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5.3平面向量的数量积


5.3 平面向量的数量积
及其应用

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基础梳理自测

考点探究突破

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基础梳理自测
<

br />◎构建能力大厦的奠基石◎

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?

?

知识梳理?

1.两个向量的夹角 (1)定义 已知两个
??? ? ??? ? OA OB 向量a和b,作?=a,?=b,则

称作向

量a与向量b的夹角,记作<a,b>.

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(2)范围 向量夹角<a,b>的范围是 (3)向量垂直 如果<a,b>= ,则a与b垂直,记作 . ,且 =<b,a>.

答案:(1)非零 ∠AOB (2)[0,π] <a,b>
(3)?
π 2

a⊥b

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2.平面向量的数量积 (1)平面向量的数量积的定义

叫做向量a和b的数量积(或内积),记作a· b=

.可

见,a· b是实数,可以等于正数、负数、零.其中|a|cos θ(|b|cos θ)叫做向 量a在b方向上(b在a方向上)的投影. (2)向量数量积的运算律 ①a· b= ②(a+b)· c= (交换律) (分配律)

③(λa)· b=

=a· (λb)(数乘结合律).
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答案:(1)|a||b|cos<a,b> |a||b|cos<a,b>
(2)①b· ②a· c ③λ(a·b) a c+b·

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3.平面向量数量积的性质:已知非零向量a=(a1,a2),b=(b1,b2) 性质 定义 模 几何表示 a·b=|a||b|cos<a,b> a·a=|a|2或|a|=?a ? a 若A(x1,y1),B(x2,y2),则
??? ? ?=(x2-x1,y2-y1) AB

坐标表示 a·b=a1b1+a2b2
2 a2 |a|=? 1 ? a2

??? ? |?|= AB
? ( x2

? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2

a⊥b 的充要条件

a·b=0

a1b1+a2b2=0

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续表
性质 夹角 几何表示 cos<a,b>=? (|a||b|≠0) |a·b|与 |a||b|的 关系 |a·b|≤|a||b|
a ?b | a || b |

坐标表示 cos<a,b>=
a1b1 ? a2b2
2 2 b12 ? b2

? 2 ? a2 ? a
1

|a1b1+a2b2|≤
??2
2 2 a1 ? a2 b12 ? b2

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?

基础自测?

1.已知下列各式: ①|a|2=a2;
a ?b b ②?2=?; |a| a

③(a· 2=a2b2; b) ④(a-b)2=a2-2a· 2,其中正确的有( b+b A.1个 B.2个 ).

C.3个
答案:B

D.4个

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2.设向量a=(1,0),b=?,,则下列结论中正确的是?( ? ?

?1 1? ?2 2?

).

A.|a|=|b|
2 B.a· ? b= 2

C.a∥b

D.a-b与b垂直

答案:D

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3.已知a=(1,-3),b=(4,6),c=(2,3),则(b· c)a等于?(
A.(26,-78) C.-52 答案:A B.(-28,-42) D.-78

).

? 4.若向量a,b满足|a|=1,|b|=2且a与b的夹角为?,则|a+b|= 3

.

答案:? 7
5.已知|a|=2,|b|=4且a⊥(a-b),则a与b的夹角是
π 答案:? 3
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.

?

思维拓展?

1.b在a上的投影是向量吗?

提示:不是,b在a上的投影是一个数量|b|cos θ,它可以为正,可以为负,也
可以为0.

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2.根据数量积的运算律,判断下列结论是否成立. (1)a· c,则b=c吗? b=a·

(2)(a· b)c=a(b· c)吗? 提示:(1)不一定,a=0时不成立,
另外a≠0时,a· c.由数量积概念可知b与c不能确定; b=a· (2)(a· b)c=a(b· c)不一定相等. (a· b)c是c方向上的向量,而a(b· c)是a方向上的向量,当a与c不共线时它 们必不相等.

