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1.1.6 棱柱 棱锥 棱台和球的表面积和体积


1.1.6 柱、锥、台和球的

表面积和体积

一、复习回顾
常用公式:
圆周长公式:C ? 2? r 圆面积公式:S ? ? r 2 1 扇形面积公式: S ? rl 2

1 梯形面积公式: S ? ( a ? b) h 2
正方形面积公式: 正三角形的面积:
a


一、复习回顾
问题:你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系 吗?

S正方体表=6a2
a

正方体和长方体的表面积就是各面面积之和

二、引入新课
我们可以把棱柱、棱锥、棱台展成平面图形, 从而求其表面积吗? 自主探究:

直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开图是什么? 如何计算它们的表面积?
直棱柱的侧面展开图为矩形 _________
有公共顶点且全等的等腰三角形 正棱锥的侧面展开图为________________________

正棱台的侧面展开图为全等的等腰梯形 _______________

三、讲解新课
1、直棱柱的表面积
h h

S直棱柱侧=ch. S直棱柱表= S直棱柱侧+ 2S底
? 直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积。

c

例1:已知正六棱柱的高为h,底面边长为a, 则侧面积为( 6ah ) 表面积为( 3 3 a 2 ? 6ah )
2

解题关键:棱柱的高、底面周长

2、正棱锥的表面积
底面为正多边形,顶点在过底面中心且与底 面垂直的直线上。侧面为全等的等腰三角形。

1 ' nah S正棱锥侧= 2
1 ' ? ch 2
a
h’

S正棱锥表= S正棱锥侧+ S底

a

? 正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜高乘积的 一半。

解题关键:斜高、底面边长 解题方法:四个关键直角三角形
S

h
D O A

h'
C M B

a

典型例题
例1 已知棱长为a,各面均为等边三角形的四面 体S-ABC,求它的表面积 . 分析:四面体的展开图是由四个全等的正三角形 组成. 解:先求 ?ABC的面积,过点S作 SD ? BC S 交BC于点D.

B

3 a 因为BC=a, SD ? SB ? SD ? A 2 1 1 3 3 2 S ?ABC ? BC ? SD ? a ? a? a 所以: 2 2 2 4 D C 3 2 因此,四面体S-ABC 的表面积 S ? 4 ? a ? 3a 2
2 2

4

3. 正棱台的表面积
由正棱锥截得的棱台,侧面为全等 的等腰梯形
a



展开图

h’

S正棱台侧=

1 ' ' 1 n(a ? a )h? (c ? c ' )h' 2 2

a

正棱台的侧面积等于两底面周长的和与斜高乘积的一半。

S正棱台表= S正棱台侧+ S上底+ S下底

解题关键:斜高、上底面边长、下底面边长
解题方法:3个直角梯形 例:课本P28 3

a'
A’ D

D’

C’ M’ B’

O’

h
O

h'
M B

C

A

a

思考:
直棱柱、正棱锥和正棱台的侧面积的关系:

c’=c
上底扩大

c’=0
上底缩小

S柱侧 ? ch '

S台侧

1 ? ? c '? c ? h ' 2

S 锥侧

1 ? ch ' 2

4、圆柱的表面积
侧面展开图是矩形,矩形的一边为 母线,另一边为圆柱底面圆的圆周长。 其中底面半径为r,母线长为l。
O`

2πr

l
O

S圆柱侧=2πrl=cl

S圆柱表=2πrl+ 2πr2

5、圆锥的表面积

侧面展开图为扇形
S

?

c=2 ? r

l

1 S圆锥侧= ·2πr· l=πrl, 2

S圆锥表=πrl+πr2
O r A

6.圆台的表面积
参照圆柱和圆锥的侧面展开图,试想象圆台的侧 面展开图是什么 .

你能尝试 着证明一 下吗?

r 'O’
l

2?r '

2?r

r

O
2 2

圆台的侧面展开图是扇环

S圆台表面积 ? ? (r? ? r ? r?l ? rl )

三者之间关系
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关 系?

r O?

r 'O’

l
O

r′ = r
上底扩大

l r′ = 0

l

r

O

上底缩小

r

O

S柱 ? 2?r (r ? l )

S台 ? ? (r?2 ? r 2 ? r?l ? rl ) S锥 ? ?r (r ? l )

典型例题
例2 如图,一个圆台形花盆盆口直径20 cm,盆 底直径为15cm,底部渗水圆孔直径为1.5 cm,盆壁长 15cm.那么花盆的表面积约是多少平方厘米( ? 取 3.14,结果精确到1 cm2 )? 20cm 解:由圆台的表面积公式得 花盆的表面积:
2 15 cm ?? 15 ? 2 15 ? 20 ? 1.5 ? S ? ? ?? ? ? ?15 ? ?15? ? ? ? ? 2 2 ? 2 ? ? ? ?? 2 ? ?

15 cm

? 999(cm2 )
2 cm 答:花盆的表面积约是999 .

7、球

S球=4πR2.

球面面积等于它的大圆面积的4倍。 解题关键:大圆半径R
例:课本P28 4

知识小结
柱体、锥体、台体的表面积

圆柱 S ? 2?r (r ? l )

r ? r?
圆台S ? ? (r?2 ? r 2 ? r?l ? rl )

r? ? 0
展开图
圆锥 S ? ?r (r ? l )

各面面积之和

柱、锥、台、球的体积

一. 祖暅原理

祖暅原理:幂势既同,则积不容异.
也就是说,夹在两个平行平面间的两个 几何体,被平行于这两个平面的任意平面

所截,如果截得的两个截面的面积总相等,
那么这两个几何体的体积相等.

