零点与方程根之间的联系,初步形成用函数观点处理问题的意识 【难点】恰当地使用信息技术工具,利用二分法求给定精确度的方程的近似解 3.2 几类不同增长的函数模型 【知识要点】 1、评价模型 给定模型利用学过的知识解模型验证是否符合实际情况 2、几个增长函数模型 一次函数:y=ax+b(a>0) 指数函数:y=ax(a>1) 幂函数: y=xn( n?N*) 二次函数:y=ax2+bx+c(a>0) 增长快慢:V(ax)>V(xn)>V(logax) 解不等式 (1) log2x< 2x < x2 (2) log2x< x2 < 2x 3、分段函数的应用 注意端点不能重复取,求函数值先判断自变量所在的区间. 4、二次函数模型 y=ax2+bx+c(a≠0) 先求函数的定义域, 在求函数的对称轴, 看它在不在定义域内, 在的话代进求出最值, 不在的话, 将定义域内离对称轴最近的点代进求最值. 5、一元二次方程 ax2+bx+c=0(a>0)的根的分布 两个根都在(m,n )内 y 两个有且仅有一个在(m,n)内 x1∈(m,n) x2∈(p,q) 指数型函数: y=kax(k>0,a>1) 对数函数:y=logax(a>1)

m

m

n
m

n

x

n p

q

12

?? ? 0 ? b ? ? n ?m ? ? 2 a ? ? f ( m) ? 0 ? ? ? f ( n) ? 0

f(m)f(n)<0

? f ( m) ? 0 ? f ( n) ? 0 ? ? ? f ( p) ? 0 ? ? f (q) ? 0

两个根都小于 K

两个根都大于 K

一个根小于 K,一个根大于 K

y

k

k
?? ? 0 ? b ? ? k ?? 2 a ? ? ? f (k ) ? 0

x

k
?? ? 0 ? b ? ? k ?? 2 a ? ? ? f (k ) ? 0

f(k)<0

【重点】将实际问题转化为函数模型,比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异,结合实例体会 直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义 【难点】怎样选择数学模型分析解决实际问题.

人教版高中数学必修四 ———知识点与重难点
??
?正角:按逆时针方向旋转形成的角 ? 1、任意角 ?负角:按顺时针方向旋转形成的角 ?零角:不作任何旋转形成的角 ? 2、角 ? 的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称 ? 为第几象限角.

3、与角 ? 终边相同的角的集合为 ? ? ? k ? 360? ? ? , k ? ?

?

?
? n

4、已知 ? 是第几象限角,确定 ? ? n ? ?* ? 所在象限的方法:先把各象限均分 n 等份,再从 x 轴的正半轴的上方起,依次
n

将各区域标上一、二、三、四,则 ? 原来是第几象限对应的标号即为 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度.

终边所落在的区域.

6、半径为 r 的圆的圆心角 ? 所对弧的长为 l ,则角 ? 的弧度数的绝对值是 ? ? 7、弧度制与角度制的换算公式: 2? ? 360 , 1 ?
?
?

l . r

?
180

,1 ? ?

? 180 ? ? ? ? 57.3 . ? ? ?

?

13

8 、若扇形的圆心角为 ?

??为弧度制? ,半径为 r ,弧长为 l ,周长为 C ,面积为 S ,则 l ? r ?
? x, y ? ,它与原点的距离是 r ? r ?

, C ? 2r ? l ,

1 1 S ? lr ? ? r 2 . 2 2
9、设 ? 是一个任意大小的角, ? 的终边上任意一点 ? 的坐标是

x2 ? y 2 ? 0 ,则

?

sin ? ?

y x y , cos ? ? , tan ? ? ? x ? 0 ? . r r x
y P T v O M A x

10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正切为正,第四象限余弦为正. 11、三角函数线: sin ? ? ?? , cos ? ? ?? , tan ? ? ?? . 12、同角三角函数的基本关系:

?1? sin2 ? ? cos2 ? ? 1,

? sin
? 2?

2

? ? 1 ? cos 2 ? , cos 2 ? ? 1 ? sin 2 ? ? ;
? ? ? t a? n ?s i n ? sin ?? . c? os ,? c?o s tan ?? ?

sin ? ? tan ? cos ?

13、三角函数的诱导公式:可用十个字概括为“奇变偶不变,符号看象限” 诱导公式一: sin(? ? 2k? ) ? sin ? , cos(? ? 2k? ) ? cos ? ,其中 k ? Z 诱导公式二:
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sin(180? ? ? ) ? ? sin ? ; c o s ( 1 ? 8? 0? ? )?cos?
cos(?? ) ? cos ?
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诱导公式三: sin(?? ) ? ? sin ? ; 诱导公式四: sin(180
?

? ? ) ? sin ? ; cos(180? ? ? ) ? ? cos? ? ? ) ? ? sin ? ; cos(360? ? ? ) ? cos?
-?

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诱导公式五: sin(360

?

? ??
sin ? -cos ?
?

? ??
-sin ? -cos ?

2? ? ?
-sin ? cos ?

2k? ? ? ?k ? Z ?
sin ? cos ?

?
2

??

Sin Cos

-sin ? cos ?

cos ? sin ?

(1)要化的角的形式为 k ?180 ? ? ( k 为常整数) ; (2)sin(kπ +α )=(-1)ksinα ;cos(kπ +α )=(-1)kcosα (k∈Z); (3) sin ? x ?

? ?

??

?? ?? ?? ? ? ? ?? ? ? ? cos ? ? x ? ? cos ? x ? ? ; cos ? x ? ? ? sin ? ? x ? 。 4? 4? 4? ?4 ? ? ? ?4 ?

14、由 y=sinx 的图象变换出 y=sin(ω x+ ? )的图象一般有两个途径,只有区别开这两个途径,才能灵活进行图象变 换。 利用图象的变换作图象时,提倡先平移后伸缩,但先伸缩后平移也经常出现 无论哪种变形,请切记每一个变换总是
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对字母 x 而言,即图象变换要看“变量”起多大变化,而不是“角变化”多少。 途径一:先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将 y=sinx 的图象向左( ? >0)或向右( ? <0=平移| ? |个单位, 再将图象上各点的横坐标变为原来的 0),便得 y=sin(ω x+ ? )的图象。
14

1

?

倍(ω >

途径二:先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将 y=sinx 的图象上各点的横坐标变为原来的 便得 y=sin(ω x+ ? )的图象。

1

?