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3.向量数量积与实数相关概念有哪些区别? 提示:(1)表示方法的区别 数量积的记号是a· b,不能写成a×b,也不能写成ab. (2)相关概念及运算的区别 ①若a,b为实数,且ab=0,则有a=0或b=0,但a· b=0却不能得出a=0或b=0. ②若a,b,c∈R,且a≠0,则由ab=ac可得b=c, 但由a· c及a≠0却不能 b=a· 推出b=c. ③若a,b,c∈R,则a(bc)=(ab)c(结合律)成立,但对于向量a,b,c,而(a· b)c与

a(b· c)一般是不相等的,向量的数量积是不满足结合律的.
④若a,b∈R,则|a· b|=|a|· |b|,但对于向量a,b,却有|a· b|≤|a||b|,等号当且仅 当a∥b时成立.
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考点探究突破

◎拓展升华思维的加油站◎

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一、平面向量数量积的运算
??? ??? ??? ? ? ? AB ,|? 【例1】 (1)在等边三角形ABC中,D为AB的中点,AB=5,求?· BC |;CD ?

(2)若a=(3,-4),b=(2,1),求(a-2b)· (2a+3b)和|a+2b|.

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??? ??? ? ? AB 的夹角为120°, 解:(1)如图,向量?,?BC

??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? 1? AB BC |?|· 120°=5×5×?=-?.? ? ∴?· =|?|·AB BC ? cos ? ? 2?
? ??? 1 ??? ??? ? ? ? ??? 1 ??? 2??? ? ? 2 CA ), CD ∵?=?(?+? CB ∴|?| =?(?+?) CB CA CD 2 4 ? ? ? ? 1 ??? 2 ??? ??? 2 ??? CA CB =?CA| +2?· +|?| ) CB (|? ? 4

25 2

??? 5 3 ? 1 75 CD =?×(25+2×5×5×cos 60°+25)=?,∴|?|=?. 4 2 4
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(2)a-2b=(3,-4)-2(2,1)=(-1,-6), 2a+3b=2(3,-4)+3(2,1)=(12,-5), ∴(a-2b)· (2a+3b)=(-1)×12+(-6)×(-5)=-12+30=18. ∵a+2b=(3,-4)+2(2,1)=(7,-2),
72 ? ( ∴|a+2b|=?=?. ?2)2

53

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?方法提炼平面向量的考查经常有两种:一是考查加减

法,平行四边形法则和三角形法则,平面向量共线定理;二是考查数量
积,此时注意应用平面向量基本定理,选择恰当的基底,以简化运算过 程.坐标形式时,运算要准确. 提醒:选择基底时要尽可能是已知或易求夹角和模的两个向量.

请做[针对训练]1

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二、两平面向量的夹角与垂直

【例2】 已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)· (2a+b)=61. (1)求a与b的夹角θ;
??? ? ??? ? AB (2)若?=a,?BC =b,求△ABC的面积.

解:(1)∵(2a-3b)· (2a+b)=61.∴4|a|2-4a· b-3|b|2=61. 又|a|=4,|b|=3, ∴64-4a· b-27=61, ∴a· b=-6.
?6 1 a?b ∴cos θ=?=?=-?. | a || b | 4 ? 3 2 2π 又0≤θ≤π,∴θ=?. 3
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??? ??? ? ? 2π AB BC (2)∵?与?的夹角θ=?. 3
2π π 3 3 ??? ? ??? ? AB 又|?|=|a|=4,|?BC |=|b|=3,

∴∠ABC=π-?=?.

? ? 1 ??? ??? AB BC ∴S△ABC=?|?||?|sin∠ABC 2

1 3 =?×4×3×?=33 . ? 2 2

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?方法提炼1.求两非零向量的夹角时要注意:

(1)向量的数量积不满足结合律:

(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角,数量积等于0说
明两向量的夹角为直角,数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹 角就是钝角. 2.当a,b是非坐标形式时,求a与b的夹角,需求得a· b及|a|,|b|或得出它们

的关系.
请做[针对训练]2

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三、求平面向量的模 【例3-1】 设平面向量a=(1,2),b=(-2,y),若a∥b,则|3a+b|等于(
5 A.?

).

B.? 6

C.? 17 D.?

26

答案:A

解析:由a∥b,得1×y-2×(-2)=0,∴y=-4.
3a+b=3(1,2)+(-2,-4)=(1,2),
12 ? . ∴|3a+b|=?=?22

5

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3x 3x ? x x? ? ? 【例3-2】 已知向量a=?,b=?,且x∈[-?,?]. sin ? ? cos ,sin ? ? cos , ? 2 2 ? 2 2? ? ?