祖暅原理是推导柱、锥、台和球体积公 式的基础和纽带,原理中含有三个条件, 条件一是两个几何体夹在两个平行平 面之间; 条件二是用平行于两个平行平面的任 何一平面可截得两个平面; 条件三是两个截面的面积总相等,这 三个条件缺一不可,否则结论不成立.

柱体体积
以前学过特殊的棱柱——正方体、长方体以及圆柱 的体积公式,它们的体积公式可以统一为: (S为底面面积,h为高). V ? Sh

一般棱柱体积也是:

V ? Sh
其中S为底面面积,h为棱柱的高.

棱柱和圆柱的体积 柱体(棱柱和圆柱)的体积等于它的底面
积S和高h的积. 即V柱体=S· h.

h

h

底面半径是R,高为的圆柱体的体积的计 算公式是S圆柱=πR2h.

锥体体积 A'
B'

C'

A
A' A' B

C
A' B' B' C'

A B

C' B

C

C

锥体体积
经过探究得知,棱锥也是同底等高的棱柱体积

1 的 .即棱锥的体积: 3

1 V ? Sh(其中S为底面面积,h为高) 3
由此可知,棱柱与圆柱的体积公式类似,都是底 面面积乘高;棱锥与圆锥的体积公式类似,都是等于 1 底面面积乘高的 . 3

台体体积
根据台体的特征,如何求台体的体积? 由于圆台(棱台)是由圆锥(棱 锥)截成的,因此可以利用两个锥 体的体积差.得到圆台(棱台)的 体积公式(过程略).
A?

P
D?

S?
B?

C?

h
A

D

V ? VP? ABCD ? VP? A?B?C?D?
1 ? ( S ? ? S ?S ? S )h 3

S

C
B

台体体积

棱台(圆台)的体积公式

1 V ? ( S ? ? S ?S ? S )h 3 其中 S , S ? 分别为上、下底面面积,h为圆台
(棱台)的高.

x ? ? x?h
?x ?

s' s

S

'

x
h

h s' s ? s'

S

1 1 1 ' 1 1 ' V台 ? S(h ? x) ? S x ? Sh ? Sx ? S x 3 3 3 3 3
1 1 ? Sh ? ( S ? S ' ) 3 3
1 1 ? Sh ? ( s ? 3 3 s )h s
' '

h s'

s ? s'

1 ? h( s ? 3

ss ' ? s ' )

台体体积
柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系?

上底扩大

上底缩小

V ? Sh

S? ? 0

S为底面面积, h为锥体高

S? ? S 1 1 V ? Sh V ? ( S ? ? S ?S ? S )h 3 3 S为底面面积, S分别为上、下底面 h为柱体高 面积,h 为台体高

知识小结
柱体 V ? Sh

S ? S'
柱体、锥体、台体的体积
1 台体 V ? ( S ? ? S ?S ? S )h 3

S'? 0

1 锥体V ? Sh 3

5.球的体积

实验:
给出如下几何模型

R

R

步骤
1.拿出圆锥 和圆柱

2.将圆锥倒立放入 圆柱

3.取出半球和新的几何体做它们的截面

R

结论:截面面积相等
则两个几何体的体积相等

R

R
R

1 V球 2



1 2 ?R ? R ? ?R ? R 3
2

5.球的体积计算公式: V球

4 ? ?R 3 3

探究
S1

R

4 3 1 1 1 1 ?R ? V球 ? RS1 ? RS 2 ? RS 3 ? ? ? RS 球面 3 3 3 3 3

球的表面积: S球面 ? 4?R

2

名称 棱柱 柱体 圆柱 棱锥 锥体 圆锥 棱台 台体 圆台 球

体积(V) Sh πr2h 1 Sh 3 1 2 πr h 3 1 h(S+ SS′+S′) 3 1 πh(r2+rr′+r′2) 3 4 3 πR 3

例2.有一堆规格相同的铁制(铁的密度是7.8g/cm3)六 角螺帽共重5.8kg,已知螺帽底面是正六边形,边长 为12mm,内孔直径为10mm,高为10mm,问这堆螺帽 大约有多少个( 取3.14,可用计算器)? 解:六角螺帽的体积是六棱柱 的体积与圆柱体积之差,

3 10 2 2 V? ?12 ? 6 ?10 ? 3.14 ? ( ) ?10 4 2

? 2956(mm ) ? 2.956(cm )
3

3

因此约有 5.8×103÷(7.8×2.956) ≈252(个) 答:螺帽的个数约为252个.

例1. 如图所示,在长方体ABCD-A’B’C’ D’中, 用截面截下一个棱锥C-A’DD’,求棱锥C- A’DD’的体积与剩余部分的体积之比。

D' A'

解:已知长方体可以看作是直 四棱柱ADD’A’-BCC’B’。 设底面ADD’A’的面积是S, 高为h,
则它的体积为 V=Sh. 因为棱锥C-A’DD’的底面面积是1 S,高是h, 所以棱锥C-A’DD’的体积是
1 1 1 ? Sh ? Sh 3 2 6

D A'

2

D A

VC-A’DD’= 所以 棱锥C-A’DD’的体积与剩余部分的体积之比是1:5.

例2、一个容器的盖子用一个正四棱台和 一个球焊接而成,球的半径为R,正四棱 台的上、下底面边长分别为2.5R和3R,斜 高为0.6R。求这个容器盖子的表面积(用 R表示,焊接处对面积影响忽略不计);

解:因为
1 S正四棱台=4× ×(2.5R+3R)×0.6R 2

+(2.5R)2+(3R)2

=21.85R2.
S球=4πR2. 因此,盖子的全面积为S全=(21.85+4π)R2.


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