倍(ω >0), 再沿 x 轴向左( ? >0)或向右( ? <0=平移

|? |

?

个单位,

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:

y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图象

定义域 值域 当
x ? 2 k? ?

R
[-1,1]

R
[-1,1] 当 x ? 2k? 当

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ? ? 2 ? ?
R

?
2

? k ??? 时 ,
x ? 2 k? ?

? k ??? 时, ymax ? 1 ;
? k ???
时 , 既无最大值也无最小值

最值

ymax ? 1

; 当

?
2

x ? 2 k? ? ?

? k ??? 时, ymin ? ?1.
周期性 奇偶性

ymin ? ?1.
2?
偶函数 在 在

2?
奇函数 在 ? 2k? ? ? , 2k? ? ? ? 上增; ? 2 2? ? ? 在 ?2k? ? ? , 2k? ? 3? ? 上减 ? 2 2? ? ? 对称中心

?
奇函数 在 ? k? ? ? , k? ? ? ? ? ? 2 2? ?

?2k? ? ? , 2k? ?? k ??? 上增;

单调性

?2k? ,2k? ? ? ? ?k ??? 上减
? 2 ?

? k ??? 上是增函数.
对称中心 ? k? , 0 ? ? k ? ? ? ? ?

? k? ,0?? k ???
2

对称中心 ? k? ? ? , 0 ? k ? ? ? ? ?? 对称轴 x ? k?

对称性

对称轴 x ? k? ? ? ? k ? ? ?

? k ???

? 2

?

无对称轴

函数

y ? ? sin ??x ? ? ?? ? ? 0, ? ? 0? 的性质:
2?

①振幅: ? ;②周期: ? ? 16、向量加法运算:

?

;③频率: f ?

1 ? ? ;④相位: ? x ? ? ;⑤初相: ? . ? 2?

⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点. ⑶三角形不等式:

? ? ? ? ? ? a ? b ? a ?b ? a ? b .
? ? ? ? ? b ? a ;②结

⑷运算性质:①交换律: a ? b

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 合律: a ? b ? c ? a ? b ? c ;③ a ? 0 ? 0 ? a ? a .

?

?

?

?

C

⑸坐标运算:设 a ? 17、向量减法运算:

?

? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? .
?

?

? ?

? a

? b

?

⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量.
15

? ??? ? ? ? ???? ??? a ? b ? ?C ? ?? ? ?C

⑵坐标运算:设 a ?

?

? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? . ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,则 ?? ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? .
?

?

? ?

设 ? 、 ? 两点的坐标分别为 18、向量数乘运算:

??? ?

⑴实数 ? 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 ? a . ①

?

?a ? ? a

?

?



②当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同;当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相反;当 ? ? 0 时, ? a ⑵运算律:① ?

?

?

?

?

?

? ? 0.

? ?a ? ? ? ?? ? a ;② ?? ? ? ? a ? ?a ? ?a ;③ ? ? a ? b ? ? ? a ? ?b .
? ? ? ? ?
? ?

?

?

⑶坐标运算:设 a ?

?

? x, y ? ,则 ?a ? ? ? x, y ? ? ? ? x, ? y ? .
? ?

?

19、向量共线定理:向量 a a ? 0 与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 ? ,使 b 其中 b

?

?

?

?

?

? ? ? ? ? a .设 a ? ? x1, y1 ? ,b ? ? x2 , y2 ? ,

?

? ? ? ? ? ? 0 ,则当且仅当 x1 y2 ? x2 y1 ? 0 时,向量 a 、 b b ? 0 共线.

?

?

20、平面向量基本定理:如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a ,有且只有一 对实数 ?1 、 ?2 ,使 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 . (不共线的向量 e1 、 e2 作为这一平面内所有向量的一组基底) 21、分点坐标公式:设点 ? 是线段 ?1?2 上的一点, ?1 、 ?2 的坐标分别是 的坐标是 ?

??

?? ?

?

?

? ?

? ? ?

??

?? ?

? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,当 ?1? ? ???2 时,点 ?

??? ?

????

? x1 ? ? x2 y1 ? ? y2 ? , ?. 1? ? ? ? 1? ?
? ?
?

22、平面向量的数量积: ⑴ a ? b ? a b cos ? a ? 0, b ? 0, 0 ? ? ? 180
?

? ?

??

? ?

?

?

? .零向量与任一向量的数量积为 0 .

⑵性质:设 a 和 b 都是非零向量,则① a

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? b ? a ? b ? 0 .②当 a 与 b 同向时, a ? b ? a b ;当 a 与 b 反向时,

?2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? ? a b ; a ? a ? a 2 ? a 或 a ? a ? a .③ a ? b ? a b .
⑶运算律:① a ? b

? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? b ? a ;② ? ? a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ?b ;③ a ? b ? c ? a ? c ? b ? c .

?

?

? ?

?

?

⑷坐标运算:设两个非零向量 a ? 若a ? 设a ?

?

? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1x2 ? y1 y2 .
? ?

?

? ?

?

? x, y ? ,则 a
?

?2

? ? x 2 ? y 2 ,或 a ? x 2 ? y 2 .

?

? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 .
x1 x2 ? y1 y2
2 2 x12 ? y12 x2 ? y2

? ? ? a ?b ? ? ? ? ? 设 a 、 b 都是非零向量, a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , ? 是 a 与 b 的夹角,则 cos ? ? ? ? ? a b
23、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ⑴ cos



?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ;⑵ cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ;

16

⑶ sin

?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ;⑷ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ;
?? ? ? ? ?
?? ? ? ? ?
tan ? ? tan ? ( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) ; 1 ? tan ? tan ?
tan ? ? tan ? ( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) . 1 ? tan ? tan ?

⑸ tan

⑹ tan

24、二倍角的正弦、余弦和正切公式: ⑴ sin 2? ? 2sin ? cos ?
2

⑵ cos 2?

? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ?

( cos

??

2 tan ? cos 2? ? 1 1 ? cos 2? 2 , sin ? ? ) .⑶ tan 2? ? 1 ? tan 2 ? 2 2
?2 ? ?2 sin ?? ? ? ? ,其中 tan ? ?

25、 ? sin ? ? ? cos ? ?

? . ?