? ? 3 4

(1)求a· b及|a+b|; (2)若f(x)=a· b-|a+b|,求f(x)的最大值和最小值.
x x 3x 3x 解:(1)a· b=cos?cos?-sin?sin?=cos 2x. 2 2 2 2

|a+b|=

3x x? ? 3x x? ? cos ? cos ? ? ? sin ? sin ? ? 2 2? ? 2 2? ?

2

2

=?2 ? 2cos2x =2|cos x|, ∵x∈?,∴cos x>0, ?? , ?
? π π? ? 3 4?

∴|a+b|=2cos x.
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1? 3 ? (2)f(x)=cos 2x-2cos x=2cos x-2cos x-1=2 ? cos?, ? -x ? 2? 2 ?
2

?

2

∵x∈?,∴?≤cos x≤1. ?? , ?
1 3 ∴当cos x=?时,f(x)取得最小值-?, 2 2

? π π? ? 3 4?

1 2

当cos x=1时,f(x)取得最大值-1.

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?方法提炼利用数量积求长度问题是数量积的重要应

用,要掌握此类问题的处理方法:
(1)|a|2=a2=a· a; (2)|a±b|2=(a±b)2=a2±2a· 2; b+b
x (3)若a=(x,y),则|a|=?.2 ? y 2

请做[针对训练]3

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四、平面向量的应用
? ??? ??? ??? ??? ? ? ? OA OB ?+ 【例4-1】 已知点O,N,P在△ABC所在平面内,且|?|=|?|=|?|,OC NA ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ??? ???? ? ? PA ? NB =0, ? PB PB ? PC PC PA ?+?NC ?· =?· =?· ,则点O,N,P依次是△ABC的( ).

A.重心、外心、垂心 B.重心、外心、内心

C.外心、重心、垂心
D.外心、重心、内心

答案: C
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? ???? ??? ???? 解析:如图,∵NA ?+?=0, ?+ NB NC

??? ??? ???? ? ? NB =-? ∴?+?NC . NA

???? ??? ? NA NE 依向量加法的平行四边形法则,知|?|=2|?|,故N为重心. ??? ??? ??? ??? ? ? PA =? ? PB ∵?· PB · , PC ?
??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? PA )· PB ?=0. ∴(?-?PC =?·CA PB ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? AB =0, ? PA BC 同理?· PC ?· =0, ?

∴点P为△ABC的垂心.
???? ??? ??? ? ? OA |=|? OC 由|?|=|?OB |,知O为△ABC的外心.
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??? ? ??? ? ??? ? OC OA OB 【例4-2】 已知向量?=a=(cos α,sin α),?=b=(2cos β,2sin β),?=c=

(0,d)(d>0),其中O为坐标原点,且0<α<?<β<π.
(1)若a⊥(b-a),求β-α的值;
??? ??? ? ? OB ? OC (2)若 ???? =1, | OC |

? 2

? ?

??? ??? ? ? OA ? OC 3 ??? ? =?,求△OAB的面积S. 2 | OC |

解:(1)由a⊥(b-a)?a· (b-a)=0?a· 2=0, b-a 又|a|=1,|b|=2,<a,b>=|α-β|,
∴2cos|α-β|=1?cos|α-β|=?. 由0<α<?<β<π,得β-α=?.
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1 2

π 2

π 3

???? ??? ? OA (2)∵|?|=1,|?OB |=2, ???? ??? ??? ??? ? ? ? OA OC OB OC 记<?,?>=θ1,<?,?>=θ2,

??? ? OC ∵?=(0,d),d>0,
π π ? π? 2 2 ? 2? ??? ??? ? ? ? OB ? OC ??? 1 π π ??? cos θ ? 由?=|?|· OB 1=1?cos θ1=?得β-?=?. 2 2 3 | OC | ???? ??? ? OA ? OC ???? 3 3 π ??? cos θ ? 由?=|?|· OA2=??cos θ2=?得?-α=?, 2 2 2 | OC |

∴θ1=β-?,θ2=?-α,且θ1,θ2∈?. ? 0, ?

π 6

1 π ∴∠AOB=β-α=?, ∴S=?×2×1=1. 2 2
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?方法提炼向量与其他知识结合,题目新颖而精巧,既符

合考查知识的“交汇处”的命题要求,又加强了对双基覆盖面的考
查,特别是通过向量坐标表示的运算,利用解决平行、垂直、成角和 距离等问题的同时,把问题转化为新的函数、三角或几何问题.

请做[针对训练]4

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5-3 平面向量的数量积

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