人教版高中数学必修五 ———知识点与重难点

第一章
1、三角形的性质:
A? B ? C A? B C ? ? ? sin ? cos 2 2 2 2 2

解三角形

①.A+B+C= ? , ? sin( A ? B) ? sin C , cos( A ? B) ? ? cos C

②.在 ?ABC 中, a ? b >c , a ? b <c ; A>B ? sin A > sin B , A>B ? cosA<cosB, a >b ? A>B ? ? ? ③.若 ?ABC 为锐角 ? ,则 A ? B > ,B+C > ,A+C > ; 2 2 2
a 2 ? b 2 > c2 , b 2 ? c 2 > a 2 , a 2 + c2 > b2

2、正弦定理与余弦定理: ①.正弦定理:
a b c ? ? ? 2 R (2R 为 ?ABC 外接圆的直径) sin A sin B sin C

a ? 2 R s i nA 、 b ? 2 R sin B 、 c ? 2 R sin C

(边化角)

sin A ?

a b c 、 sin B ? 、 sin C ? (角化边) 2R 2R 2R 1 1 1 面积公式: S?ABC ? ab sin C ? bc sin A ? ac sin B 2 2 2

②.余弦定理: a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A 、 b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B 、 c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C
17

cos A ?

b2 ? c2 ? a 2 a 2 ? c2 ? b2 a 2 ? b2 ? c 2 、 cos B ? 、 cos C ? (角化边) 2bc 2ac 2ab

补充:两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ⑴ cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ;⑵ cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; ⑶ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ;⑷ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; ⑸ tan ?? ? ? ? ? ⑹ tan ?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ?

( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) ; ( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) .

二倍角的正弦、余弦和正切公式: ⑴ sin 2? ? 2sin ? cos ? . ? 1 ? sin 2? ? sin 2 ? ? cos2 ? ? 2 sin ? cos? ? (sin? ? cos? ) 2 ⑵ cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ?

? 升幂公式 1 ? cos ? ? 2 cos 2

?

2 2 cos 2 ? ? 1 1 ? cos 2 ? , sin 2 ? ? . ? 降幂公式 cos 2 ? ? 2 2

,1 ? cos ? ? 2 sin 2

?

3、常见的解题方法: (边化角或者角化边) 第二章 1、数列的定义及数列的通项公式: ①. an ? f (n) ,数列是定义域为 N 的函数 f (n) ,当 n 依次取 1,2, ??? 时的一列函数值 ②. an 的求法: i.归纳法 数列

?S , n ? 1 ii. an ? ? 1 ? Sn ? Sn ?1 , n ? 2

若 S0 ? 0 ,则 an 不分段;若 S0 ? 0 ,则 an 分段

iii. 若 an?1 ? pan ? q ,则可设 an?1 ? m ? p(an ? m) 解得 m,得等比数列 ?an ? m?

? S ? f (an ) iv. 若 Sn ? f (an ) ,先求 a1 ,再构造方程组: ? n 得到关于 an ?1 和 an 的递推关系式 S ? f ( a ) n ?1 ? n?1 ? S ? 2an ? 1 例如: Sn ? 2an ? 1 先求 a1 ,再构造方程组: ? n ? (下减上) an?1 ? 2an?1 ? 2an ? Sn ?1 ? 2an ?1 ? 1
2.等差数列: ① 定义: an?1 ? an = d (常数),证明数列是等差数列的重要工具。 ② 通项: an ? a1 ? (n ?1)d , d ? 0 时, an 为关于 n 的一次函数;

18

d >0 时, an 为单调递增数列; d <0 时, an 为单调递减数列。

③ 前 n 项和: S n ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d, 2 2

d ? 0 时, Sn 是关于 n 的不含常数项的一元二次函数,反之也成立。

④ 性质:i. am ? an ? ap ? aq (m+n=p+q) ii. 若 ?an ? 为等差数列,则 am , am?k , am? 2 k ,?仍为等差数列。 iii. 若 ?an ? 为等差数列,则 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ,?仍为等差数列。 iv 若 A 为 a,b 的等差中项,则有 A ? 3.等比数列: ① 定义:
an ?1 ,是证明数列是等比数列的重要工具。 ? q (常数) an
a?b 。 2

② 通项: an ? a1q n?1 (q=1 时为常数列)。
?na1 , q ? 1 ? ③.前 n 项和, Sn ? ? a1 ?1 ? q n ? a ? a q ,需特别注意,公比为字母时要讨论. ? 1 n ,q ?1 ? 1? q ? 1? q

④.性质: i. am ? an ? a p ? aq ?m ? n ? p ? q? 。 ii. ?an ? 为等比数列 , 则am , am?k , am?2k ,?仍为等比数列,公比为 qk 。 iii.

?an?为等比数列, 则Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ,K 仍为等比数列,公比为 qn 。

iv.G 为 a,b 的等比中项, G ? ? ab 4.数列求和的常用方法: ①.公式法:如 an ? 2n ? 3, an ? 3n?1 ②.分组求和法:如 an ? 3n ? 2 n?1 ? 2n ? 5 ,可分别求出 ?3n ? , ?2n ?1? 和 ?2n ? 5? 的和,然后把三部分加 起来即可。

?1? ③. 错位相减法 :如 an ? ?3n ? 2? ? ? ? , ? 2? ?1? ?1? ?1? ?1? Sn ? 5 ? ? ? 7 ? ? ? 9 ? ? ? ??? ? (3n ? 1) ? ? ? 2? ? 2? ? 2? ? 2?
2 3 n ?1

n

?1? ? ? 3n ? 2 ? ? ? ? 2?

n

19

1 ?1? ?1? ?1? ?1? ?1? S n ? 5 ? ? ? 7 ? ? ? 9 ? ? ? ?+ ? 3n ? 1? ? ? ? ? 3n ? 2 ? ? ? 2 ?2? ?2? ? 2? ?2? ? 2?
2 3 n

2

3

4

n

n ?1

1 ?1? ?1? ?1? ?1? ?1? 两式相减得: Sn ? 5 ? ? ? 2 ? ? ? 2 ? ? ? ??? ? 2 ? ? ? ? 3n ? 2 ? ? ? 2 ?2? ? 2? ? 2? ? 2? ? 2?
④. 裂项相消法 :如 a n ?
1 1 1 ? ? ; an ? n?n ? 1? n n ? 1 1 n ?1 ? n

n ?1

,以下略。

? n ?1 ? n ,

an ?

1? 1 1 ? 等。 ? ? ? ? 2n ?1?? 2n ? 1? 2 ? 2n ?1 2n ? 1 ? ? 1

⑤.倒序相加法.例:在 1 与 2 之间插入 n 个数 a1 , a2, a3, ???, an ,使这 n+2 个数成等差数列, 求: Sn ? a1 ? a2 ???? ? an , (答案: S n ? 第三章 1.不等式的性质: ① 不等式的传递性 : a ? b, b ? c ? a ? c ② 不等式的可加性 : a ? b, c ? R ? a ? c ? b ? c, 推论: 不等式
3 n) 2

a ? b? ??a?c ?b?d c ? d?

③ 不等式的可乘性 :

a ? b? a ? b? a ? b ? 0? ? ? ac ? bc; ? ? ac ? bc; ? ? ac ? bd ? 0 c ? 0? c ? 0? c ? d ? 0?

④ 不等式的可乘方性 : a ? b ? 0 ? a n ? b n ? 0; a ? b ? 0 ? n a ? n b ? 0 2.一元二次不等式及其解法: ①. ax2 ? bx ? c ? 0, ax2 ? bx ? c ? 0, f ?x? ? ax2 ? bx ? c 注重三者之间的密切联系。 如: ax 2 ? bx ? c >0 的解为: ? <x< ? , 则 ax 2 ? bx ? c =0 的解为 x1 ? ? , x2 ? ? ; 函数 f ? x ? ? ax2 ? bx ? c 的图像开口向下,且与 x 轴交于点 ?? ,0? , ? ? ,0? 。 对于函数 f ?x ? ? ax2 ? bx ? c ,一看开口方向,二看对称轴,从而确定其单调区间等。 ②.注意二次函数根的分布及其应用. 如:若方程 x 2 ? 2ax ? 8 ? 0 的一个根在(0,1)上,另一个根在(4,5)上,则有
f (0) >0 且 f (1) <0 且 f (4) <0 且 f (5) >0

3.不等式的应用: ①基本不等式:
a ? 0, b ? 0, a?b ? ab , 2 a 2 ? b 2 ? 2ab, 2 ? a 2 ? b2 ? ? ? a ? b ?
2

当 a>0,b>0 且 ab 是定值时,a+b 有最小值; 当 a>0,b>0 且 a+b 为定值时,ab 有最大值。
20

②简单的线性规划:

Ax ? By ? C ? 0? A ? 0? 表示直线 Ax ? By ? C ? 0 的右方区域. Ax ? By ? C ? 0? A ? 0? 表示直线 Ax ? By ? C ? 0 的左方区域
解决简单的线性规划问题的基本步骤是: ①.找出所有的线性约束条件。 ②.确立目标函数。 ③.画可行域,找最优点,得最优解。 需要注意的是,在目标函数中,x 的系数的符号, 当 A>0 时,越向右移,函数值越大,当 A<0 时,越向左移,函数值越大。 ⑷常见的目标函数的类型: ①“截距”型: z ? Ax ? By;
y y ?b ; 或z ? x x?a

②“斜率”型: z ?

③“距离”型: z ? x 2 ? y 2 或 z ? x 2 ? y 2 ;

z ? ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 或 z ? ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 .
画——移——定——求: 第一步,在平面直角坐标系中画出可行域;第二步,作直线 l0 : Ax ? By ? 0 ,平移直线 l0 (据可行域, 将直线 l0 平行移动)确定最优解;第三步,求出最优解 ( x, y ) ;第四步,将最优解 ( x, y ) 代入目标函数
z ? Ax ? By 即可求出最大值或最小值 .

第二步中最优解的确定方法: 利用 z 的几何意义: y ? ?
A z z x ? , 为直线的纵截距. B B B

①若 B ? 0, 则使目标函数 z ? Ax ? By 所表示直线的纵截距最大的角点处, z 取得最大值,使直线的纵 截距最小的角点处, z 取得最小值; ②若 B ? 0, 则使目标函数 z ? Ax ? By 所表示直线的纵截距最大的角点处, z 取得最小值,使直线的纵 截距最小的角点处, z 取得最大值.

人教版高中数学必修二
21

————各章节知识点与重难点
一、直线与方程
(1)直线的倾斜角 定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与 x 轴平行或重合时,我们规定它的 倾斜角为 0 度。因此,倾斜角的取值范围是 0°≤α <180° (2)直线的斜率 ①定义:倾斜角不是 90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用 k 表示。即 k ? tan ? 。 斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当 ? ? 0? ,90? 时, k ? 0 ; ②过两点的直线的斜率公式: k ?

?

?

? 当 ? ? 90? ,180? 时, k ? 0 ; 当 ? ? 90 时, k 不存在。

?

?

y 2 ? y1 ( x1 ? x2 ) x2 ? x1

注意下面四点:(1)当 x1 ? x 2 时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为 90°; (2)k 与 P1、P2 的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得; (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 (3)直线方程 ①点斜式: y ? y1 ? k ( x ? x1 ) 直线斜率 k,且过点 ?x1, y1 ? 注意:当直线的斜率为 0°时,k=0,直线的方程是 y=y1。 当直线的斜率为 90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因 l 上每一点的横坐标都等于 x1,所以它的方程是 x=x1。 ②斜截式: y ? kx ? b ,直线斜率为 k,直线在 y 轴上的截距为 b ③两点式: ④截矩式:

y ? y1 x ? x1 ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )直线两点 ?x1, y1 ? , ?x2 , y2 ? y2 ? y1 x2 ? x1

x y ? ?1 a b 其中直线 l 与 x 轴交于点 ( a,0) ,与 y 轴交于点 (0, b) ,即 l 与 x 轴、 y 轴的截距分别为 a , b 。

⑤一般式: Ax ? By ? C ? 0 (A,B 不全为 0) 1 各式的适用范围 2 特殊的方程如: 注意:○ ○ 平行于 x 轴的直线: y ? b (b 为常数) ; 平行于 y 轴的直线: x ? a (a 为常数) ; (5)直线系方程:即具有某一共同性质的直线 (一)平行直线系 平行于已知直线 A0 x ? B0 y ? C0 ? 0( A0 , B0 是不全为 0 的常数)的直线系: A0 x ? B0 y ? C ? 0 (C 为常数) (二)过定点的直线系 (ⅰ)斜率为 k 的直线系: (ⅱ)过两条直线 l1 :

y ? y0 ? k ?x ? x0 ? ,直线过定点 ?x0 , y0 ? ;

A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的交点的直线系方程为

,其中直线 l 2 不在直线系中。 ?A1x ? B1 y ? C1 ? ? ??A2 x ? B2 y ? C2 ? ? 0 ( ? 为参数) (6)两直线平行与垂直 当 l1 : y ? k1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b2 时,

l1 // l 2 ? k1 ? k 2 , b1 ? b2 ; l1 ? l2 ? k1k 2 ? ?1
注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。 (7)两条直线的交点 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 相交

A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 交点坐标即方程组 ? 的一组解。 ? A x ? B y ? C ? 0 2 2 ? 2
方程组无解 ? l1 // l 2 ; 则 | AB |? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 方程组有无数解 ? l1 与 l 2 重合

B x2 , y2) (8)两点间距离公式:设 A( x1 , y1 ),( 是平面直角坐标系中的两个点,

22

(9)点到直线距离公式:一点 P?x0 , y0 ? 到直线 l1 : Ax ? By ? C ? 0 的距离 d ? Ax0 ? By0 ? C
A2 ? B 2

(10)两平行直线距离公式 在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解。

二、圆的方程
1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径。 2、圆的方程 (1)标准方程 ?x ? a? ? ? y ? b? ? r 2 ,圆心
2 2

?a, b ? ,半径为 r;
? 2 2?

(2)一般方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2

D E ? ,半径为 r ? 1 D 2 ? E 2 ? 4 F 当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程表示圆,此时圆心为 ? ? ? ,? ?
2 2

2

当 D ? E ? 4F ? 0 时,表示一个点; 当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程不表示任何图形。 (3)求圆方程的方法: 一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程, 需求出 a,b,r;若利用一般方程,需要求出 D,E,F; 另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。 3、直线与圆的位置关系: 直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况,基本上由下列两种方法判断:
2 2 2 2

(1)设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,圆 C : ?x ? a?2 ? ? y ? b?2 ? r 2 ,圆心 C ?a, b ? 到 l 的距离为 d ? Aa ? Bb ? C ,则有 2 2
A ?B

d ? r ? l与C相离 ; d ? r ? l与C相切 ; d ? r ? l与C相交 2 2 (2)设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,圆 C : ?x ? a? ? ? y ? b? ? r 2 ,先将方程联立消元,得到一个一元二次方程之后,

令其中的判别式为 ? ,则有 ? ? 0 ? l与C相离 ; ? ? 0 ? l与C相切 ; ? ? 0 ? l与C相交 2 注:如果圆心的位置在原点,可使用公式 xx0 ? yy0 ? r 去解直线与圆相切的问题,其中 x0 , y0 表示切点坐标, r 表示半径。 (3)过圆上一点的切线方程: 2 ①圆 x2+y2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为 xx0 ? yy0 ? r (课本命题). ②圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 (课本命题的推广). 4、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差) ,与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 设圆 C1 : ?x ? a1 ?2 ? ? y ? b1 ?2 ? r 2 , C2 : ?x ? a2 ?2 ? ? y ? b2 ?2 ? R 2 两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差) ,与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 当 d ? R ? r 时两圆外离,此时有公切线四条; 当 d ? R ? r 时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条; 当 R ? r ? d ? R ? r 时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线; 当 d ? R ? r 时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线; 当 d ? R ? r 时,两圆内含; 当 d ? 0 时,为同心圆。

?

?

三、立体几何初步
1、柱、锥、台、球的结构特征

(1)棱柱:定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些 面所围成的几何体。 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示:用各顶点字母,如五棱柱 ABCDE ? A B C D E 或用对角线的端点字母,如五棱柱 AD 几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截 面是与底面全等的多边形。 (2)棱锥 定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等
' ' ' ' '
'

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表示:用各顶点字母,如五棱锥 P ? A B C D E 几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平 方。 (3)棱台:定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等
' ' ' ' '

表示:用各顶点字母,如五棱台 P ? A B C D E 几何特征:①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点 (4)圆柱:定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。 (5)圆锥:定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。 (6)圆台:定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分 几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。 (7)球体:定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征:①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 2、空间几何体的三视图 定义三视图:正视图(光线从几何体的前面向后面正投影) ;侧视图(从左向右) 、 俯视图(从上向下) 注:正视图反映了物体上下、左右的位置关系,即反映了物体的高度和长度; 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系,即反映了物体的长度和宽度; 侧视图反映了物体上下、前后的位置关系,即反映了物体的高度和宽度。
' ' ' ' '

3、空间几何体的直观图——斜二测画法 斜二测画法特点:①原来与 x 轴平行的线段仍然与 x 平行且长度不变; ②原来与 y 轴平行的线段仍然与 y 平行,长度为原来的一半。 4、柱体、锥体、台体的表面积与体积 (1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 (2)特殊几何体表面积公式(c 为底面周长,h 为高, h 为斜高,l 为母线)
'

S直棱柱侧面积 ? ch
S正棱台侧面积 ?

S圆柱侧 ? 2?rh S正棱锥侧面积 ? ch '
S圆台侧面积 ? (r ? R)?l

1 2

S圆锥侧面积 ? ?rl

S圆柱表 ? 2?r ?r ? l ?
V柱 ? Sh

1 (c1 ? c2 )h' 2

S圆 锥 表? ?r ?r ? l ?

S圆台表 ? ? r 2 ? rl ? Rl ? R2
1 V圆锥 ? ?r 2 h 3

?

?

(3)柱体、锥体、台体的体积公式

V圆柱 ? S h ? ? 2r h V锥 ? 1 S h
3

1 V台 ? (S ' ? S ' S ? S )h 3

1 1 ' V圆台 ? (S ' ? S S ? S )h ? ? (r 2? rR ? R )2 h 3 3

(4)球体的表面积和体积公式:V 球 = 4 ? R3
3

; S 球面 = 4? R 2

4、空间点、直线、平面的位置关系
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(1)平面 ① 平面的概念: A.描述性说明; B.平面是无限伸展的; ② 平面的表示:通常用希腊字母α 、β 、γ 表示,如平面α (通常写在一个锐角内) ; 也可以用两个相对顶点的字母来表示,如平面 BC。 ③ 点与平面的关系:点 A 在平面 ? 内,记作 A ? ? ;点 A 不在平面 ? 内,记作 A ? ? 点与直线的关系:点 A 的直线 l 上,记作:A∈l; 点 A 在直线 l 外,记作 A ?l;

直线与平面的关系:直线 l 在平面α 内,记作 l ? α ;直线 l 不在平面α 内,记作 l ? α 。 (2)公理 1:如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线是所有的点都在这个平面内。 (即直线在平面内,或者平面经过直线) 应用:检验桌面是否平; 判断直线是否在平面内 用符号语言表示公理 1: A ? l , B ? l , A ? ? , B ? ? ? l ? ? (3)公理 2:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。 推论:一直线和直线外一点确定一平面;两相交直线确定一平面;两平行直线确定一平面。 公理 2 及其推论作用:①它是空间内确定平面的依据 ②它是证明平面重合的依据 (4)公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 符号:平面α 和β 相交,交线是 a,记作α ∩β =a。 符号语言: P ? A ? B ? A ? B ? l , P ? l 公理 3 的作用: ①它是判定两个平面相交的方法。 ②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系:交线必过公共点。 ③它可以判断点在直线上,即证若干个点共线的重要依据。 (5)公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行 (6)空间直线与直线之间的位置关系 ① 异面直线定义:不同在任何一个平面内的两条直线 ② 异面直线性质:既不平行,又不相交。 ③ 异面直线判定:过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线 ④ 异面直线所成角:直线 a、b 是异面直线,经过空间任意一点 O,分别引直线 a’∥a,b’∥b,则把直线 a’和 b’ 所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 和 b 所成的角。两条异面直线所成角的范围是(0°,90°],若两条异面直 线所成的角是直角,我们就说这两条异面直线互相垂直。 说明: (1)判定空间直线是异面直线方法:①根据异面直线的定义;②异面直线的判定定理 (2)在异面直线所成角定义中,空间一点 O 是任取的,而和点 O 的位置无关。 ②求异面直线所成角步骤: A、 利用定义构造角, 可固定一条, 平移另一条, 或两条同时平移到某个特殊的位置, 顶点选在特殊的位置上。 B、 证明作出的角即为所求角 C、利用三角形来求角 (7)等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两角相等或互补。 (8)空间直线与平面之间的位置关系 直线在平面内——有无数个公共点. 三种位置关系的符号表示:a ? α a∩α =A a∥α (9)平面与平面之间的位置关系:平行——没有公共点;α ∥β 相交——有一条公共直线。α ∩β =b 5、空间中的平行问题 (1)直线与平面平行的判定及其性质 线面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。 线线平行 ? 线面平行 线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交, 那么这条直线和交线平行。线面平行 ? 线线平行 (2)平面与平面平行的判定及其性质 两个平面平行的判定定理 (1)如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行 (线面平行→面面平行) , (2)如果在两个平面内,各有两组相交直线对应平行,那么这两个平面平行。
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(线线平行→面面平行) , (3)垂直于同一条直线的两个平面平行, 两个平面平行的性质定理 (1)如果两个平面平行,那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。 (面面平行→线面平行) (2)如果两个平行平面都和第三个平面相交,那么它们的交线平行。 (面面平行→线线平行) 7、空间中的垂直问题 (1)线线、面面、线面垂直的定义 ①两条异面直线的垂直:如果两条异面直线所成的角是直角,就说这两条异面直线互相垂直。 ②线面垂直:如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直,就说这条直线和这个平面垂直。 ③平面和平面垂直:如果两个平面相交,所成的二面角(从一条直线出发的两个半平面所组成的图形)是直二面角 (平面角是直角) ,就说这两个平面垂直。 (2)垂直关系的判定和性质定理 ①线面垂直判定定理和性质定理 判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直这个平面。 性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。 ②面面垂直的判定定理和性质定理 判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。 性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。 9、空间角问题 (1)直线与直线所成的角 ①两平行直线所成的角:规定为 0? 。 ②两条相交直线所成的角:两条直线相交其中不大于直角的角,叫这两条直线所成的角。 ③两条异面直线所成的角:过空间任意一点 O,分别作与两条异面直线 a,b 平行的直线 a ?, b ? ,形成两条相交直 线,这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。 (2)直线和平面所成的角 ? ? ①平面的平行线与平面所成的角:规定为 0 。 ②平面的垂线与平面所成的角:规定为 90 。 ③平面的斜线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的 角。 求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角: “一作,二证,三计算” 。 在“作角”时依定义关键作射影,由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线, 在解题时,注意挖掘题设中两个主要信息: (1)斜线上一点到面的垂线; (2)过斜线上的一点或过斜线的平面与已 知面垂直,由面面垂直性质易得垂线。 (3)二面角和二面角的平面角 ①二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平 面叫做二面角的面。 ②二面角的平面角:以二面角的棱上任意一点为顶点,在两个面内 分别作垂直于 棱的两条射线,这两条射线所成的 .. ... 角叫二面角的平面角。 ③直二面角:平面角是直角的二面角叫直二面角。 两相交平面如果所组成的二面角是直二面角,那么这两个平面垂直;反过来,如果两个平面垂直,那么所成的二 面角为直二面角 ④求二面角的方法 定义法:在棱上选择有关点,过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角 垂面法:已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角 7、空间直角坐标系 (1)定义:如图, OBCD ? D, A, B,C , 是单位正方体.以 A 为原点, 分别以 OD,O A, ,OB 的方向为正方向,建立三条数轴 x轴.y轴.z轴 。 这时建立了一个空间直角坐标系 Oxyz. 1)O 叫做坐标原点 2)x 轴,y 轴,z 轴叫做坐标轴. 3)过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。 (2)右手表示法: 令右手大拇指、食指和中指相互垂直时,可能形成的位置。大拇指指向为 x 轴正方向,食指指 向为 y 轴正向,中指指向则为 z 轴正向,这样也可以决定三轴间的相位置。 (3)任意点坐标表示:空间一点 M 的坐标可以用有序实数组 ( x, y , z ) 来表示,有序实数组 ( x, y , z ) 叫做点 M 在此空 间直角坐标系中的坐标,记作 M ( x, y, z ) (x 叫做点 M 的横坐标,y 叫做点 M 的纵坐标,z 叫做点 M 的竖坐标) (4)空间两点距离坐标公式: d ? ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ? ( z 2 ? z1 ) 2

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人教版高中数学必修三 ————各章节知识点与重难点
第一章
1.1.1 算法的概念

算法初步

算法的特点: (1)有限性:一个算法的步骤序列是有限的,必须在有限操作之后停止,不能是无限的. (2)确定性:算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果,而不应当是模棱两可. (3)顺序性与正确性:算法从初始步骤开始,分为若干明确的步骤,每一个步骤只能有一个确定的后继步骤,前一步 是后一步的前提,只有执行完前一步才能进行下一步,并且每一步都准确无误,才能完成问题. (4)不唯一性:求解某一个问题的解法不一定是唯一的,对于一个问题可以有不同的算法. (5)普遍性:很多具体的问题,都可以设计合理的算法去解决,如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步 骤加以解决. 1.1.2 1.2.1 程序框图 输入、输出语句和赋值语句

3、赋值语句 (1)赋值语句的一般格式 图形计算器 格式

变量=表达式
(2)赋值语句的作用是将

表达式 ?变量
表达式所代表的值赋

给变量; (3)赋值语句中的“=”称作赋值号,与数学中的等号的意义是不同的。赋值号的左右两边不能对换,它 将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量; (4)赋值语句左边只能是变量名字,而不是表达式,右边表达 式可以是一个数据、常量或算式; (5)对于一个变量可以多次赋值。 注意:①赋值号左边只能是变量名字,而不能是表达式。如:2=X 是错误的。②赋值号左右不能对换。如“A=B” “B=A”的含义运行结果是不同的。③不能利用赋值语句进行代数式的演算。 (如化简、因式分解、解方程等)④ 赋值号“=”与数学中的等号意义不同。 分析:在 IF—THEN—ELSE 语句中, “条件”表示判断的条件, “语句 1”表示满足条件时执行的操作内容; “语句 2”表示不满足条件时执行的操作内容;END IF 表示条件语句的结束。计算机在执行时,首先对 IF 后的条件进行 判断,如果条件符合,则执行 THEN 后面的语句 1;若条件不符合,则执行 ELSE 后面的语句 2 1.3.1 辗转相除法与更相减损术 1、辗转相除法。也叫欧几里德算法,用辗转相除法求最大公约数的步骤如下: (1) :用较大的数 m 除以较小的数 n 得到一个商 若

S0 和一个余数 R0 ; R (2) :若 0 =0,则 n 为 m,n 的最大公约数;

R0 ≠0,则用除数 n 除以余数 R0 得到一个商 S1 和一个余数 R1 ; R R R (3) : 若 1 =0, 则 1 为 m, n 的最大公约数; 若 1 R0 除以余数 R1 得到一个商 S2 和一个余数 R2 ;??
依次计算直至

≠0, 则用除数

Rn =0,此时所得到的 Rn?1

即为所求的最大公约数。
27

2、更相减损术 我国早期也有求最大公约数问题的算法,就是更相减损术。在《九章算术》中有更相减损术求最大公约数的步骤: 可半者半之,不可半者,副置分母?子之数,以少减多,更相减损,求其等也,以等数约之。 翻译为: ( 1) :任意给出两个正数;判断它们是否都是偶数。若是,用 2 约简;若不是,执行第二步。 (2) :以较大 的数减去较小的数,接着把较小的数与所得的差比较,并以大数减小数。继续这个操作,直到所得的数相等为止, 则这个数(等数)就是所求的最大公约数。 例 2 用更相减损术求 98 与 63 的最大公约数. 分析: (略) 3、辗转相除法与更相减损术的区别: (1)都是求最大公约数的方法,计算上辗转相除法以除法为主,更相减损术以减法为主,计算次数上辗转相除法 计算次数相对较少,特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。 (2)从结果体现形式来看,辗转相除法体现结果是以相除余数为 0 则得到,而更相减损术则以减数与差相等而得 到 1.3.2 秦九韶算法与排序 1、秦九韶算法概念: f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0 求值问题 f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0=( anxn-1+an-1xn-2+….+a1)x+a0 =(( anxn-2+an-1xn-3+….+a2)x+a1)x+a0 =......=(...( anx+an-1)x+an-2)x+...+a1)x+a0 求多项式的值时,首先计算最内层括号内依次多项式的值,即 v1=anx+an-1 然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即 v2=v1x+an-2 v3=v2x+an-3 ...... vn=vn-1x+a0

这样,把 n 次多项式的求值问题转化成求 n 个一次多项式的值的问题。

第二章
2.1.1 简单随机抽样 1.总体和样本 在统计学中 , 把研究对象的全体叫做总体. 把每个研究对象叫做个体. 把总体中个体的总数叫做总体容量.

统计

为了研究总体 的有关性质,一般从总体中随机抽取一部分: 研究,我们称它为样本.其中个体的个数称为样本容量.







2.简单随机抽样,也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队等,完全随 机地抽取调查单位。特点是:每个样本单位被抽中的可能性相同(概率相等) ,样本的每个单位完全独立,彼此

28

间无一定的关联性和排斥性。简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。通常只是在总体单位之间差异程度较小和 数目较少时,才采用这种方法。 3.简单随机抽样常用的方法: (1)抽签法;⑵随机数表法;⑶计算机模拟法;⑷使用统计软件直接抽取。 在简单随机抽样的样本容量设计中,主要考虑:①总体变异情况;②允许误差范围;③概率保证程度。 4.抽签法: (1)给调查对象群体中的每一个对象编号; (2)准备抽签的工具,实施抽签 (3)对样本中的每一个个体进行测量或调查 例:请调查你所在的学校的学生做喜欢的体育活动情况。 5.随机数表法: 例:利用随机数表在所在的班级中抽取 10 位同学参加某项活动。 2.1.2 系统抽样 1.系统抽样(等距抽样或机械抽样) : 把总体的单位进行排序,再计算出抽样距离,然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。第一个样本采用简单随 机抽样的办法抽取。 K(抽样距离)=N(总体规模)/n(样本规模) 前提条件:总体中个体的排列对于研究的变量来说,应是随机的,即不存在某种与研究变量相关的规则分布。 可以在调查允许的条件下,从不同的样本开始抽样,对比几次样本的特点。如果有明显差别,说明样本在总体中的 分布承某种循环性规律,且这种循环和抽样距离重合。 2.系统抽样,即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。因为它对抽样框的要求较低,实施也比较简单。更 为重要的是,如果有某种与调查指标相关的辅助变量可供使用,总体单元按辅助变量的大小顺序排队的话,使用系 统抽样可以大大提高估计精度。 2.1.3 分层抽样 1.分层抽样(类型抽样) : 先将总体中的所有单位按照某种特征或标志(性别、年龄等)划分成若干类型或层次,然后再在各个类型或层 次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本,最后,将这些子样本合起来构成总体的样本。 两种方法: 1.先以分层变量将总体划分为若干层,再按照各层在总体中的比例从各层中抽取。 2.先以分层变量将总体划分为若干层,再将各层中的元素按分层的顺序整齐排列,最后用系统抽样的方法抽 取样本。 2.分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体,再抽取不同的子总体中的样本分别代表该子 总体,所有的样本进而代表总体。

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分层标准: (1)以调查所要分析和研究的主要变量或相关的变量作为分层的标准。 (2)以保证各层内部同质性强、各层之间异质性强、突出总体内在结构的变量作为分层变量。 (3)以那些有明显分层区分的变量作为分层变量。 3.分层的比例问题: (1)按比例分层抽样:根据各种类型或层次中的单位数目占总体单位数目的比重来抽取子样本的方法。 (2)不按比例分层抽样:有的层次在总体中的比重太小,其样本量就会非常少,此时采用该方法,主要是便于 对不同层次的子总体进行专门研究或进行相互比较。如果要用样本资料推断总体时,则需要先对各层的数据资料进 行加权处理,调整样本中各层的比例,使数据恢复到总体中各层实际的比例结构。 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征 1、本均值: x ?

x1 ? x2 ? ? ? xn n

2、 .样本标准差: s ?

s2 ?

( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 n

3.用样本估计总体时,如果抽样的方法比较合理,那么样本可以反映总体的信息,但从样本得到的信息会有偏差。 在随机抽样中,这种偏差是不可避免的。 虽然我们用样本数据得到的分布、均值和标准差并不是总体的真正的分布、均值和标准差,而只是 一个估计,但这种估计是合理的,特别是当样本量很大时,它们确实反映了总体的信息。 4. (1)如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数,标准差不变 (2)如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数 k,标准差变为原来的 k 倍 (3)一组数据中的最大值和最小值对标准差的影响,区间 ( x ? 3s, x ? 3s) 的应用; “去掉一个最高分,去掉一个最低分”中的科学道理 2.3.2 两个变量的线性相关 1、概念: (1)回归直线方程 (2)回归系数

2.回归直线方程的应用 (1)描述两变量之间的依存关系;利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依存的数量关系 (2)利用回归方程进行预测;把预报因子(即自变量 x)代入回归方程对预报量(即因变量 Y)进行估计, 即可得到个体 Y 值的容许区间。 (3)利用回归方程进行统计控制规定 Y 值的变化,通过控制 x 的范围来实现统计控制的目标。如已经得到 了空气中 NO2 的浓度和汽车流量间的回归方程,即可通过控制汽车流量来控制空气中 NO2 的浓度。 4.应用直线回归的注意事项 (1)做回归分析要有实际意义; (2)回归分析前,最好先作出散点图;
30

(3)回归直线不要外延。

第三章
3.1.1 —3.1.3 随机事件的概率及概率的意义 1、基本概念:

概 率

(1)必然事件:在某种条件下,一定会发生的事件,叫做必然事件; (2)不可能事件:在某种条件下,一定不会发生的事件,叫做不可能事件; (3)随机事件:在某种条件下可能发生也可能不发生的事件,叫做随机事件; (4)基本事件:试验中不能再分的最简单的随机事件,其他事件可以用它们来描绘,这样的时间叫基本事件; (5)基本事件空间:所有基本事件构成的集合,叫做基本事件空间,用大写希腊字母Ω 表示; (5)频数、频率:在相同的条件下重复 n 次试验,观察某一事件 A 是否出现,称 n 次试验中事件 A 出现的次数为 事件 A 出现的频数;称事件 A 出现的比例为事件 A 出现的频率; (6)概率:在 n 次重复进行的试验中,时间 A 发生的频率 m\n,当 n 很大时,总是在某个常熟附近摆动,随着 n 的增加,摆动幅度越来越小,这时就把这个常熟叫做事件 A 的概率,记作 P(A),0≤P(A)≤1; (6)频率与概率的区别与联系:随机事件的频率,指此事件发生的次数与试验总次数 n 的比值,它具有一定的稳 定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增多,这种摆动幅度越来越小。我们把这个常 数叫做随机事件的概率,概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量重复试验的 前提下可以近似地作为这个事件的概率 3.1.4 概率的基本性质 1、基本概念: (1)事件的包含、并事件、交事件、相等事件 (2)若 A∩B 为不可能事件,即 A∩B=ф ,那么称事件 A 与事件 B 互斥; (3)若 A∩B 为不可能事件,A∪B 为必然事件,那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件; (4)当事件 A 与 B 互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B);若事件 A 与 B 为对立事件,则 A∪B 为必然事 件,所以 P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有 P(A)=1—P(B) 2、概率的基本性质: 1)必然事件概率为 1,不可能事件概率为 0,因此 0≤P(A)≤1; 2)当事件 A 与 B 互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B); 3)若事件 A 与 B 为对立事件,则 A∪B 为必然事件,所以 P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有 P(A)=1—P(B); 4)互斥事件与对立事件的区别与联系,互斥事件是指事件 A 与事件 B 在一次试验中不会同时发生,其具体包括 三种不同的情形: (1)事件 A 发生且事件 B 不发生; (2)事件 A 不发生且事件 B 发生; (3)事件 A 与事件 B 同 时不发生,而对立事件是指事件 A 与事件 B 有且仅有一个发生, 其包括两种情形; (1) 事件 A 发生 B 不发生; (2) 事件 B 发生事件 A 不发生,对立事件互斥事件的特殊情形。 3.2.1 —3.2.2 古典概型 (1)古典概型的使用条件:试验结果的有限性和所有结果的等可能性。
31

(2)古典概型的解题步骤; ①求出总的基本事件数; ②求出事件 A 所包含的基本事件数,然后利用公式 P(A)= (3)概率的一般加法公式(选学) : ①事件的交(或积) :由时间 A 和 B 同时发生所构成的事件 D 称为时间 A 与 B 的交(或积) ,记作 D=A∩B 或 D=AB ② = P ( A ∪ B )

A包含的基本事件数 总的基本事件个数

A ? B包含的基本事件数 A中基本事件个数? B中基本事件个数- A ? B中基本事件个数 = Ω 的基本事件总数 Ω 的基本事件总数
=P(A)+P(B)-P(A∩B) 称为概率的一般加法公式;

3.3.1—3.3.2 几何概型及均匀随机数的产生 1、基本概念: (1)几何概率模型:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的 概率模型为几何概率模型; (2)几何概型的概率公式: P(A)=

构成事件A的区域程度(面积或者 体积) ; 试验的全部结果所构成 的区域长度(面积或者 体积)

(3)几何概型的特点:1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;2)每个基本事件出现的可能 性相等.

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